精品解析：上海市华东模范中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一期中试卷 一、填空题.（1~6每题4分，7~12每题5分，总分54分） 1. 11与1的等差中项为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差中项的定义直接计算即可. 【详解】11与1的等差中项为. 2. 函数的最小正周期是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数的最小正周期是 故答案为： 3. 等比数列中，则首项=___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为，所以. 4. 扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】则该扇形的面积为2， 故答案为：2. 5. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边同时平方，利用同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 6. 函数是____________函数（填“奇”或“偶”）． 【答案】偶 【解析】 【详解】由诱导公式有， 因为是偶函数，所以函数是偶函数. 7. 在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理有． 8. 已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 【答案】 【解析】 【详解】由条件可知，， 即，则， 所以数列的一个周期为， 所以. 9. 函数的值域是______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ，其中， 因此的值域为. 10. 函数 的部分图像如图所示，则其解析式是______． 【答案】 【解析】 【详解】由图象可知，函数最大值为，所以， 因为，所以，而，，所以， 当时， ，所以 ，， 因为，所以，故 . 11. 已知等差数列的公差为，若集合，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到的周期为，即最多3个不同取值，再结合，分析得到一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，解得，则集合中的两个不同元素为，，再化简计算即可． 【详解】， 则，其周期为， 而，即最多3个不同取值， 由题可知集合有且仅有两个元素，， 则在，，中，或， 或， 又，即，一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为，， 于是有， 即有， 解得， 不相等的两项为，， 故． 故答案为：． 12. 数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 【答案】1013 【解析】 【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值. 【详解】由题设得，，故， 所以 ，即，故， 所以 . 二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，总分18分） 13. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 14. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断. 【详解】若，则成立； 若，则或，故不一定成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 等差数列的前项和为，若，则的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求出的值，再由等差数列的前项和以及等差中项的性质求出的值. 【详解】由等差中项的性质得，， 因此，，故选A. 【点睛】本题考查等差中项的性质，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，解题时充分利用等差数列的性质，可简化计算，同时也可以利用首项和公差，利用方程思想求解，考查计算能力，属于基础题. 16. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD. 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以，A错误. 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误. 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误. 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确. 故选：D. 三、解答题（总分78分） 17. 已知角终边上一点， （1）求、的值； （2）化简并求值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据诱导公式，及两角差的余弦公式即可化简求值． 【小问1详解】 由角终边上一点，则，． 【小问2详解】 ． 18. 在锐角△中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足. （1）求B的大小； （2）若，△的面积，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据正弦定理可得， 因为，所以，即， 因为，所以解得. 【小问2详解】 因为，， 所以， 根据余弦定理可得，又， 代入可得， 所以. 19. 已知数列为等差数列，，数列满足. （1）求； （2）求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【小问1详解】 因为为等差数列，且， 设的首项为，公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因此为等比数列， 所以的前项和. 20. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%. （1）求今年6月的产量以及不合格品的数量；（结果精确到1个） （2）那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 【答案】（1）6月的产量：1340；不合格品的数量：107； （2）能控制在100个以内 【解析】 【分析】（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，由题意可得数列，的通项公式，则今年6月的产量为，不合格品的数量为； （2）各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，是等差数列，由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 【小问1详解】 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，， 由题意知，，其中，2，…，24， 所以今年6月的产量为 ，不合格品的数量为 . 【小问2详解】 从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ， 由计算工具计算（精确到0.1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，数列递减，且即可， 由 ，解得， 所以当时，数列单调递减， 又，所以当时， ， 所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 21. 已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【小问1详解】 由题意，最小正周期，则， 由 ，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是 . 【小问2详解】 由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； 【小问3详解】 ， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时 ； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时 ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中试卷 一、填空题.（1~6每题4分，7~12每题5分，总分54分） 1. 11与1的等差中项为______． 2. 函数的最小正周期是________________． 3. 等比数列中，则首项=___________． 4. 扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________. 5. 已知，则______． 6. 函数是____________函数（填“奇”或“偶”）． 7. 在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 8. 已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 9. 函数的值域是______________． 10. 函数 的部分图像如图所示，则其解析式是______． 11. 已知等差数列的公差为，若集合，则_____． 12. 数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，总分18分） 13. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 等差数列的前项和为，若，则的值是 A. B. C. D. 16. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 三、解答题（总分78分） 17. 已知角终边上一点， （1）求、的值； （2）化简并求值． 18. 在锐角△中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足. （1）求B的大小； （2）若，△的面积，求的值. 19. 已知数列为等差数列，，数列满足. （1）求； （2）求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 20. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%. （1）求今年6月的产量以及不合格品的数量；（结果精确到1个） （2）那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 21. 已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数 在内恰有6个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $