四川眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期数学周测15（事件的相互独立性、频率与概率）

**基本信息** 聚焦事件独立性与概率计算，通过摸球、面试、比赛等生活情境，考查数学思维与现实应用能力，梯度覆盖基础概念与综合问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6/30|相互独立事件判断（如第1题摸球）、概率计算（如第3题面试通过）|基础概念辨析，情境贴近生活| |多项选择|3/18|概率性质（如第7题必然事件）、独立事件应用（如第9题正四面体数字）|多角度考查概念理解| |填空|3/15|命中率（第10题）、独立事件概率最值（第11题）|抽象问题与实际结合| |解答|3/37|频率估计概率（第13题）、比赛积分制（第15题）|综合应用，体现数学思维与表达|

周测15　事件的相互独立性、频率与概率 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.一袋中装有形状大小、完全相同的5个白球和3个黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是 A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 2.从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响) A. B. C. D. 3.某同学参加社团面试，已知其第一次面试通过的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5.若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为 A.0.85 B.0.7 C.0.5 D.0.4 4.在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为 A.0.125 B.0.1 C.0.075 D.0.05 5.袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球上数字是1”，事件B表示“第二次取出的球上数字是2”，事件C表示“两次取出的球上数字之和是5”，事件D表示“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出 A.B与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立 6.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24 000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？ A.甲12 000元，乙12 000元 B.甲16 000元，乙8 000元 C.甲20 000元，乙4 000元 D.甲18 000元，乙6 000元 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列说法正确的是 A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 8.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，若从两袋中各摸出一个球，则下列结论正确的是 A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是 A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件 C.P(A)P(B)P(C)= D.P(ABC)= 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　　　.  11.设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1-p，则A与B同时发生的概率的最大值为　　　　.  12.在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回.直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为　　　　　；将球全部取出才停止取球的概率为　　　　　.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)甲、乙两人准备参加某电视台举办的知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如表： 甲 乙 练习题目个数 120 120 答错个数 24 20 若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率. (1)估计甲、乙两人在比赛时答对题的概率；(5分) (2)设事件A=“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求P(A).(7分) 14.(12分)小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(6分) (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.(6分) 15.(13分)甲、乙两人进行某场比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束时乙获胜的概率；(5分) (2)求甲获胜的概率.(8分) 参考答案 1.答案　A 解析　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件. 2.答案　D 解析　根据题意可得该学生三项均合格的概率为××=. 3.答案　A 解析　第一次面试不通过的概率为0.3，第二次面试不通过的概率为0.5，因此面试失败的概率为0.3×0.5=0.15， 所以该同学通过面试的概率为1-0.15=0.85. 4.答案　D 解析　设事件A=“选物理”，B=“选化学”，则有P(A)=0.8，P(AB)=0.6， 由该班同学选物理和选化学相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，则P(B)===0.75， 又P()=1-0.8=0.2，P()=1-0.75=0.25，则P()=P()P()=0.2×0.25=0.05，故所求概率为0.05. 5.答案　C 解析　从袋中有放回地随机取两次，每次取1个球，则样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点，由题意可得，P(A)=，P(B)=， “两次取出的球上数字之和是5”的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，所以P(C)==， “两次取出的球上数字之和是6”的样本点有(2，4)，(4，2)，(3，3)，共3个，故P(D)=， 对于A， P(BD)=，P(B)P(D)=×=，则P(BD)≠P(B)P(D)， 故B与D不是相互独立事件，故A错误； 对于B， P(AD)=0，P(A)P(D)=×=，则P(AD)≠P(A)P(D)， 故A与D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， P(BC)=，P(B)P(C)=×=，则P(BC)=P(B)P(C)， 故B与C是相互独立事件，故C正确； 对于D， P(CD)=0，P(C)P(D)=×=，则P(CD)≠P(C)P(D)， 故C与D不是相互独立事件，故D错误. 6.答案　D 解析　乙最终获胜的概率为×=，甲最终获胜的概率为1-=，所以甲、乙两人按照3∶1分配奖金比较合理，所以甲24 000×=18 000元，乙24 000×=6 000元. 7.答案　BD 解析　由随机事件的不确定性知，A，C选项错误；事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，B选项正确；任意投掷两枚质地均匀的骰子共有36个样本点，其中点数和是3的倍数所包括的样本点有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个，则所求概率是=，故D选项正确. 8.答案　ACD 解析　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2， 则P(A1)=，P(A2)=，“2个球都是红球”为A1A2，其概率为×=，故A正确； “2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1-=，故B错误； “2个球至少有一个红球”的概率为1-P()P()=1-×=，故C正确； “2个球中恰有1个红球”的概率为×+×=，故D正确. 9.答案　BC 解析　事件B与事件C可能同时发生，两事件不是互斥事件，故A错误； 由题意可知， P(B)=，P(C)=，事件B和事件C相互独立，则P(BC)=×=，P()=×=， 而P(A)=P(BC)+P()=+=， P(AB)=P(BC)==P(A)P(B)， 所以事件A与事件B是相互独立事件，故B正确； P(A)P(B)P(C)=××=，故C正确； P(ABC)=P(BC)=，故D错误. 10.答案　 解析　设该队员每次罚球的命中率为p(其中0<p<1)，则依题意有1-p2=，p2=.又0<p<1，因此有p=. 11.答案　 解析　因为事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2=-+(p∈[0，1])，所以当p=时，最大值为. 12.答案　　 解析　若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为×××=. 若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第5次取出的一定是白球，分别为以下四种情况： ①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为××××1=； ②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为××××1=； ③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为××××1=； ④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为×××1×1=； 故所求概率为+++=. 13.解　(1)由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为 P1==， 乙在比赛时答对题的概率为 P2==. (2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”，事件C=“某轮比赛中乙得1分”， 则事件A=B∪C∪BC， 所以P(A)=P(B)+P(C)+P(BC)=×+×+×=. 14.解　记A，B，C分别表示这三列火车正点到达， 则P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(C)=0.9，所以P()=0.2，P()=0.3，P()=0.1. (1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P() =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P( )=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 15.解　(1)设事件A为“第三局结束时乙获胜”， 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).故P(A)=××+××=. (2)设事件B为“甲获胜”. 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时所求概率P1=×=； 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).此时所求概率P2=××+××=； 若第四局结束甲获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜).由题得每局比赛中平局的概率为1--=，此时所求概率P3=××××3+××××6=. 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，共有4种情况：(胜，平，平，平)，(平，胜，平，平)，(平，平，胜，平)，(平，平，平，胜)，所求概率P4=××××4=. 故P(B)=P1+P2+P3+P4=. 学科网（北京）股份有限公司 $