四川眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期数学阶段滚动卷(四)（周测13）

**基本信息** 高中数学周测阶段滚动卷，涵盖统计与概率、立体几何等模块，以读书节抽样、选考调查等现实情境和分层问题设计（如众数概念辨析到向量最值探究），考查数据意识、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|众数、复数方程根、分层抽样|第3题结合分层抽样考查逻辑推理，第7题通过方差判断极端值| |多选|3/18|单位向量、数据特征|第9题多角度探究向量平行垂直条件，第10题对比猕猴桃与柚子维生素C数据特征| |填空|3/15|正三棱柱体积、分位数、样本最值|第14题在平均数方差约束下求样本最大值，考查数据处理| |解答题|5/77|三角形面积与正弦值、圆锥线面垂直、射靶成绩分析、销售目标方案|第17题对比甲乙射靶成绩的统计量，第18题结合频率分布直方图分析销售奖励方案，体现数据应用|

周测13　阶段滚动卷(四) (时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是 A.众数 B.中位数 C.平均数 D.都不会 2.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则实数p，q分别为 A.p=4，q=-11 B.p=-4，q=3 C.p=4，q=-3 D.p=-4，q=5 3.某校读书节期间，共120名同学获奖(分金、银、铜三个等级)，从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是 A.高二和高三年级获奖同学共80人 B.获奖同学中金奖所占比例一定最低 C.获奖同学中金奖所占比例可能最高 D.获金奖的同学可能都在高一年级 4.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5.某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100名学生，其中选考化学或生物的学生共有70人，选考化学的学生共有40人，选考化学且选考生物的学生共有20人.若该校共有1 500名学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为 A.300 B.450 C.600 D.750 6.如图，已知A(-1，0)，B(1，0)，C(0，2)，D，E两点分别满足=λ，=μ，其中λ>0，μ>-，且·=-4，则λ+2μ的最小值为 A.-2 B.1 C.2 D.2 7.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个分数中不可能是该班数学成绩的是 A.100 B.85 C.65 D.55 8.某班共51人，其中A，B，C三名同学的数学期中考试成绩和大练习成绩统计如下，则下列说法正确的是 A B C 班级平均分 期中考试 131 138 124 130 大练习 83 101 104 108 A.三人大练习的平均分相较于期中考试的平均分下降了36分 B.三人大练习成绩的方差为期中考试成绩的方差的三倍多 C.同学A在大练习中没有作答填空题(共20分)，若他正常进行作答，则该班的平均分可能上升至110分 D.若同学C的大练习成绩恰好是全班同学成绩的中位数，则考试中一定出现了部分极端高的成绩数据 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a，b是不共线的单位向量，其夹角为θ(θ∈(0，π))，则下列说法正确的是 A.存在λ∈R，使得b∥(a+λb) B.存在λ∈R，使得b⊥(a+λb) C.存在λ∈R，使得(a+λb)∥(a-λ2b) D.存在λ∈R，使得(a+λb)⊥(a-λ2b) 10.维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100 g中维生素C的含量(单位：mg)，得到数据如下： 猕猴桃　102　104　106　107　113　116　119　121　132　134 柚　子　109　113　114　116　117　121　121　122　131　132 则下列说法不正确的是 A.每100 g柚子维生素C含量的众数为121 B.每100 g柚子维生素C含量的75%分位数为121 C.每100 g猕猴桃维生素C含量的平均数大于每100 g柚子维生素C含量的平均数 D.每100 g猕猴桃维生素C含量的方差大于每100 g柚子维生素C含量的方差 11.已知样本p1：ax1，ax2，…，axn的平均数为4，标准差为2，样本p2：2x1-1，2x2-1，…，2xn-1的方差为4，则样本p1和样本p2的 A.平均数相等 B.方差相等 C.极差相等 D.中位数相等 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，若A1C与平面B1BCC1所成的角为30°，则四棱锥A1-BCC1B1的体积为　　　　　.  13.某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”政策的效果进行评分，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的55%分位数为　　　　.  14.已知样本x1，x2，x3，x4，x5 ∈N，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是　　　　.  四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知△ABC的面积为20，O为边BC的中点，OA=5，·=20. (1)求BC的长；(6分) (2)求角C的正弦值.(7分) 16.(15分)如图，AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，过CD的平面与PB交于点E，若∠BOE=45°，点F在圆O上，PA⊥PB. (1)求证：PB⊥平面CDE；(7分) (2)若∠ABF=30°，PA=2，求三棱锥F-BOE的体积.(8分) 17.(15分)甲、乙在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示. (1)请补充填写下表；(7分) 平均数 中位数 方差 极差 命中9环及以上次数 甲 乙 (2)根据你所学的统计学知识，从不同的角度对这次测试结果进行分析.(8分) 18.(17分)某公司决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的销售目标.确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益.如果目标定的过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心；如果目标定的太低，将不利于挖掘销售员的工作潜力.该公司随机抽取50名销售员，统计了其2022年的月均销售额(单位：万元)，将数据按照[12，14)，[14，16)，…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16)组比[12，14)组的频数多4. (1)求频率分布直方图中a和b的值；(7分) (2)为调动销售员的积极性，公司设计了两种奖励方案.方案一：奖励月均销售额进入前60%的员工；方案二：奖励月均销售额达到或超过平均数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)的员工.你认为哪种方案更好？(10分) 19.(17分) 某高校在2023年的强基计划考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下： 组号 分组 频率 第1组 [160，165) 0.05 第2组 [165，170) 0.35 第3组 [170，175) ① 第4组 [175，180) 0.20 第5组 [180，185] 0.10 (1)请先求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；(5分) (2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用按比例分配分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试；(6分) (3)根据直方图估计这次强基计划考试笔试成绩的平均数和中位数.(6分) 参考答案 1.答案　A 解析　众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现. 2.答案　D 解析　因为2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根， 所以(2-i)2+p(2-i)+q=0，即(3+2p+q)-(4+p)i=0， 所以解得 3.答案　D 解析　对选项A，高二和高三年级获奖同学共120-120×=90(人)，错误； 对选项B，不能分别确定获得银奖和铜奖的人数，错误； 对选项C，金奖人数为120×=20，银奖和铜奖的人数和为100，故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误； 对选项D，高一年级获奖人数为120×=30，获金奖的人数为20，故获金奖的同学可能都在高一年级，正确. 4.答案　C 解析　如图，连接D1C，AC，∵D1C∥A1B，∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=3AB=3， 则AD1=D1C==， AC==， ∴cos∠AD1C==. ∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 5.答案　D 解析　选考生物没有选考化学的学生共有70-40=30(人)， 又选考化学且选考生物的学生共有20人，所以选考生物的学生有30+20=50(人)， 所以在100名学生中选考生物的占比为 ， 该校共有1 500名学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为×1 500=750. 6.答案　B 解析　因为=(2，0)，=(-1，2)，=(-1，-2)，所以=λ=(-λ，2λ)，=+=+μ=(2μ-1，-2)，所以·=-λ(2μ-1)-4λ=-4，即λ(2μ+3)=4，又λ>0，μ>-，所以λ+2μ=λ+2μ+3-3≥2-3=1，当且仅当λ=2，μ=-时取等号，即λ+2μ的最小值为1. 7.答案　D 解析　∵方差s2==10.2，n=40， ∴=10.2×40=408， 若存在x=55，则=(55-82)2=729>408=， 导致方差必然大于10.2，不符合题意. ∴ 55分不可能是该班数学成绩. 8.答案　D 解析　三人期中考试的平均分为=131，三人大练习的平均分为=96，则三人大练习的平均分相较于期中考试的平均分下降了131-96=35(分)，A选项错误； 三人期中考试成绩的方差为=，三人大练习成绩的方差为=， 则三人大练习成绩的方差为期中考试成绩的方差的≈2.63倍，B选项错误； 同学A在大练习中没有作答填空题，若他正常进行作答，则同学A最多可以多得20分， 则该班的平均分最多上升≈0.392，所以该班的平均分不可能上升至110分，C选项错误； 若同学C的大练习成绩恰好是全班同学成绩的中位数，班级平均分为108分高于中位数，所以考试中一定出现了部分极端高的成绩数据拉高了平均分，D选项正确. 9.答案　BCD 解析　对于A，若b∥(a+λb)，则存在μ∈R，使得b=μ(a+λb)，得到b=μa+λμb，对照系数得λμ=1，μ=0，显然不成立，故A错误；对于B，若b⊥(a+λb)，则b·(a+λb)=0，得到b·a+λb·b=0，即|a||b|cos θ+λ|b|2=0，而a，b是不共线的单位向量，故|a|=|b|=1，得到cos θ+λ=0，解得λ=-cos θ，故B正确；对于C，当λ=-1时，a+λb=a-b，a-λ2b=a-b，显然满足(a+λb)∥(a-λ2b)，故C正确；对于D，当λ=1时，a+λb=a+b，a-λ2b=a-b，则(a+λb)·(a-λ2b)=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0，故D正确. 10.答案　BC 解析　对于A选项，每100 g柚子维生素C含量的众数为121，A正确； 对于B选项，每100 g柚子维生素C含量的75%分位数为122，B错误； 对于C选项，每100 g猕猴桃维生素C含量的平均数为 =115.4， 每100 g柚子维生素C含量的平均数为 =119.6，115.4<119.6，C错误； 对于D选项，每100 g猕猴桃维生素C含量的方差为 [(-13.4)2+(-11.4)2+(-9.4)2+(-8.4)2+(-2.4)2+0.62+3.62+5.62+16.62+18.62]×=114.04， 每100 g柚子维生素C含量的方差为 [(-10.6)2+(-6.6)2+(-5.6)2+(-3.6)2+(-2.6)2+2×1.42+2.42+11.42+12.42]× =50.04，114.04>50.04，D正确. 11.答案　BC 解析　设样本x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，极差为M，中位数为q，则a=4，a2s2=4，4s2=4， 所以s2=1，a=±2， 当a=2时，样本p1：2x1，2x2，…，2xn；样本p2：2x1-1，2x2-1，…，2xn-1， 可得样本p1的平均数为2=4，样本p2的平均数为2-1=3，故A错误； 样本p1和样本p2的极差同为2M，方差同为4，故B，C正确； 样本p1的中位数为2q，样本p2的中位数为2q-1，故D错误. 当a=-2时，样本p1：-2x1，-2x2，…， -2xn；样本p2：2x1-1，2x2-1，…，2xn-1， 可得样本p1的平均数为-2=4，样本p2的平均数为2-1=-5，故A错误； 样本p1和样本p2的极差同为2M，方差同为4，故B，C正确； 样本p1的中位数为-2q，样本p2的中位数为2q-1，故D错误. 12.答案　 解析　取B1C1的中点D，连接A1D，CD，如图，易证A1D⊥平面BB1C1C， ∴∠A1CD=30°，A1D=， ∴A1C=2， ∴在△A1CC1中，CC1==2， ∴=×(2×2)×=. 13.答案　75 解析　因为前3组数据的频率之和为0.05+0.15+0.2=0.4， 前4组数据的频率之和为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7， 则55%分位数在[70，80)内，设55%分位数为x， 则0.4+(x-70)×0.030=0.55，解得x=75， 所以55%分位数为75. 14.答案　10 解析　不妨令x1<x2<x3<x4<x5，该样本的平均数为7，则(x1+x2+x3+x4+x5)=7.样本的方差为4，则[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=4，即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.如图，表示1，2，3，4，5个点分别位于7的上下两侧，那么(xi-7)2<20，i=1，2，3，4，5，所以xi≤11， 设x5=11，那么由(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4可知，必然存在样本数据相等，不满足题意. 设x5=10，那么(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=11，不妨设x1=4，x2=6，x3=7，x4=8，且满足(x1+x2+x3+x4+x5)=7.所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意. 15.解　(1)由已知O为边BC的中点， 所以S△ABC=2S△AOB=2×OA·OBsin∠AOB=20， 即OA·OBsin∠AOB=20， 又·=||||cos∠AOB=20， 则tan∠AOB=，又0<∠AOB<π，所以∠AOB=， 又OA=5，5×OB×=20，解得OB=8，则BC=2OB=16. (2)由(1)得∠AOB=，OC=OB=8，则∠AOC=， 在△AOC中，由余弦定理可知AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOC， 即AC2=25+64+2×5×8×=129，则AC=， 又由正弦定理可知=， 则sin C===. 16.(1)证明　连接PO，则PO⊥圆O所在平面，而CD在圆O所在平面内， ∴PO⊥CD， 又CD⊥AB，AB∩PO=O，AB，PO⊂平面PAB， ∴CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴PB⊥CD， 由PA⊥PB，且PA=PB可得∠PAB=45°， 又∠BOE=45°，∴OE∥PA， ∴E为PB的中点，且PB⊥OE， 又OE∩CD=O，OE，CD⊂平面CDE， ∴PB⊥平面CDE. (2)解　由题意得，PA=PB=2，AB=2， 由∠ABF=30°可得AF=，BF=， ∴S△ABF=××=，S△BOF=S△ABF=， ∵E为PB的中点， ∴点E到底面的距离等于点P到底面距离的一半，即为， ∴三棱锥F-BOE的体积V三棱锥F-BOE=V三棱锥E-BOF=××=. 17.解　(1)由折线图可得射靶的成绩按升序排列： 对于甲：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， 可得极差为9-5=4，中位数=7， 平均数=xi=7，方差==1.2； 对于乙：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， 可得极差为10-2=8，中位数=7.5， 平均数=yi=7，方差=(yi-)2=5.4. 据此可得： 平均数 中位数 方差 极差 命中9环及以上次数 甲 7 7 1.2 4 1 乙 7 7.5 5.4 8 3 (2)①∵甲、乙平均数相同，<，∴甲的成绩比乙稳定； ②∵甲、乙平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵甲、乙平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些； ④甲的成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有出现比甲少的情况，所以认为乙比甲更有潜力. 18.解　(1)∵由频率分布直方图的性质，图中所有小矩形的面积之和等于1， 又∵[14，16)组比[12，14)组的频数多4， ∴ 解得 (2)方案一，奖励月均销售额进入前60%的员工， ∵样本容量为50， ∴能获得奖励的员工人数为50×60%=30. 方案二，奖励月均销售额达到或超过平均数的员工， 根据频率分布直方图，可得月均销售额的平均数为=(0.03×2×13+0.07×2×15+0.12×2×17+0.14×2×19+0.1×2×21+0.04×2×23)=18.32， 月均销售额低于18万的频率为2×(0.03+0.07+0.12)=0.44， ∵本次抽样样本容量为50， ∴月均销售额低于18万的人数为50×0.44=22， ∴月均销售额高于18万的人数不多于28， ∴月均销售额达到或超过平均数的员工不多于28人，即能获得奖励的员工人数不多于28， 综上所述，对比两种奖励方案，应选方案一，更多人员获得奖励.(答案不唯一，言之有理即可) 19.解　(1)1-(0.05+0.35+0.2+0.1)=0.3，频率分布直方图如图所示. (2)第3组的人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20，第5组人数为0.1×100=10，共计60 人，用按比例分配分层随机抽样抽取6人.则第3组应抽取的人数为×6=3，第4组应抽取的人数为×6=2，第5组应抽取的人数为×6=1. (3)平均数为0.05×162.5+0.35×167.5+0.3×172.5+0.2×177.5+0.1×182.5=172.25， 由图，第1，2两组的频率和为0.4，第3组的频率为0.3，所以中位数落在第3组，设中位数为170+x，则=，解得x=，故笔试成绩的中位数为x=. 学科网（北京）股份有限公司 $