2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习必考点4：整式乘法

**基本信息** 以整式乘法公式为核心，通过"典例-变式-巩固"三级训练，融合代数运算与几何直观，系统培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6例|公式变形应用、几何面积转化|从幂运算到乘法公式，构建"代数计算-几何表征"双向联系| |举一反三|6变式|整体代换、简便计算技巧|在例题基础上拓展情境，强化公式迁移能力| |巩固练习|15题|规律归纳、跨模块综合|覆盖选择/填空/解答，从基础辨析到探究性问题，形成完整备考链|

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 期末复习必考点4：整式乘法 【典型例题】 【例1】已知 (x+3)(c+2)=x+mx+m,则m+n的值为() A.11 B.6 C.5 D.1 【例2】若®1-)=-1，则⑧等于() A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.1-x 【例3】若+=6，y=2,则r+y= 【例4】如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为 B 【例5】计算：（1)(x+3x-3)-x(x+2) (2)(x-2y+10x+2y+1） 第1页共30页 【例6】先化简，再求值： （1)(2a+b)-(36+2a(2a-3b),其中a=2,b=-1: (2)(m-3)'-(0-mm+)-2(m+,其中m2-4m=3. 【举一反三】 【变式1】若长方形的两条边长分别是2n和3n-1,则此长方形的面积是() A.6n2-1 B.6n2-2n C.10n-2 D.5n2-2n 【变式2】如图，一个正方形的边长是(>2)，若将其一组邻边长度分别增加2和减少2， 所得长方形的面积与原正方形的面积相比() 第2页共30页 A.不变 B.增加4 C.减少4 D.增加4a+4 【变式3】如果a2-3a-7=0,那么代数式(a-+a(a-4)-2的值为 【变式4】数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正 方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为、宽为b的长方形，现要拼出一个长 为2a+3b宽为a+3b的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张. 【答案】20 【变式5】请将小亮解答的问题(1)补充完整，再仿照他的方法解答问题(2)· (1)简便计算：3.14×7.14-0.14.小亮的解答如下： 解：设0.14=a,则3.14=a+3,7.14=a+7,则 原式=(a+3)(a+7)-a2 (2)简便计算：202504×202505-202503×202506 第3页共30页 【变式6】(1D若=8，x+y=6,求+少的值： (2)如图，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG,连接 BG、CG、BG.若阴影部分的面积和为 9△CDG, 3 s.CE 心的面积为，求的长度. A D 【巩固练习】 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(5a-3b)(3b+5a) B.(m-n)(n-m) C.（-x-6)(x+6) D.(x2-y)(x+y) 2.下列运算正确的是（) A.(（-x-y2=x2+2y+y2 B.（-a-b)(a+b)=a2-b2 第4页共30页 C.(m-3)(m+2)=m2-6 D.(a-b)}2=a2-b2 3.若A=m2+2mn+n2-4,B=2m+2mn-6n-25,则A,B的大小关系为（) A.A>B B.A<B C.A=B D.无法确定 4.已知a,b为实数，且满足ab>0,a+b-2=0,当a-b为整数时，ab的值为() 3 1 3 13 A.4或2 B.4或1 C.4或1 D.4或4 5.如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼 图中阴影部分的面积分别记为S,9,则-5，的值为(） ←3 S2 图1 图2 A.6 B.8 C.9 D.16 6.4*6163-4×1.042 1 7.若a+b=3,ab=-4,则a2+b2=」 8.如果a+6a+m是一个完全平方式，那么m是 第5页共30页 9.我们定义一种新运算：a※b=a2-b2+6b,若m+n=3,则m※n=一· 10.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多 数学问题.如图摆放两个正方形卡片，AM、B在同一直线上.若AB=5,且两个正方形面 积之和为13，则阴影部分的面积为 1.先化简，再求值：(+1)-6+3-)+7+2，其中42+9x=6 12.（1)试说明代数式6-2）(s+21+1)+41+2)的值与s,t的取值有无关系 第6页共30页 (2)已知多项式ax-b与-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-8，试求a°的 值. 13.观察下列等式： ①32-12=1×8；②52-32=2×8；③72-52=3×8：… 根据上述式子的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)写出第n个等式，并说明其正确性， 第7页共30页 14.数学实验 实验材料：现有若干张如图所示的正方形和长方形硬纸片. 动手操作：试借助拼图的方法，把二次三项式a+3b+2b° 分解因式，并把拼出的图形画在 虚线方框内 探索问题： 6 (1)小明有9张小正方形硬纸片和4张大正方形硬纸片，如果他想拼成一个正方形（无空隙、 无重叠地拼接)，那么他还需要张长方形硬纸片. (2)小明说：我可以用50张长方形和正方形硬纸片拼成一个新的正方形（无空隙、无重叠 地拼接)·你支持小明的观点吗？并阐述你的观点， 第8页共30页 15.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. (1)如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形.将4块小 长方形拼成一个如图2的“回形”正方形.用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒 等式」 b a b a 图1 图2 (2)利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若y=4,x+y=6,则(x-y)少'= 【类比应用】②若x满足x-25-)=2,求(2x-7少的值， 第9页共30页 【知识迁移】 (3)己知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E,D分别是AB,AC上的点，其中 15 ∠ABC=90°，∠AED=90,EB=2,△ADB的面积是2，求梯形EBCD的面积. D 第10页共30页 答案解析 【典型例题】 【例1】己知 (x+3)(x+2)=x2+mx+n 则m+n的值为() A.11 B.6 C.5 D.1 【答案】A 【例2】若（®1-）=-1，则⑧等于() A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.1-x 【答案】C 第11页共30页 【例3】若(x+少=6，w=2,则x2+y2= 【答案】2 【例4】如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为 D E B 【答案】6 【例5】计算：(1)(x+3(x-3)-x(x+2) (2)(x-2y+10(x+2y+1） 【答案】（1)（x+3x-3)-x(x+2) =x2-9-x2-2x =-2x-9 【小问2详解】 解：(-2y+1(x+2y+1) 第12页共30页 =[(x+1)-2y][(x+1)+2y] =(x+1)2-4y2 =x2+2x+1-4y2 【例6】先化简，再求值： (1)(2a+b)-(3b+2a2a-3b）,其中a=2,b=-1: (2)(m-3)°-(1-m)(m+)-2(m+,其中m2-4m=3. 【答案】(1)解：(2a+b)2-(3b+2a2a-3b), =4a2+4ab+b2-(4a2-9b2） =4a2+4ab+b2-4a2+9b2 =4ab+10b2 把a=2,b=-1代入得，4b+10b=4×2×(-)+10×(-=2: 【小问2详解】 解：·m24m=3 .(m-3)-(1-m(m+1)-2(m+1) 第13页共30页 =m2-6m+9+m2-1-2m-2 =2m2-8m+6 =2(m2-4m)+6 =2×3+6 =12 【举一反三】 【变式1】若长方形的两条边长分别是2n和3n-1,则此长方形的面积是() A.6n2-1 B.6n2-2n C.10n-2 D.5n2-2n 【答案】B 【变式2】如图，一个正方形的边长是（口>2），若将其一组邻边长度分别增加2和减少2， 所得长方形的面积与原正方形的面积相比（) 第14页共30页 24 A.不变 B.增加4 C.减少4 D.增加4a+4 【答案】c 【变式3】如果a2-3a-7=0,那么代数式(a-+a(a-4)-2的值为 【答案】13 【变式4】数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正 方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长 为2a+3b宽为a+3b的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张 【答案】20 【变式5】请将小亮解答的问题(1)补充完整，再仿照他的方法解答问题(2)， (1)简便计算：3.14×7.14-0.142.小亮的解答如下： 第15页共30页 解：设0.14=a,则3.14=a+3,7.14=a+7,则 原式=(a+3)(a+7）-a2 (2)简便计算：202504×202505-202503×202506 【答案】(1)解：解：设0.14=a,则3.14=a+3,7.14=a+7,则 原式(a+3(a+7)-a =a2+3a+7a+21-a2 =10a+21 =10×0.14+21 =22.4 【小问2详解】 解：设m=202504,则202505=m+1,202503=m-1,202506=m+2, 原式=m(m+)-(m-)(m+2) =m2+m-(m2-m+2m-2） =m2+m-m2+m-2m+2 =2 第16页共30页 【变式6】1)若=8，x+y=6,求+y的值： (2)如图，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG,连接 BG,CG、EG.若阴影部分的面积和为 9△CDG 3 CE 的面积为，求的长度. G D E 【答案】(1)y=8,x+y=6, ·x2+y2=(x+y)2-2xy =62-2×8 =20 (2)设正方形ABCD的边长为a,正方形DEFG的边长为b, 1 阴影部分的面积和为9，即2 a(a-b)+5b2=9 2 .a2-ab+b2=18 第17页共30页 1ab=3 又，△CDG的面积为3，即2 .ab=6 .(a+b)2=a2+2ab+b a2-ab+b2+3ab =18+3×6 =36 .a>b>0 .a+b=6 即CE的长度为6. 【巩固练习】 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(5a-3b)3b+5a) B.(m-n)(n-m) C.（仁x-6x+6) D.(x'-y)(x+y) 第18页共30页 【答案】A 2.下列运算正确的是（) A.（-x-y)}=x2+2y+y2 B.(-a-b)(a+b)=a2-b2 c.(m-3)(m+2)=m2-6 D.(a-b)}2=a2-b2 【答案】A 3.若A=m2+2mn+n2-4,B=2m+2m-6n-25,则A,B的大小关系为() A.A>B B.A<B C.A=B D.无法确定 【答案】A 4.已知a,b为实数，且满足ab>0,a+b-2=0,当a-b为整数时，ab的值为() U 1 3 13 A.4或2 B.4或1 C.4或1 D.4或4 【答案】C 5.如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼 图中阴影部分的面积分别记为SS,则9-5的值为() 第19页共30页 ←3 S S2 图1 图2 A.6 B.8 C.9 D.16 【答案】C 1 ×6.162-4×1.042= 6.4 【答案】5.16 7.若a+b=3,ab=-4,则a2+b2= 【答案】17 8.如果a2+6a+m是一个完全平方式，那么m是 【答案】9 9.我们定义一种新运算：a※b=a2-b2+6b,若m+n=3,则m※n=一· 【答案】9 10.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多 第20页共30页 数学问题.如图摆放两个正方形卡片，AM、B在同一直线上.若AB=5,且两个正方形面 积之和为13，则阴影部分的面积为 B 【答案】6 1.先化简，再求值：(c+1-(3+03-)+7+20,其中42+9x=6. 【答案】x+)少-3+x3-)+x(7+2刘） =x2+2x+1-9+x2+7x+2x2 =x2+x2+2x2+2x+7x+1-9 =4x2+9x-8 当4x2+9x=6时 原式=6-8=-2. 第21页共30页 12.(1)试说明代数式（-24+2+)++2)的值与s,t的取值有无关系 (2)已知多项式ax-b与-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-8，试求a°的 值. 【路案】(-2s+2+0+4+》 =s2-4t2+s-2t+42+2t =s2+S ,1 :代数式6-20s+21+)+4+2)的值与3的取值有关系，与1的取值无关系： (2)(ar-b(-x+2) =-ax2+2ax+bx-2b =-ax2+(2a+b)x-2b ,多项式x-b与-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-8， .2a+b=0,-2b=-8, 第22页共30页 解得：b=4,a=-2 :a=(-2)=16 13.观察下列等式： ①32-12=1×8；②52-32=2×8；③72-52=3×8：… 根据上述式子的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)写出第n个等式，并说明其正确性. 【答案】(1)解：①3-1=1×8； ②52-32=2×8： ③72-52=3×8： 依此类推可知第4个等式为92-7=4×8， 故答案：92-72=4×8： 第23页共30页 【小问2详解】 解：第n个等式为(2m+-(2m-)=8m,证明如下： (2n+1)2-(2n-1)2 =(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1） =4n2+4n+1-4n2+4n-1 =8n 14.数学实验 实验材料：现有若干张如图所示的正方形和长方形硬纸片. 动手操作：试借助拼图的方法，把二次三项式+3b+2b分解因式，并把拼出的图形画在 虚线方框内. 探索问题： 第24页共30页 b (1)小明有9张小正方形硬纸片和4张大正方形硬纸片，如果他想拼成一个正方形（无空隙、 无重叠地拼接)，那么他还需要张长方形硬纸片. (2)小明说：我可以用50张长方形和正方形硬纸片拼成一个新的正方形（无空隙、无重叠 地拼接)·你支持小明的观点吗？并阐述你的观点. 【答案】由二次三项式a+3b+2b2 得：拼出的图形含有1个小正方形，2个大正方形，3 个长方形，画出图形如图所示： 由图可知： a2+3ab+2b'=(a+2b)(a+b) a 6 b (1)9张小正方形硬纸片和4张大正方形硬纸片的面积表示为9.2+4b2, 第25页共30页 设还需要x张长方形硬纸片， 可拼成一个正方形， .9a2+4b2+xab是一个完全平方式， :9a2+4b2+ab=(3a}+(2b)}+xab=(3a+2b)}=9a2+4b2+12ab ∴.还需要12张长方形硬纸片， 故答案为：12. (2)解：不支持，理由如下： 设新正方形边长为ma+nb, 新正方形的面积为(ma+nb)°=ma2+2mmab+n'b2 ∴.有m2个小正方形，2mn个长方形，n个大正方形， .一共有50张硬纸片， ：.m2+2mn+2=(m+m}2=50 ,m、n均为正整数， .没有符合条件的m的值， 第26页共30页 .小明观点不正确. 15.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. (1)如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形.将4块小 长方形拼成一个如图2的“回形”正方形.用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒 等式 b a 6 6 a 图1 图2 (2)利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若y=4,x+y=6,则(x-y)= 【类比应用】②若x满足(x-2-)=2,求(2x-7)的值 【知识迁移】 (3)已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E,D分别是AB,AC上的点，其中 第27页共30页 15 ∠ABC=90°，∠AED=90°，EB=2,△ADB的面积是2，求梯形EBCD的面积. 【答案】（山由题高和图可知，整个正方形的面积为a+,阴影部分的面积为口-b】 所以空白部分的面积为a+b-(a-b炉，空白部分的面积还可以表示为4b,则恒等式为 (a+b)2-(a-b)2=4ab 故答案为：(a+bP-(a-b2=4ab (2).y=4,x+y=6, .(x-y=(x+y)2-4y=36-16=20 故答案为：20： ②令a=x-2,b=5-x, 由题意可知a+b=3, a-b=(x-2)-(5-x)=2x-7, 第28页共30页 .(a-b°=(2x-7)1 :(a+b)2-(a-b)}=4ab .9-(a-b)=8, .(a-b)=1, .(2x-7=1, 故答案为：1 (3)设AE=ED=mAB=BC=n, 115 n-m-2.mn- 由题意可知 2, .∴.mn=15 :(m+-(m-n}=4mn .(m+n)}2-4=60 :(m+n)=64 .m+n=8(负值已舍去)， 梯形的面积为：2m+n”一m)=8 第29页共30页 答：梯形EBCD的面积为8. 第30页共30页