山东泰安市泰山区2025-2026学年高一下学期数学期末仿真自编模拟试题

**基本信息** 以平面向量、概率统计等核心知识为载体，通过志愿者年龄统计、“鳖臑”传统文化情境设计，考查数学抽象、数据观念与空间观念，适配高一下学期期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念、复数运算、斜二测画法|第7题射击概率问题，考查逻辑推理与运算能力| |多选题|3/18|频率分布直方图、空间线面关系|第9题结合志愿者年龄数据，培养数据意识| |填空题|3/15|随机数表抽样、解三角形面积、鳖臑外接球|第14题引用《九章算术》，体现文化传承| |解答题|5/77|向量投影、概率计算、立体几何二面角、数据统计|第19题知识竞赛成绩分析，综合考查数据处理与模型观念|

山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末仿真模拟 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．（本题5分）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（本题5分）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（本题5分）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 6．（本题5分）某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 7．（本题5分）甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 10．（本题6分）设，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 11．（本题6分）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为________． 5044664421    6606580562    6165543502    4235489632 1452415248    2266221586    2663754199    5842367224 13．（本题5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________． 14．（本题5分）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（本题15分）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 17．（本题15分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求角的大小； (2)求的面积； (3)求的值． 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末仿真模拟》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D B D A ABC BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．D 【分析】根据向量垂直得出数量积为0，结合向量运算律计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，解得：. 3．A 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 4．C 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 5．D 【分析】根据向量投影向量的定义，并结合已知的向量的坐标与两向量的数量积计算即可得. 【详解】由，得，因此. 根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为： 将，，，代入得： . 因此，向量在向量上的投影向量为. 6．B 【详解】由题意，成绩在区间的人数为，在的人数为， 按照分层随机抽样在内共抽取了学生50人，故抽样比为， 所以在内抽取的学生人数为. 7．D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 8．A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 9．ABC 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 10．BCD 【分析】根据空间中线面、面面平行的判定定理和性质定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行，因此若，时，则必有，故A正确； 对于B：若，，则和可能平行也可能相交，例如墙角的两个墙面都垂直于地面，但两墙面相交，故B错误； 对于C：线面平行的判定定理要求直线不在平面内，且平行于平面内的一条直线，若，，存在的情况，此时不平行于，故C错误； 对于D：面面平行的判定定理要求一个平面内的两条相交直线均平行于另一个平面，若是 内两条平行直线，即使二者都平行于，和也可能相交，故D错误. 11．BCD 【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C的值，即可判断A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变式，得到边c的范围，即可计算周长的范围． 【详解】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径）， 则； 因为，代入可得： ， 则， 由两角和的正弦公式可得：， 因为，故，化简可得：， 故，因为，故，故B正确； 通过题给条件无法判断A,故A错误； 因为，由基本不等式可知：， 故； 故， 当且仅当时，“=”成立，故C正确； 由余弦定理可知：； 因为，故，解得； 因此周长：，因为， 因此周长可以为3，故D正确． 12．56 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 所以选出的6个个体编号依次为42，16，56，26，55，43，故第3个个体的编号为56． 13． 【分析】根据题目条件与余弦定理求出边长，再使用面积公式求出面积. 【详解】由余弦定理得， 解得（负值舍去），所以． 又因为，所以， 所以△ABC的面积为． 14． 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 15．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1），， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. （2）设，， ，又， 或， 或 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 16．(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理把比角化边，再由余弦定理求解角B的余弦值，从而得到角B的大小；（2）由三角形的面积公式求解；（3）先利用二倍角公式求解，再由两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即． 又由余弦定理得， 又，所以． （2）因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． （3）由余弦定理得，所以． 所以，． 所以 ． 18．(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 19．(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $