小升初奥数培优讲义：环形路线问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初奥数培优讲义聚焦环形路线这一压轴题型，围绕反向相遇、同向追及核心模型，通过知识梳理（核心规律与公式）、例题讲解（基础到综合题型）、跟踪训练及高频真题演练，帮助学生掌握解题步骤，构建系统知识体系。 亮点是口诀化规律记忆（如“反向一圈遇一次，同向一圈追一次”）与阶梯式题型设计（基础到多次相遇、异地出发），通过周期规律分析培养推理意识，借助模型意识构建问题框架。如多次相遇题型利用单次周期算总次数，助力学生突破难点，教师可精准教学，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：环形路线问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 环形路线问题是直线行程问题的升华，是小升初奥数行程模块的压轴核心，也是区分基础数学与高阶奥数思维的关键题型。它巧妙融合了相遇与追及两大基础模型，依托环形轨道的周期性、循环性特点，衍生出多变的拔高题型，全面考察你的逻辑分析、规律总结、公式活用能力。 大家要牢牢记住环形问题的核心规律：反向相遇看速度和，一圈一相遇；同向追及看速度差，一圈一超越；异地首次看间距，二次之后看整圈，跳出直线思维的局限，用动态、周期的眼光分析环形运动。 环形路线题型看似复杂，实则万变不离其宗，所有难题都是基础模型的叠加与延伸。希望同学们熟练掌握解题口诀与核心公式，规避高频易错点，在练习中学会区分题型、找准规律、举一反三。小升初的比拼，重在思维的严谨与灵活，愿你深耕基础、突破难点，吃透环形行程的核心逻辑，构建完整的行程知识体系，在各类考试的压轴题型中从容破题、稳定得分、脱颖而出！ 小升初备考，贵在坚持、重在积累。每一次认真审题，每一次规范解题，都是在为自己蓄力。愿你深耕基础、攻克难点、打磨思维，熟练运用比例知识解决各类难题，在数学学习中稳步提升、突破自我，从容迎战小升初，奔赴理想前程！ 一、问题定义 环形路线问题（环形跑道问题）是小升初奥数行程模块重难点、压轴高频题型，是直线行程问题的延伸与拔高，核心研究两个及以上物体在封闭环形轨道上的运动规律。区别于直线行程，环形路线运动具有循环性、周期性、重复性的特点，相遇、追及会不断发生，是小升初择校、分班考的核心拉分题型。 本专题主要分为两大核心运动模型：反向（背向）相遇运动和同向追及运动，所有复杂变式题型均由这两个基础模型衍生而来，也是后续多人环形、变速环形、周期行程问题的基础。 二、核心基础模型与万能公式 默认前提：两人同时、同地、出发，环形跑道周长固定为L，全程匀速运动。 1. 反向背向运动（相遇模型） 运动特点：两人背对背出发，相向而行，速度叠加，不断合走跑道周长。 单次相遇：两人路程和 = 1圈跑道周长 多次相遇：第n次相遇，两人总路程和 = n×跑道周长 核心公式： 单次相遇时间 = 跑道周长 ÷ 速度和 总路程和 = 速度和 × 运动总时间 2. 同向运动（追及模型） 运动特点：两人同方向出发，快者速度大于慢者，快者不断追赶、超越慢者。 单次追及：快者比慢者多走 = 1圈跑道周长 多次追及：第n次追上，快者比慢者多走 = n×跑道周长 核心公式： 单次追及时间 = 跑道周长 ÷ 速度差 总路程差 = 速度差 × 运动总时间 三、特殊场景解题规则 1. 不同地点出发 初始存在固定路程差，第一次相遇/追及按初始间距计算；从第二次开始，等同于同地出发规则，反向每次合走1圈，同向每次多走1圈。 2. 速度不变、周期规律 匀速环形运动中，相邻两次相遇/追及的时间间隔固定，具备周期性，可利用周期快速求解多次运动问题。 3. 路程与圈数换算 单人总路程 ÷ 跑道周长 = 运动总圈数，可快速判断两人位置、相遇点位。 四、四大必考题型分类 1. 基础反向相遇型（入门必考） 同地同时反向出发，求相遇时间、单人路程、速度，题型简单，考察基础公式运用。 2. 基础同向追及型（高频重点） 同地同时同向出发，求追及时间、速度差、超越圈数，是环形问题核心基础题型。 3. 多次相遇追及型（培优难点） 求第n次相遇/追及的时间、路程、位置，考察周期规律与倍数思维，小升初高频拔高题。 4. 不同起点综合型（压轴题型） 两人初始位置不同、同时出发，结合第一次特殊间距、第二次及以后周期规律，综合性强，难度最高。 五、通用解题步骤 1. 判运动：区分同向追及、反向相遇，确定使用速度差还是速度和； 2. 定起点：判断同地出发还是异地出发，确定初始路程差/路程和； 3. 看次数：单次直接套用基础公式，多次利用倍数规律计算总圈数、总路程； 4. 算结果：结合公式求解时间、速度、路程，必要时判断相遇位置； 5. 验周期：多次运动题型，用周期规律验证答案合理性。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆同向、反向公式，错用速度和与速度差； ② 多次题型忘记“n次n圈”，总路程和、路程差计算错误； ③ 异地出发题型，全程按同地规律计算，忽略第一次特殊间距； ④ 无法区分相遇、追及的周期性，多次运动思路混乱。 2. 解题口诀 环形运动分两样，反向相遇同向追； 反向一圈遇一次，速度之和算时长； 同向一圈追一次，速度之差补全程； 异地首次算间距，二次之后按圈量； 多次运动看倍数，周期规律是良方。 例题讲解 【典型例题1】基础反向相遇问题 题目：学校环形跑道周长400米，甲、乙两人同时同地反向出发，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑40米，两人第一次相遇需要多少分钟？ 【分析】 基础环形反向相遇题型，两人同时同地背向运动，第一次相遇路程和刚好等于跑道一圈周长。已知两人速度，先求速度和，再用跑道周长÷速度和，即可求出首次相遇时间。 【详解】 1. 计算速度和：（米/分钟） 2. 首次相遇路程和=跑道周长=400米 3. 相遇时间：（分钟） 【答案】 两人第一次相遇需要4分钟。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈300米，小强和小亮同时同地反向跑步，小强每秒跑5米，小亮每秒跑3米，两人第一次相遇需要多少秒？ 【分析】 基础反向相遇变式，背向运动首次相遇合走一圈，利用速度和与跑道周长求相遇时间。 【详解】 1. 速度和：（米/秒） 2. 相遇时间：（秒） 【答案】 两人第一次相遇需要37.5秒。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲乙两人同时同地反向而行，甲速度55米/分，乙速度45米/分，出发后多久第一次相遇？ 【分析】 经典基础反向相遇题，严格套用环形相遇核心公式，计算简便，巩固基础公式运用。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 相遇时间：（分钟） 【答案】 出发后4分钟第一次相遇。 【典型例题2】基础同向追及问题 题目：400米环形跑道，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，甲第一次追上乙需要多少分钟？ 【分析】 标准环形同向追及题型，同地同向运动，快者首次追上慢者，需要比慢者多跑整整一圈。先求速度差，再用跑道周长÷速度差，求出首次追及时间。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 首次追及路程差=跑道周长=400米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 甲第一次追上乙需要8分钟。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙两人同时同地同向跑步，甲速度6米/秒，乙速度4米/秒，甲第一次追上乙需要几秒？ 【分析】 同向追及基础变式，单位为秒，解题逻辑不变，多跑一圈完成追及，套用追及公式即可。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 追及时间：（秒） 【答案】 甲第一次追上乙需要150秒。 【跟踪训练2】 题目：环形跑道周长500米，快慢两人同时同地同向出发，快者速度120米/分，慢者速度100米/分，多久快者第一次追上慢者？ 【分析】 常规环形追及题型，巩固同向追及核心逻辑，速度差弥补一圈周长。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 追及时间：（分钟） 【答案】 快者第一次追上慢者需要25分钟。 【典型例题3】多次环形相遇问题（培优重点） 题目：400米环形跑道，甲乙两人同时同地反向出发，甲60米/分，乙40米/分，出发后20分钟，两人一共相遇多少次？ 【分析】 多次相遇培优题型，反向运动每相遇一次合走1圈，先求出单次相遇周期，再用总时间÷单次周期，得到相遇总次数，核心是掌握“一次一圈、周期固定”的规律。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 单次相遇时间：（分钟） 3. 相遇次数：（次） 【答案】 两人一共相遇5次。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙反向同时同地出发，速度和8米/秒，187.5秒内两人相遇多少次？ 【分析】 多次相遇变式，已知速度和，先求单次相遇时间，再计算总次数，贴合小升初考法。 【详解】 1. 单次相遇时间：（秒） 2. 相遇次数：（次） 【答案】 两人相遇5次。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲乙反向跑步，甲55米/分，乙45米/分，12分钟内两人相遇多少次？ 【分析】 综合多次相遇题型，分步计算周期与次数，强化多次环形运动规律。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 单次相遇时间：（分钟） 3. 相遇次数：（次） 【答案】 12分钟内两人相遇3次。 【典型例题4】多次环形追及问题（培优难点） 题目：400米环形跑道，甲乙同时同地同向出发，甲250米/分，乙200米/分，24分钟内甲可以追上乙多少次？ 【分析】 多次追及难点题型，同向运动每追上一次多跑1圈，单次追及时间固定，用总时间除以单次追及周期，即可得到总追及次数。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 单次追及时间：（分钟） 3. 追及次数：（次） 【答案】 24分钟内甲可以追上乙3次。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙同向同地出发，甲6米/秒，乙4米/秒，450秒内甲追上乙多少次？ 【分析】 多次追及变式，秒单位题型，遵循“追及一次多跑一圈”规律，计算周期求次数。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 单次追及时间：（秒） 3. 追及次数：（次） 【答案】 450秒内甲追上乙3次。 【跟踪训练2】 题目：500米环形跑道，快者120米/分，慢者100米/分，同向同地出发，50分钟内快者追上慢者多少次？ 【分析】 常规多次追及题型，巩固周期追及思维，熟练运用速度差与周长的关系。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 单次追及时间：（分钟） 3. 追及次数：（次） 【答案】 50分钟内快者追上慢者2次。 【典型例题5】环形异地出发综合压轴问题 题目：400米环形跑道，甲乙两人相距100米，同时同向出发，甲在前、乙在后，甲速度60米/分，乙速度80米/分，乙第一次追上甲需要多少分钟？ 【分析】 小升初环形压轴题型，异地同向追及，首次追及路程差为初始间距100米，而非整圈周长。从第二次追及才需要多跑一整圈，本题仅求首次追及，直接用初始间距计算即可。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 首次追及路程差=初始间距=100米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 乙第一次追上甲需要5分钟。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙相距60米，同时同向出发，甲在前慢行，速度5米/秒，乙在后快行，速度7米/秒，乙多久第一次追上甲？ 【分析】 异地追及变式，首次追及弥补初始间距，无需跑完整圈，用间距和速度差计算时间。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 路程差：60米 3. 追及时间：（秒） 【答案】 乙30秒第一次追上甲。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，两人反向相距200米同时出发，甲60米/分，乙40米/分，第一次相遇需要多久？ 【分析】 异地反向相遇题型，首次相遇路程和为初始间距，而非整圈周长，区分同地、异地题型差异。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 首次相遇路程和=200米 3. 相遇时间：（分钟） 【答案】 第一次相遇需要2分钟。 高频真题 1．在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 2．在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 3．小张和小王各以一定速度，在周长为米的环形跑道上跑步．小王的速度是米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 4．一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米。经过几分钟才能相遇? 5．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 6．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 7．甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 8．下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 9．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4 分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 10．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 11．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？ 12．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 13．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 14． 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从、两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 15．下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行．问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 16．如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重。甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 17．如图，在400米的环形跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 18．如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙? 19．如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 20．下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行．甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米．两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？ 21．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 22．如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长． 23．乌龟和兔子从同地点出发，背向而行，在环形跑道上赛跑，经过25分钟相遇。这条跑道长多少米？相遇时兔子比乌龟多跑了多少米？ 24．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？ 25．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？ 26．如图﹐在长为400公尺的环形跑道上﹐A﹑B两点之间的跑道长100公尺。甲从A点﹑乙从B点同时出发相背而跑。两人相遇后﹐乙即转身与甲同向而跑﹐当甲跑到A时乙恰好跑到B。继续跑若甲追上乙时﹐甲从出发开始算起共跑了多少公尺﹖ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：环形路线问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 环形路线问题是直线行程问题的升华，是小升初奥数行程模块的压轴核心，也是区分基础数学与高阶奥数思维的关键题型。它巧妙融合了相遇与追及两大基础模型，依托环形轨道的周期性、循环性特点，衍生出多变的拔高题型，全面考察你的逻辑分析、规律总结、公式活用能力。 大家要牢牢记住环形问题的核心规律：反向相遇看速度和，一圈一相遇；同向追及看速度差，一圈一超越；异地首次看间距，二次之后看整圈，跳出直线思维的局限，用动态、周期的眼光分析环形运动。 环形路线题型看似复杂，实则万变不离其宗，所有难题都是基础模型的叠加与延伸。希望同学们熟练掌握解题口诀与核心公式，规避高频易错点，在练习中学会区分题型、找准规律、举一反三。小升初的比拼，重在思维的严谨与灵活，愿你深耕基础、突破难点，吃透环形行程的核心逻辑，构建完整的行程知识体系，在各类考试的压轴题型中从容破题、稳定得分、脱颖而出！ 小升初备考，贵在坚持、重在积累。每一次认真审题，每一次规范解题，都是在为自己蓄力。愿你深耕基础、攻克难点、打磨思维，熟练运用比例知识解决各类难题，在数学学习中稳步提升、突破自我，从容迎战小升初，奔赴理想前程！ 一、问题定义 环形路线问题（环形跑道问题）是小升初奥数行程模块重难点、压轴高频题型，是直线行程问题的延伸与拔高，核心研究两个及以上物体在封闭环形轨道上的运动规律。区别于直线行程，环形路线运动具有循环性、周期性、重复性的特点，相遇、追及会不断发生，是小升初择校、分班考的核心拉分题型。 本专题主要分为两大核心运动模型：反向（背向）相遇运动和同向追及运动，所有复杂变式题型均由这两个基础模型衍生而来，也是后续多人环形、变速环形、周期行程问题的基础。 二、核心基础模型与万能公式 默认前提：两人同时、同地、出发，环形跑道周长固定为L，全程匀速运动。 1. 反向背向运动（相遇模型） 运动特点：两人背对背出发，相向而行，速度叠加，不断合走跑道周长。 单次相遇：两人路程和 = 1圈跑道周长 多次相遇：第n次相遇，两人总路程和 = n×跑道周长 核心公式： 单次相遇时间 = 跑道周长 ÷ 速度和 总路程和 = 速度和 × 运动总时间 2. 同向运动（追及模型） 运动特点：两人同方向出发，快者速度大于慢者，快者不断追赶、超越慢者。 单次追及：快者比慢者多走 = 1圈跑道周长 多次追及：第n次追上，快者比慢者多走 = n×跑道周长 核心公式： 单次追及时间 = 跑道周长 ÷ 速度差 总路程差 = 速度差 × 运动总时间 三、特殊场景解题规则 1. 不同地点出发 初始存在固定路程差，第一次相遇/追及按初始间距计算；从第二次开始，等同于同地出发规则，反向每次合走1圈，同向每次多走1圈。 2. 速度不变、周期规律 匀速环形运动中，相邻两次相遇/追及的时间间隔固定，具备周期性，可利用周期快速求解多次运动问题。 3. 路程与圈数换算 单人总路程 ÷ 跑道周长 = 运动总圈数，可快速判断两人位置、相遇点位。 四、四大必考题型分类 1. 基础反向相遇型（入门必考） 同地同时反向出发，求相遇时间、单人路程、速度，题型简单，考察基础公式运用。 2. 基础同向追及型（高频重点） 同地同时同向出发，求追及时间、速度差、超越圈数，是环形问题核心基础题型。 3. 多次相遇追及型（培优难点） 求第n次相遇/追及的时间、路程、位置，考察周期规律与倍数思维，小升初高频拔高题。 4. 不同起点综合型（压轴题型） 两人初始位置不同、同时出发，结合第一次特殊间距、第二次及以后周期规律，综合性强，难度最高。 五、通用解题步骤 1. 判运动：区分同向追及、反向相遇，确定使用速度差还是速度和； 2. 定起点：判断同地出发还是异地出发，确定初始路程差/路程和； 3. 看次数：单次直接套用基础公式，多次利用倍数规律计算总圈数、总路程； 4. 算结果：结合公式求解时间、速度、路程，必要时判断相遇位置； 5. 验周期：多次运动题型，用周期规律验证答案合理性。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆同向、反向公式，错用速度和与速度差； ② 多次题型忘记“n次n圈”，总路程和、路程差计算错误； ③ 异地出发题型，全程按同地规律计算，忽略第一次特殊间距； ④ 无法区分相遇、追及的周期性，多次运动思路混乱。 2. 解题口诀 环形运动分两样，反向相遇同向追； 反向一圈遇一次，速度之和算时长； 同向一圈追一次，速度之差补全程； 异地首次算间距，二次之后按圈量； 多次运动看倍数，周期规律是良方。 例题讲解 【典型例题1】基础反向相遇问题 题目：学校环形跑道周长400米，甲、乙两人同时同地反向出发，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑40米，两人第一次相遇需要多少分钟？ 【分析】 基础环形反向相遇题型，两人同时同地背向运动，第一次相遇路程和刚好等于跑道一圈周长。已知两人速度，先求速度和，再用跑道周长÷速度和，即可求出首次相遇时间。 【详解】 1. 计算速度和：（米/分钟） 2. 首次相遇路程和=跑道周长=400米 3. 相遇时间：（分钟） 【答案】 两人第一次相遇需要4分钟。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈300米，小强和小亮同时同地反向跑步，小强每秒跑5米，小亮每秒跑3米，两人第一次相遇需要多少秒？ 【分析】 基础反向相遇变式，背向运动首次相遇合走一圈，利用速度和与跑道周长求相遇时间。 【详解】 1. 速度和：（米/秒） 2. 相遇时间：（秒） 【答案】 两人第一次相遇需要37.5秒。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲乙两人同时同地反向而行，甲速度55米/分，乙速度45米/分，出发后多久第一次相遇？ 【分析】 经典基础反向相遇题，严格套用环形相遇核心公式，计算简便，巩固基础公式运用。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 相遇时间：（分钟） 【答案】 出发后4分钟第一次相遇。 【典型例题2】基础同向追及问题 题目：400米环形跑道，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，甲第一次追上乙需要多少分钟？ 【分析】 标准环形同向追及题型，同地同向运动，快者首次追上慢者，需要比慢者多跑整整一圈。先求速度差，再用跑道周长÷速度差，求出首次追及时间。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 首次追及路程差=跑道周长=400米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 甲第一次追上乙需要8分钟。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙两人同时同地同向跑步，甲速度6米/秒，乙速度4米/秒，甲第一次追上乙需要几秒？ 【分析】 同向追及基础变式，单位为秒，解题逻辑不变，多跑一圈完成追及，套用追及公式即可。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 追及时间：（秒） 【答案】 甲第一次追上乙需要150秒。 【跟踪训练2】 题目：环形跑道周长500米，快慢两人同时同地同向出发，快者速度120米/分，慢者速度100米/分，多久快者第一次追上慢者？ 【分析】 常规环形追及题型，巩固同向追及核心逻辑，速度差弥补一圈周长。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 追及时间：（分钟） 【答案】 快者第一次追上慢者需要25分钟。 【典型例题3】多次环形相遇问题（培优重点） 题目：400米环形跑道，甲乙两人同时同地反向出发，甲60米/分，乙40米/分，出发后20分钟，两人一共相遇多少次？ 【分析】 多次相遇培优题型，反向运动每相遇一次合走1圈，先求出单次相遇周期，再用总时间÷单次周期，得到相遇总次数，核心是掌握“一次一圈、周期固定”的规律。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 单次相遇时间：（分钟） 3. 相遇次数：（次） 【答案】 两人一共相遇5次。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙反向同时同地出发，速度和8米/秒，187.5秒内两人相遇多少次？ 【分析】 多次相遇变式，已知速度和，先求单次相遇时间，再计算总次数，贴合小升初考法。 【详解】 1. 单次相遇时间：（秒） 2. 相遇次数：（次） 【答案】 两人相遇5次。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲乙反向跑步，甲55米/分，乙45米/分，12分钟内两人相遇多少次？ 【分析】 综合多次相遇题型，分步计算周期与次数，强化多次环形运动规律。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 单次相遇时间：（分钟） 3. 相遇次数：（次） 【答案】 12分钟内两人相遇3次。 【典型例题4】多次环形追及问题（培优难点） 题目：400米环形跑道，甲乙同时同地同向出发，甲250米/分，乙200米/分，24分钟内甲可以追上乙多少次？ 【分析】 多次追及难点题型，同向运动每追上一次多跑1圈，单次追及时间固定，用总时间除以单次追及周期，即可得到总追及次数。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 单次追及时间：（分钟） 3. 追及次数：（次） 【答案】 24分钟内甲可以追上乙3次。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙同向同地出发，甲6米/秒，乙4米/秒，450秒内甲追上乙多少次？ 【分析】 多次追及变式，秒单位题型，遵循“追及一次多跑一圈”规律，计算周期求次数。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 单次追及时间：（秒） 3. 追及次数：（次） 【答案】 450秒内甲追上乙3次。 【跟踪训练2】 题目：500米环形跑道，快者120米/分，慢者100米/分，同向同地出发，50分钟内快者追上慢者多少次？ 【分析】 常规多次追及题型，巩固周期追及思维，熟练运用速度差与周长的关系。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 单次追及时间：（分钟） 3. 追及次数：（次） 【答案】 50分钟内快者追上慢者2次。 【典型例题5】环形异地出发综合压轴问题 题目：400米环形跑道，甲乙两人相距100米，同时同向出发，甲在前、乙在后，甲速度60米/分，乙速度80米/分，乙第一次追上甲需要多少分钟？ 【分析】 小升初环形压轴题型，异地同向追及，首次追及路程差为初始间距100米，而非整圈周长。从第二次追及才需要多跑一整圈，本题仅求首次追及，直接用初始间距计算即可。 【详解】 1. 速度差：（米/分钟） 2. 首次追及路程差=初始间距=100米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 乙第一次追上甲需要5分钟。 【跟踪训练1】 题目：300米环形跑道，甲乙相距60米，同时同向出发，甲在前慢行，速度5米/秒，乙在后快行，速度7米/秒，乙多久第一次追上甲？ 【分析】 异地追及变式，首次追及弥补初始间距，无需跑完整圈，用间距和速度差计算时间。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 路程差：60米 3. 追及时间：（秒） 【答案】 乙30秒第一次追上甲。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，两人反向相距200米同时出发，甲60米/分，乙40米/分，第一次相遇需要多久？ 【分析】 异地反向相遇题型，首次相遇路程和为初始间距，而非整圈周长，区分同地、异地题型差异。 【详解】 1. 速度和：（米/分钟） 2. 首次相遇路程和=200米 3. 相遇时间：（分钟） 【答案】 第一次相遇需要2分钟。 高频真题 1．在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【答案】甲6米/秒；乙4米/秒 【分析】根据1分＝60秒，3分20秒＝200秒，因为是在环形路上相遇，同向而行，则速度差是400÷200＝2（米/秒）；背向而行，则速度和是400÷40＝10（米/秒），根据和差问题公式可得，甲的速度是（10＋2）÷2＝6（米/秒）；乙的速度和是（10－2）÷2＝4（米/秒），据此解答即可。 【详解】3分20秒＝200秒 速度差是400÷200＝2（米/秒） 速度和是400÷40＝10（米/秒） 甲的速度是（10＋2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米/秒） 乙的速度和是（10－2）÷2 ＝8÷2 ＝4（米/秒） 答：甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。 【点睛】在环形跑道上的相遇问题，要注意方向：如果同向而行，则是追及问题，能求出速度差；如果背向而行，则是一般的相遇问题，能求出速度和。 2．在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【答案】4米/秒； 6米/秒 【详解】同向而跑，这实质是快追慢。起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大。接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈。背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和＝相遇时间。同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：（米/秒）；两人的速度分别为：(米/秒)，(米/秒)。 3．小张和小王各以一定速度，在周长为米的环形跑道上跑步．小王的速度是米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【答案】300 3 【详解】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是（米/分）． ⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：（分）．（圈）． 4．一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米。经过几分钟才能相遇? 【答案】4分钟 【分析】两人相遇时，两人走的路程和恰好等于跑道的周长。黄莺和麻雀每分钟共行125米，那么跑道的周长有几个125米，就需要几分钟。据此利用除法求解即可。 【详解】500÷（66＋59） ＝500÷125 ＝4（分钟） 答：经过4分钟才能相遇。 【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时两人的路程和恰好等于跑道的周长。 5．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【答案】480 【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米． 6．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【答案】480 【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米． 7．甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【答案】100 【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点． 8．下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 【答案】16分40秒 【详解】甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15÷300＝4．5（条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0．5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需 300×5÷90＝16（分钟），即16分40秒． 9．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4 分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 【答案】甲20分钟，乙30分钟 【分析】甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4 分甲到达B点，说明乙从点B到两人第一次相遇所行的这段路，甲用了4分钟，乙用了6分钟，那么甲、乙两人的时间比是4∶6＝2∶3； 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行4＋8＝12（分钟），因为甲、乙两人的时间比是2∶3，那么乙行12分钟，相当于甲行12÷3×2＝8（分钟），再加上12可以计算出甲环行一周需要的时间； 然后用乙环行一周的时间除以2，再乘3可以计算出乙环行一周需要的时间；据此解答。 【详解】甲、乙两人的时间比：4∶6＝2∶3 两人共走一周，各行：4＋8＝12（分钟） 乙行12分钟，相当于甲行：12÷3×2＝8（分钟） 甲：12＋8＝20（分钟） 乙：20÷2×3＝30（分钟） 答：甲环行一周需要20分钟，乙环行一周需要30分钟。 【点睛】此题属于在环形跑道上多次相遇问题，理清他们之间所用时间的关系是解题的关键。 10．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 【答案】3 【详解】右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90（米）．甲从A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）． 11．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？ 【答案】480 【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米． 12．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】米/秒 【分析】因为相遇前后甲乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用24秒，则相遇前两人合跑一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V＋2）跑了24秒的路程之和等于400米，据此解答。 【详解】解：设甲的原有速度为V米/秒 24V＋24（V＋2）＝400 24V＋24V＋48＝400 48V＝400－48 48V＝352 V＝352÷48 V＝ 答：甲原来的速度是米/秒。 【点睛】发现相遇前后甲乙速度和不变，是解答本题的关键。 13．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 【答案】60 【详解】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置． 开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米. 30÷（5-3）＝15（秒） 因此15秒后B与C到达同一位置．以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒） B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，…… 再看看A与B什么时候到达同一位置． 第一次是出发后，30÷（10-5）=6（秒） 以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要：90÷（10-5）＝18（秒） A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，… 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置． 答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置． 14． 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从、两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 【答案】300 【详解】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要分钟，乙爬虫爬完半圈需要分钟．由于甲第一次爬到1、2之间要分钟，第一次爬到2、3之间要分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处． 由于甲第一次爬到2、3之间要分钟，第二次爬到1、2之间要分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处． 当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了米(米)，所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了分钟． 所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了厘米． 15．下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行．问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 【答案】2 【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B， 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋)＝48m＋24．因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n＝48m＋24；即5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有n＝4，m＝2，所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远． 16．如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重。甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 【答案】660米 【详解】根据题意可知，甲、乙只可能在右侧的半跑道上相遇。已知小跑道上左侧的路程为100米，右侧的路程为200米，大跑道上的左、右两侧的路程均是200米。我们将甲、乙的行程状况分析清楚。当甲第一次到达点时，乙还没有到达点，所以第一次相遇一定在逆时针的某处。而当乙第一次到达点时，所需时间为秒，此时甲跑了米，在离点米处。乙跑出小跑道到达点需要秒，则甲又跑了米，在点左边米处。所以当甲再次到达处时，乙还未到处，那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇。从乙再次到达处开始计算，还需秒，甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了秒。所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米。 17．如图，在400米的环形跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【答案】140秒 【分析】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷（5－4）＝100（秒）；此时甲跑了100×5＝500（米），乙跑了100×4＝400（米）；而实际上甲跑500米，在前4个100米处都要停10秒，所以一共停了4个10秒，则跑500米所需的时间为100＋4×10＝140（秒），所以140秒时甲跑了500米，即是从A点跑了一圈多100米，正好在B点上；而乙跑400米，在前3个100米处都停10秒，一共停了3个10秒，则跑400米所需的时间为100＋3×10＝130（秒），所以130时乙跑了400米，即从B点跑了一圈，正好在B点上；所以，甲追上乙需要时间是140秒。据此解答。 【详解】100÷（5－4） ＝100×1 ＝100（秒） 100×5＝500（米） （500－100）÷100 ＝400÷100 ＝4（次） 100＋4×10 ＝100＋40 ＝140（秒） 答：甲追上乙需要时间是140秒。 【点睛】本题主要考查环形跑道追击问题，要利用追击路程÷速度差＝追击时间，求出正常情况不停下的追击时间，再求到实际追击的路程，找到停下的时间，最后与正常追击的时间相加即可。 18．如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙? 【答案】16 【详解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米． 甲、乙的位置如右图所示： 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=秒．所以经过16+=16秒后甲第一次看见乙. 19．如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 【答案】2690米 【分析】相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5︰6，所以所花时间的比为6∶5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来单位时间行程V甲，由题意得：从A点到相遇点路程为40×6＝240，所以 V乙＝（490－50－240）÷6＝（米）。然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题。 【详解】以速度变化前后的比为1∶（1＋20%） ＝5∶6 所以所花时间比为6∶5 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意的： 6V甲＋5×V甲×（1＋25%）＝490 6V甲＋5×V甲×1.25＝490 6V甲＋6.25V甲＝490 12.25V甲＝490 V甲＝490÷12.25 V甲＝40（米） 从A点到相遇点路程为：40×6＝240（米） 所以V乙为：（490－50－240）÷6 ＝（440－240）÷6 ＝200÷6 ＝（米） 两人速度变化后，甲的速度为：40×（1＋25%） ＝40×1.25 ＝50（米） 乙的速度为：×（1＋20%） ＝×1.2 ＝40（米） 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行了一圈，所以甲一共跑了： 490÷（50－40）×50＋240 ＝490÷10×50＋240 ＝49×50＋240 ＝2450＋240 ＝2690（米） 答：甲一共跑了2690米。 【点睛】本题属于环形跑道问题，有一定难度，应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度就解答本题的关键。 20．下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行．甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米．两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？ 【答案】1.5米 【详解】“逗号”的周长=外圆的周长， 乙蚂蚁要追上甲蚂蚁要比甲蚂蚁多行：40÷2+40=60（厘米） 两只蚂蚁第一次相遇需要：60÷（5-3）=30（秒） 所以乙蚂蚁爬了5×30=150（厘米）=1.5米 答：两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了1.5米． 21．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 【答案】3分钟 【详解】分析各个时间段，甲乙两人的行程． 图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C和从C又返回B时所花的时间相等，而整个过程中甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙在C点第一次相遇时，甲刚好走了半圈． 解:C点距B点:180－90＝90（米） 甲从A到C用了:180÷20＝9（分） 乙的速度是：90÷9＝10（米） 甲、乙第二次相遇还需要90÷（20＋10）＝3（分钟）． 答：甲车再过3分钟与乙相遇． 【点睛】此题的关键是找出题目中的相等关系，先由乙来回的路程一样得出时间一样，那么甲两段路程的时间也一样，所以路程也一样，然后也可以直接利用路程的比例关系得出甲乙的速度比为2：1，求出乙的速度为10． 22．如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长． 【答案】440米 【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了． 【详解】解：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍．AD=AC×3=100×3=300（米） 半个圆的周长：300－80=220（米） 整个圆的周长：220×2=440（米） 23．乌龟和兔子从同地点出发，背向而行，在环形跑道上赛跑，经过25分钟相遇。这条跑道长多少米？相遇时兔子比乌龟多跑了多少米？ 【答案】1250米；1000米 【分析】根据题意可知，乌龟和兔子相遇时正好行的路程是环形跑道的长，利用公式：路程＝速度×时间，分别计算出它们跑的路程，再相加即可；要求相遇时兔子比乌龟多跑了多少米用兔子跑的路程减去乌龟跑的路程，即可解答。 【详解】45×25＋5×25 ＝（45＋5）×25 ＝50×25 ＝1250（米） 45×25－5×25 ＝（45－5）×25 ＝40×25 ＝1000（米） 答：这条跑道长1250米，相遇时兔子比乌龟多跑了1000米。 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出兔子和乌龟的路程是多少。 24．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？ 【答案】8892米 【详解】第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追及：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）=114（分钟） 第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米） 【点睛】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间．把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰． 25．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？ 【答案】0.5小时 【详解】同向而行时，需要：15×1÷（25-15） =15×1÷10 =1.5（小时） 相向而行时，需要：（35-15×1）÷（15+25） =（35-15）÷40 =20÷40 =0.5（小时） 0.5＜1.5 答：教练送表给小明至少需要0.5小时． 【点睛】解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：一是同向而行；二是相向而行；分别算出所用时间对比即可得解． 26．如图﹐在长为400公尺的环形跑道上﹐A﹑B两点之间的跑道长100公尺。甲从A点﹑乙从B点同时出发相背而跑。两人相遇后﹐乙即转身与甲同向而跑﹐当甲跑到A时乙恰好跑到B。继续跑若甲追上乙时﹐甲从出发开始算起共跑了多少公尺﹖ 【答案】1000公尺 【分析】根据在相同的时间内，乙从B跑到C，甲可以从A跑到C（相向而行），乙如果按原路返回（从C跑到B），甲又可以同向从C经过B跑到A，可知甲前后跑的两段路程是相等的，则AC＝400÷2＝200米。又因A、B两点间的距离是100米，所以乙每次跑的路程是200－100＝100米，即甲的速度是乙的速度的2倍。现在乙在前300米，甲在后追及，甲跑300×2＝600米可以追上乙，原来乙跑了400米，所以甲从出发开始共跑的路程是400＋（400－100）×2＝1000米。 【详解】400＋[400﹣（400÷2﹣100）]×2 ＝400＋[400﹣（200﹣100）] ＝400＋[400﹣100]×2 ＝400＋600 ＝1000（公尺） 答：当甲追上乙时，甲共跑了1000公尺。 【点睛】此题属于环形跑道问题，有一定难度，所以应认真分析，根据题意求出AC的距离是完成本题的关键。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $