小升初奥数培优讲义：追及问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初追及问题复习讲义，聚焦行程模块核心题型，涵盖同时不同地、环形跑道等五大类型，通过知识梳理（核心公式、解题原理）、例题分类详解、跟踪训练及高频真题巩固，帮助学生掌握“路程差÷速度差=追及时间”等关键解题步骤。 亮点在于动态逻辑分析与分层训练设计，如环形跑道追及中“每追上一次多跑一圈”的模型构建，结合解题口诀培养抽象能力与推理意识。通过逆向求差、综合压轴题训练，帮助学生建立追及问题思维模型，提升动态观察与逻辑推导能力，教师可精准把握学生薄弱点，提高复习效率。

小升初奥数培优讲义：追及问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 追及问题是小升初行程模块的半壁江山，是区别基础数学与奥数思维的关键题型，也是后续多次行程、变速行程、流水行船问题的重要基础。它摆脱了简单的加减计算，聚焦于“速度差弥补路程差”的动态逻辑，考察你的动态观察能力、逻辑推导能力和公式灵活运用能力。 本节课我们系统攻克了同时不同地、同地不同时、环形跑道、逆向求差、综合压轴五大核心题型，吃透了追及问题的全部基础与拔高考法。大家要牢记追及问题的核心本质：同向看速度差，差距定路程，时间靠弥补，严格区分追及（速度差）与相遇（速度和）的核心差异，规避高频易错点，熟练掌握各类题型的解题步骤。无论是基础直线追及，还是复杂环形多次追及，万变不离其宗，找准路程差、算对速度差，就能轻松解题。 小升初的数学备考中，行程问题是拉开分数差距的核心模块。希望同学们深耕基础公式、活用解题思维，不死记硬背、不机械套公式，学会分析运动过程、梳理数量关系，在变式练习中举一反三、灵活变通。愿你稳步夯实行程基础，突破奥数难点，练就缜密的数学逻辑，在小升初考试中从容应对各类行程压轴题，稳步提分、斩获佳绩！ 一、问题定义 追及问题是小升初奥数行程问题两大核心题型之一（另一类为相遇问题），属于高频必考重难点，广泛应用于直线运动、环形跑道、行程综合压轴题中。该题型研究两个物体同向运动时，因速度不同产生路程差，最终快速度物体追上慢速度物体的数量关系问题。 核心场景：两个物体沿同一方向行驶，慢车/前人在前、快车/后人在后，快车速度大于慢车速度，不断缩小路程差距，最终完全追上、路程差归零。追及问题是后续流水行船、火车过桥、多次行程综合题的基础，重点考察速度差、路程差、追及时间三者的逻辑换算。 二、核心三量与万能公式 所有追及问题围绕路程差、速度差、追及时间三个核心量展开，三者可逆运算，是解题唯一核心依据，区别于相遇问题的速度和、路程和： 基础核心公式（必背） 1. 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差（最核心公式，求追上所需时间） 2. 路程差 = 速度差 × 追及时间（逆向求初始距离、差距路程） 3. 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间（已知差距与时间，求速度差值） 辅助推导公式 快速速度 = 慢速速度 + 速度差 慢速速度 = 快速速度 - 速度差 三、核心解题原理 同向运动中，每单位时间内，快车比慢车多走的路程就是速度差。初始两人/两车相差的距离为路程差，随着时间推移，速度差不断弥补路程差，直到路程差为0，即为追及完成。 本质逻辑：路程差是需要弥补的总距离，速度差是每秒钟/每分钟/每小时弥补的距离，总弥补时间即为追及时间。 四、四大高频必考题型分类 1. 同时不同地追及（基础必考） 两个物体同时出发、不同起点、同向行驶，初始存在固定路程差，直接套用核心公式求追及时间。 2. 同地不同时追及（高频重点） 两个物体同一起点、不同时间出发，慢物体先出发、快物体后出发，慢物体先行驶的路程即为初始路程差，再计算追及时间。 3. 环形跑道追及（奥数培优难点） 环形跑道同向运动，同点出发时，每多追上一次，快车比慢车多跑一圈路程；不同点出发，初始路程差为两点间距，多次追及需累加跑道周长。 4. 复杂变式追及（小升初压轴） 包含中途停留、速度变化、多次追及、多人追及等变式，需要先梳理有效运动时间、真实路程差与速度差，再分步求解。 五、通用解题步骤 1. 判方向：确认两物体为同向运动，区分追及（速度差）与相遇（速度和）； 2. 找差距：精准计算初始路程差（重点：先走路程、初始间距、环形跑道周长）； 3. 求差值：计算快慢物体的速度差； 4. 套公式：根据已知条件，正向/逆向套用三大核心公式； 5. 验结果：验证追及路程、行驶总路程是否符合题意。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆追及与相遇，误用速度和代替速度差； ② 同地不同时题型，漏算慢车先出发的路程，路程差计算错误； ③ 环形追及忘记“每追一次多跑一圈”，多次追及路程差出错； ④ 含停留题型，直接用总时间计算，未扣除静止时间。 2. 解题口诀 同向追及看差量，速度之差补路程； 同时不同算间距，同地不同算先行； 环形追及多一圈，多次追赶累加行； 先找差距再求时，万变不离核心宗。 例题讲解 【典型例题1】同时不同地基础追及问题 题目：甲、乙两人同时从学校出发，同向去往图书馆，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，出发时乙在甲前方100米处。经过多少分钟甲可以追上乙？ 【分析】 基础同时不同地追及题型，两人同时同向出发，初始固定路程差为100米，甲速度更快，依靠速度差不断缩小距离。直接求出速度差，套用追及时间核心公式即可求解。 【详解】 1. 计算速度差：（米/分钟） 2. 固定路程差：100米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 经过5分钟甲可以追上乙。 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两车同时同向行驶，甲车速度90千米/时，乙车速度75千米/时，乙车在甲车前方60千米。甲车几小时后追上乙车？ 【分析】 基础同向追及变式，同时出发、有固定初始路程差，先求速度差，再用路程差÷速度差求出追及时间。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 路程差：60千米 3. 追及时间：（小时） 【答案】 甲车4小时后追上乙车。 【跟踪训练2】 题目：两人同向跑步，小红每秒跑5米，小芳每秒跑3米，小芳在小红前方40米处，两人同时起跑，几秒后小红追上小芳？ 【分析】 简单基础追及题型，参数单位为秒，解题逻辑不变，通过速度差弥补固定路程差。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 追及时间：（秒） 【答案】 20秒后小红追上小芳。 【典型例题2】同地不同时追及问题（高频考点） 题目：甲、乙两人从同一地点出发去公园，乙先出发5分钟，每分钟走60米，甲后出发，每分钟走80米。甲出发多少分钟后可以追上乙？ 【分析】 小升初高频必考题型，同地不同时出发，无初始间距，乙先出发的路程即为两人的路程差。先计算先行路程，再求速度差，最后套用公式求追及时间。 【详解】 1. 计算乙先行路程（路程差）：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 甲追及时间：（分钟） 【答案】 甲出发15分钟后可以追上乙。 【跟踪训练1】 题目：一辆货车以60千米/时的速度从甲地出发，2小时后，一辆客车以90千米/时的速度从同一地点出发追赶货车，客车出发几小时后追上货车？ 【分析】 车辆追及经典题型，货车先行产生路程差，客车速度更快，利用速度差弥补先行距离，分步计算即可。 【详解】 1. 货车先行路程：（千米） 2. 速度差：（千米/时） 3. 追及时间：（小时） 【答案】 客车出发4小时后追上货车。 【跟踪训练2】 题目：小明步行速度4米/秒，先走10秒后，小华骑车以9米/秒的速度从同一地点追赶，小华多久能追上小明？ 【分析】 短时间、低速度变式题型，核心逻辑不变，先求先行路程差，再算追及时间。 【详解】 1. 小明先行路程：（米） 2. 速度差：（米/秒） 3. 追及时间：（秒） 【答案】 小华8秒后追上小明。 【典型例题3】环形跑道单次追及问题（奥数重点） 题目：一条环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【分析】 奥数核心环形追及题型，同地同向环形运动，第一次追上时，快者比慢者多跑整整一圈，路程差等于跑道周长，结合速度差套用公式求解。 【详解】 1. 第一次追及路程差=跑道周长=400米 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 经过8分钟甲第一次追上乙。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈300米，小强和小亮同时同地同向跑步，小强速度6米/秒，小亮速度4米/秒，多久后小强第一次追上小亮？ 【分析】 环形追及基础变式，同地同向出发，首次追及路程差为跑道全长，直接套用环形追及公式计算。 【详解】 1. 路程差：300米 2. 速度差：（米/秒） 3. 追及时间：（秒） 【答案】 150秒后小强第一次追上小亮。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲、乙同向同点出发，甲速度300米/分，乙速度280米/分，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 【分析】 多次环形追及题型，每追上一次多跑1圈，第二次追上需要多跑2圈，总路程差为2倍跑道周长，再计算追及时间。 【详解】 1. 第二次追及路程差：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 甲第二次追上乙需要40分钟。 【典型例题4】路程差逆向求解问题（培优难点） 题目：甲、乙两车同向行驶，甲车速度85千米/时，乙车速度70千米/时，甲车出发3小时后追上乙车，求最初两车的路程差是多少千米？ 【分析】 追及问题逆向考法，已知速度差和追及时间，利用核心逆推公式：路程差=速度差×追及时间，反向求出初始差距，是小升初填空高频题型。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 追及时间：3小时 3. 初始路程差：（千米） 【答案】 最初两车的路程差是45千米。 【跟踪训练1】 题目：两人同向骑行，A速度22千米/时，B速度18千米/时，A骑行2小时追上B，求一开始B领先A多少千米？ 【分析】 逆向求路程差变式，已知速度和追及时间，通过速度差乘时间，求出初始领先距离。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 初始路程差：（千米） 【答案】 一开始B领先A8千米。 【跟踪训练2】 题目：快慢两车同向行驶，快车速度100千米/时，慢车速度85千米/时，经过4小时快车追上慢车，求两车初始间距？ 【分析】 标准逆向追及题型，套用路程差逆推公式，快速计算初始间距。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 初始间距：（千米） 【答案】 两车初始间距为60千米。 【典型例题5】追及综合压轴问题（小升初拔高） 题目：甲、乙两人从同一地点出发去某地，乙先出发10分钟，速度为50米/分，甲以70米/分的速度追赶，甲出发多久后追上乙？追上时距离出发点多少米？ 【分析】 综合拔高题型，融合同地不同时追及与总路程计算。先求先行路程差、计算追及时间，再用甲的速度乘追及时间，求出追上时的总行驶路程，一问追及时间、二问总路程，贴合小升初应用题考法。 【详解】 1. 乙先行路程（路程差）：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 4. 追上时距出发点距离：（米） 【答案】 甲出发25分钟后追上乙，追上时距离出发点1750米。 【跟踪训练1】 题目：货车以50千米/时的速度先行3小时，轿车以80千米/时的速度追赶，轿车多久追上货车？追上时轿车行驶了多少千米？ 【分析】 车辆综合追及题型，分步求解追及时间与总路程，完整还原小升初应用题答题逻辑。 【详解】 1. 货车先行路程：（千米） 2. 速度差：（千米/时） 3. 追及时间：（小时） 4. 轿车行驶路程：（千米） 【答案】 轿车5小时追上货车，追上时轿车行驶了400千米。 【跟踪训练2】 题目：环形跑道400米，甲、乙同向同点出发，甲速度280米/分，乙速度240米/分，甲第一次追上乙需要多久？此时甲一共跑了多少米？ 【分析】 环形追及综合题，结合单次环形追及与总路程计算，先求追及时间，再算总跑动路程。 【详解】 1. 路程差：400米 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 4. 甲总路程：（米） 【答案】 甲10分钟第一次追上乙，此时甲一共跑了2800米。 高频真题 1．上海路小学有一个300米的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米，宁宁每秒跑4米。问：扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？ 2．小明和爸爸绕一个周长为400米的跑道晨练，爸爸每分钟跑200米，小明每分钟跑160米。两人同时同地同向出发，至少要经过几分钟两人才能相遇？相遇时各跑了几圈？ 3．猎狗追赶前方15米的野兔，猎狗步子大，它跑5步的路程兔子要跑8步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步，猎狗至少跑多远才能追上野兔？ 4．甲、乙练习跑步，若乙先抢跑10米，则甲5秒可追上乙，若乙比甲先跑10秒，则甲跑15秒可追上乙，求：甲每秒跑多少米？乙每秒跑多少米？ 5．A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从两地相对开出3小时后在途中相遇，如果两车分别从A、B两地向同一方向开出，那么经过15小时后，甲车就可以追上乙车，求甲、乙两车每小时各行多少千米？ 6．甲、乙两人分别从学校出发去少年宫，甲步行先出发，每小时走4千米，1小时后乙骑车出发，每小时行12千米，结果两人同时到达少年宫。问：少年宫距离学校多少千米？ 7．钟面上，在一天内，时针与分针形成125度角的时刻有多少次？最后一次形成125度角的时刻是这一天的几点几分？（几分用分数表示） 8．在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时在同一起点都按顺时针方向跑步，每隔12分钟相遇一次。若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则每隔4分钟相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 9．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问： （1）出发多长时间，甲第一次追上乙？ （2）出发多长时间，甲第二次追上乙？ 10．静水中甲乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？ 11．静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 12．甲、乙两船分别从A港顺水而上，静水中甲船每小时行18千米，乙船每小时行15千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？ 13．静水中甲、乙两船的速度分别是每小时24千米和每小时20千米，两船先后从某港口逆水开出，乙船比甲船早出发2小时，若水速是每小时2千米，问甲船开出后几小时可以追上乙船？ 14．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 15．甲火车长190米，每秒钟行19米，乙火车长220米，每秒钟行24米，两车同向行驶。问：乙车从追上甲车到完全超过共需多少秒钟？ 16．暑假里飞飞与爸爸到海上公园划船，他们沿海向上游划行，一阵风吹来，飞飞的太阳帽被刮到身后，当他们发现并调过船头时，帽子与船已经相距600米，假定小船在静水中的速度是每分钟100米，水流速度是每分钟30米，那么，父子俩追回太阳帽要多长时间？ 17．爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？ 18．甲、乙两人都从A地往B地到达C地，甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，两人刚好同时到达C地，问：到达C地是什么时间？ 19．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？ 20．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 21．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 22．早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？ 23．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 24．第二届“走进美妙数学花园”在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以千米/小时的速度行驶。后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）。在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车，在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 25．一架飞机从甲地开往乙地，原计划每分钟飞行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达，甲、乙两地相距多少千米？ 26．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，那么甲出发后需多少分钟才能追上乙。 27．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 28．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？ 29．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？ 30．在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行驶的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：追及问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 追及问题是小升初行程模块的半壁江山，是区别基础数学与奥数思维的关键题型，也是后续多次行程、变速行程、流水行船问题的重要基础。它摆脱了简单的加减计算，聚焦于“速度差弥补路程差”的动态逻辑，考察你的动态观察能力、逻辑推导能力和公式灵活运用能力。 本节课我们系统攻克了同时不同地、同地不同时、环形跑道、逆向求差、综合压轴五大核心题型，吃透了追及问题的全部基础与拔高考法。大家要牢记追及问题的核心本质：同向看速度差，差距定路程，时间靠弥补，严格区分追及（速度差）与相遇（速度和）的核心差异，规避高频易错点，熟练掌握各类题型的解题步骤。无论是基础直线追及，还是复杂环形多次追及，万变不离其宗，找准路程差、算对速度差，就能轻松解题。 小升初的数学备考中，行程问题是拉开分数差距的核心模块。希望同学们深耕基础公式、活用解题思维，不死记硬背、不机械套公式，学会分析运动过程、梳理数量关系，在变式练习中举一反三、灵活变通。愿你稳步夯实行程基础，突破奥数难点，练就缜密的数学逻辑，在小升初考试中从容应对各类行程压轴题，稳步提分、斩获佳绩！ 一、问题定义 追及问题是小升初奥数行程问题两大核心题型之一（另一类为相遇问题），属于高频必考重难点，广泛应用于直线运动、环形跑道、行程综合压轴题中。该题型研究两个物体同向运动时，因速度不同产生路程差，最终快速度物体追上慢速度物体的数量关系问题。 核心场景：两个物体沿同一方向行驶，慢车/前人在前、快车/后人在后，快车速度大于慢车速度，不断缩小路程差距，最终完全追上、路程差归零。追及问题是后续流水行船、火车过桥、多次行程综合题的基础，重点考察速度差、路程差、追及时间三者的逻辑换算。 二、核心三量与万能公式 所有追及问题围绕路程差、速度差、追及时间三个核心量展开，三者可逆运算，是解题唯一核心依据，区别于相遇问题的速度和、路程和： 基础核心公式（必背） 1. 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差（最核心公式，求追上所需时间） 2. 路程差 = 速度差 × 追及时间（逆向求初始距离、差距路程） 3. 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间（已知差距与时间，求速度差值） 辅助推导公式 快速速度 = 慢速速度 + 速度差 慢速速度 = 快速速度 - 速度差 三、核心解题原理 同向运动中，每单位时间内，快车比慢车多走的路程就是速度差。初始两人/两车相差的距离为路程差，随着时间推移，速度差不断弥补路程差，直到路程差为0，即为追及完成。 本质逻辑：路程差是需要弥补的总距离，速度差是每秒钟/每分钟/每小时弥补的距离，总弥补时间即为追及时间。 四、四大高频必考题型分类 1. 同时不同地追及（基础必考） 两个物体同时出发、不同起点、同向行驶，初始存在固定路程差，直接套用核心公式求追及时间。 2. 同地不同时追及（高频重点） 两个物体同一起点、不同时间出发，慢物体先出发、快物体后出发，慢物体先行驶的路程即为初始路程差，再计算追及时间。 3. 环形跑道追及（奥数培优难点） 环形跑道同向运动，同点出发时，每多追上一次，快车比慢车多跑一圈路程；不同点出发，初始路程差为两点间距，多次追及需累加跑道周长。 4. 复杂变式追及（小升初压轴） 包含中途停留、速度变化、多次追及、多人追及等变式，需要先梳理有效运动时间、真实路程差与速度差，再分步求解。 五、通用解题步骤 1. 判方向：确认两物体为同向运动，区分追及（速度差）与相遇（速度和）； 2. 找差距：精准计算初始路程差（重点：先走路程、初始间距、环形跑道周长）； 3. 求差值：计算快慢物体的速度差； 4. 套公式：根据已知条件，正向/逆向套用三大核心公式； 5. 验结果：验证追及路程、行驶总路程是否符合题意。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆追及与相遇，误用速度和代替速度差； ② 同地不同时题型，漏算慢车先出发的路程，路程差计算错误； ③ 环形追及忘记“每追一次多跑一圈”，多次追及路程差出错； ④ 含停留题型，直接用总时间计算，未扣除静止时间。 2. 解题口诀 同向追及看差量，速度之差补路程； 同时不同算间距，同地不同算先行； 环形追及多一圈，多次追赶累加行； 先找差距再求时，万变不离核心宗。 例题讲解 【典型例题1】同时不同地基础追及问题 题目：甲、乙两人同时从学校出发，同向去往图书馆，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，出发时乙在甲前方100米处。经过多少分钟甲可以追上乙？ 【分析】 基础同时不同地追及题型，两人同时同向出发，初始固定路程差为100米，甲速度更快，依靠速度差不断缩小距离。直接求出速度差，套用追及时间核心公式即可求解。 【详解】 1. 计算速度差：（米/分钟） 2. 固定路程差：100米 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 经过5分钟甲可以追上乙。 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两车同时同向行驶，甲车速度90千米/时，乙车速度75千米/时，乙车在甲车前方60千米。甲车几小时后追上乙车？ 【分析】 基础同向追及变式，同时出发、有固定初始路程差，先求速度差，再用路程差÷速度差求出追及时间。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 路程差：60千米 3. 追及时间：（小时） 【答案】 甲车4小时后追上乙车。 【跟踪训练2】 题目：两人同向跑步，小红每秒跑5米，小芳每秒跑3米，小芳在小红前方40米处，两人同时起跑，几秒后小红追上小芳？ 【分析】 简单基础追及题型，参数单位为秒，解题逻辑不变，通过速度差弥补固定路程差。 【详解】 1. 速度差：（米/秒） 2. 追及时间：（秒） 【答案】 20秒后小红追上小芳。 【典型例题2】同地不同时追及问题（高频考点） 题目：甲、乙两人从同一地点出发去公园，乙先出发5分钟，每分钟走60米，甲后出发，每分钟走80米。甲出发多少分钟后可以追上乙？ 【分析】 小升初高频必考题型，同地不同时出发，无初始间距，乙先出发的路程即为两人的路程差。先计算先行路程，再求速度差，最后套用公式求追及时间。 【详解】 1. 计算乙先行路程（路程差）：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 甲追及时间：（分钟） 【答案】 甲出发15分钟后可以追上乙。 【跟踪训练1】 题目：一辆货车以60千米/时的速度从甲地出发，2小时后，一辆客车以90千米/时的速度从同一地点出发追赶货车，客车出发几小时后追上货车？ 【分析】 车辆追及经典题型，货车先行产生路程差，客车速度更快，利用速度差弥补先行距离，分步计算即可。 【详解】 1. 货车先行路程：（千米） 2. 速度差：（千米/时） 3. 追及时间：（小时） 【答案】 客车出发4小时后追上货车。 【跟踪训练2】 题目：小明步行速度4米/秒，先走10秒后，小华骑车以9米/秒的速度从同一地点追赶，小华多久能追上小明？ 【分析】 短时间、低速度变式题型，核心逻辑不变，先求先行路程差，再算追及时间。 【详解】 1. 小明先行路程：（米） 2. 速度差：（米/秒） 3. 追及时间：（秒） 【答案】 小华8秒后追上小明。 【典型例题3】环形跑道单次追及问题（奥数重点） 题目：一条环形跑道长400米，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【分析】 奥数核心环形追及题型，同地同向环形运动，第一次追上时，快者比慢者多跑整整一圈，路程差等于跑道周长，结合速度差套用公式求解。 【详解】 1. 第一次追及路程差=跑道周长=400米 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 经过8分钟甲第一次追上乙。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道一圈300米，小强和小亮同时同地同向跑步，小强速度6米/秒，小亮速度4米/秒，多久后小强第一次追上小亮？ 【分析】 环形追及基础变式，同地同向出发，首次追及路程差为跑道全长，直接套用环形追及公式计算。 【详解】 1. 路程差：300米 2. 速度差：（米/秒） 3. 追及时间：（秒） 【答案】 150秒后小强第一次追上小亮。 【跟踪训练2】 题目：400米环形跑道，甲、乙同向同点出发，甲速度300米/分，乙速度280米/分，甲第二次追上乙需要多少分钟？ 【分析】 多次环形追及题型，每追上一次多跑1圈，第二次追上需要多跑2圈，总路程差为2倍跑道周长，再计算追及时间。 【详解】 1. 第二次追及路程差：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 【答案】 甲第二次追上乙需要40分钟。 【典型例题4】路程差逆向求解问题（培优难点） 题目：甲、乙两车同向行驶，甲车速度85千米/时，乙车速度70千米/时，甲车出发3小时后追上乙车，求最初两车的路程差是多少千米？ 【分析】 追及问题逆向考法，已知速度差和追及时间，利用核心逆推公式：路程差=速度差×追及时间，反向求出初始差距，是小升初填空高频题型。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 追及时间：3小时 3. 初始路程差：（千米） 【答案】 最初两车的路程差是45千米。 【跟踪训练1】 题目：两人同向骑行，A速度22千米/时，B速度18千米/时，A骑行2小时追上B，求一开始B领先A多少千米？ 【分析】 逆向求路程差变式，已知速度和追及时间，通过速度差乘时间，求出初始领先距离。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 初始路程差：（千米） 【答案】 一开始B领先A8千米。 【跟踪训练2】 题目：快慢两车同向行驶，快车速度100千米/时，慢车速度85千米/时，经过4小时快车追上慢车，求两车初始间距？ 【分析】 标准逆向追及题型，套用路程差逆推公式，快速计算初始间距。 【详解】 1. 速度差：（千米/时） 2. 初始间距：（千米） 【答案】 两车初始间距为60千米。 【典型例题5】追及综合压轴问题（小升初拔高） 题目：甲、乙两人从同一地点出发去某地，乙先出发10分钟，速度为50米/分，甲以70米/分的速度追赶，甲出发多久后追上乙？追上时距离出发点多少米？ 【分析】 综合拔高题型，融合同地不同时追及与总路程计算。先求先行路程差、计算追及时间，再用甲的速度乘追及时间，求出追上时的总行驶路程，一问追及时间、二问总路程，贴合小升初应用题考法。 【详解】 1. 乙先行路程（路程差）：（米） 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 4. 追上时距出发点距离：（米） 【答案】 甲出发25分钟后追上乙，追上时距离出发点1750米。 【跟踪训练1】 题目：货车以50千米/时的速度先行3小时，轿车以80千米/时的速度追赶，轿车多久追上货车？追上时轿车行驶了多少千米？ 【分析】 车辆综合追及题型，分步求解追及时间与总路程，完整还原小升初应用题答题逻辑。 【详解】 1. 货车先行路程：（千米） 2. 速度差：（千米/时） 3. 追及时间：（小时） 4. 轿车行驶路程：（千米） 【答案】 轿车5小时追上货车，追上时轿车行驶了400千米。 【跟踪训练2】 题目：环形跑道400米，甲、乙同向同点出发，甲速度280米/分，乙速度240米/分，甲第一次追上乙需要多久？此时甲一共跑了多少米？ 【分析】 环形追及综合题，结合单次环形追及与总路程计算，先求追及时间，再算总跑动路程。 【详解】 1. 路程差：400米 2. 速度差：（米/分钟） 3. 追及时间：（分钟） 4. 甲总路程：（米） 【答案】 甲10分钟第一次追上乙，此时甲一共跑了2800米。 高频真题 1．上海路小学有一个300米的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米，宁宁每秒跑4米。问：扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？ 【答案】扬扬第一次追上宁宁时扬扬跑了900米，宁宁跑了600米。 【分析】两人同时同地出发，在环形跑道上同向而行，当快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑的路程正好等于跑道的一圈长度。 根据数量关系“追及时间＝路程差÷速度差”，先求出追及时间，再根据“路程＝速度×时间”分别计算两人跑的路程。 【详解】300÷（6－4）＝300÷2＝150（秒） 扬扬跑的路程：6×150＝900（米） 宁宁跑的路程：4×150＝600（米） 答：扬扬第一次追上宁宁时，扬扬跑了900米，宁宁跑了600米。 2．小明和爸爸绕一个周长为400米的跑道晨练，爸爸每分钟跑200米，小明每分钟跑160米。两人同时同地同向出发，至少要经过几分钟两人才能相遇？相遇时各跑了几圈？ 【答案】至少要经过10分钟两人才能相遇，相遇时爸爸跑了5圈，小明跑了4圈。 【分析】两人同时同地同向出发，当速度快的人比速度慢的人多跑一圈时，两人第一次相遇。解题关键在于确定路程差为跑道周长400米。 首先利用“路程差÷速度差＝追及时间”求出相遇时间，再根据“速度×时间＝路程”求出各自跑的总路程，最后除以跑道周长得到各自跑的圈数。 【详解】求出相遇时间： 200－160＝40（米/分） 400÷40＝10（分钟） 相遇时爸爸跑的圈数： 200×10÷400 ＝2000÷400 ＝5（圈） 相遇时小明跑的圈数： 160×10÷400 ＝1600÷400 ＝4（圈） 答：至少要经过10分钟两人才能相遇，相遇时爸爸跑了5圈，小明跑了4圈。 3．猎狗追赶前方15米的野兔，猎狗步子大，它跑5步的路程兔子要跑8步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步，猎狗至少跑多远才能追上野兔？ 【答案】90米 【分析】解题关键是将步长和步数转化为速度比。 “猎狗跑5步的路程兔子要跑8步”，根据路程＝步长×步数，则5×猎狗的步长＝8×兔子的步长，猎狗与野兔的步长之比为8：5， “猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步”，在相同时间内，猎狗与野兔的步数之比为3：4. 根据速度＝步长×步数，求出速度之比为6∶5.在追及过程中，猎狗比野兔多跑的路程即为初始距离15米，对应速度差中的1份。 最后利用路程差除以速度差对应的份数，求出一份的量，进而求出猎狗跑的路程。 【详解】猎狗与野兔的步长之比为8：5； 猎狗与野兔的步数之比为3：4； 根据速度＝步长×步数，猎狗与野兔的速度之比为： （米） 答：猎狗至少跑90米才能追上野兔。 4．甲、乙练习跑步，若乙先抢跑10米，则甲5秒可追上乙，若乙比甲先跑10秒，则甲跑15秒可追上乙，求：甲每秒跑多少米？乙每秒跑多少米？ 【答案】5米；3米 【分析】路程差速度差追及时间。 根据“乙先跑10米，甲5秒追上”，这10米的路程甲5秒追上，用路程除以时间，直接求出甲乙两人的速度差。 根据“乙比甲先跑10秒，甲跑15秒追上”，此时的路程差等于乙先跑10秒的路程。同时，这个路程差也等于速度差乘甲追及的时间（15秒）。 利用求出的速度差和追及时间算出路程差，再除以乙先跑的时间，即可求出乙的速度，进而求出甲的速度。 【详解】甲乙的速度差：（米/秒） 第二种情况下的路程差：（米） 乙的速度：（米/秒） 甲的速度：（米/秒） 答：甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。 5．A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从两地相对开出3小时后在途中相遇，如果两车分别从A、B两地向同一方向开出，那么经过15小时后，甲车就可以追上乙车，求甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车：72千米/时，乙车：48千米/时。 【分析】已知A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从两地相对开出3小时后在途中相遇，根据相遇问题“速度和＝路程和÷相遇时间”，可以求出甲、乙两车的速度之和；如果两车分别从A、B两地向同一方向开出，那么经过15小时后，甲车就可以追上乙车，根据追及问题“速度差＝路程差÷追及时间”，可以求出甲、乙两车的速度之差。已知两车的速度和与速度差，且甲车能追上乙车说明甲车速度较快，利用和差问题的解题方法：大数＝（和＋差）÷2；小数＝（和－差）÷2可分别计算出甲和乙的速度。 【详解】两车的速度和：（千米/时） 两车的速度差：（千米/时） 甲车的速度： （千米/时） 乙车的速度： （千米/时） 答：甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米。 6．甲、乙两人分别从学校出发去少年宫，甲步行先出发，每小时走4千米，1小时后乙骑车出发，每小时行12千米，结果两人同时到达少年宫。问：少年宫距离学校多少千米？ 【答案】6千米 【分析】甲先出发1小时，此时甲乙之间的距离差即为甲1小时行走的路程。乙出发后两人同时到达，说明乙在终点处追上甲。利用“路程差÷速度差＝追及时间”可求出乙行驶的时间，根据“速度×时间＝路程”求出总距离。 【详解】1×4÷（12－4）×12 ＝4÷8×12 ＝6（千米） 答：少年宫距离学校6千米。 7．钟面上，在一天内，时针与分针形成125度角的时刻有多少次？最后一次形成125度角的时刻是这一天的几点几分？（几分用分数表示） 【答案】 44次；   【分析】（1）确定时针与分针的速度:分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，速度差为每分钟5.5度。 （2）分析形成角度的次数:在12小时内，分针比时针多走11圈，每多走一圈（即两次重合之间），时针与分针会形成两次125度角（一次是分针在前，一次是分针在后，合起来对应相对位置转过360度过程中的两个时刻）。因此12小时内有22次，24小时内有44次。 （3）确定最后一次时刻:一天内最后一次形成125度角，应发生在（即 ）重合时刻之前。此时分针尚未追上时针完成最后一次重合，此时分针落后时针125度。可以通过计算分针相对于时针多走的总度数来求解时间。 【详解】（1）计算时针与分针的速度差 分针每分钟走:（度） 时针每分钟走:（度） 速度差:（度/分） （2）计算一天内形成125度角的次数 在12小时内，分针比时针多走的度数为:（度） 多走的圈数为:（圈） 每多走一圈，时针与分针形成两次125度角。 12小时内形成的次数:（次） 一天（24小时）内形成的次数:（次） （3）计算最后一次形成125度角的时刻 一天内时针与分针最后一次重合是在。 最后一次形成125度角是在最后一次重合之前，此时分针比时针多走的度数比24小时的总相对度数少125度。 24小时内分针比时针多走的总度数:（度） 最后一次形成125度角时，分针比时针多走的度数:（度） 经过的时间: （分） 将分钟转换为小时和分钟： 即。 所以时刻为。 答：时针与分针形成125度角的时刻有44次，最后一次形成125度角的时刻是。 8．在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时在同一起点都按顺时针方向跑步，每隔12分钟相遇一次。若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则每隔4分钟相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 【答案】6分；12分 【分析】根据题意，兄妹俩按顺时针方向跑步，涉及的是追及问题，哥哥速度快，要比妹妹多跑一圈才能与妹妹相遇，所以他们的路程差就是环形跑道的长，两人的速度差＝路程差÷追及时间； 当哥哥改为逆时针跑时，兄妹两人是相向而行，就变成了相遇问题，那么两人的速度和＝路程÷相遇时间； 已知两兄妹的速度和和两兄妹的速度的差，可以分别求出哥哥的速度和妹妹的速度： 哥哥的速度＝（两兄妹的速度和＋两兄妹的速度的差）÷2； 妹妹的速度＝（两兄妹的速度和－两兄妹的速度的差）÷2； 已知兄妹的速度后，就可以根据路程÷速度求出两人跑一圈各要几分钟。 【详解】兄妹两人速度差：600÷12＝50（米/分） 兄妹两人速度和：600÷4＝150（米/分） 哥哥的速度：（150＋50）÷2＝200÷2＝100（米/分） 妹妹的速度：（150－50）÷2＝100÷2＝50（米/分） 哥哥所需的时间：600÷100＝6（分） 妹妹所需的时间：600÷50＝12（分） 答：哥哥跑一圈要6分钟，妹妹跑一圈要12分钟。 9．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问： （1）出发多长时间，甲第一次追上乙？ （2）出发多长时间，甲第二次追上乙？ 【答案】（1）36小时；（2）72小时 【分析】两人从同一地点出发的追及线段图如下： 由图可知，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程；以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程。据此解答本题即可。 【详解】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是： 2×90÷（30－25） ＝2×90÷5 ＝36（小时） 答：出发36小时，甲第一次追上乙。 （2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是： 4×90÷（30－25） ＝4×90÷5 ＝72（小时） 答：出发72小时，甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题，要读懂题意，画出线段图，帮助理解。一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长。 10．静水中甲乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？ 【答案】11小时 【分析】先求出乙船顺水开出2小时行驶的路程，再根据追及问题求出甲船追上乙船的时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝11（小时） 答：甲开出11小时可追上乙。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 11．静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 【答案】11小时 【分析】乙船先开出的2小时行驶了（18＋4）×2＝44（千米），即甲船开出时，两船相距44千米，因两船均是顺水行驶，所用甲船每小时比乙船多行驶22－18＝4（千米/小时），用两船距离除以速度差，就是甲船追上乙船所用时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝44÷4 ＝11（小时） 答：甲船11小时可以追上乙船。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 12．甲、乙两船分别从A港顺水而上，静水中甲船每小时行18千米，乙船每小时行15千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？ 【答案】252千米 【分析】此题为追及问题，追及时间＝路程÷速度差，要求追及时间，需要知道甲船开始出发时与乙船的距离和两船的速度差，两船距离是乙船顺水行驶2小时的路程，即（15＋3）×2＝36（千米），因为都是顺水行驶，速度差为18－15＝3（千米/小时），据此求出追及时间，再将甲船的顺水速度乘追及时间求出甲船行驶的路程，就是乙船离开A港的距离。 【详解】甲船追上乙船所用时间： （15＋3）×2÷（18－15） ＝18×2÷3 ＝36÷3 ＝12（小时） 乙船离开A港的距离： （18＋3）×12 ＝21×12 ＝252（千米） 答：甲船追上乙船时，乙离开A港252千米。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，易错点是求乙船离开A港的距离不能直接用追及时间乘乙船的顺水速度求出，还需再加上乙船早出发2小时行驶的路程，或者用甲的顺水速度乘追及时间。关于流水行船问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 相遇时间＝路程÷速度和 13．静水中甲、乙两船的速度分别是每小时24千米和每小时20千米，两船先后从某港口逆水开出，乙船比甲船早出发2小时，若水速是每小时2千米，问甲船开出后几小时可以追上乙船？ 【答案】9小时 【分析】先求出乙船比甲船早出发的2小时内行驶的路程，由于是逆水行驶，实际船速＝静水船速－水速，路程＝实际船速×时间；再求甲船开出追乙船的过程中的速度差，由于都是逆行，所以每小时甲船比乙船多行驶24－20＝4（千米/小时）；最后根据追及时间＝路程÷速度差即可得解。 【详解】（20－2）×2÷（24－20） ＝18×2÷4 ＝9（小时） 答：甲船开出后9小时可以追上乙船。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是理解并掌握公式：逆水船速＝静水船速－水速，追及时间＝路程差÷速度差。 14．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 【答案】6小时；42小时 【分析】由甲、乙两船同时出发，知它们相遇时共同走完了336千米，且两船行驶时间相同，根据相遇时间＝路程÷速度和，可求出甲、乙两船的相遇时间；如果同向而行，则乙船追上甲船时多比甲船行驶了336千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，可求出乙船追上甲船的时间。 【详解】336÷（24＋32） ＝336÷56 ＝6（小时） 336÷（32－24） ＝336÷8 ＝42（小时） 答：甲、乙两船相向而行，6小时相遇；如果同向而行，42小时后乙船追上甲船。 【点睛】本题考查简单的相遇与追及问题，理解并掌握相遇问题和追及问题中速度和（差）、时间和路程（差）之间的关系是解题关键。 15．甲火车长190米，每秒钟行19米，乙火车长220米，每秒钟行24米，两车同向行驶。问：乙车从追上甲车到完全超过共需多少秒钟？ 【答案】82 秒 【分析】乙车在后面追上甲车到完全超过甲车时追及长度为甲车车长加上乙车车身的长度，即 190＋220＝410米，也就是乙车追甲车的路程差，又知两车的速度差是24—19＝5（米/ 秒），根据追及问题的基本公式追及时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【详解】（190＋220）÷（24—19） ＝410÷5 ＝82（秒） 答：乙车追上甲车到完全超过共需82秒。 【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要能够理解追及时间＝路程差÷速度差。 16．暑假里飞飞与爸爸到海上公园划船，他们沿海向上游划行，一阵风吹来，飞飞的太阳帽被刮到身后，当他们发现并调过船头时，帽子与船已经相距600米，假定小船在静水中的速度是每分钟100米，水流速度是每分钟30米，那么，父子俩追回太阳帽要多长时间？ 【答案】6分钟 【分析】根据“他们沿海向上游划行”知飞飞和爸爸在逆水划行，因此掉过头追帽子的过程是顺水划行，船的顺水速度＝船速＋水速，而帽子也在随水速移动，故此时追及速度＝船的顺水速度－水速，再根据时间＝路程÷速度，即可求解。 【详解】600÷（100＋30－30） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：父子俩追回太阳帽要6分钟。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，解题关键是明确是逆水行船还是顺水行船，逆水船速＝船速－水速，顺水船速＝船速＋水速，追及时间＝路程差÷速度差。 17．爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？ 【答案】60米 【分析】设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，求出他们的速度比。那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5，不妨设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，算出追及时间，然后用求出的追及时间乘上爸爸的速度即可。 【详解】解：设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5。 设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，追及时间为10÷（6－5）＝10，所以爸爸追上儿子至少要跑10×6＝60（米）。 答：爸爸至少60米才能追上儿子。 【点睛】此题解答的关键在于巧妙地设出未知数，根据路程、速度和时间的关系列式解答。 18．甲、乙两人都从A地往B地到达C地，甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，两人刚好同时到达C地，问：到达C地是什么时间？ 【答案】10点33分 【分析】由甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，可知甲到B地9点25分，可求出甲乙到达B地的时间比为85∶60，速度比为60∶85，根据追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间即可解答。 【详解】60×20÷（85－60） ＝1200÷25 ＝48（分） 9点45分＋48分＝10点33分 答：到达C地是10点33分。 【点睛】本题主要考查追及问题，根据甲乙二人到达B地所用时间比求出速度比是解答本题的关键。 19．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？ 【答案】11点35分 【详解】闹钟与标准时间的速度比是62:60="31:30," 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上． 20．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 【答案】15米/秒 【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。 【详解】900÷60＝15（米/秒） 答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。 【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。 21．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 【答案】4次 【分析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100－80＝20（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（80＋100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走80×（1＋9）＝800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（100×2），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知：走相同距离的路程，甲和乙所需时间比： （80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1 所以，甲和乙的速度比是 （100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9 即，甲走一个全程，乙走9个全程，甲行完一个全程，乙行9个全程。第一次是相遇，第二次是追上，..., 所以共相遇5次，追上4次。 答：乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题，计算出乙和甲第一次相遇时间，由乙的速度是甲的9倍，来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 22．早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？ 【答案】10点 【详解】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是(千米)，(小时)，即上午10点出发． 23．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 【答案】780米 【分析】先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟。而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6＝20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD。即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为：50×（26＋6）＝1600（米）。所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），再根据相遇问题：相遇路程＝速度和×相遇时间，可求出A、B间的距离。 【详解】先画图如下： 根据分析： 甲从C走到D所用时间：26－6＝20（分） 乙从C走到D所用时间：26＋6＝32（分） CD表示的路程为：50×（26＋6）＝1600（米） 甲的速度：1600÷20＝80（米/分） 相遇路程：（80＋50）×6＝780（米） 答：A、B两地的距离是780米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇与追及问题，准确找出对应路程，对应速度，对应时间是解题的关键。 24．第二届“走进美妙数学花园”在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以千米/小时的速度行驶。后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）。在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车，在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 【答案】25千米 【分析】这是一道“追及问题”，根据追及问题的公式，追及时间路程差时间差．由题意知，追及时间为秒钟，也就是小时，两车相距距离为路程差，速度差为（千米），也就是米，根据路程差＝追及时间×时间差解答即可。 【详解】5÷（60×60）×[（108－90）×1000] ＝5÷3600×[18×1000] ＝5×18×1000÷3600 ＝25（米） 答：在这辆车鸣笛时两车相距米。 【点睛】解答本题的关键在于学生需要能够想到用追击问题的公式去解答问题。注意其中的单位换算。 25．一架飞机从甲地开往乙地，原计划每分钟飞行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】1080千米 【分析】速度×时间=路程，那么可用原计划每分钟飞行9千米乘30分钟即可得到原计划比现在慢飞行的路程，然后再用慢飞行的路程除以现在每分钟比原计划每分钟快飞行的速度可得到现在飞行所需要的时间，最后再用现在飞行的时间乘现在飞行的速度即可得到甲、乙两地相距的距离． 【详解】（30×9）÷（12﹣9）×12 =270÷3×12 =90×12 =1080（千米） 答：甲、乙两地相距1080千米． 26．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，那么甲出发后需多少分钟才能追上乙。 【答案】500分钟 【分析】根据已知条件得知，乙用40分钟所走的距离与丙用50分钟所走的距离相等，所以丙的速度是乙的；甲用100分钟所走的距离与丙用130分钟所走的距离相等．故丙用130分钟所走的距离，乙用了：（分钟），即甲用100分钟走的距离，乙用104分钟走完．由于甲比乙晚出发20分钟，当甲追上乙时，设甲用了x分钟，则乙用了（x＋20）分钟，由此可得方程：。 【详解】解：丙用130分钟所走的距离，乙用了： （分钟） 设甲用了x分钟，可得： 104x＝100（x＋20） 104x＝100x＋2000 4x＝2000 x＝500 答：甲出发后需要500分钟才能追上乙。 【点睛】首先根据行驶相同的距离、所用时间与速度成反比求出他们的速度比是完成本题的关键。 27．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 【答案】13米/分钟 【分析】当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依题意知正南和风间走这24米需要7－6＝1（分钟），正南和风间的速度和为24÷1＝24（米／分），风间的速度为：24－16＝8（米/分），风间和小新相遇后又过了8－6＝2分钟，才与妮妮相遇，所以在8分钟中妮妮的行程为20×6－8×2＝104（米），根据速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】风间的速度： （20－16）×6÷（7－6）－16 ＝4×6÷1－16 ＝24÷1－16 ＝24－16 ＝8（米/分） 妮妮的速度： （20×6－8×2）÷8 ＝（120－16）÷8 ＝104÷8 ＝13（米/分） 答：妮妮的速度是13米/分。 【点睛】这是一个多重相遇和追及的问题，考查学生分析与理解能力。 28．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？ 【答案】750米/分 【分析】通读题意，由两个未知量，即骑人的速度、汽车出发时骑车人与A点的距离．只要求出这个两个未知量，便可解答本题。先求出快车与慢车的距离；再求出汽车人的速度，然后求出快车出发时与骑车人的距离，即可求出中速车速度。 【详解】（1）快车与慢车的距离为： （800－600）×7 ＝200×7 ＝1400（米）； （2）骑车人的速度： 600－1400÷（14－7） ＝600－1400÷7 ＝600－200 ＝400（米）； （3）快车出发时与骑车人的距离： （800－400）×7 ＝400×7 ＝2800（米）； （4）中速车速度： 400＋2800÷8 ＝400＋350 ＝750（米） 答：中速车的速度是750米。 【点睛】此题巧妙地安排了三个追及事件，需要考生灵活获取信息。 29．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？ 【答案】45分钟 【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)． 30．在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行驶的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？ 【答案】480 280 780 【详解】先统一单位：千米/小时米/秒，千米/小时米/秒， 分秒秒，分秒分分秒秒． 货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：(米)； 列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：(米)． 考虑列车与货车的追及问题，货车时到达铁桥，列车时分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为(米)，那么铁桥的长度为(米)，货车的长度为(米)． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $