小升初奥数培优讲义：工程问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦工程问题专题，目标是帮助学生掌握单位1建模、效率思维和分段分析核心方法，通过知识梳理（核心三量、解题方法、题型分类）、例题讲解（基础合作到复杂进出水题型）、跟踪训练及高频真题巩固，系统构建工程问题解题体系。 亮点在于分层教学与素养导向，运用单位1法和公倍数赋值法培养抽象能力，通过分段分析法训练推理意识，如中途休息题型拆解工作阶段强化模型意识。高频真题覆盖小升初典型场景，助力学生形成高效解题策略，教师可据此精准定位学生薄弱点，提升复习实效。

小升初奥数培优讲义：工程问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 工程问题是小学数学分数应用题的终极升华，也是小升初奥数的核心拉分专题。它跳出了具体数量的计算，以单位1建模、效率思维、分段分析为核心，是培养抽象逻辑、分数运算、统筹思维的关键题型。 本节课我们由浅入深，攻克了基础合作、分步工作、中途休息、多人协作、进出水难题等全品类高频题型。所有工程问题万变不离其宗，无论题目如何伪装，只要找准工作总量、算准工作效率、拆分工作阶段，就能剥离复杂条件，轻松解题。解题切忌死套公式，要灵活运用单位1法、公倍数赋值法，区分正向效率与逆向效率，规避分段遗漏、效率算错的易错陷阱。 小升初备考，每一类题型的突破都是思维的蜕变。希望同学们吃透工程问题的核心逻辑，熟练掌握各类题型的解题技巧，勤于复盘、善于总结，在变式题中灵活变通，打磨自己的数学建模能力。愿你稳步夯实奥数基础，攻克应用题难点，在小升初的考场中从容应战、稳拿高分、不负努力！ 一、问题定义 工程问题是小升初奥数应用题的核心必考重难点，属于分数应用题的延伸拔高题型。这类题目不给出具体工作总量，主要研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系，常用于解决修路、干活、注水排水、生产零件等各类场景问题。 区别于普通应用题，工程问题核心思维是单位“1”建模，将整体工作总量看作单位1，用分数表示工作效率，是锻炼学生分数运算与逻辑建模能力的关键题型。 二、核心三量与基础公式 工程问题仅有三个核心变量，所有题型均围绕以下公式变形推导，是解题的根本依据： 1. 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 2. 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 3. 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 奥数专属规则：无特殊说明时，统一将工作总量看作单位“1”；单人/单队完工时间为t，则对应工作效率为 。 三、三大核心解题方法 1. 单位“1”法（通用基础法） 适用于绝大多数基础、进阶工程题，将总工程量设为1，通过分数表示各主体效率，结合合作、单独工作的条件计算工作量与时间，是小升初主流解题方法。 2. 最小公倍数赋值法（提速巧解法） 针对题目仅给出多个完工时间的题型，将工作总量设为所有完工时间的最小公倍数，把分数效率转化为整数效率，规避分数计算错误，简化运算过程。 3. 分段分析法（复杂题型专属） 适用于中途休息、先后工作、多人交替、进出水变化等复杂题型，将整个工程过程拆分为多个独立阶段，分别计算每段工作量，最后汇总求解。 四、五大高频必考题型 1. 基础合作型：单人单独做、多人合作做，已知完工时间求效率、合作时间； 2. 分步工作型：先单独做、后合作做，或先合作、后单独做，分段完成工程； 3. 中途变化型：工作中途人员休息、退出、加入，导致工作时间、效率发生变化； 4. 交替工作型（培优难点）：多人轮流交替工作，以周期为单位计算工程量； 5. 进出水工程型（奥数特色）：水池注水、排水问题，存在正向效率与逆向抵消效率。 五、核心正反比规律（拔高技巧） 1. 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比； 2. 工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比； 3. 工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比。 六、通用解题步骤与避坑口诀 1. 标准解题步骤 ① 定总量：无具体总量则设为单位1，或赋值最小公倍数； ② 求效率：根据完工时间，算出单人、合作工作效率； ③ 分阶段：梳理工作顺序、休息时间、交替周期，拆分过程； ④ 算工作量：结合效率与时间，计算已完成、剩余工作量； ⑤ 求时间：剩余工作量÷对应效率，求出总时间并验算。 2. 解题避坑口诀 工程总量先设一，效率时间互换算； 合作效率直接加，单独工作分段算； 休息扣时不减效，交替周期找规律； 进水排水辨正负，分步验算不出错。 例题讲解 【典型例题1】基础单人与双人合作工程问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 本题为工程问题基础必考题型，已知两人单独完工时间。解题核心：将总工程量设为单位1，先分别求出甲、乙的单人工作效率，再求出两人合作效率，最后用总工程量÷合作效率得到合作完工时间。 【详解】 1. 设工作总量为单位1 2. 甲的工作效率： 3. 乙的工作效率： 4. 甲乙合作效率： 5. 合作完工时间：（天） 【答案】 甲乙合作6天可以完成这项工程。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，两人合作需要多少天完工？ 【分析】 基础合作类题型，沿用单位1解题思路，先求单人效率，再求和合作效率，最终计算合作总时间，是工程问题的基础核心考法。 【详解】 1. 设工作总量为1 2. 甲效率：，乙效率： 3. 合作效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 两人合作需要4.8天完工。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做20天完成，两人合作多少天可以完成全部工程？ 【分析】 基础变式题型，单人效率差距较大，严格按照“求效率—和效率—算时间”的固定步骤求解，熟练掌握单位1建模思维。 【详解】 1. 设工作总量为1 2. 甲效率：，乙效率： 3. 合作效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 两人合作4天可以完成全部工程。 【典型例题2】先单独后合作分步工程问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲先单独做2天，剩下的工程由甲乙合作完成，还需要多少天？ 【分析】 经典分步工程题型，工程分为两个阶段：第一阶段甲单独工作，第二阶段两人合作。解题关键：先算出甲单独完成的工作量，求出剩余工作量，再用剩余工作量÷合作效率，得到后续合作时间。 【详解】 1. 设总量为1，甲效率，乙效率 2. 甲2天单独工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 剩余时间：（天） 【答案】 还需要4.8天。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。乙先单独做3天，剩下的甲乙合作，还需多少天完成？ 【分析】 分步工作变式题，先算乙方单独工作量，求出剩余工程量，再利用合作效率计算后续时间，核心是分段梳理工作量。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 乙3天工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 剩余时间：（天） 【答案】 还需要6天完成。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲单独做8天完工，乙单独做16天完工。甲先做1天，之后甲乙合作完成全部工程，一共需要多少天？ 【分析】 分步拔高题型，先求单独工作量与剩余工作量，算出合作时间后，需要加上前期单独工作的时间，才是总工期，容易遗漏第一步时间，需格外注意。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲1天工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 一共需要天。 【典型例题3】中途休息型复杂工程问题 题目：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人合作，中途甲休息了2天，乙全程没有休息，完成这项工程一共需要多少天？ 【分析】 小升初高频易错题型，核心特点：有人休息、有人全程工作。解题思路：甲休息的2天，由乙单独完成剩余工作，先算休息期工作量，再算两人合作的工作量与时间，最后汇总总天数。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲休息2天，乙单独完成工作量： 3. 两人合作的工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 完成这项工程一共需要7.2天。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做24天完成。两人合作期间，乙休息了3天，甲全程工作，求完工总天数。 【分析】 中途休息变式题，乙休息期间甲单独工作，拆分工作阶段，分别计算单独工作量和合作工作量，分步求解总时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 乙休息3天，甲单独工作量： 3. 合作工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 完工总天数为9天。 【跟踪训练2】 题目：甲乙合作完成一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。完工时甲休息了4天，乙休息了若干天，最终16天完工，求乙休息了几天？ 【分析】 休息型拔高题型，已知总工期和单人休息天数，反向求另一人休息时间。先算甲实际工作天数与工作量，再求乙需要完成的工作量，算出乙工作天数，最后用总天数减工作天数得到休息天数。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲实际工作天数：（天） 3. 甲完成工作量： 4. 乙需完成工作量： 5. 乙工作天数：（天） 6. 乙休息天数：（天） 【答案】 乙休息了4天。 【典型例题4】多人合作工程问题 题目：一项工程，甲单独做10天完工，乙单独做12天完工，丙单独做15天完工。三人合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 三量合作基础题型，原理和双人合作一致。先分别求出三人的单人效率，三者效率相加得到团队合作效率，再用总工程量÷总效率求出完工时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率，丙效率 2. 三人合作效率： 3. 合作完工时间：（天） 【答案】 三人合作4天可以完成。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲15天完成，乙20天完成，丙30天完成，三人合作需要多少天完工？ 【分析】 多人合作常规题型，累加三人工作效率，利用总量÷总效率求解时间，重点练习分数通分运算。 【详解】 1. 效率：甲、乙、丙 2. 总效率： 3. 完工时间：（天） 【答案】 三人合作需要天完工。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲乙合作6天完成，乙丙合作8天完成，甲丙合作12天完成，三人合作多少天可以完工？ 【分析】 多人合作培优题型，不给出单人效率，仅给出两两合作效率。解题核心：将三组合作效率相加，得到两倍的三人总效率，求出真实总效率后再算时间。 【详解】 1. 甲乙效率和，乙丙效率和，甲丙效率和 2. 两倍三人总效率： 3. 三人总效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 三人合作天可以完工。 【典型例题5】水池进出水工程问题（奥数难点） 题目：一个水池，单开甲进水管6小时可以注满空池，单开乙出水管8小时可以放完满池的水。两管同时打开，多少小时可以注满空池？ 【分析】 奥数特色必考题型，存在正向进水效率和反向排水效率。解题关键：进水效率为正，排水效率为负，总效率=进水效率-排水效率，再用总量÷净效率求出注满时间。 【详解】 1. 设水池总量为1 2. 甲进水效率：，乙排水效率： 3. 净注水效率： 4. 注满时间：（小时） 【答案】 两管同时打开，24小时可以注满空池。 【跟踪训练1】 题目：一个水池，单开进水管4小时注满，单开排水管6小时排空。两管齐开，几小时可以注满水池的一半？ 【分析】 进出水变式题，无需注满整池，只需要注满一半。先求净效率，再用一半工程量÷净效率求解时间。 【详解】 1. 进水效率，排水效率 2. 净效率： 3. 一半工程量： 4. 所需时间：（小时） 【答案】 6小时可以注满水池的一半。 【跟踪训练2】 题目：一个水池有两根进水管、一根排水管。单开甲管3小时注满，单开乙管5小时注满，单开丙管6小时排空。三管同时打开，多久可以注满空池？ 【分析】 多管进出水拔高题型，多根进水管效率相加，排水管效率相减，求出整体净效率，再计算总注水时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率，丙效率 2. 净效率： 3. 注满时间：（小时） 【答案】 三管同时打开，小时可以注满空池。 高频真题 1．修一条公路，甲队单独修需10天完成，乙队单独修需12天完成，丙队单独修需15天完成，现三队合修，中间甲队撤出，甲队撤出后，乙、丙两队继续修，先后共用6天修完。问：乙、丙两队合修多少天？ 2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程需用10天，现由甲队先做3天，再由乙队接着做4天，共完成这项工程的。问甲、乙两队独立完成这项工程需要多少天？ 3．甲、乙两队合作一批零件，每天能完成这批零件的。甲队独做2天，乙队独做5天后，可完成全部零件的。如果这批零件由乙队单独做，多少天可以完成？ 4．要加工300个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务。已知甲每小时比乙多加工3个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？ 5．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务。已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？ 6．有一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，丙队独做15天完成。甲、丙两队合作3天后，余下的由乙队做，还要几天完成？ 7．有一项工程，甲队需12天完工。如果甲队工作3天后，乙队再做2天，则完成工程的一半。现由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队单独完成，完工后发现两段时间相等。问：这样安排，共用多少天完工？ 8．一项工程，甲做63天后乙需接着做28天才可以全部完成；甲、乙一起做，需要48天全部完成。如果由甲做42天，还需乙接着做多少天才能完成全部工作？ 9．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 10．一项工程，甲队单独做18天可以完成，乙队单独做15天可以完成，现在甲队先做7天后，剩下的甲、乙两队合做完成，乙队完成了这项工程的几分之几？ 11．加工一批零件，甲、乙合作5小时完成，甲独做9小时完成。已知甲每小时比乙多加工2个。合作加工完这批零件，甲、乙各加工多少个？ 12．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天？ 13．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？ 14．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 15．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 16．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 17．一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 18．王师傅每分钟能加工螺丝帽128个。他从10：20开始加工到11：00结束，王师傅共加工螺丝帽多少个？ 19．只列算式不计算。 打一份稿件，甲单独要小时完成，乙单独要小时完成。甲乙合作多少小时打完这份稿件的？ 20．甲、乙两队要挖一条水渠，甲队单独挖要15天完成，乙队3天挖了这条水渠的。现在甲乙两队合挖了4天，余下部分由甲单独挖，还要几天才能挖完？ 21．甲、乙两个工厂都要安装 240 台电脑，乙工厂每小时安装 24台，当甲工厂完成任务时，乙工厂还有48 台没有装好，甲工厂每小时装多少台？ 22．甲、乙装订练习本，甲装订 2 小时后乙才开始，因此，前 3 小时甲比乙多装订了 120 本，又同时装订了 3 小时后，乙比甲多装了 600 本，求甲、乙每小时各装订多少本？ 23．一段地下管道预计 15 个工人每天工作 4 小时，18 天可以完成，后来要求加快速度，每天增加 3 人，并且每天工作时间增加 1 小时，那么，可以提前几天完成？ 24．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 25．甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖 100m，实际甲队因有人请假，每天比原计划少挖15m，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2 倍，结果两队每天共挖了 150m。求原计划每队每天各挖多少米？ 26．有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件．这批零件共有多少个？ 27．甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 28．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：工程问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 工程问题是小学数学分数应用题的终极升华，也是小升初奥数的核心拉分专题。它跳出了具体数量的计算，以单位1建模、效率思维、分段分析为核心，是培养抽象逻辑、分数运算、统筹思维的关键题型。 本节课我们由浅入深，攻克了基础合作、分步工作、中途休息、多人协作、进出水难题等全品类高频题型。所有工程问题万变不离其宗，无论题目如何伪装，只要找准工作总量、算准工作效率、拆分工作阶段，就能剥离复杂条件，轻松解题。解题切忌死套公式，要灵活运用单位1法、公倍数赋值法，区分正向效率与逆向效率，规避分段遗漏、效率算错的易错陷阱。 小升初备考，每一类题型的突破都是思维的蜕变。希望同学们吃透工程问题的核心逻辑，熟练掌握各类题型的解题技巧，勤于复盘、善于总结，在变式题中灵活变通，打磨自己的数学建模能力。愿你稳步夯实奥数基础，攻克应用题难点，在小升初的考场中从容应战、稳拿高分、不负努力！ 一、问题定义 工程问题是小升初奥数应用题的核心必考重难点，属于分数应用题的延伸拔高题型。这类题目不给出具体工作总量，主要研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系，常用于解决修路、干活、注水排水、生产零件等各类场景问题。 区别于普通应用题，工程问题核心思维是单位“1”建模，将整体工作总量看作单位1，用分数表示工作效率，是锻炼学生分数运算与逻辑建模能力的关键题型。 二、核心三量与基础公式 工程问题仅有三个核心变量，所有题型均围绕以下公式变形推导，是解题的根本依据： 1. 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 2. 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 3. 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 奥数专属规则：无特殊说明时，统一将工作总量看作单位“1”；单人/单队完工时间为t，则对应工作效率为 。 三、三大核心解题方法 1. 单位“1”法（通用基础法） 适用于绝大多数基础、进阶工程题，将总工程量设为1，通过分数表示各主体效率，结合合作、单独工作的条件计算工作量与时间，是小升初主流解题方法。 2. 最小公倍数赋值法（提速巧解法） 针对题目仅给出多个完工时间的题型，将工作总量设为所有完工时间的最小公倍数，把分数效率转化为整数效率，规避分数计算错误，简化运算过程。 3. 分段分析法（复杂题型专属） 适用于中途休息、先后工作、多人交替、进出水变化等复杂题型，将整个工程过程拆分为多个独立阶段，分别计算每段工作量，最后汇总求解。 四、五大高频必考题型 1. 基础合作型：单人单独做、多人合作做，已知完工时间求效率、合作时间； 2. 分步工作型：先单独做、后合作做，或先合作、后单独做，分段完成工程； 3. 中途变化型：工作中途人员休息、退出、加入，导致工作时间、效率发生变化； 4. 交替工作型（培优难点）：多人轮流交替工作，以周期为单位计算工程量； 5. 进出水工程型（奥数特色）：水池注水、排水问题，存在正向效率与逆向抵消效率。 五、核心正反比规律（拔高技巧） 1. 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比； 2. 工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比； 3. 工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比。 六、通用解题步骤与避坑口诀 1. 标准解题步骤 ① 定总量：无具体总量则设为单位1，或赋值最小公倍数； ② 求效率：根据完工时间，算出单人、合作工作效率； ③ 分阶段：梳理工作顺序、休息时间、交替周期，拆分过程； ④ 算工作量：结合效率与时间，计算已完成、剩余工作量； ⑤ 求时间：剩余工作量÷对应效率，求出总时间并验算。 2. 解题避坑口诀 工程总量先设一，效率时间互换算； 合作效率直接加，单独工作分段算； 休息扣时不减效，交替周期找规律； 进水排水辨正负，分步验算不出错。 例题讲解 【典型例题1】基础单人与双人合作工程问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 本题为工程问题基础必考题型，已知两人单独完工时间。解题核心：将总工程量设为单位1，先分别求出甲、乙的单人工作效率，再求出两人合作效率，最后用总工程量÷合作效率得到合作完工时间。 【详解】 1. 设工作总量为单位1 2. 甲的工作效率： 3. 乙的工作效率： 4. 甲乙合作效率： 5. 合作完工时间：（天） 【答案】 甲乙合作6天可以完成这项工程。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，两人合作需要多少天完工？ 【分析】 基础合作类题型，沿用单位1解题思路，先求单人效率，再求和合作效率，最终计算合作总时间，是工程问题的基础核心考法。 【详解】 1. 设工作总量为1 2. 甲效率：，乙效率： 3. 合作效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 两人合作需要4.8天完工。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做20天完成，两人合作多少天可以完成全部工程？ 【分析】 基础变式题型，单人效率差距较大，严格按照“求效率—和效率—算时间”的固定步骤求解，熟练掌握单位1建模思维。 【详解】 1. 设工作总量为1 2. 甲效率：，乙效率： 3. 合作效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 两人合作4天可以完成全部工程。 【典型例题2】先单独后合作分步工程问题 题目：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲先单独做2天，剩下的工程由甲乙合作完成，还需要多少天？ 【分析】 经典分步工程题型，工程分为两个阶段：第一阶段甲单独工作，第二阶段两人合作。解题关键：先算出甲单独完成的工作量，求出剩余工作量，再用剩余工作量÷合作效率，得到后续合作时间。 【详解】 1. 设总量为1，甲效率，乙效率 2. 甲2天单独工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 剩余时间：（天） 【答案】 还需要4.8天。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。乙先单独做3天，剩下的甲乙合作，还需多少天完成？ 【分析】 分步工作变式题，先算乙方单独工作量，求出剩余工程量，再利用合作效率计算后续时间，核心是分段梳理工作量。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 乙3天工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 剩余时间：（天） 【答案】 还需要6天完成。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲单独做8天完工，乙单独做16天完工。甲先做1天，之后甲乙合作完成全部工程，一共需要多少天？ 【分析】 分步拔高题型，先求单独工作量与剩余工作量，算出合作时间后，需要加上前期单独工作的时间，才是总工期，容易遗漏第一步时间，需格外注意。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲1天工作量： 3. 剩余工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 一共需要天。 【典型例题3】中途休息型复杂工程问题 题目：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人合作，中途甲休息了2天，乙全程没有休息，完成这项工程一共需要多少天？ 【分析】 小升初高频易错题型，核心特点：有人休息、有人全程工作。解题思路：甲休息的2天，由乙单独完成剩余工作，先算休息期工作量，再算两人合作的工作量与时间，最后汇总总天数。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲休息2天，乙单独完成工作量： 3. 两人合作的工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 完成这项工程一共需要7.2天。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做24天完成。两人合作期间，乙休息了3天，甲全程工作，求完工总天数。 【分析】 中途休息变式题，乙休息期间甲单独工作，拆分工作阶段，分别计算单独工作量和合作工作量，分步求解总时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 乙休息3天，甲单独工作量： 3. 合作工作量： 4. 合作效率： 5. 合作时间：（天） 6. 总时间：（天） 【答案】 完工总天数为9天。 【跟踪训练2】 题目：甲乙合作完成一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。完工时甲休息了4天，乙休息了若干天，最终16天完工，求乙休息了几天？ 【分析】 休息型拔高题型，已知总工期和单人休息天数，反向求另一人休息时间。先算甲实际工作天数与工作量，再求乙需要完成的工作量，算出乙工作天数，最后用总天数减工作天数得到休息天数。 【详解】 1. 甲效率，乙效率 2. 甲实际工作天数：（天） 3. 甲完成工作量： 4. 乙需完成工作量： 5. 乙工作天数：（天） 6. 乙休息天数：（天） 【答案】 乙休息了4天。 【典型例题4】多人合作工程问题 题目：一项工程，甲单独做10天完工，乙单独做12天完工，丙单独做15天完工。三人合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 三量合作基础题型，原理和双人合作一致。先分别求出三人的单人效率，三者效率相加得到团队合作效率，再用总工程量÷总效率求出完工时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率，丙效率 2. 三人合作效率： 3. 合作完工时间：（天） 【答案】 三人合作4天可以完成。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，甲15天完成，乙20天完成，丙30天完成，三人合作需要多少天完工？ 【分析】 多人合作常规题型，累加三人工作效率，利用总量÷总效率求解时间，重点练习分数通分运算。 【详解】 1. 效率：甲、乙、丙 2. 总效率： 3. 完工时间：（天） 【答案】 三人合作需要天完工。 【跟踪训练2】 题目：一项工程，甲乙合作6天完成，乙丙合作8天完成，甲丙合作12天完成，三人合作多少天可以完工？ 【分析】 多人合作培优题型，不给出单人效率，仅给出两两合作效率。解题核心：将三组合作效率相加，得到两倍的三人总效率，求出真实总效率后再算时间。 【详解】 1. 甲乙效率和，乙丙效率和，甲丙效率和 2. 两倍三人总效率： 3. 三人总效率： 4. 合作时间：（天） 【答案】 三人合作天可以完工。 【典型例题5】水池进出水工程问题（奥数难点） 题目：一个水池，单开甲进水管6小时可以注满空池，单开乙出水管8小时可以放完满池的水。两管同时打开，多少小时可以注满空池？ 【分析】 奥数特色必考题型，存在正向进水效率和反向排水效率。解题关键：进水效率为正，排水效率为负，总效率=进水效率-排水效率，再用总量÷净效率求出注满时间。 【详解】 1. 设水池总量为1 2. 甲进水效率：，乙排水效率： 3. 净注水效率： 4. 注满时间：（小时） 【答案】 两管同时打开，24小时可以注满空池。 【跟踪训练1】 题目：一个水池，单开进水管4小时注满，单开排水管6小时排空。两管齐开，几小时可以注满水池的一半？ 【分析】 进出水变式题，无需注满整池，只需要注满一半。先求净效率，再用一半工程量÷净效率求解时间。 【详解】 1. 进水效率，排水效率 2. 净效率： 3. 一半工程量： 4. 所需时间：（小时） 【答案】 6小时可以注满水池的一半。 【跟踪训练2】 题目：一个水池有两根进水管、一根排水管。单开甲管3小时注满，单开乙管5小时注满，单开丙管6小时排空。三管同时打开，多久可以注满空池？ 【分析】 多管进出水拔高题型，多根进水管效率相加，排水管效率相减，求出整体净效率，再计算总注水时间。 【详解】 1. 甲效率，乙效率，丙效率 2. 净效率： 3. 注满时间：（小时） 【答案】 三管同时打开，小时可以注满空池。 高频真题 1．修一条公路，甲队单独修需10天完成，乙队单独修需12天完成，丙队单独修需15天完成，现三队合修，中间甲队撤出，甲队撤出后，乙、丙两队继续修，先后共用6天修完。问：乙、丙两队合修多少天？ 【答案】5天 【分析】这是一道典型的工程问题。解题的关键是将工作总量看作单位"1"。根据甲、乙、丙单独完成所需的天数，分别求出它们的工作效率。题目中指出“先后共用6天修完”，且乙、丙两队从头到尾都在工作，因此乙、丙两队实际工作时间均为6天。利用乙、丙的工作效率和总时间，求出乙、丙两队完成的工作总量。用单位"1"减去乙、丙完成的工作量，即为甲队完成的工作量。根据甲队的工作量和工作效率，求出甲队实际工作的天数。题目所问“乙、丙两队合修多少天”，结合语境“甲队撤出后，乙、丙两队继续修”，指的是甲队撤出后乙、丙两队单独合修的天数，即用总天数减去甲队工作的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷10＝ 乙队的工作效率：1÷12＝ 丙队的工作效率：1÷15＝ 乙、丙两队6天完成的工作量： （＋）×6＝（＋）×6＝×6＝ 甲队完成的工作量：1－＝ 甲队工作的天数：÷＝1（天） 乙、丙两队合修的天数：6－1＝5（天） 答：乙、丙两队合修5天。 2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程需用10天，现由甲队先做3天，再由乙队接着做4天，共完成这项工程的。问甲、乙两队独立完成这项工程需要多少天？ 【答案】甲独立完成需要40天，乙队独立完成该工程需天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”。根据甲、乙两队共同完成需要10天，可求出甲、乙两队的工作效率之和为。 “甲队先做3天，再由乙队接着做4天”，可以转化为“甲、乙两队合作3天，乙队再单独做1天”。用已完成的工作总量减去甲、乙合作3天的工作量，即可求出乙队1天的工作量，即乙队的工作效率。进而求出甲队的工作效率，最后根据“工作时间 ＝ 工作总量 ÷工作效率”分别求出两队独立完成所需的天数。 【详解】 乙队的工作效率： 甲队的工作效率： 甲队独立完成所需天数： （天） 乙队独立完成所需天数： （天） 答：甲队独立完成这项工程需要40天，乙队独立完成这项工程需要天。 3．甲、乙两队合作一批零件，每天能完成这批零件的。甲队独做2天，乙队独做5天后，可完成全部零件的。如果这批零件由乙队单独做，多少天可以完成？ 【答案】30天 【分析】将这批零件的总量看作单位“1”。 已知甲、乙两队合作每天完成，即甲、乙工作效率之和为。“甲队独做2天，乙队独做5天”可以转化为“甲、乙两队合作2天，乙队再独做3天”。 先利用合作效率求出合做2天的工作量，再用已完成总量减去合做工作量，得到乙队独做3天的工作量，进而求出乙队的工作效率， 最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙队单独完成所需的天数。 【详解】甲乙合作两天的工作量： 剩下三天的工作量： （天） 乙队的工作效率： 乙队单独完成所需的天数： （天） 答：如果这批零件由乙队单独做30天可以完成。 4．要加工300个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务。已知甲每小时比乙多加工3个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲24个，乙21个 【分析】要加工300个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务。相当于甲先加工了9个小时，乙又加工了4个小时完成了任务。已知甲每小时比乙多加工3个零件，则甲加工9个小时完成的零件个数比乙加工9个小时完成的零件个数多9×3＝27（个），总零件个数＝（9＋4）×乙每小时加工零件个数＋27，由此可计算出乙的工作效率，乙的工作效率加3就是甲的工作效率。 【详解】（5＋4）×3 ＝9×3 ＝27（个） 乙每小时加工零件个数：（300－27）÷（9＋4） ＝273÷13 ＝21（个） 甲每小时加工零件个数：21＋3＝24（个） 答：甲每小时加工24个零件，乙每小时加工21个零件。 5．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务。已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？ 【答案】16个；14个 【分析】甲、乙各自的工作时间，甲先单独加工5小时，又与乙一起加工4小时，说明甲总共加工了小时，乙加工了4小时。 已知甲每小时比乙多加工2个零件，可以设乙每小时加工的数量为未知数，表示出甲每小时加工的数量，再根据“甲加工的总数＋乙加工的总数＝200个”这一等量关系列出方程求解。 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件。 （小时） 甲每小时加工的数量：（个） 答：甲每小时加工16个零件，乙每小时加工14个零件。 6．有一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，丙队独做15天完成。甲、丙两队合作3天后，余下的由乙队做，还要几天完成？ 【答案】天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队、丙队的工作效率； 先根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出甲、丙两队合作3天完成的工作量；再用工作总量“1”减去已完成的工作量求出剩下的工作量，最后根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙队的工作效率，求出乙队还要几天完成。 【详解】甲队的工作效率： 乙队的工作效率： 丙队的工作效率： 甲、丙两队合作3天完成的工作量： ＝ 余下的由乙队做，还要的天数： ＝ ＝ ＝（天） 答：还要天完成。 7．有一项工程，甲队需12天完工。如果甲队工作3天后，乙队再做2天，则完成工程的一半。现由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队单独完成，完工后发现两段时间相等。问：这样安排，共用多少天完工？ 【答案】6天 【分析】将工作总量看作单位“1”，利用“”的关系，先求出甲、乙两队的工作效率，再根据“两段时间相等”的条件列方程求解。 【详解】（1）求甲队的工作效率： 甲队单独做12天完工，把总工程量看作单位“1”，则甲队每天的效率为： （2）求乙队的工作效率： 已知甲队工作3天，乙队工作2天，完成了工程的一半（即）。 甲队3天完成的工作量： 乙队2天完成的工作量： 因此乙队每天的效率为： 根据题意可知甲、乙两队合作的时间，和乙队单独完成的时间相等，设这两段时间均为天。 甲乙合作天的工作量：， 乙队单独做天的工作量：。 根据总工程量为1，可列方程并求解： 求总完工时间： 因为两段时间相等，均为3天，因此总时间为： （天） 答：这样安排，共用6天完工。 8．一项工程，甲做63天后乙需接着做28天才可以全部完成；甲、乙一起做，需要48天全部完成。如果由甲做42天，还需乙接着做多少天才能完成全部工作？ 【答案】56天 【分析】已知一项工程，甲、乙一起做，需要48天全部完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙工作效率的和＝1÷48＝，甲做63天后乙需接着做28天也可以全部完成，相当于甲、乙合作28天，甲单独做63－28＝35（天）可以全部完成，根据工作总量＝工作效率×工作时间，可以计算出甲、乙合作28天的工作量，剩余工作量是甲单独做35天的工作量，可计算出甲的工作效率，用甲、乙工作效率的和减去甲的工作效率可计算出乙的工作效率，如果由甲做42天，已知甲的工作效率和工作时间可计算出甲完成的工作量，剩余的工作量除以乙的工作效率即为乙需要完成的时间。 【详解】甲、乙工作效率的和：1÷48＝ 甲的工作效率： ＝ ＝ 乙的工作效率：＝ ＝ ＝ ＝56（天） 答：还需乙接着做 56 天才能完成全部工作。 9．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【答案】10天 【分析】根据题意，一个完整的“甲1天＋乙1天”周期内，完成的工作量是相同的，因此如果总天数是偶数，两种方式的完工时间必然一样。题目中第二种方式比第一种多了半天，说明第一种方式的完工天数是奇数，最后一天是甲做的；第二种方式最后一天是乙做的，还没做完，需要甲再做半天才能完工这项工程。 把总量看作单位“1”。乙单独做这项工程需20天完成，则乙的工作效率是。设甲的工作效率为。 第一种方式第一天甲做，最后一天也由甲做。此时，最后阶段的工作量为甲做1天，即。 第二种方式比第一种多半天，即最后阶段是乙做1天，甲再做0.5天，工作量为（。 两种交替方式，每2天（甲1天＋乙1天）完成的工作量完全相同，由于总工作量一样，因此最后阶段工作量也相等，据此可列出方程求解。 【详解】解：把这项工程总量看作单位“1”。 设甲的工作效率为。 （天） 答：甲单独做这项工程要10天完成。 【点睛】这是一道典型的交替合作型工程问题，对比两种交替方式的差异，抓住“两种交替方式的时间差”，找出完成天数是奇数还是偶数，再根据最后阶段工作量相等完成计算即可。 10．一项工程，甲队单独做18天可以完成，乙队单独做15天可以完成，现在甲队先做7天后，剩下的甲、乙两队合做完成，乙队完成了这项工程的几分之几？ 【答案】 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，计算出甲队7天的工作总量是多少，再求剩下的工作量，剩下的两队合作，工作效率为两队效率之和，可以计算出两队合作的天数，即是乙队工作的天数。根据乙队的工作效率，利用工作总量＝工作效率×工作时间可得乙队完成的工作量。 【详解】 答：乙队完成了这项工程的。 【点睛】本题主要考查工作总量、工作效率、工作时间的数量关系的应用。 11．加工一批零件，甲、乙合作5小时完成，甲独做9小时完成。已知甲每小时比乙多加工2个。合作加工完这批零件，甲、乙各加工多少个？ 【答案】50个；40个 【分析】把这批零件总数看作单位“1”，根据题意可知，甲、乙工作效率之和是，甲的工作效率是，据此求出乙的工作效率；再求出甲、乙的工作效率之差，再根据分数除法的意义，用2除以甲、乙的工作效率之差，求出这批零件的总数，用零件总数先分别乘甲、乙的工作效率，再乘5小时即可。 【详解】1÷5＝ 1÷9＝ －＝ 2÷（－） ＝2÷ ＝90（个） 90××5＝50（个） 90××5＝40（个） 答：甲加工50个，乙加工40个。 【点睛】解答本题的关键是：求出甲与乙的工作效率的差。 12．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天？ 【答案】天 【分析】甲一直在做，一共干了16天，可以求出甲完成的工程量，剩下的即为乙完成的工程量，可以求出乙做了多少天，进而求得乙请假的时间。 【详解】甲一共干了天，完成了全部工程的； 还有是乙做的； 所以乙干了（天）； （天） 答：乙请假天数为10天。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以假设乙没有休息，求出16天完成的工程量，用假设法求解。 13．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？ 【答案】天 【分析】设这项工程为单位“1”，则甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为，据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。 【详解】甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为； 那么甲＋乙的工作效率为： 甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为； 因此剩下的工程还需要： （天） 答：还需60天可完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 14．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 【答案】24天 【分析】根据三种情况，可以求出甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 ，对于工作效率有（甲，乙）＋（丙，丁）－（乙，丙）＝（甲，丁），求出甲、丁两人的工作效率后，即可求出工作时间。 【详解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，； ＋－＝ 甲、丁合作的工作效率为； （天） 答：甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 15．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 【答案】甲队单独做需要天；乙队单独做需要天 【分析】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，那么合作的工作效率是，合作完成需要12天，而实际情况是甲比12天少了8天，乙比12天多了4天，也就是甲队做8天相当于乙队做4天，根据这个关系可以求出甲和乙各自的工作效率。 【详解】甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做天，比合作少了（天）；乙队后做天，比合作多了（天），所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是。甲队单独工作需要：（天）；乙队单独工作需要：（天）。 答：甲队单独做需要90天；乙队单独做需要45天。 【点睛】工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。 16．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【答案】20名 【分析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草。由于这些人在下午能割完乙地的草，也就是甲地草的，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地 的草。 【详解】设甲的草量是“1”，那么乙的草量是“”； 有些人上午在甲地，下午在乙地割草，这些人在下午能割完乙地的草，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草； 每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生。 答：共有20名学生。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以设下午在乙地割草的人数是未知数，根据总草量列方程求解。 17．一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 【答案】1100方土 【分析】先求出两队同时施工的工作效率之和，以及遇到地下水后的工作效率之和，求出47.25方土，占总的工程量的几分之几，然后根据量率对应求出总的工程量。 【详解】甲、乙合作时工作效率为： （＋）×（1＋20%） ＝ ＝ 则的工程量需÷＝（天） 则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10－＝（天） 则此时甲、乙合作的工作效率为÷＝ 遇到地下水前后工作效率的差为：－＝ 则总工作量为47.25÷＝1100（方） 答：整工程要挖1000方土。 【点睛】本题考查的是工程问题，需要注意的是施工过程中，工作效率是变化的。 18．王师傅每分钟能加工螺丝帽128个。他从10：20开始加工到11：00结束，王师傅共加工螺丝帽多少个？ 【答案】5120个 【分析】经过时间＝结束时间－开始时间，据此求出王师傅的工作时间。用工作时间乘每分钟加工螺丝帽的个数，即可求出加工螺丝帽的总个数。 【详解】11时－10时20分＝40（分钟） 128×40＝5120（个） 答：王师傅共加工螺丝帽5120个。 【点睛】熟练掌握经过时间的计算公式，注意1小时＝60分钟。 19．只列算式不计算。 打一份稿件，甲单独要小时完成，乙单独要小时完成。甲乙合作多少小时打完这份稿件的？ 【答案】÷（1÷＋1÷） 【分析】把打一份稿件的工作总量看作“1”，甲、乙的工效分别是1÷、1÷。根据：工作量÷工效和（1÷＋1÷）＝时间解答。 【详解】÷（1÷＋1÷） 【点睛】灵活运用工作总量、工效和时间这三者之间的关系。 20．甲、乙两队要挖一条水渠，甲队单独挖要15天完成，乙队3天挖了这条水渠的。现在甲乙两队合挖了4天，余下部分由甲单独挖，还要几天才能挖完？ 【答案】6天 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，由“甲队单独挖要15天完成，乙队3天挖了这条水渠的”，可得甲的工作效率是，乙的工作效率是÷3＝；由“甲乙两队合挖了4天”可得甲乙两队合挖了这项工程的（＋）×4，再根据剩余的工作量÷甲的工作效率，即可求出甲队还要几天才能挖完。 【详解】［1－（＋÷3）×4］÷ ＝［1－×4］÷ ＝÷ ＝6（天） 答：还要6天才能挖完。 【点睛】此题先求出乙的工作效率，再灵活运用工作效率、工作总量、时间，这3个量之间的关系解答。 21．甲、乙两个工厂都要安装 240 台电脑，乙工厂每小时安装 24台，当甲工厂完成任务时，乙工厂还有48 台没有装好，甲工厂每小时装多少台？ 【答案】30台 【详解】（240-48）÷24=8（小时） 240÷8=30（台） 答：甲工厂每小时装30台。 22．甲、乙装订练习本，甲装订 2 小时后乙才开始，因此，前 3 小时甲比乙多装订了 120 本，又同时装订了 3 小时后，乙比甲多装了 600 本，求甲、乙每小时各装订多少本？ 【答案】甲：180本，乙：420本 【详解】甲每小时比乙少装订（600+120）÷3=240（本） 甲3小时,乙1小时,甲比乙多装订120本, 那么甲每小时装订：（240+120）÷2=180（本） 乙每小时装订：180+240=420（本） 答：甲每小时装订180本，乙每小时装订420本。 23．一段地下管道预计 15 个工人每天工作 4 小时，18 天可以完成，后来要求加快速度，每天增加 3 人，并且每天工作时间增加 1 小时，那么，可以提前几天完成？ 【答案】6天 【详解】18-15×4×18÷（15+3）÷（4+1） =18-1080÷18÷5 =18-12 =6（天） 答：可以提前6天完成。 24．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 【答案】甲组6000个，乙组3000个 【详解】解：设甲每天加工x个零件，乙每天加工x-100个，根据题意列方程： 20x=2×(x-100) ×15 解得，x=300 甲加工的数量：300×20=6000（个） 乙加工的数量：200×15=3000（个） 答：甲组加工零件6000个，乙组加工3000个。 25．甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖 100m，实际甲队因有人请假，每天比原计划少挖15m，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2 倍，结果两队每天共挖了 150m。求原计划每队每天各挖多少米？ 【答案】甲：35m  乙：65m 【详解】原来两队一共100 m,甲每天少了15以后,两队一共100-15=85m 乙变成原来的两倍以后一共150m,所以150-85=65m,为乙多挖的,也就是原来的一倍； 所以乙原来每天挖65m,甲原来每天挖100-65=35m。 26．有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件．这批零件共有多少个？ 【答案】180个 【详解】甲和乙的工作时间比为4：5，所以工作效率比是5：4,工作量的比也5：4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份,那么甲比乙多1份，就是20个．因此9份就是180个,所以这批零件共180个. 27．甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 【答案】27立方米 【详解】解：设水池容量为1，甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是=.　　 甲每分钟注入水量是（1-）÷10=, 乙每分钟注入水量是-=, 因此水池容积是0.6÷(-)=27(立方米) 答：水池容积是27立方米. 28．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？ 【答案】4个 【详解】设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份． （1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份） （2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份） （3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份） （4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $