小升初奥数培优讲义：差倍问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦差倍问题专题，目标是帮助学生掌握找准1倍量、对应差值、倍数差的核心要素，通过知识梳理（定义、公式、解题步骤）、例题讲解（基础型及几倍多几、隐藏差等变式）、跟踪训练与高频真题巩固，系统构建差倍问题解题体系。 亮点在于融合线段图法培养几何直观，通过“基础题型-多几少几变式-隐藏差综合”阶梯训练发展推理意识，如用线段图直观呈现1倍量与差值关系，高频真题覆盖小升初常见场景，助力学生理解数量关系，教师可依此精准突破学生薄弱点，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：差倍问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 差倍问题是小升初奥数应用题的基石，看似题型多变，实则万变不离其宗。所有复杂的变式题目，本质都是找准1倍量、对应差值、倍数差这三个核心要素。 初学阶段，希望大家多借助线段图梳理数量关系，拒绝死记硬背公式，真正理解“份数对应差值”的数学逻辑。基础题型熟练掌握后，重点攻克隐藏差、多几少几的变式题型，养成“先分析、再列式、后验算”的解题习惯。 奥数学习没有捷径，唯有扎实基础、勤于思考、善于总结。每一道错题都是查漏补缺的机会，每一次思考都是思维的提升。坚持积累、稳步突破，你一定能彻底掌握差倍问题，轻松应对小升初各类拓展考题，为后续复杂奥数知识的学习筑牢根基！ 一、差倍问题定义 已知两个数的数量差，以及两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，叫做差倍问题。它是小升初奥数高频基础题型，常结合生活场景、数量变化考查，也是复杂和差倍综合问题的基础。 二、核心数量关系（必考公式） 解题核心思路：把较小数看作1倍量（1份数），较大数是较小数的n倍，则较大数比较小数多（n-1）份，多出来的份数恰好对应两个数的数量差。 基础公式： 较小数（1倍量）= 两数差 ÷（倍数 - 1） 较大数 = 较小数 × 倍数 较大数 = 较小数 + 两数差 三、 标准解题步骤 第一步：找1倍量。通常题目中“是、占、相当于”后面的量为较小数，即1倍量； 第二步：确定两数的实际数量差和倍数差（倍数-1）； 第三步：代入公式求出1倍量（较小数）； 第四步：根据倍数关系或数量差求出较大数； 第五步：验算（两数差值、倍数是否符合题意）。 四、解题核心方法：线段图法 线段图是解决差倍问题最直观的方法，能快速理清数量关系： 用1段短线段表示1倍量（较小数）； 用对应倍数的长线段表示较大数； 线段多出的部分，对应题目中的两数数量差； 通过线段份数对应关系，快速列式计算。 五、常见题型变式与解题技巧 （1）基础型差倍问题 题目直接给出两数差和明确倍数关系，可直接套用公式计算，是最基础的考查形式。 （2）几倍多几变式问题 较大数是较小数的n倍多m，此时实际倍数差对应的差值需要调整：有效差值 = 原两数差 - m，再代入公式计算。 （3）几倍少几变式问题 较大数是较小数的n倍少m，此时有效差值需要补充：有效差值 = 原两数差 + m，再计算1倍量。 （4）隐藏差型差倍问题 题目不直接给出两数差，需要通过场景推导：例如“甲给乙若干数量后两数相等”，隐含甲比乙多2倍的给出数量；“两数同时增加/减少相同数量，差值不变”等。 六、高频易错点总结 混淆倍数差与倍数，忘记“倍数-1”，是最常见错误； 变式题型中，未根据“多几、少几”调整对应差值； 隐藏差题型中，无法准确推导两数实际差值； 求出1倍量后，漏算较大数，或验算失误。 例题讲解 【典型例题1】基础型差倍问题 甲数比乙数大36，已知甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？ 【分析】 本题为标准基础差倍问题，直接给出两数差和倍数关系。将较小数乙数看作1倍量，甲数是4倍量，甲数比乙数多4-1=3倍，多出的3倍恰好对应两数的差值36，由此可先求出1倍量乙数，再求甲数。 【详解】 1. 计算倍数差：4 - 1 = 3 2. 求较小数（乙数）：36 ÷ 3 = 12 3. 求较大数（甲数）：12 × 4 = 48 或 12 + 36 = 48 【答案】甲数48，乙数12 【跟踪训练1】 果园里苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多48棵，苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 梨树为1倍量，苹果树为5倍量，苹果树比梨树多5-1=4倍，4倍对应差值48棵，先求梨树棵数，再求苹果树棵数。 【详解】 倍数差：5 - 1 = 4 梨树棵数：48 ÷ 4 = 12（棵） 苹果树棵数：12 × 5 = 60（棵） 【答案】苹果树60棵，梨树12棵 【跟踪训练2】 一个数的7倍比这个数的3倍多52，这个数是多少？ 【分析】 将这个数看作1倍量，7倍量比3倍量多4倍，对应的数值差是52，利用差倍公式直接求出1倍量即可。 【详解】 倍数差：7 - 3 = 4 这个数：52 ÷ 4 = 13 【答案】这个数是13 【典型例题2】几倍多几变式差倍问题 学校美术小组的人数比书法小组多29人，美术小组人数是书法小组的4倍多2人。两个小组各有多少人？ 【分析】 本题属于“几倍多几”变式题型。书法小组为1倍量，美术小组是4倍多2人。两数实际差值29人，包含了多出来的2人，因此需要先减去多余的2人，得到纯倍数对应的差值，再计算1倍量。有效差值=29-2=27人，对应4-1=3倍。 【详解】 1. 求有效差值：29 - 2 = 27（人） 2. 倍数差：4 - 1 = 3 3. 书法小组人数（1倍量）：27 ÷ 3 = 9（人） 4. 美术小组人数：9 × 4 + 2 = 38（人） 【答案】书法小组9人，美术小组38人 【跟踪训练1】 甲仓库的粮食比乙仓库多65吨，甲仓库粮食吨数是乙仓库的6倍多5吨，甲、乙两个仓库各有粮食多少吨？ 【分析】 乙仓库为1倍量，甲仓库为6倍多5吨。总差值65吨包含多余的5吨，先减去5吨得到有效差值，对应5倍量，再依次求解。 【详解】 有效差值：65 - 5 = 60（吨） 倍数差：6 - 1 = 5 乙仓库：60 ÷ 5 = 12（吨） 甲仓库：12 × 6 + 5 = 77（吨） 【答案】甲仓库77吨，乙仓库12吨 【跟踪训练2】 小明的零花钱比小红多46元，小明的零花钱是小红的5倍多6元，两人各有多少零花钱？ 【分析】 小红零花钱为1倍量，小明为5倍多6元。差值46元需扣除多余6元，得到对应4倍的有效差值，再计算求解。 【详解】 有效差值：46 - 6 = 40（元） 倍数差：5 - 1 = 4 小红零花钱：40 ÷ 4 = 10（元） 小明零花钱：10 × 5 + 6 = 56（元） 【答案】小红10元，小明56元 【典型例题3】几倍少几变式+隐藏差综合问题 两筐苹果重量相等，如果从甲筐取出18千克，乙筐放入24千克，此时乙筐苹果重量是甲筐的4倍。原来两筐苹果各有多少千克？ 【分析】 本题为复杂变式题，需要先推导隐藏差值。原来两筐重量相等，甲筐减少18千克，乙筐增加24千克，此时两筐的差值为18+24=42千克。现在乙筐是甲筐的4倍，属于基础差倍变式，甲筐现有重量为1倍量，乙筐为4倍量，差值对应3倍，先求甲筐现有重量，再求原来重量。 【详解】 1. 求现在两筐重量差：18 + 24 = 42（千克） 2. 倍数差：4 - 1 = 3 3. 甲筐现有重量：42 ÷ 3 = 14（千克） 4. 甲筐原有重量：14 + 18 = 32（千克） 两筐原来重量相等，因此乙筐原有也是32千克。 【答案】原来两筐苹果各有32千克 【跟踪训练1】 甲、乙两个书架书本数量相同，从甲书架拿走30本，乙书架放入50本，这时乙书架的书是甲书架的3倍。原来两个书架各有多少本书？ 【分析】 先求变化后的隐藏差值：甲减少30本、乙增加50本，两数差值为30+50=80本。此时乙是甲的3倍，倍数差为2，对应差值80本，先求甲现有数量，再还原原有数量。 【详解】 现有数量差：30 + 50 = 80（本） 倍数差：3 - 1 = 2 甲书架现有：80 ÷ 2 = 40（本） 原有书本数量：40 + 30 = 70（本） 【答案】原来两个书架各有70本书 【跟踪训练2】 两根同样长的绳子，第一根剪去25厘米，第二根接上35厘米，现在第二根绳子长度是第一根的6倍。原来绳子长多少厘米？ 【分析】 绳子原长相同，第一根缩短、第二根变长，隐藏差值为25+35=60厘米。现在第二根是第一根的6倍，倍数差5倍对应60厘米，求出第一根现有长度，再还原原长。 【详解】 现有长度差：25 + 35 = 60（厘米） 倍数差：6 - 1 = 5 第一根现有长度：60 ÷ 5 = 12（厘米） 原有长度：12 + 25 = 37（厘米） 【答案】原来绳子长37厘米 高频真题 1．有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲、乙两班各有多少人？ 2．六（1）班与六（2）班原有图书一样多，后来六（1）班又买来新书38本，六（2）班从本班原有图书中取出72本送给一年级同学，这时六（1）班的图书是六（2）班的3倍，两班原有图书各多少本？ 3．有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 4．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大14岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，今年两人年龄各几岁？ 5．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 6．现有甲、乙两个仓库，甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍。如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，两个仓库原来各有多少吨货物？ 7．有两个复习班，甲班有20人，乙班42人，以后两班各收了相等的人数，现在甲班的人数为乙班的，两个班各吸收了多少名学生？ 8．东仓小麦比西仓的多2480袋，今每天从东仓取走50袋，从西仓取走65袋，经6天西仓袋数占东仓的50%，两仓原来共有小麦多少袋？ 9．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 10．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 11．学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？ 12．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 13．李静和张华集邮，李静集的张数是张华的2.5倍，如果张华再集60张就和李静同样多．两人原来各有多少张邮票？ 14．学校今年植树的棵数是前年的3倍，今年比前年多植树156棵，学校今年和前年各植树多少棵？ 15．已知两个数的商是4，而这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个是多少？ 16．有大小两个整千数，大数是小数的3倍，这两个数最高位上的数字的差是6，问这两个整千数各是多少？ 17．哥哥的图书数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，则哥哥、弟弟各有图书多少本？ 18．有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米．小水池里已有水70立方米．现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍．问每个水池注入了多少立方米的水. 19．父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子年龄为11岁．问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？ 20．—名学生在做三位数乘一位数的乘法时，由于马虎，把380抄成了386，所得结果比正确答案多36，正确的积是多少？ 21．小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？ 22．某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？ 23．玻璃瓶里装着一些饮料，把饮料增加到原来的2倍，称得重5千克；把饮料增加到原来的4倍，称得重9千克，问原来瓶里的饮料重多少千克？瓶重多少千克？ 24．有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件? 25．有两条纸带，一条长2l厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的．问剪下的一段长多少厘米? 26．小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数，他今天比昨天多读了页，这时已经读完的页数是还没读的页数的，问题是，这本书共有多少页？ 27．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 28．启东水泥厂有甲、乙两仓库,各有水泥若干袋，甲仓库存水泥的袋数是乙仓库的3倍，后来从甲仓库运出450袋，从乙仓库运出50袋．这时仓库剩余的袋数相等，甲、乙仓库原有水泥多少袋？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：差倍问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 差倍问题是小升初奥数应用题的基石，看似题型多变，实则万变不离其宗。所有复杂的变式题目，本质都是找准1倍量、对应差值、倍数差这三个核心要素。 初学阶段，希望大家多借助线段图梳理数量关系，拒绝死记硬背公式，真正理解“份数对应差值”的数学逻辑。基础题型熟练掌握后，重点攻克隐藏差、多几少几的变式题型，养成“先分析、再列式、后验算”的解题习惯。 奥数学习没有捷径，唯有扎实基础、勤于思考、善于总结。每一道错题都是查漏补缺的机会，每一次思考都是思维的提升。坚持积累、稳步突破，你一定能彻底掌握差倍问题，轻松应对小升初各类拓展考题，为后续复杂奥数知识的学习筑牢根基！ 一、差倍问题定义 已知两个数的数量差，以及两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，叫做差倍问题。它是小升初奥数高频基础题型，常结合生活场景、数量变化考查，也是复杂和差倍综合问题的基础。 二、核心数量关系（必考公式） 解题核心思路：把较小数看作1倍量（1份数），较大数是较小数的n倍，则较大数比较小数多（n-1）份，多出来的份数恰好对应两个数的数量差。 基础公式： 较小数（1倍量）= 两数差 ÷（倍数 - 1） 较大数 = 较小数 × 倍数 较大数 = 较小数 + 两数差 三、 标准解题步骤 第一步：找1倍量。通常题目中“是、占、相当于”后面的量为较小数，即1倍量； 第二步：确定两数的实际数量差和倍数差（倍数-1）； 第三步：代入公式求出1倍量（较小数）； 第四步：根据倍数关系或数量差求出较大数； 第五步：验算（两数差值、倍数是否符合题意）。 四、解题核心方法：线段图法 线段图是解决差倍问题最直观的方法，能快速理清数量关系： 用1段短线段表示1倍量（较小数）； 用对应倍数的长线段表示较大数； 线段多出的部分，对应题目中的两数数量差； 通过线段份数对应关系，快速列式计算。 五、常见题型变式与解题技巧 （1）基础型差倍问题 题目直接给出两数差和明确倍数关系，可直接套用公式计算，是最基础的考查形式。 （2）几倍多几变式问题 较大数是较小数的n倍多m，此时实际倍数差对应的差值需要调整：有效差值 = 原两数差 - m，再代入公式计算。 （3）几倍少几变式问题 较大数是较小数的n倍少m，此时有效差值需要补充：有效差值 = 原两数差 + m，再计算1倍量。 （4）隐藏差型差倍问题 题目不直接给出两数差，需要通过场景推导：例如“甲给乙若干数量后两数相等”，隐含甲比乙多2倍的给出数量；“两数同时增加/减少相同数量，差值不变”等。 六、高频易错点总结 混淆倍数差与倍数，忘记“倍数-1”，是最常见错误； 变式题型中，未根据“多几、少几”调整对应差值； 隐藏差题型中，无法准确推导两数实际差值； 求出1倍量后，漏算较大数，或验算失误。 例题讲解 【典型例题1】基础型差倍问题 甲数比乙数大36，已知甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？ 【分析】 本题为标准基础差倍问题，直接给出两数差和倍数关系。将较小数乙数看作1倍量，甲数是4倍量，甲数比乙数多4-1=3倍，多出的3倍恰好对应两数的差值36，由此可先求出1倍量乙数，再求甲数。 【详解】 1. 计算倍数差：4 - 1 = 3 2. 求较小数（乙数）：36 ÷ 3 = 12 3. 求较大数（甲数）：12 × 4 = 48 或 12 + 36 = 48 【答案】甲数48，乙数12 【跟踪训练1】 果园里苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多48棵，苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 梨树为1倍量，苹果树为5倍量，苹果树比梨树多5-1=4倍，4倍对应差值48棵，先求梨树棵数，再求苹果树棵数。 【详解】 倍数差：5 - 1 = 4 梨树棵数：48 ÷ 4 = 12（棵） 苹果树棵数：12 × 5 = 60（棵） 【答案】苹果树60棵，梨树12棵 【跟踪训练2】 一个数的7倍比这个数的3倍多52，这个数是多少？ 【分析】 将这个数看作1倍量，7倍量比3倍量多4倍，对应的数值差是52，利用差倍公式直接求出1倍量即可。 【详解】 倍数差：7 - 3 = 4 这个数：52 ÷ 4 = 13 【答案】这个数是13 【典型例题2】几倍多几变式差倍问题 学校美术小组的人数比书法小组多29人，美术小组人数是书法小组的4倍多2人。两个小组各有多少人？ 【分析】 本题属于“几倍多几”变式题型。书法小组为1倍量，美术小组是4倍多2人。两数实际差值29人，包含了多出来的2人，因此需要先减去多余的2人，得到纯倍数对应的差值，再计算1倍量。有效差值=29-2=27人，对应4-1=3倍。 【详解】 1. 求有效差值：29 - 2 = 27（人） 2. 倍数差：4 - 1 = 3 3. 书法小组人数（1倍量）：27 ÷ 3 = 9（人） 4. 美术小组人数：9 × 4 + 2 = 38（人） 【答案】书法小组9人，美术小组38人 【跟踪训练1】 甲仓库的粮食比乙仓库多65吨，甲仓库粮食吨数是乙仓库的6倍多5吨，甲、乙两个仓库各有粮食多少吨？ 【分析】 乙仓库为1倍量，甲仓库为6倍多5吨。总差值65吨包含多余的5吨，先减去5吨得到有效差值，对应5倍量，再依次求解。 【详解】 有效差值：65 - 5 = 60（吨） 倍数差：6 - 1 = 5 乙仓库：60 ÷ 5 = 12（吨） 甲仓库：12 × 6 + 5 = 77（吨） 【答案】甲仓库77吨，乙仓库12吨 【跟踪训练2】 小明的零花钱比小红多46元，小明的零花钱是小红的5倍多6元，两人各有多少零花钱？ 【分析】 小红零花钱为1倍量，小明为5倍多6元。差值46元需扣除多余6元，得到对应4倍的有效差值，再计算求解。 【详解】 有效差值：46 - 6 = 40（元） 倍数差：5 - 1 = 4 小红零花钱：40 ÷ 4 = 10（元） 小明零花钱：10 × 5 + 6 = 56（元） 【答案】小红10元，小明56元 【典型例题3】几倍少几变式+隐藏差综合问题 两筐苹果重量相等，如果从甲筐取出18千克，乙筐放入24千克，此时乙筐苹果重量是甲筐的4倍。原来两筐苹果各有多少千克？ 【分析】 本题为复杂变式题，需要先推导隐藏差值。原来两筐重量相等，甲筐减少18千克，乙筐增加24千克，此时两筐的差值为18+24=42千克。现在乙筐是甲筐的4倍，属于基础差倍变式，甲筐现有重量为1倍量，乙筐为4倍量，差值对应3倍，先求甲筐现有重量，再求原来重量。 【详解】 1. 求现在两筐重量差：18 + 24 = 42（千克） 2. 倍数差：4 - 1 = 3 3. 甲筐现有重量：42 ÷ 3 = 14（千克） 4. 甲筐原有重量：14 + 18 = 32（千克） 两筐原来重量相等，因此乙筐原有也是32千克。 【答案】原来两筐苹果各有32千克 【跟踪训练1】 甲、乙两个书架书本数量相同，从甲书架拿走30本，乙书架放入50本，这时乙书架的书是甲书架的3倍。原来两个书架各有多少本书？ 【分析】 先求变化后的隐藏差值：甲减少30本、乙增加50本，两数差值为30+50=80本。此时乙是甲的3倍，倍数差为2，对应差值80本，先求甲现有数量，再还原原有数量。 【详解】 现有数量差：30 + 50 = 80（本） 倍数差：3 - 1 = 2 甲书架现有：80 ÷ 2 = 40（本） 原有书本数量：40 + 30 = 70（本） 【答案】原来两个书架各有70本书 【跟踪训练2】 两根同样长的绳子，第一根剪去25厘米，第二根接上35厘米，现在第二根绳子长度是第一根的6倍。原来绳子长多少厘米？ 【分析】 绳子原长相同，第一根缩短、第二根变长，隐藏差值为25+35=60厘米。现在第二根是第一根的6倍，倍数差5倍对应60厘米，求出第一根现有长度，再还原原长。 【详解】 现有长度差：25 + 35 = 60（厘米） 倍数差：6 - 1 = 5 第一根现有长度：60 ÷ 5 = 12（厘米） 原有长度：12 + 25 = 37（厘米） 【答案】原来绳子长37厘米 高频真题 1．有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲、乙两班各有多少人？ 【答案】56人；40人 【分析】本题考查列方程解决实际问题。首先根据第一个调人条件“从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等”，分析得出甲班原有人数比乙班多16人。然后设乙班原有人数为未知数x，用含x的式子表示出甲班原有人数。最后根据第二个调人条件“从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍”中的数量关系列出方程求解。 【详解】解：设乙班原有x人。 由题意可知，甲班比乙班多：8×2＝16（人） 则甲班原有（x＋16）人。 根据题意列方程得： （x＋16）＋8＝2×（x－8） x＋24＝2x－16 2x－x＝24＋16 x＝40 甲班原有：40＋16＝56（人） 答：甲班有56人，乙班有40人。 2．六（1）班与六（2）班原有图书一样多，后来六（1）班又买来新书38本，六（2）班从本班原有图书中取出72本送给一年级同学，这时六（1）班的图书是六（2）班的3倍，两班原有图书各多少本？ 【答案】127本 【分析】可以设两班原有图书x本，根据“六（1）班增加 38 本，六（2）班减少 72 本，这时六（1）班的图书是六（2）班的3倍，找准等量关系式，列方程解答即可。 【详解】解：设两班原有图书x本，根据题意列方程： x＋38＝3（x－72） x＋38＝3x－216 3x－x＝38＋216 2x＝254 x＝127 答：两班原有图书各127本。 3．有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 【答案】6小时 【分析】两根蜡烛的长度原来是相等的，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，因此粗蜡烛比细蜡烛长：15－3＝12（厘米）。再结合此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍，就可以利用差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”即可求出细蜡烛的长度，乘3求出粗蜡烛的长度。粗蜡烛1小时燃烧3厘米，因此最后除以3就可以求出粗蜡烛还能烧多久。 【详解】细蜡烛：（15－3）÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 粗蜡烛：6×3＝18（厘米） 18÷3＝6（小时） 答：粗蜡烛还能烧6小时。 4．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大14岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，今年两人年龄各几岁？ 【答案】18岁；32岁 【分析】四年前老将比新手大14岁，今年老将依旧比新手大14岁。再根据新手说上次你比我大一倍可知4年前老将的年龄是新手的2倍，据此即可根据差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”求出新手4年前的年龄。然后再加上4即可求出新手今年的年龄。据此即可求解。 【详解】14÷（2－1） ＝14÷1 ＝14（岁） 新手：14＋4＝18（岁） 老将：18＋14＝32（岁） 答：今年新手是18岁，老将是32岁。 5．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 【答案】49个 【分析】根据题意，“每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶后，第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍”，此时，第一个展示柜上剩余的动作人偶比第二个展示柜剩余的动作人偶多的个数为：67－32＝35（个）；根据差倍公式可以计算出第二个展示柜上剩余动作人偶的数量；进而求出大促结束后一共剩下多少个动作人偶。 【详解】 ＝35÷5 ＝7（个） 7×（6＋1） ＝7×7 ＝49（个） 答：大促结束后一共剩下49个动作人偶。 6．现有甲、乙两个仓库，甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍。如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，两个仓库原来各有多少吨货物？ 【答案】甲仓库原来有货物308吨，乙仓库原来有货物88吨。 【分析】如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，由此即可求出甲、乙两个仓库原来的货物重量之差为：120＋100＝220（吨）。再结合甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍，即可根据差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”来求解。 【详解】乙：（120＋100）÷（3.5－1） ＝220÷2.5 ＝88（吨） 甲：88×3.5＝308（吨） 答：甲仓库原来有货物308吨，乙仓库原来有货物88吨。 7．有两个复习班，甲班有20人，乙班42人，以后两班各收了相等的人数，现在甲班的人数为乙班的，两个班各吸收了多少名学生？ 【答案】2名 【分析】甲班有20人，乙班42人，可以先求出乙班比甲班多的人数为：42－20＝22（人）。以后两班各收了相等的人数，因此两个班的人数差不会发生变化，乙班还是比甲班多22人。现在甲班的人数为乙班的，由此即可知道甲班的人数比乙班少，即乙班的就对应了22人，由此即可求出乙班现在又多少人。最后再用乙班现在的人数减去乙班原来的人数，即可求出两个班各吸收了多少名学生。 【详解】乙班现在的人数： （42－20）÷（1－） ＝22÷ ＝44（人） 44－42＝2（人） 答：两个班各吸收了2名学生。 8．东仓小麦比西仓的多2480袋，今每天从东仓取走50袋，从西仓取走65袋，经6天西仓袋数占东仓的50%，两仓原来共有小麦多少袋？ 【答案】8400袋 【分析】东仓小麦比西仓的多2480袋，每天从东仓取走50袋，从西仓取走65袋，则6天后东仓小麦比西仓的多：2480＋（65－50）×6＝2570（袋）。再根据此时西仓袋数占东仓的50%，即可知道东仓现在的数量为：2570÷50%＝5140（袋）。再将运走的加回来，即可求出东仓原来有小麦多少袋。最后再根据东仓小麦比西仓的多2480袋即可求出西仓的数量，相加就可以求出两仓原来共有小麦多少袋。 【详解】2480＋（65－50）×6 ＝2480＋15×6 ＝2480＋90 ＝2570（袋） 东仓原来：2570÷50%＋50×6 ＝5140＋300 ＝5440（袋） 一共：5140－2480＋5440 ＝2960＋5440 ＝8400（袋） 答：两仓原来共有小麦8400袋。 9．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 【答案】14岁；24岁 【分析】我们把这个问题译成常见应用题表述形式为：今年，老运动员年龄比新运动员大10岁；四年前，老运动员年龄比新运动员大一倍。新、老运动员今年各几岁？大家还记得年龄问题的基本关系吗？所以现在新运动员：（岁），老运动员：（岁）。 【详解】10÷（2－1）＋4 ＝10÷1＋4 ＝10＋4 ＝14（岁） 14＋10＝24（岁） 答：新运动员14岁；老运动员24岁。 【点睛】要明确，四年前，老运动员与新运动员的年龄差对应的是（2－1），据此可知四年前新运动员的年龄，由此解题即可。 10．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 【答案】人 【分析】小班每个人就会发（13×2）张，即26张画片，那么，小班的个人比大班的个人多发了（26－17）张，即9张画片，总共多发了张，所以小班有：（人）。 【详解】126÷（13×2－17）×2 ＝126÷9×2 ＝14×2 ＝28（人） 答：小班有28人。 【点睛】解答本题的关键是：将小班每两人编做一组那么小班的组数跟大班的人数就是相等的了，小班每组发的画片为（13×2）张，比大班每人17张要多9张。可以算出组数，再乘2即小班的人数。 11．学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？ 【答案】本；本 【分析】如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，说明上层比下层多8本；如果下层少放8本 ，上层的书就是下层的2倍，把下层书作为一倍量，下层少放8本之后与上层相差的本数是：（本），此时下层书的本数是：（本），所以下层有书：（本），上层有书：（本）。 【详解】（8＋8）÷（2－1）＋8 ＝16÷1＋8 ＝16＋8 ＝24（本） 24＋8＝32（本） 答：上层有本，下层有本。 【点睛】解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差以及数量差相对应的倍数差，由此求出1倍是多少。 12．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 【答案】本；本 【分析】当甲给乙45本的时候，两人相等，说明原来两人相差45×2＝90本；当乙给甲45本的时候，甲乙两人相差：90＋45×2＝180本，这180本对应着现在乙的（4－1）倍，由此求出现在乙的本数。即，乙给甲本书后剩下的书：（本），乙原有书：（本），甲原有书：（本）。 【详解】（45×2＋45×2）÷（4－1） ＝180÷3 ＝60（本） 60＋45＝105（本） 105＋45×2 ＝105＋90 ＝195（本） 答：甲有书195本，乙有书105本。 【点睛】此题的关键是分析当乙给甲45本的时候两人的差以及这个差对应着现在乙的多少倍。 13．李静和张华集邮，李静集的张数是张华的2.5倍，如果张华再集60张就和李静同样多．两人原来各有多少张邮票？ 【答案】张华：40张  李静：100张 【分析】李静集的张数是张华的2.5倍，把张华的张数看作单位“1”，李静集的张数相当于张华的2.5倍，也就是说李静集的张数比张华的张数多2.5﹣1=1.5（倍），由“如果张华再集60张就和李静同样多”，说明李静集的张数比张华的张数多60张，所以张华的张数是60÷（2.5﹣1）；再根据倍数关系，求出李静集的张数． 【详解】张华的张数为： 60÷（2.5﹣1） =60÷1.5 =40（张） 李静集的张数为： 40×2.5=100（张） 答：张华原来有40张邮票，李静原来有100张邮票． 14．学校今年植树的棵数是前年的3倍，今年比前年多植树156棵，学校今年和前年各植树多少棵？ 【答案】今年：234棵   前年：78棵 【详解】156÷（3﹣1） =156÷2 =78（棵） 78×3=234（棵） 答：学校今年植树234棵，前年植树78棵． 15．已知两个数的商是4，而这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个是多少？ 【答案】13 【详解】商是4说明这两个数中较大数是较小数的4倍，两个数的差是较小数的4－1＝3倍，所以较小数为39÷3＝13． 16．有大小两个整千数，大数是小数的3倍，这两个数最高位上的数字的差是6，问这两个整千数各是多少？ 【答案】3000 9000 【分析】两个整千数最高位上数字的差是6，也就是这两个数的差是1000×6=6000，这个隐藏条件找到就好做了． 【详解】1000×6=6000 6000÷(3-1)=3000 3000×3=9000 答:小数是3000,大数是9000． 17．哥哥的图书数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，则哥哥、弟弟各有图书多少本？ 【答案】哥哥90本   弟弟30本 【详解】画示意图如下: 把弟弟的本数作为1倍,则弟弟的本数=60÷(3-1)=30(本) 哥哥的本数=30×3=90(本) 答:弟弟的本数是30本,哥哥的本数是90本． 18．有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米．小水池里已有水70立方米．现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍．问每个水池注入了多少立方米的水. 【答案】45立方米 【详解】画出下面示意图： 我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份． 因此每份是：（300-70）÷2＝ 115（立方米） 要注入的水量是：115-70=45 （立方米） 答：每个水池要注入45立方米的水． 19．父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子年龄为11岁．问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？ 【答案】15年 【详解】现在父母年龄之和是：38＋36 ＝74（岁） 现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44．相差：74-44＝30（岁） 从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2（岁） 为追上相差的30，要30÷（4-2）＝15（年） 答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍. 20．—名学生在做三位数乘一位数的乘法时，由于马虎，把380抄成了386，所得结果比正确答案多36，正确的积是多少？ 【答案】2280 【详解】36÷（386－380）＝6 380×6＝2280 21．小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？ 【答案】132个 【分析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的（＝1一），即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的（＝），因此24＋24是两人球数和的 ＝。从而，和是（24＋24）÷＝132（个）。 【详解】（24＋24）÷（1－） ＝48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝132（个） 答：小莉和小刚原来共有玻璃球132个。 【点睛】本题考查分数四则混合运算应用，关键要找到单位“1”，并且找到量和对应的分率应用除法来解出单位“1”。 22．某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？ 【答案】870人 【分析】为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下： 把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480＋50×2＝580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，以此列式解答。 【详解】580÷（5－1） ＝580÷4 ＝145（人） 145×（1＋5） ＝145×6 ＝870（人） 答：参加室内，室外活动的一共有870人。 【点睛】此题主要考查学生对差倍问题的实际应用解题。 23．玻璃瓶里装着一些饮料，把饮料增加到原来的2倍，称得重5千克；把饮料增加到原来的4倍，称得重9千克，问原来瓶里的饮料重多少千克？瓶重多少千克？ 【答案】解：饮料的2倍是：9﹣5=4（千克）， 所以原来饮料重：4÷2=2（千克）； 瓶子重：5﹣2×2， =5﹣4， =1（千克）， 答：原来瓶内的饮料重2千克，瓶子重1千克 【详解】差倍问题 根据题意知道饮料重的2倍是9﹣5=4千克，由此求出原来饮料的重量，进而求出瓶子重．本题考查了实际问题差倍问题．根据题意得出9﹣5=4千克是水重的2倍是解答此题的关键． 24．有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件? 【答案】12 48 26 22 【详解】第一堆的件数的4倍等于第二堆件数，第三堆的件数比第一堆件数的2倍还多2，第四堆的件数比第一堆的件数的2倍少2． 第一堆件数+4个第一堆件数+(2个第一堆件数+2)+(2个第二堆件数－2)＝108 所以 9个第一堆件数＝108，所以第一堆的件数为108÷9＝12件． 则第二堆件数为12×4＝48，第三堆件数为12×2+2＝26件，第四堆件数为12×2－2＝22件． 25．有两条纸带，一条长2l厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的．问剪下的一段长多少厘米? 【答案】0.2 【详解】开始时，两条纸带得长度差为21－13＝8(厘米)． 因为两条纸带都减去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，有它们的差为13－8＝5份，则每份为8÷5＝1.6(厘米) ． 所以，剪后短纸带长为1.6×8＝12.8(厘米)，于是减去13－12.8＝0.2(厘米)． 方法二：设剪下x厘米， 则，交叉相乘得：13×(13－x)＝8×(21－x)，解得x＝0.2， 即剪下的一段长0.2厘米． 26．小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数，他今天比昨天多读了页，这时已经读完的页数是还没读的页数的，问题是，这本书共有多少页？ 【答案】280页 【分析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的，而前二天小明一共读了全书的，所以第二天比第一天多读的页对应全书的。所以整本书一共有（页）。 【详解】第一天读了全书的： 前两天小明一共读了全书的： 第二天比第一天多读的页对应全书的 （页） 答：这本书共有280页。 【点睛】本题考查分数除法的意义，将全书看成单位“1”，那么将每个量占全书页数的分数求出来。 27．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 【答案】200 【详解】因为甲厂生产的是乙厂的，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份＝8台．总共＝8×(12+13)＝200台． 28．启东水泥厂有甲、乙两仓库,各有水泥若干袋，甲仓库存水泥的袋数是乙仓库的3倍，后来从甲仓库运出450袋，从乙仓库运出50袋．这时仓库剩余的袋数相等，甲、乙仓库原有水泥多少袋？ 【答案】甲：600袋   乙：200袋 【分析】依题意，甲仓库有水泥袋数比乙仓库多(450-50)袋，又知甲仓库所存水泥袋数是乙仓库的3倍，则可求解． 【详解】乙仓库水泥袋数:(450-50)÷(3-1)=200(袋) 甲仓库水泥袋数:200×3=600(袋) 答:甲、乙两仓库各有水泥600袋、200袋． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $