小升初奥数培优讲义：圆柱与圆锥的应用-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦圆柱与圆锥应用专题，覆盖表面积特殊场景、体积计算、等积变换、切割拼接、浸水问题等核心考点，通过知识梳理构建体系、例题精讲突破难点、高频真题实战演练等环节，帮助学生掌握公式灵活运用与空间转化技巧。 亮点在于以空间观念和模型意识为核心，设计“判图形-找条件-定公式-细计算-验结果”五步解题法，结合切割增加面分析、浸水体积等量转化等实例，通过解题口诀强化记忆，如“等底等高三倍差，切割增减面数熟”。阶梯式例题与真题训练帮助学生突破空间思维难点，教师可据此精准定位学生薄弱环节，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：圆柱与圆锥的应用 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 圆柱与圆锥是小升初几何板块的核心分水岭，从平面图形进阶到立体图形，不仅需要熟练背诵公式，更考验大家的空间想象能力、逻辑转化能力和细节把控能力。本专题题型灵活、陷阱密集，的特殊倍数、表面积的特殊场景、切割拼接的面积变化、浸水问题的等积转化，都是区分基础水平与奥数培优水平的关键考点。 本节课我们系统攻克了圆柱圆锥所有必考模型：特殊表面积应用、圆柱体积计算、圆锥体积核心考点、等积倍数变换、立体切割拔高、浸水排水压轴六大题型，吃透了公式正向运用、逆向推导、场景变式、等量转化的全部解题逻辑，规避了绝大多数同学的高频丢分误区。所有立体图形应用题，万变不离其宗，核心都是找准对应量、活用公式、等价转化。 奥数学习的本质，是思维的升级，而非机械刷题。希望同学们牢记解题口诀，区分不同题型的模型差异，养成“先判场景、再找条件、统一单位、规范计算、仔细验算”的解题习惯。夯实立体几何基础，突破空间思维难点，熟练掌握圆柱与圆锥的各类变式题型，从容应对小升初分班考、奥数竞赛的压轴难题，为初中几何学习筑牢坚实根基！ 一、问题定义与考情分析 圆柱与圆锥是小升初几何模块核心重难点、分班考压轴高频考点，属于立体图形应用类必考专题。区别于基础平面几何，本专题侧重空间想象、公式灵活变形、等积转化、切割拼接变化、浸水容积应用，题型灵活、陷阱较多，是拉开奥数分数的关键模块。 考试常见题型：表面积特殊应用（无盖、通风管）、体积常规计算、圆柱圆锥等积变换、立体切割与拼接、旋转体体积、水中浸物排水问题、容积实际应用题、圆柱圆锥比例拔高题。 二、圆柱与圆锥基础特征 1. 圆柱特征 有2个大小完全相同的圆形底面、1个曲面侧面；上下粗细均匀，有无数条相等的高；侧面沿高展开是长方形（正方形为特殊长方形），长方形的长=底面周长，宽=圆柱的高。 2. 圆锥特征 有1个圆形底面、1个曲面侧面、1个顶点；仅有1条高（顶点到底面圆心的垂直距离）；侧面展开为扇形。 三、核心万能公式（必背、可逆向推导） 统一取值：小学奥数常规 ，为底面半径，为底面直径，为高 1. 基础周长与面积 底面周长： 底面圆面积： 2. 圆柱全套公式 圆柱侧面积： 圆柱表面积（完整圆柱）： 无盖圆柱表面积（水桶、水池）： 通风管圆柱表面积（无上下底）： 圆柱体积： 3. 圆锥全套公式 圆锥体积（核心易错）： 逆推高： 逆推底面积： 四、圆柱与圆锥核心等量关系（奥数必考） 1. 等底等高：圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的，体积比 ； 2. 等底等体积：圆锥的高是圆柱的3倍，圆柱的高是圆锥的； 3. 等高等体积：圆锥的底面积是圆柱的3倍，圆柱的底面积是圆锥的； 4. 体积差规律：等底等高时，体积相差2倍圆锥体积、圆柱体积。 五、切割与拼接变化规律（拔高难点） 1. 圆柱切割 横切（平行底面）：每切1次，增加2个圆形底面积，体积不变，表面积增加； 竖切（沿直径高切开）：切面为长方形，每切1次，增加2个长方形面积（长=高，宽=直径）。 2. 圆柱切拼长方体 体积不变，表面积增加，增加2个以半径、高为边长的长方形面。 六、水中浸物核心模型（压轴考点） 1. 完全浸没：物体体积 = 圆柱容器中上升水的体积； 2. 部分浸没：物体排开水的体积 = 上升水的体积； 3. 取出物体：下降水的体积 = 浸没物体体积。 七、标准解题五步步骤 1. 判图形：区分圆柱、圆锥，判断是否无盖、通风管、实心/空心； 2. 找条件：找准半径、直径、高，统一单位（厘米、分米、米统一）； 3.定公式：根据场景选择表面积、体积、等积变形对应公式； 4. 细计算：圆锥体积牢记乘，表面积区分特殊场景； 5. 验结果：核对倍数关系、增减变化、单位是否规范。 八、高频易错点汇总 1. 圆锥体积忘记乘，奥数最高频丢分点； 2. 圆柱表面积乱用公式，无盖、通风管多算底面； 3. 混淆半径与直径，直接用直径代入面积公式； 4. 等积变形记错3倍关系，高低、底面积倍数颠倒； 5. 切割题型记错增加面的数量与形状； 6. 单位不统一，长度、面积、体积单位混用。 九、解题口诀 圆柱圆锥看清楚，半径高量先找足； 圆柱体积底乘高，锥体三分要记住； 无盖少算一个底，通风侧面就足够； 等底等高三倍差，切割增减面数熟； 浸水体积相等换，单位统一不出错。 例题讲解 【典型例题1】圆柱特殊表面积应用（无盖/通风管 基础必考） 题目：一个无盖圆柱形铁皮水桶，底面半径2分米，高5分米，制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【分析】 无盖圆柱表面积专属题型，属于小升初高频基础考点。无盖水桶只有一个底面+侧面，无需计算上底面面积，分别求出底面积和侧面积，求和即可。 【详解】 1. 计算底面积：（平方分米） 2. 计算侧面积：（平方分米） 3. 总铁皮面积：（平方分米） 【答案】 至少需要75.36平方分米的铁皮。 【跟踪训练1】 题目：一节圆柱形通风管，底面直径10厘米，长80厘米，制作这节通风管需要多少平方厘米铁皮？ 【分析】 通风管为空心圆柱，无上下两个底面，只需计算圆柱侧面积，代入直径求周长，再算侧面积。 【详解】 1. 底面周长：（厘米） 2. 侧面积：（平方厘米） 【答案】 需要2512平方厘米铁皮。 【跟踪训练2】 题目：一个圆柱形蓄水池，底面半径3米，深4米，在池底和池壁粉刷水泥，粉刷面积是多少平方米？ 【分析】 蓄水池粉刷场景，等同于无盖圆柱，仅计算池底（1个底面）和池壁（侧面）面积之和。 【详解】 1. 底面积：（平方米） 2. 侧面积：（平方米） 3. 粉刷总面积：（平方米） 【答案】 粉刷面积是103.62平方米。 【典型例题2】圆柱体积基础计算与实际应用 题目：一个圆柱形水杯，底面直径6厘米，高15厘米，这个水杯的容积是多少毫升？（厚度忽略不计） 【分析】 圆柱容积即内部体积，公式与圆柱体积一致。先由直径求出半径，代入体积公式计算，最后换算单位（1立方厘米=1毫升）。 【详解】 1. 底面半径：（厘米） 2. 圆柱容积：（立方厘米） 3. 单位换算：423.9立方厘米=423.9毫升 【答案】 水杯容积是423.9毫升。 【跟踪训练1】 题目：一根圆柱形木料，底面半径4分米，长20分米，它的体积是多少立方分米？ 【分析】 实心圆柱体积基础计算，直接套用底面积乘高公式，代入数据求解即可。 【详解】 体积：（立方分米） 【答案】 木料体积是1004.8立方分米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱体积502.4立方厘米，底面半径4厘米，求圆柱的高？ 【分析】 圆柱体积逆向计算题，由体积公式逆推：高=体积÷底面积，先求底面积再计算高。 【详解】 1. 底面积：（平方厘米） 2. 圆柱的高：（厘米） 【答案】 圆柱的高为10厘米。 【典型例题3】圆锥体积核心应用（攻克1/3易错点） 题目：一个圆锥形沙堆，底面周长18.84米，高3米，这堆沙子的体积是多少立方米？ 【分析】 圆锥体积经典题型，已知周长需先求半径，再算底面积，最后代入圆锥体积公式，务必记得乘，规避高频易错点。 【详解】 1. 底面半径：（米） 2. 底面积：（平方米） 3. 圆锥体积：（立方米） 【答案】 沙子体积是28.26立方米。 【跟踪训练1】 题目：一个圆锥底面半径5厘米，高9厘米，求圆锥体积？ 【分析】 基础圆锥体积计算，直接套用公式，重点强化乘的解题习惯。 【详解】 体积：（立方厘米） 【答案】 圆锥体积为235.5立方厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆锥体积125.6立方分米，底面积31.4平方分米，求圆锥的高？ 【分析】 圆锥逆向拔高题，牢记逆推公式：，必须先给体积乘3再除以底面积。 【详解】 圆锥的高：（分米） 【答案】 圆锥的高为12分米。 【典型例题4】圆柱圆锥等积变换问题（奥数重点） 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥大48立方厘米，求圆柱和圆锥的体积各是多少？ 【分析】 等底等高核心模型，圆柱体积是圆锥3倍，二者体积差为2份圆锥体积。通过差值先求出1份体积，即可快速算出两者体积。 【详解】 1. 体积份数差：（份） 2. 圆锥体积（1份）：（立方厘米） 3. 圆柱体积（3份）：（立方厘米） 【答案】 圆柱体积72立方厘米，圆锥体积24立方厘米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱和圆锥等底等体积，已知圆柱高6厘米，求圆锥的高？ 【分析】 等底等体积模型，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接利用倍数规律求解。 【详解】 圆锥的高：（厘米） 【答案】 圆锥的高为18厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱和圆锥等高等体积，圆锥底面积45平方厘米，求圆柱底面积？ 【分析】 等高等体积模型，圆锥底面积是圆柱的3倍，圆柱底面积为圆锥的。 【详解】 圆柱底面积：（平方厘米） 【答案】 圆柱底面积为15平方厘米。 【典型例题5】圆柱切割表面积变化问题（拔高难点） 题目：一根长2米的圆柱形木料，底面半径3分米，将它平行于底面横切分成2段，表面积增加多少平方分米？ 【分析】 圆柱横切高频难点，平行底面切1次，增加2个圆形底面面积，与圆柱高度无关，只需计算两个底面积之和，注意统一单位。 【详解】 1. 单位统一：2米=20分米（本题高度不参与计算，仅规避单位陷阱） 2. 单个底面积：（平方分米） 3. 增加的表面积：（平方分米） 【答案】 表面积增加56.52平方分米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱形木材底面直径8厘米，沿底面直径竖直切成两半，表面积增加80平方厘米，求圆柱的高？ 【分析】 圆柱竖切模型，沿直径切开增加2个长方形切面，长方形宽=直径、长=圆柱高，先求单个切面面积，再逆推高。 【详解】 1. 单个切面面积：（平方厘米） 2. 圆柱的高：（厘米） 【答案】 圆柱的高为5厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱木料横切3段，表面积增加113.04平方厘米，求圆柱底面积？ 【分析】 切割段数规律：切3段需要切2次，每次增加2个底面，共增加4个底面，用总增加面积÷4得单底面积。 【详解】 1. 切面总个数：（个） 2. 底面积：（平方厘米） 【答案】 圆柱底面积为28.26平方厘米。 【典型例题6】浸水排体积压轴问题（分班考必考） 题目：一个底面半径20厘米的圆柱形容器，装有适量水，将一个底面半径10厘米、高15厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，水面上升多少厘米？ 【分析】 完全浸没问题核心模型：圆锥体积=上升水的体积。先求出圆锥体积，再用体积÷圆柱容器底面积，得到水面上升高度。 【详解】 1. 圆锥体积：（立方厘米） 2. 圆柱容器底面积：（平方厘米） 3. 水面上升高度：（厘米） 【答案】 水面上升1.25厘米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱容器底面直径40厘米，放入一个圆柱形铁块完全浸没，水面上升5厘米，求铁块体积？ 【分析】 完全浸没模型，铁块体积=上升水的体积，直接计算圆柱容器内上升水柱的体积即可。 【详解】 1. 容器半径：（厘米） 2. 铁块体积：（立方厘米） 【答案】 铁块体积为6280立方厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱容器底面积314平方厘米，浸入圆锥后水面上升6厘米，圆锥高12厘米，求圆锥底面积？ 【分析】 浸水逆向压轴题，先通过上升水体积得圆锥体积，再利用圆锥逆推公式求底面积。 【详解】 1. 圆锥体积（上升水体积）：（立方厘米） 2. 圆锥底面积：（平方厘米） 【答案】 圆锥底面积为471平方厘米。 高频真题 1．一堆煤呈圆锥形，高为3米，底面周长为25.12米。这堆煤的体积是多少？已知每立方米的煤大约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 【答案】50.24立方米；75.36吨 【分析】根据公式求出圆锥的底面半径，再根据圆锥体积计算公式代入数据计算出这堆煤的体积，最后再乘1.5，据此解答即可。 【详解】底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 圆锥体积： ＝ ＝ ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 50.24×1.5＝75.36（吨） 答：这堆煤的体积是50.24立方米；这堆煤大约重75.36吨。 2．张爷爷家院子里有一个圆锥形小麦堆，它的底面周长是12.56米，高是2.1米。如果每立方米小麦约重800千克，这个小麦堆约重多少千克？ 【答案】7033.6千克 【分析】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出圆锥形小麦堆的体积，最后乘每立方米小麦的重量求出这个小麦堆的总重量。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） ＝ ＝ ＝ ＝2.8×3.14 ＝8.792（立方米） 8.792×800＝7033.6（千克） 答：这个小麦堆约重7033.6千克。 3．一个圆柱形油桶，桶内底面积是8平方分米，高是5分米，把满桶的油全部倒入一个长方体的油箱内，油箱还空着。已知长方体油箱内部的底面积为6平方分米，油箱空余部分的高是多少？ 【答案】分米 【分析】根据圆柱的容积＝底面积×高，据此求出圆柱形油桶内的油的容积；把长方体的油箱容积看作单位“1”，它的（1－）对应的是圆柱形油桶里油的容积，求单位“1”，用除法，用圆柱形油桶里油的容积÷（1－），求出长方体油桶的容积，再根据长方体容积＝底面积×高，高＝长方体容积÷底面积，求出长方体油桶的高，再用长方体油桶的高×，即可解答。 【详解】（8×5）÷（1－）÷6× ＝40÷÷6× ＝40×÷6× ＝48÷6× ＝8× ＝（分米） 答：油箱空余部分的高是分米。 4．圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【答案】15.625厘米 【分析】根据题意可知，水体积不变。先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 往容器内插入圆柱形铁棒且铁棒底面与容器底面接触，那么容器内水的底面积等于圆柱形容器的底面积减去圆柱形铁棒的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出此时容器内水的底面积； 再根据圆柱的高h＝V÷S，即用水的体积÷容器内水的底面积，求出此时水的水深。 【详解】水的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 水的底面积： 3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 水的深度： 785÷50.24＝15.625（厘米） 答：这时水深15.625厘米。 5．沙漏根据沙子从上面容器漏到下面容器的体积来计算时间。如图的沙漏中已漏到下部的沙子的体积是28.26立方厘米，再过3分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部。 (1)现在沙漏上部沙子的体积是多少立方厘米？ (2)这个沙漏最多可以计量多长时间？ 【答案】(1)3.14立方厘米 (2)30分钟 【分析】（1）根据圆锥的体积＝底面积×高，把数代入即可求解。 （2）用现在沙漏下部沙子的体积除以3分钟求出一分钟可漏多少沙子；再用下部沙子的体积除以1分钟可漏多少沙子再加上3分钟即可。 【详解】（1）×3.14××3 ＝（×3）×3.14× ＝1×3.14×1 ＝3.14×1 ＝3.14（立方厘米） 答：沙漏上部沙子的体积是3.14立方厘米。 （2）28.26÷（3.14÷3）＋3 ＝28.26÷＋3 ＝28.26×＋3 ＝27＋3 ＝30（分） 答：这个沙漏最多可以计量30分钟。 6．笑笑家周六举行家庭小聚会，妈妈买回一瓶如图的圆柱形饮料，同时买了一些圆锥形杯子。 (1)这瓶饮料里有多少毫升饮料？ (2)如果给每位朋友倒满一杯，这瓶饮料一共可以倒满多少杯？ 【答案】(1)602.88毫升 (2)16杯 【分析】（1）根据圆柱的容积＝πr2h，代入数据，求出饮料的容积，注意单位换算。 （2）根据圆锥的容积＝πr2h，据此求出杯子的容积，再用饮料的容积÷杯子的容积，即可解答，注意单位换算。 【详解】（1）3.14×（8÷2）2×12 ＝3.14×42×12 ＝3.14×16×12 ＝50.24×12 ＝602.88（立方厘米） 602.88立方厘米＝602.88毫升。 答：这瓶饮料有602.88毫升。 （2）×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝9.42×4 ＝37.68（立方厘米） 37.68立方厘米＝37.68毫升 602.88÷37.68＝16（杯） 答：这瓶饮料一共可以倒满16杯。 7．端午节用箬（ruò）竹叶和糯米包成近似圆锥形的粽子，粽子的底面周长为18.84厘米，高为10厘米，这个粽子的体积是多少立方厘米？若每立方厘米糯米重0.9克，则包100个这样的粽子需要多少千克糯米？ 【答案】94.2立方厘米；8.478千克 【详解】根据圆锥的体积，计算时需先利用求出圆锥的底面半径。用一个粽子的体积乘每立方厘米糯米的质量，再乘粽子的个数即可求出所需的糯米的总重量，最后结果的单位“克”要换算成“千克”，1千克＝1000克。 【解答】 （厘米） （立方厘米） 答：这个粽子的体积是94.2立方厘米。 （克） 8478克＝8.478千克 答：包100个这样的粽子需要糯米8.478千克。 8．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，圆柱体的表面积是多少？ 【答案】1884平方厘米 【分析】根据题意可知这个圆柱的底面半径是10厘米，圆柱的高是10×2＝20厘米，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；由此解答即可。 【详解】3.14×102×2＋2×3.14×10×10×2 ＝3.14×100×2＋3.14×2×10×10×2 ＝3.14×200＋3.14×400 ＝3.14×（200＋400） ＝3.14×600 ＝1884（平方厘米） 答：表面积是1884平方厘米。 9．如图，一个酒瓶呈圆柱形，深30厘米，内直径是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，问：酒瓶容积是多少？ 【答案】1570立方厘米 【分析】根据“一个酒瓶呈圆柱形，内直径是10厘米”，可求出下半部圆柱的底面积；再根据“正放时瓶里酒深15厘米，倒放时瓶里酒深25厘米”，可知酒的体积的2倍正好是瓶子的容积与高为（15＋25－30）厘米的圆柱的体积，由此求瓶子的容积，用酒的体积的2倍减去高为（15＋25－30）厘米的圆柱的体积。 【详解】圆柱的底面积：3.14×＝78.5（平方厘米） 酒的体积的2倍：78.5×15×2＝2355（立方厘米） 高为（15＋25－30）厘米的圆柱的体积：78.5×（15＋25－30）＝785（立方厘米） 瓶子的容积：2355－785＝1570（立方厘米） 答：酒瓶的容积是1570立方厘米。 10．将一块高是9厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成相同的两部分，切面每个三角形的面积是18平方厘米，原来这块圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】37.68立方厘米 【分析】圆锥沿高垂直于底面切开后，切面三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥的底面直径，根据“底＝三角形面积×2÷高”求得三角形的底，即圆锥的底面直径，底面直径÷2＝底面半径，将半径代入圆锥体积公式：求解。 【详解】底面直径： 2×18÷9 ＝36÷9 ＝4（厘米） 体积： ×3.14×（4÷2）²×9 ＝×3.14×2²×9 ＝×3.14×4×9 ＝37.68（立方厘米） 答：原来这块圆锥形糕点的体积是37.68立方厘米。 11．一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱体容器，水中放着一个底面直径为6厘米，高5厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面会下降几厘米？ 【答案】0.15厘米 【分析】圆锥形铅锤的体积等于容器中下降的水的体积，先根据公式求出圆锥的体积，然后再除以圆柱形容器的底面积可得水面下降的厘米数。 【详解】 （厘米） 答：容器中的水面会下降0.15厘米。 12．将一个底面半径为5厘米，高为15厘米的圆锥形铁块放在一个底面直径为20厘米，盛有一定量水的圆柱形容器中（铁块完全浸没在水中，水没有溢出），水面将上升多少厘米？ 【答案】1.25厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积。先根据圆锥的体积公式（V＝πr2h）求出铁块的体积，再根据圆柱形容器的底面直径求出底面半径和底面积（S＝πr2），最后用铁块的体积除以圆柱形容器的底面积，即可求出水面上升的高度。 【详解】圆锥形铁块的体积： ＝（立方厘米） 圆柱形容器的底面半径：（厘米） 圆柱形容器的底面积： ＝（平方厘米） 水面上升的高度： （厘米） 答：水面将上升1.25厘米。 13．在一个装有水的圆柱形储水桶里，浸没着一个底面周长为94.2厘米，高为24厘米的圆锥形物体，当把这个物体从储水桶中取出时，水面下降了2厘米，这个圆柱形储水桶的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 2826平方厘米 【分析】先根据圆锥的底面周长C＝2πr（π取3.14），求出圆锥的底面半径。再根据圆锥体积公式V＝πr2h求出圆锥的体积，即下降部分水的体积。最后用下降部分水的体积除以水面下降的高度，即可求出圆柱形储水桶的底面积。 【详解】圆锥的底面半径：94.2÷（2×3.14） ＝94.2÷6.28 ＝15（厘米） 圆锥的体积（即下降的水的体积）：×3.14×152×24 ＝×3.14×225×24 ＝5652（立方厘米） 圆柱形储水桶的底面积：5652÷2＝2826（平方厘米） 答：这个圆柱形储水桶的底面积是2826平方厘米。 14．一个近似于圆锥形的黄砂堆，底面周长18.84米，高0.5米。如果每立方米黄砂约重2吨，这堆黄砂大约重多少吨？ 【答案】9.42吨 【分析】求黄砂的总重量，需要先求出圆锥的体积。先利用周长公式（C＝2πr）求出底面半径（r＝C÷π÷2）；再利用圆锥体积公式（V＝πr2h）求出体积；最后用体积乘每立方米黄砂的重量即可得到总重量。 【详解】底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 总体积： ×3.14×32×0.5 ＝×3.14×9×0.5 ＝×9×3.14×0.5 ＝3×3.14×0.5 ＝9.42×0.5 ＝4.71（立方米） 总重量：4.71×2＝9.42（吨） 答：这堆黄砂大约重9.42吨。 15．如图，甲容器是一个长10厘米、宽6厘米、高20厘米的长方体玻璃器皿，里面装有深8厘米的水。将甲容器中的水全部倒入乙容器中，水深12厘米，乙容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】40平方厘米 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高（水深），求出甲容器中水的体积，再用水的体积除以乙容器中的水深，即可求出乙容器的底面积。 【详解】10×6×8 ＝60×8 ＝480（立方厘米） 480÷12＝40（平方厘米） 答：乙容器的底面积是40平方厘米。 16．把一根底面周长是25.12厘米，长是100厘米的圆柱形钢材，铸造成一个横截面是正方形（边长是4厘米）的长方体钢材。长方体钢材的长是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】 314 厘米 【分析】根据题意可知，把圆柱形钢材铸造成长方体钢材，形状改变了但体积不变。首先根据圆柱的底面周长公式（C＝2π）求出底面半径（＝C÷π÷2），再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出钢材的体积。最后根据长方体的体积＝底面积×高，可知用钢材的体积除以长方体的底面积（正方形面积），即可求出长方体钢材的长。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） ＝3.14×16×100 ＝5024（立方厘米） 4×4＝16（平方厘米） 5024÷16＝314（厘米） 答：长方体钢材的长是 314 厘米。 17．一个圆柱形容器的底面半径是30厘米，里面盛的水高是60厘米，现将半径为25厘米的圆锥完全沉入水中，水面上升（水未溢出）。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】21.6厘米 【详解】用水高乘，求出水面上升的高度，水面上升的体积等于圆锥的体积。根据圆柱的体积V＝πr2h，算出水面上升的那部分水的体积，也是圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝πr2h，用圆锥体积除以除以π除以半径的平方即可算出高。 【解答】60×＝5（厘米） （3.14×302×5）÷（×3.14×252） ＝（3.14×900×5）÷÷3.14÷625） ＝14130÷÷3.14÷625 ＝14130×3÷3.14÷625 ＝21.6（厘米） 答：这个圆锥的高是21.6厘米。 18．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 【答案】57.12dm3 【分析】工具箱的容积＝长方体容积＋圆柱容积的一半。长方体的容积＝长×宽×高，圆柱的容积V＝πr2h计算。 【详解】4÷2＝2（dm） ＝ ＝ ＝57.12（dm3） 答：这个工具箱的容积是57.12dm3。 19．木工师傅有一根底面周长为18.84厘米的圆柱形木料，为了制作特殊的构件，沿着木料斜着截取后，剩余部分如下图，剩余部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】底面半径＝底面周长÷2π，圆柱的体积＝。此题可以先将两个同样的上图的木料的截面拼在一起，拼成一个底面周长为18.84厘米，高是4＋6＝10厘米的圆柱。求出这个圆柱的体积，再除以2就是上图部分的体积。 【详解】半径：18.84÷3.14÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝141.3（立方厘米） 答：剩余部分的体积是141.3立方厘米。 20．毕业典礼上，同学们准备了一顶特别的“博士帽”：帽子的上面是边长为30厘米的正方形卡纸，下面是一个无盖无底的圆柱形帽檐，底面直径为20厘米，高为8厘米。做这顶帽子的上下两个部分，一共需要多少平方厘米的卡纸？（连接处忽略不计） 【答案】1402.4平方厘米 【分析】博士帽由正方形卡纸和无盖无底的圆柱形帽檐组成，分别计算两部分的面积再求和。正方形面积＝边长×边长，无盖无底圆柱的表面积等于侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，底面周长＝π×直径。 【详解】正方形卡纸面积：30×30＝900（平方厘米） 圆柱形帽檐侧面积： 3.14×20×8 ＝62.8×8 ＝502.4（平方厘米） 总面积：900＋502.4＝1402.4（平方厘米） 答：一共需要1402.4平方厘米的卡纸。 21．如图，把高的圆柱切开并拼成一个近似的长方体后，表面积增加了平方厘米，则圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】282.6立方厘米 【分析】由题意得，增加的表面积是两个长方形的面积，长方形的一条边是圆柱的高，另一条边是圆柱底面圆的半径，用60除以2，求得1个长方形的面积，再除以圆柱的高，求得圆柱的底面圆的半径，圆柱的体积，把数据代入公式计算即可。 【详解】60÷2÷10 ＝30÷10 ＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 答：圆柱的体积是282.6立方厘米。 22．一个无盖的圆柱形铁皮水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的。淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没，这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 (1)这个水桶的高是多少厘米？ (2)这个水桶原来存水多少立方厘米？ 【答案】(1)20厘米 (2)5652立方厘米 【分析】（1）把水桶的高看作单位“1”，原来水面高度是桶高的，放入铁块后水桶正好装满，说明水面上升的高度占桶高的（1－），已知水面上升了2厘米，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算水桶的高； （2）铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，用铁块的体积除以上升的水面的高度得到圆柱的底面积，用圆柱形水桶的高度减2求出原来水的高度，再乘水桶的底面积即可得到原来存水多少立方厘米。 【详解】（1）2÷（1－） ＝2÷ ＝2×10 ＝20（厘米） 答：这个水桶的高是20厘米。 （2）628÷2＝314（平方厘米） 314×（20－2） ＝314×18 ＝5652（立方厘米） 答：这个水桶原来存水5652立方厘米。 23．如图，少先队队鼓是圆柱形的，底面直径6分米，高2分米，侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮，做10个这样的队鼓，至少需要铝皮多少平方分米？ 【答案】376.8平方分米 【分析】先求出做1个这样的队鼓需要铝皮的面积，也就是求圆柱的侧面积，根据“”求出做1个队鼓需要铝皮的面积，再乘做队鼓的数量求出需要铝皮的总面积。 【详解】3.14×6×2×10 ＝18.84×2×10 ＝37.68×10 ＝376.8（平方分米） 答：至少需要铝皮376.8平方分米。 24．如图，在一个底面直径为20厘米的圆柱体容器内装入5厘米高的水，再把一块铁块完全浸没在水中，水面上升到7厘米，这块小铁块的体积是多少？ 【答案】628立方厘米 【分析】铁块体积等于上升部分水的圆柱体积，先求圆柱底面半径r和水上升的高度h，再用圆柱的体积公式计算上升部分圆柱体积。 【详解】r：20÷2＝10（厘米） h：7－5＝2（厘米） （立方厘米） 答：这块小铁块的体积是628立方厘米。 25．某酒店新建一个圆柱形露天泳池，从里面量得底面直径是20米，高为2.5米。 (1)泳池内部的底面和侧壁需要贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (2)若向泳池内注水，水深达到2米，此时池中水的体积是多少立方米？ 【答案】(1)471平方米 (2)628立方米 【分析】（1）求贴瓷砖的面积，就是求这个泳池的表面积，根据圆柱的表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 （2）求水深2米时水的体积，就是求圆柱底面直径是20米，高是2米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2＋3.14×20×2.5 ＝3.14×102＋3.14×20×2.5 ＝3.14×100＋62.8×2.5 ＝314＋157 ＝471（平方米） 答：贴瓷砖的面积是471平方米。 （2）3.14×（20÷2）2×2 ＝3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方米） 答：此时池中水的体积是628立方米。 26．某公园新设了一个长方形的儿童沙池乐园，沙池长5米，宽4米。工作人员将一堆圆锥形沙子均匀铺在沙池中，这堆沙子的底面积是15平方米，高是1.2米。沙子铺好后，厚度是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】沙子的体积在铺前后保持不变。根据圆锥的体积公式计算出圆锥形沙堆的体积；再将铺在长方体沙池中的沙子看作一个长方体，算出它的体积；最后用体积除以沙池底面积求出厚度，注意将单位从米换算为厘米。 【详解】 答：沙子铺好后，厚度是30厘米。 27．下面是一张长方形铁皮（长16.56分米），按照下图剪下涂色部分（两个完全一样的圆和一个长方形）正好可以制成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计）。 提示：长＝2r＋2πr，其中r为底面半径。 (1)这个油桶的底面半径是多少分米？ (2)这个油桶的容积是多少升？ 【答案】(1)2分米 (2)100.48升 【分析】（1）根据长＝2r＋2πr，设半径为r，把已知的铁皮长16.56分米和π＝3.14代入，列出方程2r＋2πr＝16.56，解方程即可求出底面半径r。 （2）圆柱的高等于2个底面直径（也就是2×2r），再根据圆柱容积公式V＝πr2h代入计算，最后把单位换算成升即可。 【详解】（1）解：设底面半径为r分米。 2r×（1＋3.14）＝16.56 2r×4.14＝16.56 8.28r＝16.56 8.28r÷8.28＝16.56÷8.28 r＝2 答：底面半径是2分米。 （2）2×2×2＝8（分米） 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（立方分米） 100.48立方分米＝100.48升 答：容积约是100.48升。 28．“神舟”飞船返回舱由圆柱体和圆锥体两部分组成。圆柱部分底面直径是4米，高是2.5米；圆锥部分底面直径是4米，高是1.2米。返回舱的总体积约是多少立方米？（π取3.14，得数保留一位小数） 【答案】约36.4立方米 【分析】返回舱由圆柱体和圆锥体（顶部）两部分组成，分别计算两部分体积再相加即可。圆柱体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h。 【详解】底面半径：4÷2＝2（米） 圆柱体积： 3.14×2×2.5 ＝3.14×4×2.5 ＝12.56×2.5 ＝31.4（立方米） 圆锥体积： ×3.14×2×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝×1.2×3.14×4 ＝0.4×3.14×4 ＝1.256×4 ＝5.024（立方米） 总体积：31.4＋5.024 ＝36.424 ≈36.4（立方米） 答：返回舱的总体积约是36.4立方米。 29．在一个棱长4厘米的正方体的6个面的中心各挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，求挖去后所得几何体的体积和表面积。 【答案】45.16立方厘米；133.68平方厘米 【分析】挖去后所得几何体的体积＝正方体体积－6个圆柱体体积；挖去后所得几何体的表面积＝正方体表面积＋6个圆柱体的侧面积。 【详解】几何体的体积＝4×4×4－6×3.14×12×1 ＝16×4－18.84×1×1 ＝64－18.84 ＝45.16（立方厘米） 几何体的表面积＝4×4×6＋6×2×3.14×1×1 ＝16×6＋12×3.14 ＝96＋37.68 ＝133.68（平方厘米） 答：挖去后所得几何体的体积是45.16立方厘米；表面积是133.68平方厘米。 30．底面积144平方厘米的圆桶里装了25厘米深的水，放入一个底面积16平方厘米，高35厘米的圆柱形铁块后，水面上升了多少厘米？（用方程解） 【答案】3.125厘米 【分析】设水面上升了x厘米。 已知圆桶底面积为144平方厘米，水面上升了x厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，水上升的体积为144x立方厘米； 已知圆柱形铁块底面积是16平方厘米，放入铁块后，水面上升x厘米，此时铁块浸入水中的高度是（25＋x）厘米，所以铁块浸入水中部分的体积为16×（25＋x）立方厘米； 因为水上升的体积等于铁块浸入水中部分的体积，所以可列方程：144x＝16×（25＋x），计算得144x＝400＋16x，根据等式的性质，方程两边同时减去16x，再同时除以128计算出x，即为水面上升的高度。 【详解】解：设水面上升了x厘米。 144x＝16×（25＋x） 144x＝16×25＋16x 144x＝400＋16x 144x－16x＝400＋16x－16x 128x＝400 128x÷128＝400÷128 x＝3.125 答：水面上升了3.125厘米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：圆柱与圆锥的应用 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 圆柱与圆锥是小升初几何板块的核心分水岭，从平面图形进阶到立体图形，不仅需要熟练背诵公式，更考验大家的空间想象能力、逻辑转化能力和细节把控能力。本专题题型灵活、陷阱密集，的特殊倍数、表面积的特殊场景、切割拼接的面积变化、浸水问题的等积转化，都是区分基础水平与奥数培优水平的关键考点。 本节课我们系统攻克了圆柱圆锥所有必考模型：特殊表面积应用、圆柱体积计算、圆锥体积核心考点、等积倍数变换、立体切割拔高、浸水排水压轴六大题型，吃透了公式正向运用、逆向推导、场景变式、等量转化的全部解题逻辑，规避了绝大多数同学的高频丢分误区。所有立体图形应用题，万变不离其宗，核心都是找准对应量、活用公式、等价转化。 奥数学习的本质，是思维的升级，而非机械刷题。希望同学们牢记解题口诀，区分不同题型的模型差异，养成“先判场景、再找条件、统一单位、规范计算、仔细验算”的解题习惯。夯实立体几何基础，突破空间思维难点，熟练掌握圆柱与圆锥的各类变式题型，从容应对小升初分班考、奥数竞赛的压轴难题，为初中几何学习筑牢坚实根基！ 一、问题定义与考情分析 圆柱与圆锥是小升初几何模块核心重难点、分班考压轴高频考点，属于立体图形应用类必考专题。区别于基础平面几何，本专题侧重空间想象、公式灵活变形、等积转化、切割拼接变化、浸水容积应用，题型灵活、陷阱较多，是拉开奥数分数的关键模块。 考试常见题型：表面积特殊应用（无盖、通风管）、体积常规计算、圆柱圆锥等积变换、立体切割与拼接、旋转体体积、水中浸物排水问题、容积实际应用题、圆柱圆锥比例拔高题。 二、圆柱与圆锥基础特征 1. 圆柱特征 有2个大小完全相同的圆形底面、1个曲面侧面；上下粗细均匀，有无数条相等的高；侧面沿高展开是长方形（正方形为特殊长方形），长方形的长=底面周长，宽=圆柱的高。 2. 圆锥特征 有1个圆形底面、1个曲面侧面、1个顶点；仅有1条高（顶点到底面圆心的垂直距离）；侧面展开为扇形。 三、核心万能公式（必背、可逆向推导） 统一取值：小学奥数常规 ，为底面半径，为底面直径，为高 1. 基础周长与面积 底面周长： 底面圆面积： 2. 圆柱全套公式 圆柱侧面积： 圆柱表面积（完整圆柱）： 无盖圆柱表面积（水桶、水池）： 通风管圆柱表面积（无上下底）： 圆柱体积： 3. 圆锥全套公式 圆锥体积（核心易错）： 逆推高： 逆推底面积： 四、圆柱与圆锥核心等量关系（奥数必考） 1. 等底等高：圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的，体积比 ； 2. 等底等体积：圆锥的高是圆柱的3倍，圆柱的高是圆锥的； 3. 等高等体积：圆锥的底面积是圆柱的3倍，圆柱的底面积是圆锥的； 4. 体积差规律：等底等高时，体积相差2倍圆锥体积、圆柱体积。 五、切割与拼接变化规律（拔高难点） 1. 圆柱切割 横切（平行底面）：每切1次，增加2个圆形底面积，体积不变，表面积增加； 竖切（沿直径高切开）：切面为长方形，每切1次，增加2个长方形面积（长=高，宽=直径）。 2. 圆柱切拼长方体 体积不变，表面积增加，增加2个以半径、高为边长的长方形面。 六、水中浸物核心模型（压轴考点） 1. 完全浸没：物体体积 = 圆柱容器中上升水的体积； 2. 部分浸没：物体排开水的体积 = 上升水的体积； 3. 取出物体：下降水的体积 = 浸没物体体积。 七、标准解题五步步骤 1. 判图形：区分圆柱、圆锥，判断是否无盖、通风管、实心/空心； 2. 找条件：找准半径、直径、高，统一单位（厘米、分米、米统一）； 3.定公式：根据场景选择表面积、体积、等积变形对应公式； 4. 细计算：圆锥体积牢记乘，表面积区分特殊场景； 5. 验结果：核对倍数关系、增减变化、单位是否规范。 八、高频易错点汇总 1. 圆锥体积忘记乘，奥数最高频丢分点； 2. 圆柱表面积乱用公式，无盖、通风管多算底面； 3. 混淆半径与直径，直接用直径代入面积公式； 4. 等积变形记错3倍关系，高低、底面积倍数颠倒； 5. 切割题型记错增加面的数量与形状； 6. 单位不统一，长度、面积、体积单位混用。 九、解题口诀 圆柱圆锥看清楚，半径高量先找足； 圆柱体积底乘高，锥体三分要记住； 无盖少算一个底，通风侧面就足够； 等底等高三倍差，切割增减面数熟； 浸水体积相等换，单位统一不出错。 例题讲解 【典型例题1】圆柱特殊表面积应用（无盖/通风管 基础必考） 题目：一个无盖圆柱形铁皮水桶，底面半径2分米，高5分米，制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【分析】 无盖圆柱表面积专属题型，属于小升初高频基础考点。无盖水桶只有一个底面+侧面，无需计算上底面面积，分别求出底面积和侧面积，求和即可。 【详解】 1. 计算底面积：（平方分米） 2. 计算侧面积：（平方分米） 3. 总铁皮面积：（平方分米） 【答案】 至少需要75.36平方分米的铁皮。 【跟踪训练1】 题目：一节圆柱形通风管，底面直径10厘米，长80厘米，制作这节通风管需要多少平方厘米铁皮？ 【分析】 通风管为空心圆柱，无上下两个底面，只需计算圆柱侧面积，代入直径求周长，再算侧面积。 【详解】 1. 底面周长：（厘米） 2. 侧面积：（平方厘米） 【答案】 需要2512平方厘米铁皮。 【跟踪训练2】 题目：一个圆柱形蓄水池，底面半径3米，深4米，在池底和池壁粉刷水泥，粉刷面积是多少平方米？ 【分析】 蓄水池粉刷场景，等同于无盖圆柱，仅计算池底（1个底面）和池壁（侧面）面积之和。 【详解】 1. 底面积：（平方米） 2. 侧面积：（平方米） 3. 粉刷总面积：（平方米） 【答案】 粉刷面积是103.62平方米。 【典型例题2】圆柱体积基础计算与实际应用 题目：一个圆柱形水杯，底面直径6厘米，高15厘米，这个水杯的容积是多少毫升？（厚度忽略不计） 【分析】 圆柱容积即内部体积，公式与圆柱体积一致。先由直径求出半径，代入体积公式计算，最后换算单位（1立方厘米=1毫升）。 【详解】 1. 底面半径：（厘米） 2. 圆柱容积：（立方厘米） 3. 单位换算：423.9立方厘米=423.9毫升 【答案】 水杯容积是423.9毫升。 【跟踪训练1】 题目：一根圆柱形木料，底面半径4分米，长20分米，它的体积是多少立方分米？ 【分析】 实心圆柱体积基础计算，直接套用底面积乘高公式，代入数据求解即可。 【详解】 体积：（立方分米） 【答案】 木料体积是1004.8立方分米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱体积502.4立方厘米，底面半径4厘米，求圆柱的高？ 【分析】 圆柱体积逆向计算题，由体积公式逆推：高=体积÷底面积，先求底面积再计算高。 【详解】 1. 底面积：（平方厘米） 2. 圆柱的高：（厘米） 【答案】 圆柱的高为10厘米。 【典型例题3】圆锥体积核心应用（攻克1/3易错点） 题目：一个圆锥形沙堆，底面周长18.84米，高3米，这堆沙子的体积是多少立方米？ 【分析】 圆锥体积经典题型，已知周长需先求半径，再算底面积，最后代入圆锥体积公式，务必记得乘，规避高频易错点。 【详解】 1. 底面半径：（米） 2. 底面积：（平方米） 3. 圆锥体积：（立方米） 【答案】 沙子体积是28.26立方米。 【跟踪训练1】 题目：一个圆锥底面半径5厘米，高9厘米，求圆锥体积？ 【分析】 基础圆锥体积计算，直接套用公式，重点强化乘的解题习惯。 【详解】 体积：（立方厘米） 【答案】 圆锥体积为235.5立方厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆锥体积125.6立方分米，底面积31.4平方分米，求圆锥的高？ 【分析】 圆锥逆向拔高题，牢记逆推公式：，必须先给体积乘3再除以底面积。 【详解】 圆锥的高：（分米） 【答案】 圆锥的高为12分米。 【典型例题4】圆柱圆锥等积变换问题（奥数重点） 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥大48立方厘米，求圆柱和圆锥的体积各是多少？ 【分析】 等底等高核心模型，圆柱体积是圆锥3倍，二者体积差为2份圆锥体积。通过差值先求出1份体积，即可快速算出两者体积。 【详解】 1. 体积份数差：（份） 2. 圆锥体积（1份）：（立方厘米） 3. 圆柱体积（3份）：（立方厘米） 【答案】 圆柱体积72立方厘米，圆锥体积24立方厘米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱和圆锥等底等体积，已知圆柱高6厘米，求圆锥的高？ 【分析】 等底等体积模型，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接利用倍数规律求解。 【详解】 圆锥的高：（厘米） 【答案】 圆锥的高为18厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱和圆锥等高等体积，圆锥底面积45平方厘米，求圆柱底面积？ 【分析】 等高等体积模型，圆锥底面积是圆柱的3倍，圆柱底面积为圆锥的。 【详解】 圆柱底面积：（平方厘米） 【答案】 圆柱底面积为15平方厘米。 【典型例题5】圆柱切割表面积变化问题（拔高难点） 题目：一根长2米的圆柱形木料，底面半径3分米，将它平行于底面横切分成2段，表面积增加多少平方分米？ 【分析】 圆柱横切高频难点，平行底面切1次，增加2个圆形底面面积，与圆柱高度无关，只需计算两个底面积之和，注意统一单位。 【详解】 1. 单位统一：2米=20分米（本题高度不参与计算，仅规避单位陷阱） 2. 单个底面积：（平方分米） 3. 增加的表面积：（平方分米） 【答案】 表面积增加56.52平方分米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱形木材底面直径8厘米，沿底面直径竖直切成两半，表面积增加80平方厘米，求圆柱的高？ 【分析】 圆柱竖切模型，沿直径切开增加2个长方形切面，长方形宽=直径、长=圆柱高，先求单个切面面积，再逆推高。 【详解】 1. 单个切面面积：（平方厘米） 2. 圆柱的高：（厘米） 【答案】 圆柱的高为5厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱木料横切3段，表面积增加113.04平方厘米，求圆柱底面积？ 【分析】 切割段数规律：切3段需要切2次，每次增加2个底面，共增加4个底面，用总增加面积÷4得单底面积。 【详解】 1. 切面总个数：（个） 2. 底面积：（平方厘米） 【答案】 圆柱底面积为28.26平方厘米。 【典型例题6】浸水排体积压轴问题（分班考必考） 题目：一个底面半径20厘米的圆柱形容器，装有适量水，将一个底面半径10厘米、高15厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，水面上升多少厘米？ 【分析】 完全浸没问题核心模型：圆锥体积=上升水的体积。先求出圆锥体积，再用体积÷圆柱容器底面积，得到水面上升高度。 【详解】 1. 圆锥体积：（立方厘米） 2. 圆柱容器底面积：（平方厘米） 3. 水面上升高度：（厘米） 【答案】 水面上升1.25厘米。 【跟踪训练1】 题目：圆柱容器底面直径40厘米，放入一个圆柱形铁块完全浸没，水面上升5厘米，求铁块体积？ 【分析】 完全浸没模型，铁块体积=上升水的体积，直接计算圆柱容器内上升水柱的体积即可。 【详解】 1. 容器半径：（厘米） 2. 铁块体积：（立方厘米） 【答案】 铁块体积为6280立方厘米。 【跟踪训练2】 题目：圆柱容器底面积314平方厘米，浸入圆锥后水面上升6厘米，圆锥高12厘米，求圆锥底面积？ 【分析】 浸水逆向压轴题，先通过上升水体积得圆锥体积，再利用圆锥逆推公式求底面积。 【详解】 1. 圆锥体积（上升水体积）：（立方厘米） 2. 圆锥底面积：（平方厘米） 【答案】 圆锥底面积为471平方厘米。 高频真题 1．一堆煤呈圆锥形，高为3米，底面周长为25.12米。这堆煤的体积是多少？已知每立方米的煤大约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 2．张爷爷家院子里有一个圆锥形小麦堆，它的底面周长是12.56米，高是2.1米。如果每立方米小麦约重800千克，这个小麦堆约重多少千克？ 3．一个圆柱形油桶，桶内底面积是8平方分米，高是5分米，把满桶的油全部倒入一个长方体的油箱内，油箱还空着。已知长方体油箱内部的底面积为6平方分米，油箱空余部分的高是多少？ 4．圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 5．沙漏根据沙子从上面容器漏到下面容器的体积来计算时间。如图的沙漏中已漏到下部的沙子的体积是28.26立方厘米，再过3分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部。 (1)现在沙漏上部沙子的体积是多少立方厘米？ (2)这个沙漏最多可以计量多长时间？ 6．笑笑家周六举行家庭小聚会，妈妈买回一瓶如图的圆柱形饮料，同时买了一些圆锥形杯子。 (1)这瓶饮料里有多少毫升饮料？ (2)如果给每位朋友倒满一杯，这瓶饮料一共可以倒满多少杯？ 7．端午节用箬（ruò）竹叶和糯米包成近似圆锥形的粽子，粽子的底面周长为18.84厘米，高为10厘米，这个粽子的体积是多少立方厘米？若每立方厘米糯米重0.9克，则包100个这样的粽子需要多少千克糯米？ 8．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，圆柱体的表面积是多少？ 9．如图，一个酒瓶呈圆柱形，深30厘米，内直径是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，问：酒瓶容积是多少？ 10．将一块高是9厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成相同的两部分，切面每个三角形的面积是18平方厘米，原来这块圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 11．一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱体容器，水中放着一个底面直径为6厘米，高5厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面会下降几厘米？ 12．将一个底面半径为5厘米，高为15厘米的圆锥形铁块放在一个底面直径为20厘米，盛有一定量水的圆柱形容器中（铁块完全浸没在水中，水没有溢出），水面将上升多少厘米？ 13．在一个装有水的圆柱形储水桶里，浸没着一个底面周长为94.2厘米，高为24厘米的圆锥形物体，当把这个物体从储水桶中取出时，水面下降了2厘米，这个圆柱形储水桶的底面积是多少平方厘米？ 14．一个近似于圆锥形的黄砂堆，底面周长18.84米，高0.5米。如果每立方米黄砂约重2吨，这堆黄砂大约重多少吨？ 15．如图，甲容器是一个长10厘米、宽6厘米、高20厘米的长方体玻璃器皿，里面装有深8厘米的水。将甲容器中的水全部倒入乙容器中，水深12厘米，乙容器的底面积是多少平方厘米？ 16．把一根底面周长是25.12厘米，长是100厘米的圆柱形钢材，铸造成一个横截面是正方形（边长是4厘米）的长方体钢材。长方体钢材的长是多少厘米？（损耗忽略不计） 17．一个圆柱形容器的底面半径是30厘米，里面盛的水高是60厘米，现将半径为25厘米的圆锥完全沉入水中，水面上升（水未溢出）。这个圆锥的高是多少厘米？ 18．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 19．木工师傅有一根底面周长为18.84厘米的圆柱形木料，为了制作特殊的构件，沿着木料斜着截取后，剩余部分如下图，剩余部分的体积是多少立方厘米？ 20．毕业典礼上，同学们准备了一顶特别的“博士帽”：帽子的上面是边长为30厘米的正方形卡纸，下面是一个无盖无底的圆柱形帽檐，底面直径为20厘米，高为8厘米。做这顶帽子的上下两个部分，一共需要多少平方厘米的卡纸？（连接处忽略不计） 21．如图，把高的圆柱切开并拼成一个近似的长方体后，表面积增加了平方厘米，则圆柱的体积是多少立方厘米？ 22．一个无盖的圆柱形铁皮水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的。淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没，这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 (1)这个水桶的高是多少厘米？ (2)这个水桶原来存水多少立方厘米？ 23．如图，少先队队鼓是圆柱形的，底面直径6分米，高2分米，侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮，做10个这样的队鼓，至少需要铝皮多少平方分米？ 24．如图，在一个底面直径为20厘米的圆柱体容器内装入5厘米高的水，再把一块铁块完全浸没在水中，水面上升到7厘米，这块小铁块的体积是多少？ 25．某酒店新建一个圆柱形露天泳池，从里面量得底面直径是20米，高为2.5米。 (1)泳池内部的底面和侧壁需要贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (2)若向泳池内注水，水深达到2米，此时池中水的体积是多少立方米？ 26．某公园新设了一个长方形的儿童沙池乐园，沙池长5米，宽4米。工作人员将一堆圆锥形沙子均匀铺在沙池中，这堆沙子的底面积是15平方米，高是1.2米。沙子铺好后，厚度是多少厘米？ 27．下面是一张长方形铁皮（长16.56分米），按照下图剪下涂色部分（两个完全一样的圆和一个长方形）正好可以制成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计）。 提示：长＝2r＋2πr，其中r为底面半径。 (1)这个油桶的底面半径是多少分米？ (2)这个油桶的容积是多少升？ 28．“神舟”飞船返回舱由圆柱体和圆锥体两部分组成。圆柱部分底面直径是4米，高是2.5米；圆锥部分底面直径是4米，高是1.2米。返回舱的总体积约是多少立方米？（π取3.14，得数保留一位小数） 29．在一个棱长4厘米的正方体的6个面的中心各挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，求挖去后所得几何体的体积和表面积。 30．底面积144平方厘米的圆桶里装了25厘米深的水，放入一个底面积16平方厘米，高35厘米的圆柱形铁块后，水面上升了多少厘米？（用方程解） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $