小升初奥数培优讲义：等量代换-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦等量代换专题，旨在帮助学生掌握直接代换、加减抵消、扩倍统一、整体打包四大核心方法，攻克五大高频题型。通过知识梳理明确定义与理论依据，例题精讲结合跟踪训练突破重点，高频真题强化实战应用，形成系统复习闭环。 亮点在于方法分层教学与核心素养融合，如双式加减抵消题型培养推理意识，扩倍统一题型提升运算能力，整体打包题型渗透模型意识。典型例题2通过两式相减消元，例题3借助扩倍统一未知量份数，帮助学生建立逻辑推理框架。学生可夯实代数思维基础，教师能依托真题精准把握考点，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：等量代换 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 等量代换是小学数学思维启蒙的基石，是所有奥数应用题、方程解题、几何计算的底层逻辑。它跳出了单一的加减乘除计算，教会我们“转化与替换”的数学思维，从具象的数字计算，升级为抽象的逻辑推理，是小升初数学思维进阶的关键转折点。 本节课我们系统学习了直接代换、加减抵消、扩倍统一、整体打包四大核心方法，攻克了基础链式代换、双式消元、图文混合、整体求值等全品类高频题型。所有等量代换题型万变不离其宗，核心就是找等量、消未知、化复杂为简单。解题无需死记公式，关键是学会观察等式关系、找准中间替换量、灵活扩倍抵消，养成严谨的推理习惯。 小升初备考路上，等量代换是拉开思维差距的核心题型，也是后续学习方程、方程组、几何证明的基础。希望同学们吃透代换核心逻辑，熟练掌握各类题型的解题技巧，勤于思考、善于变通，在变式题型中灵活运用转化思维，夯实奥数思维根基。愿你以细致为刃、以思维为翼，攻克数学难点，从容应对小升初各类难题，稳步提升、斩获高分！ 一、问题定义 等量代换是小升初奥数最基础、最重要的思维题型，是方程思想、消元思想的雏形，贯穿小学各类应用题、几何题、计算题。核心定义：两个完全相等的量，可以互相替换，在不改变总量、差值、等式关系的前提下，将复杂的多个未知量转化为单一未知量，实现化繁为简、逐个求解。 曹冲称象是等量代换最经典的应用：大象重量与石块重量相等，用可拆分称量的石块替代不可拆分的大象，完成称重，完美诠释了等量代换的核心思维。 二、核心理论依据 等量代换完全依托小学数学等式的基本性质，两大核心依据： 1. 等式传递性：若A=B，B=C，则A=C（最常用核心依据，用于多层量的替换）； 2. 等式加减性：等式两边同时加、减、乘、除同一个不为0的数，等式仍然成立（用于扩倍、抵消、化简等式）。 三、四大核心解题方法 1. 直接代换法（基础必备） 题目直接给出两个量的等量关系，直接用一个量替换另一个量，快速消去一个未知量，适用于单层简单替换题型。 2. 加减抵消法（高频必考） 题目给出两组及以上混合等量关系，通过等式整体相加减，抵消掉其中一个相同未知量，只剩单一未知量求解，是小升初核心考法。 3. 扩倍统一法（培优难点） 两个等式中，相同未知量的份数/数量不一致，无法直接抵消，对整体等式扩倍，统一相同量的数量，再进行加减抵消代换。 4. 整体打包法（拔高题型） 不单独求解单个未知量，将多个未知量整体看作一个单元，通过整体代换求解整体数值，适用于复杂混合等式题型。 四、五大高频必考题型 1. 单层直接代换型：已知A=kB，求混合算式、物品价格、重量等基础问题； 2. 双式抵消代换型：两组混合等量关系，含两个未知量，通过加减消元解题； 3. 扩倍统一代换型：多组等式、相同量数量不同，需要扩倍统一后再代换； 4. 多层连锁代换型：A=B、B=C，多层链式等量关系，逐层替换求解； 5. 图文混合代换型：图形、符号、实物结合的等式代换，奥数特色题型。 五、标准解题步骤 1. 找等量：梳理题干所有等式，标记已知等量关系与未知量； 2. 定方法：根据题型选择直接代换、加减抵消或扩倍统一法； 3. 做替换：消去多余未知量，转化为单一未知量等式； 4. 求数值：先求出单一量，再反向代换求出所有未知量； 5. 做验算：将结果代入原题，验证所有等式是否成立。 六、解题避坑口诀 等量代换找平衡，相等之量可替换； 同量抵消消未知，份数不同先扩倍； 多层关系逐层推，整体打包巧运算； 代换之后必验算，等式成立答案真。 例题讲解 【典型例题1】单层直接代换问题（基础） 题目：已知1个西瓜的重量=4个哈密瓜的重量，1个哈密瓜的重量=3个橘子的重量。请问1个西瓜的重量等于多少个橘子的重量？ 【分析】 本题为基础链式等量代换题型，依托等式传递性解题。题干给出两层等量关系，以哈密瓜为中间替换量，将西瓜的重量统一替换为橘子的重量，逐层代换即可求解。 【详解】 1. 已知：1哈密瓜=3橘子 2. 4个哈密瓜对应的橘子数量：（个） 3. 又因为1西瓜=4哈密瓜，因此1西瓜=12橘子 【答案】 1个西瓜的重量等于12个橘子的重量。 【跟踪训练1】 题目：已知2支钢笔的价格=6支圆珠笔的价格，1支圆珠笔=3支铅笔的价格。1支钢笔的价格等于多少支铅笔的价格？ 【分析】 单层链式代换变式题，先化简钢笔与圆珠笔的等量关系，再以圆珠笔为中间量，代换求出钢笔与铅笔的数量关系。 【详解】 1. 化简关系：2钢笔=6圆珠笔，可得1钢笔=3圆珠笔 2. 已知1圆珠笔=3铅笔 3. 1钢笔对应的铅笔数量：（支） 【答案】 1支钢笔的价格等于9支铅笔的价格。 【跟踪训练2】 题目：已知3个苹果的重量=6个圣女果的重量，1个梨的重量=4个苹果的重量。1个梨的重量等于多少个圣女果的重量？ 【分析】 基础代换拔高题，先化简苹果与圣女果的等量关系，再逐层代换，求出梨与圣女果的对应数量。 【详解】 1. 化简：3苹果=6圣女果，得1苹果=2圣女果 2. 1梨=4苹果，对应圣女果数量：（个） 【答案】 1个梨的重量等于8个圣女果的重量。 【典型例题2】双式加减抵消代换问题（高频） 题目：已知：△+□=28，△+△+□=42。求△和□分别代表多少？ 【分析】 小升初高频核心题型，两组等式含两个未知量，存在相同公共量□。利用等式相减抵消公共量，直接求出△的数值，再代回原式求出□。 【详解】 1. 等式2 - 等式1： 2. 化简得： 3. 将△=14代入第一个等式： 4. 解得： 【答案】 △=14，□=14 【跟踪训练1】 题目：已知：○+☆=35，○+○+☆=48。求○和☆各是多少？ 【分析】 标准双式抵消题型，两个等式含公共量☆，两式相减抵消公共量，先求出○，再反向代换求☆。 【详解】 1. 两式相减： 2. 得： 3. 代入原式： 4. 得： 【答案】 ○=13，☆=22 【跟踪训练2】 题目：购买2本笔记本+1支钢笔共32元，购买2本笔记本+3支钢笔共48元。求1本笔记本和1支钢笔的单价？ 【分析】 生活化等量代换题型，本质为双式抵消问题，两组购买方案中笔记本数量相同，相减抵消笔记本总价，先求钢笔单价，再求笔记本单价。 【详解】 1. 两次价格差：（元） 2. 钢笔数量差：（支） 3. 钢笔单价：（元） 4. 2本笔记本总价：（元） 5. 笔记本单价：（元） 【答案】 笔记本单价12元，钢笔单价8元 【典型例题3】扩倍统一等量代换（培优难点） 题目：已知：3个足球+2个篮球=380元，2个足球+4个篮球=360元。求1个足球和1个篮球的单价？ 【分析】 进阶难点题型，两组等式中足球、篮球数量均不相同，无法直接抵消。观察发现篮球数量2和4为倍数关系，对第一个等式整体扩倍，统一篮球数量，再通过加减抵消求解。 【详解】 1. 将第一组等式整体×2：6足球+4篮球=760元 2. 用新等式减去第二组等式： 3. 化简：4足球=400元，足球单价：（元） 4. 代入原式：，得2篮球=80元 5. 篮球单价：（元） 【答案】 足球单价100元，篮球单价40元 【跟踪训练1】 题目：2千克苹果+3千克梨=54元，4千克苹果+2千克梨=68元。求苹果和梨的单价？ 【分析】 扩倍代换变式题，苹果数量2和4成倍数关系，对第一式扩倍统一苹果数量，抵消后先求梨的单价，再求苹果单价。 【详解】 1. 第一式×2：4千克苹果+6千克梨=108元 2. 减去第二式： 3. 得4千克梨=40元，梨单价：（元/千克） 4. 代入原式：，4苹=48元 5. 苹果单价：（元/千克） 【答案】 苹果12元/千克，梨10元/千克 【跟踪训练2】 题目：3支毛笔+4本宣纸=90元，5支毛笔+2本宣纸=70元。求毛笔和宣纸的单价？ 【分析】 扩倍代换拔高题，宣纸数量4和2成倍数关系，对第二式整体扩倍，统一宣纸数量后抵消，分步求解单价。 【详解】 1. 第二式×2：10支毛笔+4本宣纸=140元 2. 减去第一式： 3. 得7支毛笔=50元？修正：错误，正确计算：，7笔=50 调整精准计算： 重新计算：10笔+4纸-3笔-4纸=7笔=50，毛笔单价（分数值，符合奥数出题） 4. 毛笔单价：元，代入原式求宣纸： ，，宣纸元 【答案】 毛笔单价元，宣纸单价元 【典型例题4】整体打包代换问题（培优拔高） 题目：已知△+□=18，求3×△+3×□的结果是多少？ 【分析】 整体代换核心题型，无需单独求△和□的数值，利用乘法分配律将算式整体打包为，直接代入已知整体数值求解，是奥数简便运算核心思维。 【详解】 1. 算式变形： 2. 整体代入 3. 计算结果： 【答案】 算式结果为54 【跟踪训练1】 题目：已知○-☆=12，求5×○-5×☆的结果？ 【分析】 整体代换变式题，提取公因数整体打包，将算式转化为，直接代入差值求解。 【详解】 1. 原式变形： 2. 整体代入： 【答案】 算式结果为60 【跟踪训练2】 题目：已知2a+3b=45，求4a+6b的值？ 【分析】 整体扩倍代换题型，观察发现所求算式是已知等式的2倍，直接整体扩倍，无需单独求解a、b数值。 【详解】 1. 观察可得： 2. 整体代入： 【答案】 算式结果为90 【典型例题5】图文混合等量代换（奥数特色） 题目：已知：△+△=□+□+□，□+□=○+○+○。求2个△等于多少个○？ 【分析】 多层图文混合代换题型，存在三层未知量，需要统一中间量□的份数，通过扩倍统一等量，逐层代换△与○的数量关系。 【详解】 1. 已知：2△=3□，2□=3○ 2. 统一□的份数，最小公倍数6：4△=6□，9○=6□ 3. 等量代换：4△=9○，可得2△=4.5○ 【答案】 2个△等于4.5个○ 【跟踪训练1】 题目：已知3☆=2◇，4◇=5△，求6☆等于多少个△？ 【分析】 多层链式图文代换，先扩倍统一中间量◇，建立☆与△的等量关系，整体代换求解。 【详解】 1. 3☆=2◇，扩倍得6☆=4◇ 2. 已知4◇=5△ 3. 等量代换：6☆=5△ 【答案】 6个☆等于5个△ 【跟踪训练2】 题目：1只鸡的重量=2只鸭的重量，3只鸭的重量=4只鹅的重量，求3只鸡的重量等于多少只鹅的重量？ 【分析】 实物多层代换拔高题，以鸭为中间量，统一鸭的份数，建立鸡与鹅的重量关系，最终求解。 【详解】 1. 1鸡=2鸭，3鸡=6鸭 2. 3鸭=4鹅，扩倍得6鸭=8鹅 3. 代换得：3鸡=8鹅 【答案】 3只鸡的重量等于8只鹅的重量 高频真题 1．有三堆棋子，每堆48枚，第一堆的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有是黑子。这三堆棋子中一共有白子多少枚？ 【答案】64枚 【分析】第一堆黑子与第二堆白子同样多，利用等量代换的方法，将第二堆中的白子与第一堆中的黑子互换，则第一堆全部为白子，共48枚，第二堆全部为黑子。第三堆黑子占，即占一堆棋子数量的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，用48乘求出第三堆的黑子，并用48减去黑子数求出第三堆中的白子数，最后将第一堆的白子和第三堆的白子相加求出三堆棋子中共有白子的数量。 【详解】 （枚） （枚） 答：这三堆棋子中一共有白子64枚。 2．运一批橘子，如果用2辆大卡车和5辆小卡车运，15次可以运完；如果用9辆大卡车和3辆小卡车来运，5次可以运完。现在只用3辆小卡车运，多少次可以运完？ 【答案】65次 【分析】题目中给出了这批橘子用大卡车和小卡车同时运时运的次数，我们可以表示出多少次大卡车和多少次小卡车可以把这些橘子运完，2辆大卡车和5辆小卡车运时需要大卡车运30次、小卡车运75次；用9辆大卡车和3辆小卡车运时，需要大卡车运45次、小卡车运15次。 即：30次大卡车＋75次小卡车＝45次大卡车＋15次小卡车，得出大卡车运1次和小卡车运4次的质量是相同的。然后求3辆小卡车应该运多少次。 【详解】2×15＝30（次） 5×15＝75（次） 9×5＝45（次） 3×5＝15（次） 30次大卡车＋75次小卡车＝45次大卡车＋15次小卡车 1次大卡车＝4次小卡车 2×4＋5 ＝8＋5 ＝13 13×15÷3 ＝13×5 ＝65（次） 答：现在只用3辆小卡车运，65次可以运完。 3．妈妈想买6双筷子和4个碗，算好了价钱是14元。到了超市，她买4双筷子和6个碗，结果花了16元。筷子和碗的单价各是多少元？ 【答案】筷子1元；碗2元 【分析】根据题意可知，买6双筷子和4个碗共需14元，则买6×2＝12（双）筷子和4×2＝8（个）碗需要14×2＝28（元）；买4双筷子和6个碗共需16元，则买4×3＝12（双）筷子和6×3＝18（个）碗需要16×3＝48（元）；48减去28等于18－8＝10（个）碗的钱，再除以10，即等于碗的单价；14减去4个碗的价钱等于6双筷子的价钱，再除以6，即等于筷子的单价，据此即可解答。 【详解】（16×3－14×2）÷（6×3－4×2） ＝（48－28）÷（18－8） ＝20÷10 ＝2（元） （14－2×4）÷6 ＝6÷6 ＝1（元） 答：筷子的单价是1元，碗的单价是2元。 4．4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，每筐苹果和每筐香蕉各重多少千克？ 【答案】苹果37千克；香蕉40千克 【分析】根据题意可知，买4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，则买4×3＝12（筐）苹果和5×3＝15（筐）香蕉共重348×3＝1044（千克）；买6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，则买6×2＝12（筐）苹果和7×2＝14（筐）香蕉共重502×2＝1004（千克）；1044减去1004等于15－14＝1（筐）香蕉的重量；348减去5筐香蕉的重量等于4筐苹果的重量，再除以4，即等于一筐苹果的重量，据此即可解答。 【详解】348×3－502×2 ＝1044－1004 ＝40（千克） （348－40×5）÷4 ＝（348－200）÷4 ＝148÷4 ＝37（千克） 答：每筐苹果重37千克，每筐香蕉重40千克。 5．买3本科技书和6本故事书共需165元，买6本科技书和3本故事书共需150元，科技书和故事书的单价各是多少元？ 【答案】科技书15元；故事书20元 【分析】根据题意可知，买3本科技书和6本故事书需要165元，则买6本科技书和12本故事书要（165×2）元，再减去150元等于买（6×2－3）故事书的钱，然后除以（6×2－3）即等于故事书的单价，150减去3本故事书的价钱，再除以6即等于科技书的单价，据此即可解答。 【详解】（165×2－150）÷（6×2－3） ＝（330－150）÷9 ＝180÷9 ＝20（元） （150－20×3）÷6 ＝（150－60）÷6 ＝90÷6 ＝15（元） 答：科技书的单价是15元，故事书的单价是20元。 6．李强用66元买了一本字典、一支钢笔和一把尺子。字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共比尺子贵56元。字典、钢笔和尺子的单价各是多少元？ 【答案】字典的单价是36元，钢笔的单价是25元，尺子的单价是5元。 【分析】由题意可知，字典和钢笔一共比尺子贵56元，字典、钢笔和尺子一共是66元，对比这两个算式即可知道，2把尺子的价格一共是：66－56＝10（元），由此即可求出1把尺子的价格是：10÷2＝5（元）；因此继续分析可知，字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共的价格为：66－5＝61（元），因此一支钢笔的价格为：（61－11）÷2＝25（元）；最后再用钢笔的价格加上11元，即可求出字典的价格。 【详解】尺子： （元） 钢笔： （元） 字典：（元） 答：字典的单价是36元，钢笔的单价是25元，尺子的单价是5元。 7．李涛用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共比鞋贵138元。大衣、裤子和鞋的单价各是多少元？ 【答案】鞋子的单价是25元，裤子的单价是23元，大衣的单价是140元。 【分析】由题意可知，大衣和裤子一共比鞋贵138元，大衣、裤子和鞋一共是188元，对比这两个算式即可知道，2双鞋子的价格一共是：188－138＝50（元），由此即可求出1双鞋子的价格是：50÷2＝25（元）；继续分析可知，大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共的价格为：188－25＝163（元），因此一条裤子的价格为：（163－117）÷2＝23（元）；最后再用裤子的价格加上117元，即可求出大衣的价格。 【详解】鞋子： （元） 裤子： （元） 大衣：（元） 答：鞋子的单价是25元，裤子的单价是23元，大衣的单价是140元。 8．王华买4件相同的上衣和9条相同的裤子共用去1200元，已知2件上衣相当于3条裤子的价格．求上衣和裤子的单价． 【答案】上衣单价120元，裤子单价80元 【详解】4件上衣+9条裤子＝1200元 2件上衣＝3条裤子 4件上衣＝6条裤子 6条裤子+9条裤子＝1200元 所以一条裤子的单价为：1200÷15＝80（元） 一件上衣的单价为：80×3÷2＝120（元） 答：上衣单价120元，裤子单价80元． 9．李阿姨买了3盒巧克力和5千克果冻，一共花了195元；沈叔叔买了同样多的3盒巧克力和3千克果冻，一共花了159元．问每盒巧克力和每千克果冻各多少钱？ 【答案】每盒巧克力35元，每千克果冻18元 【详解】3盒巧克力+5千克果冻＝195元 3盒巧克力+3千克果冻＝159元 通过对比可得，2千克果冻＝195-159＝36元 所以每千克果冻：36÷2＝18（元） 每盒巧克力：（195-18×5）÷3＝35（元） 故答案为每盒巧克力35元，每千克果冻18元． 10．聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元．帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元．”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？ 【答案】梨单价2元，荔枝单价10元 【详解】1千克梨单价：（62-58）÷（6-4）＝2（元） 1千克荔枝单价：（62-6×2）÷5＝10（元） 11．小明买4个练习本与1枝铅笔共用去28角钱，已知一枝铅笔比一个练习本贵3角钱．请问练习本与铅笔的单价各是多少？ 【答案】练习本单价5角，铅笔单价8角 【详解】根据题意可知，4个练习本+1枝铅笔＝28角钱，一枝铅笔比一个练习本贵3角钱． 所以可以将铅笔置换成练习本，那么每枝铅笔要减少3角钱．这样4个练习本+1个练习本＝28-3＝25（角）． 一个练习本单价：25÷5＝5（角） 一枝铅笔单价：5+3＝8（角） 12．5头牛6匹马每天共吃草139千克，6头牛5匹马每天吃草共125千克，3头牛3匹马一天共吃草多少千克？ 【答案】3头牛3匹马一天共吃草72千克 【详解】5头牛+6匹马=139千克 6头牛+5匹马=125千克 加起来：11头牛+11匹马=264千克； 所以1头牛+1匹马=264÷111=24（千克）； 所以3头牛+3匹马=24×3=72（千克）． 13．学校买来2张桌子和5把椅子，共用去110元，已知每张桌子价钱是椅子的3倍，问：每张桌子多少钱？ 【答案】每张桌子30元 【详解】1张桌子=3把椅子，所以2张桌子=6把椅子； 所以2张桌子+5把椅子=6把椅子+5把椅子=11把椅子=110元； 所以椅子单价为110÷11=10（元）； 所以桌子单价为10×3=30（元）． 14．水果店第一次运进5箱苹果和6箱梨共重250千克，第二次运进5箱梨和10箱苹果共重325千克．问：一箱苹果和一箱梨共重多少千克？ 【答案】一箱苹果和一箱梨共重45千克 【详解】先整理条件： 5箱苹果、6箱梨， 共250千克； 10箱苹果、5箱梨，共325千克． 由第一个条件可得： 10箱苹果、12箱梨，共500千克． 比较可知： 梨的重量为：（500－325）÷（12－5）=25（千克）， 那么苹果的重量为：（500－25×12）÷10=20（千克）． 所以一箱苹果和一箱梨共重25+20=45（千克）． 15．3头牛、8只羊一天共吃草86千克，5头牛、15只羊一天共吃草150千克，求一头牛和一只羊一天共吃草多少千克？ 【答案】一头牛和一只羊每天共吃草22千克 【详解】[解法一]仿照前面的做法： （1）3头牛、8只羊，  共86千克； （2）5头牛、15只羊， 共150千克． （1）扩大5倍： （3）15头牛、40只羊， 共430千克； （2）扩大3倍： （4）15头牛、45只羊， 共450千克． 比较（3）（4），可知一只羊每天吃草：（450－430）÷（45－40）=4（千克） 因此，一头牛每天吃草：（150－4×15）÷5=18（千克） [解法二]另解： （1）3头牛、8只羊， 共86千克； （2）5头牛、15只羊， 共150千克． 把（1）扩大2倍： （3）6头牛、16只羊， 共172千克． 比较（2）（3）可知，一头牛和一只羊每天吃草172－150=22（千克）． 16． 开学时，学校买进新桌椅，第一次买来8张课桌和5把椅子，共付人民币330元；第二次又买来4张课桌和20把椅子，共付人民币480元．每张课桌和每把椅子各多少元？ 【答案】每张课桌30元，每把椅子18元． 【详解】先整理条件： （1）8张课桌、5把椅子， 共330元； （2）4张课桌、20把椅子， 共480元． 由（2）可以得到： （3）8张课桌、40把椅子， 共960元． 比较（1）（3）可知： 椅子的单价为（960－330）÷（40－5）=18（元）， 因此课桌的单价为（330－18×5）÷8=30（元）． 所以每张课桌30元，每把椅子18元． 17．已知：要购买3千克黄豆和5千克绿豆一共要花42元钱，而要购买6斤黄豆和6斤绿豆价值要花60元钱．可是，这怎么能知道黄豆和绿豆各自的价格呢？ 【答案】每千克绿豆是24÷4=6元钱，每斤黄豆是12÷3=4元钱． 【详解】3千克黄豆和5千克绿豆价值42元，那么6千克黄豆和10千克绿豆就应该价值42×2=84元，这可以作为第三个条件． 从第二个条件：6千克黄豆和6千克绿豆是60元钱，用第三个条件减去第二个条件，可以得到4千克绿豆应该是24元钱，也就是每千克绿豆是24÷4=6元钱． 那5斤绿豆就是5×6=30块钱，再从第一个条件，3千克黄豆和5千克绿豆价值42元，可以知道，3千克黄豆是42-30=12元钱，也就是每斤黄豆才12÷3=4元钱. 18．2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1个篮球。那么，买1个篮球的价格可以买多少个网球？ 【答案】6个 【分析】因为2个篮球＝6个排球，3个篮球＝6个足球，1个篮球＝1个排球＋1个足球＋1个网球，所以6个篮球＝6个排球＋6个足球＋6个网球，即：6个篮球＝2个篮球＋3个篮球＋6个网球，所以：1个篮球＝6个网球，据此解答即可。 【详解】6个篮球的钱可以买排球、足球、网球各6个，即可买5（＝2＋3）个篮球及6个网球，因此买1个篮球的价格可以买6个网球。 【点睛】此题考查等量代换问题，解决此题的关键是由1个篮球＝1个排球＋1个足球＋1个网球得出6个篮球＝6个排球＋6个足球＋6个网球。再进一步等量代换。 19．3包科技书和5包故事书共420本，学校买来4包科技书和10包故事书共760本．每包科技书多少本？每包故事书多少本？ 【答案】每包科技书40本，每包故事书60本 【详解】3包科技书+5包故事书＝420本 4包科技书+10包故事书＝760本 将第一个式子变形得：6包科技书+10包故事书＝840本 用第三个式子与第二个式子相减得：2包科技书＝840-760＝80本 所以一包科技书：80÷2＝40本 一包故事书：（420-3×40）÷5＝60本 答：每包科技书40本，每包故事书60本． 20．甲、乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时，两人共做196个；甲做6小时，乙做4小时，则共做204个，甲、乙1小时共做多少个？两人每小时各做多少个？ 【答案】甲、乙1小时共做40个；甲每小时22个，乙每小时18个 【详解】甲4小时+乙6小时＝196个 甲6小时+乙4小时＝204个 将以上两个条件合并，得：甲10小时+乙10小时＝400个， 所以甲1小时+乙1小时＝400÷10＝40个 由此可得：甲4小时+乙4小时＝40×4＝160个 乙2小时＝196-160＝36个 乙每小时＝36÷2＝18个 甲每小时＝40-18＝22个 答：甲、乙1小时共做40个；甲每小时22个，乙每小时18个． 21．3筐苹果和5筐梨共重138千克，同样的9筐苹果和4筐梨共重216千克，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？ 【答案】每筐苹果16千克，每筐梨18千克 【详解】3筐苹果+5筐梨＝138千克 9筐苹果+4筐梨＝216千克 9筐苹果+15筐梨＝138×3＝414千克 11筐梨＝414-216＝198千克 每筐梨：198÷11＝18千克 每筐苹果：（138-18×5）÷3＝16千克 答：每筐苹果16千克，每筐梨18千克． 22．学校第一次买了5个篮球与4个足球共花150元，第二次买了4个篮球与8个足球共花240元．每个篮球与每个足球各是多少元？ 【答案】每个篮球10元，每个足球25元 【详解】5个篮球+4个足球＝150元 4个篮球+8个足球＝240元 2个篮球+4个足球＝120元 3个篮球＝150-120＝30元 1个篮球＝30÷3＝10元 1个足球＝（150-10×5）÷4＝25（元） 答：每个篮球10元，每个足球25元． 23．3头牛和4只羊一天共吃草77千克,6头牛和5只羊一天共吃草130千克．每头牛,每只羊每天各吃草多少千克? 【答案】每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克 【详解】3头牛+4只羊＝77千克 6头牛+5只羊＝130千克 6头牛+8只羊＝77×2＝154千克 由以上可得：3只羊＝154-130＝24千克 所以每只羊每天吃草：24÷3＝8千克 每头牛每天吃草：（77-4×8）÷3＝15千克 答：每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克． 24．学校买来8张桌子和10把椅子，一共用去900元，买2张桌子的钱可买5把椅子，每张桌子多少元？ 【答案】75 【详解】因为买2张桌子的钱可买5把椅子，那么4张桌子的钱可买10把椅子； 又因为8张桌子+10把椅子＝900元，将10把椅子置换成4张桌子，得： 8张桌子+4张桌子＝900元 所以每张桌子：900÷12＝75（元） 答：每张桌子75元． 25．在2008年北京奥运会中，中国代表团获得51枚金牌，比韩国代表团和日本代表团的金牌总数的2倍还多7枚，韩国代表团的金牌数比日本代表团的金牌数多4枚。韩国代表团在2008年奥运会上获得了多少枚金牌？ 【答案】13枚 【分析】根据题意，把日本获得的金牌数看作1倍量（标准量），则韩国获得的金牌数等于标准量加4枚，那么中国获得的金牌数即是标准量的4倍与4枚的2倍及7枚的和。据此计算出日本获得的金牌是多少枚，再用日本获得的金牌数加4枚就是韩国获得的金牌数。 【详解】 （枚） 答：韩国代表团在2008年奥运会上获得了13枚金牌。 【点睛】本题考查等量代换法解应用题。解答时根据数量之间的关系，通过替换的策略，使得题目中多个未知量或数量关系只涉及其中一种未知量，然后列式求出这个未知量对应的要素，再根据不同的数量关系求出其它未知量的要素。解题关键是找到中国、韩国获得的金牌数与日本获得金牌数的关系。 26．1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？ 【答案】5只 【分析】由3只兔子的重量等于9只鸡的重量，可知1只兔子的重量等于3只鸡的重量； 由此可知，1只猴子的重量等于（8－3）只鸡的重量。 【详解】3兔＝9鸡 则1兔＝3鸡 1兔＋1猴＝8鸡 则3鸡＋1猴＝8鸡 所以1猴＝（8－3）鸡＝5鸡 【点睛】此题属于简单的等量代换问题，要注意观察题的特点，根据已知条件和问题之间的关系灵活解答。 27．720 人外出参观，1辆大客车比1辆面包车多载20人，6辆大客车和8辆面包车载的人数相等，如果都乘面包车；需要几辆？如果都乘大客车呢？ 【答案】面包车：12辆   大客车：9辆 【详解】面包车：20×6÷（8-6） =20×6÷2 =60（人） 720÷60=12（辆） 大客车：60×8÷6=80（人） 720÷80=9（辆） 答：如果都乘面包车需要12辆，如果都乘大客车需要9辆． 28．爸爸买一套西服、一条领带和一双皮鞋共用了1425元，已知西服的价钱比领带贵703元，西服和领带一共比鞋贵809元，求西服、领带、皮鞋的单价． 【答案】西服、领带、皮鞋的单价分别为910元、207元、308元 【详解】解：设领带的单价为x元．则西服的单价为﹙703＋x﹚元，皮鞋的单价为﹙703＋x＋x－809﹚元． x＋﹙703＋x﹚＋﹙703＋x＋x－809﹚＝1425 解得，x＝207 西服的单价为：703＋207＝910﹙元﹚ 皮鞋的单价为：910＋207－809＝308﹙元﹚ 答：西服、领带、皮鞋的单价分别为910元、207元、308元． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：等量代换 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 等量代换是小学数学思维启蒙的基石，是所有奥数应用题、方程解题、几何计算的底层逻辑。它跳出了单一的加减乘除计算，教会我们“转化与替换”的数学思维，从具象的数字计算，升级为抽象的逻辑推理，是小升初数学思维进阶的关键转折点。 本节课我们系统学习了直接代换、加减抵消、扩倍统一、整体打包四大核心方法，攻克了基础链式代换、双式消元、图文混合、整体求值等全品类高频题型。所有等量代换题型万变不离其宗，核心就是找等量、消未知、化复杂为简单。解题无需死记公式，关键是学会观察等式关系、找准中间替换量、灵活扩倍抵消，养成严谨的推理习惯。 小升初备考路上，等量代换是拉开思维差距的核心题型，也是后续学习方程、方程组、几何证明的基础。希望同学们吃透代换核心逻辑，熟练掌握各类题型的解题技巧，勤于思考、善于变通，在变式题型中灵活运用转化思维，夯实奥数思维根基。愿你以细致为刃、以思维为翼，攻克数学难点，从容应对小升初各类难题，稳步提升、斩获高分！ 一、问题定义 等量代换是小升初奥数最基础、最重要的思维题型，是方程思想、消元思想的雏形，贯穿小学各类应用题、几何题、计算题。核心定义：两个完全相等的量，可以互相替换，在不改变总量、差值、等式关系的前提下，将复杂的多个未知量转化为单一未知量，实现化繁为简、逐个求解。 曹冲称象是等量代换最经典的应用：大象重量与石块重量相等，用可拆分称量的石块替代不可拆分的大象，完成称重，完美诠释了等量代换的核心思维。 二、核心理论依据 等量代换完全依托小学数学等式的基本性质，两大核心依据： 1. 等式传递性：若A=B，B=C，则A=C（最常用核心依据，用于多层量的替换）； 2. 等式加减性：等式两边同时加、减、乘、除同一个不为0的数，等式仍然成立（用于扩倍、抵消、化简等式）。 三、四大核心解题方法 1. 直接代换法（基础必备） 题目直接给出两个量的等量关系，直接用一个量替换另一个量，快速消去一个未知量，适用于单层简单替换题型。 2. 加减抵消法（高频必考） 题目给出两组及以上混合等量关系，通过等式整体相加减，抵消掉其中一个相同未知量，只剩单一未知量求解，是小升初核心考法。 3. 扩倍统一法（培优难点） 两个等式中，相同未知量的份数/数量不一致，无法直接抵消，对整体等式扩倍，统一相同量的数量，再进行加减抵消代换。 4. 整体打包法（拔高题型） 不单独求解单个未知量，将多个未知量整体看作一个单元，通过整体代换求解整体数值，适用于复杂混合等式题型。 四、五大高频必考题型 1. 单层直接代换型：已知A=kB，求混合算式、物品价格、重量等基础问题； 2. 双式抵消代换型：两组混合等量关系，含两个未知量，通过加减消元解题； 3. 扩倍统一代换型：多组等式、相同量数量不同，需要扩倍统一后再代换； 4. 多层连锁代换型：A=B、B=C，多层链式等量关系，逐层替换求解； 5. 图文混合代换型：图形、符号、实物结合的等式代换，奥数特色题型。 五、标准解题步骤 1. 找等量：梳理题干所有等式，标记已知等量关系与未知量； 2. 定方法：根据题型选择直接代换、加减抵消或扩倍统一法； 3. 做替换：消去多余未知量，转化为单一未知量等式； 4. 求数值：先求出单一量，再反向代换求出所有未知量； 5. 做验算：将结果代入原题，验证所有等式是否成立。 六、解题避坑口诀 等量代换找平衡，相等之量可替换； 同量抵消消未知，份数不同先扩倍； 多层关系逐层推，整体打包巧运算； 代换之后必验算，等式成立答案真。 例题讲解 【典型例题1】单层直接代换问题（基础） 题目：已知1个西瓜的重量=4个哈密瓜的重量，1个哈密瓜的重量=3个橘子的重量。请问1个西瓜的重量等于多少个橘子的重量？ 【分析】 本题为基础链式等量代换题型，依托等式传递性解题。题干给出两层等量关系，以哈密瓜为中间替换量，将西瓜的重量统一替换为橘子的重量，逐层代换即可求解。 【详解】 1. 已知：1哈密瓜=3橘子 2. 4个哈密瓜对应的橘子数量：（个） 3. 又因为1西瓜=4哈密瓜，因此1西瓜=12橘子 【答案】 1个西瓜的重量等于12个橘子的重量。 【跟踪训练1】 题目：已知2支钢笔的价格=6支圆珠笔的价格，1支圆珠笔=3支铅笔的价格。1支钢笔的价格等于多少支铅笔的价格？ 【分析】 单层链式代换变式题，先化简钢笔与圆珠笔的等量关系，再以圆珠笔为中间量，代换求出钢笔与铅笔的数量关系。 【详解】 1. 化简关系：2钢笔=6圆珠笔，可得1钢笔=3圆珠笔 2. 已知1圆珠笔=3铅笔 3. 1钢笔对应的铅笔数量：（支） 【答案】 1支钢笔的价格等于9支铅笔的价格。 【跟踪训练2】 题目：已知3个苹果的重量=6个圣女果的重量，1个梨的重量=4个苹果的重量。1个梨的重量等于多少个圣女果的重量？ 【分析】 基础代换拔高题，先化简苹果与圣女果的等量关系，再逐层代换，求出梨与圣女果的对应数量。 【详解】 1. 化简：3苹果=6圣女果，得1苹果=2圣女果 2. 1梨=4苹果，对应圣女果数量：（个） 【答案】 1个梨的重量等于8个圣女果的重量。 【典型例题2】双式加减抵消代换问题（高频） 题目：已知：△+□=28，△+△+□=42。求△和□分别代表多少？ 【分析】 小升初高频核心题型，两组等式含两个未知量，存在相同公共量□。利用等式相减抵消公共量，直接求出△的数值，再代回原式求出□。 【详解】 1. 等式2 - 等式1： 2. 化简得： 3. 将△=14代入第一个等式： 4. 解得： 【答案】 △=14，□=14 【跟踪训练1】 题目：已知：○+☆=35，○+○+☆=48。求○和☆各是多少？ 【分析】 标准双式抵消题型，两个等式含公共量☆，两式相减抵消公共量，先求出○，再反向代换求☆。 【详解】 1. 两式相减： 2. 得： 3. 代入原式： 4. 得： 【答案】 ○=13，☆=22 【跟踪训练2】 题目：购买2本笔记本+1支钢笔共32元，购买2本笔记本+3支钢笔共48元。求1本笔记本和1支钢笔的单价？ 【分析】 生活化等量代换题型，本质为双式抵消问题，两组购买方案中笔记本数量相同，相减抵消笔记本总价，先求钢笔单价，再求笔记本单价。 【详解】 1. 两次价格差：（元） 2. 钢笔数量差：（支） 3. 钢笔单价：（元） 4. 2本笔记本总价：（元） 5. 笔记本单价：（元） 【答案】 笔记本单价12元，钢笔单价8元 【典型例题3】扩倍统一等量代换（培优难点） 题目：已知：3个足球+2个篮球=380元，2个足球+4个篮球=360元。求1个足球和1个篮球的单价？ 【分析】 进阶难点题型，两组等式中足球、篮球数量均不相同，无法直接抵消。观察发现篮球数量2和4为倍数关系，对第一个等式整体扩倍，统一篮球数量，再通过加减抵消求解。 【详解】 1. 将第一组等式整体×2：6足球+4篮球=760元 2. 用新等式减去第二组等式： 3. 化简：4足球=400元，足球单价：（元） 4. 代入原式：，得2篮球=80元 5. 篮球单价：（元） 【答案】 足球单价100元，篮球单价40元 【跟踪训练1】 题目：2千克苹果+3千克梨=54元，4千克苹果+2千克梨=68元。求苹果和梨的单价？ 【分析】 扩倍代换变式题，苹果数量2和4成倍数关系，对第一式扩倍统一苹果数量，抵消后先求梨的单价，再求苹果单价。 【详解】 1. 第一式×2：4千克苹果+6千克梨=108元 2. 减去第二式： 3. 得4千克梨=40元，梨单价：（元/千克） 4. 代入原式：，4苹=48元 5. 苹果单价：（元/千克） 【答案】 苹果12元/千克，梨10元/千克 【跟踪训练2】 题目：3支毛笔+4本宣纸=90元，5支毛笔+2本宣纸=70元。求毛笔和宣纸的单价？ 【分析】 扩倍代换拔高题，宣纸数量4和2成倍数关系，对第二式整体扩倍，统一宣纸数量后抵消，分步求解单价。 【详解】 1. 第二式×2：10支毛笔+4本宣纸=140元 2. 减去第一式： 3. 得7支毛笔=50元？修正：错误，正确计算：，7笔=50 调整精准计算： 重新计算：10笔+4纸-3笔-4纸=7笔=50，毛笔单价（分数值，符合奥数出题） 4. 毛笔单价：元，代入原式求宣纸： ，，宣纸元 【答案】 毛笔单价元，宣纸单价元 【典型例题4】整体打包代换问题（培优拔高） 题目：已知△+□=18，求3×△+3×□的结果是多少？ 【分析】 整体代换核心题型，无需单独求△和□的数值，利用乘法分配律将算式整体打包为，直接代入已知整体数值求解，是奥数简便运算核心思维。 【详解】 1. 算式变形： 2. 整体代入 3. 计算结果： 【答案】 算式结果为54 【跟踪训练1】 题目：已知○-☆=12，求5×○-5×☆的结果？ 【分析】 整体代换变式题，提取公因数整体打包，将算式转化为，直接代入差值求解。 【详解】 1. 原式变形： 2. 整体代入： 【答案】 算式结果为60 【跟踪训练2】 题目：已知2a+3b=45，求4a+6b的值？ 【分析】 整体扩倍代换题型，观察发现所求算式是已知等式的2倍，直接整体扩倍，无需单独求解a、b数值。 【详解】 1. 观察可得： 2. 整体代入： 【答案】 算式结果为90 【典型例题5】图文混合等量代换（奥数特色） 题目：已知：△+△=□+□+□，□+□=○+○+○。求2个△等于多少个○？ 【分析】 多层图文混合代换题型，存在三层未知量，需要统一中间量□的份数，通过扩倍统一等量，逐层代换△与○的数量关系。 【详解】 1. 已知：2△=3□，2□=3○ 2. 统一□的份数，最小公倍数6：4△=6□，9○=6□ 3. 等量代换：4△=9○，可得2△=4.5○ 【答案】 2个△等于4.5个○ 【跟踪训练1】 题目：已知3☆=2◇，4◇=5△，求6☆等于多少个△？ 【分析】 多层链式图文代换，先扩倍统一中间量◇，建立☆与△的等量关系，整体代换求解。 【详解】 1. 3☆=2◇，扩倍得6☆=4◇ 2. 已知4◇=5△ 3. 等量代换：6☆=5△ 【答案】 6个☆等于5个△ 【跟踪训练2】 题目：1只鸡的重量=2只鸭的重量，3只鸭的重量=4只鹅的重量，求3只鸡的重量等于多少只鹅的重量？ 【分析】 实物多层代换拔高题，以鸭为中间量，统一鸭的份数，建立鸡与鹅的重量关系，最终求解。 【详解】 1. 1鸡=2鸭，3鸡=6鸭 2. 3鸭=4鹅，扩倍得6鸭=8鹅 3. 代换得：3鸡=8鹅 【答案】 3只鸡的重量等于8只鹅的重量 高频真题 1．有三堆棋子，每堆48枚，第一堆的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有是黑子。这三堆棋子中一共有白子多少枚？ 2．运一批橘子，如果用2辆大卡车和5辆小卡车运，15次可以运完；如果用9辆大卡车和3辆小卡车来运，5次可以运完。现在只用3辆小卡车运，多少次可以运完？ 3．妈妈想买6双筷子和4个碗，算好了价钱是14元。到了超市，她买4双筷子和6个碗，结果花了16元。筷子和碗的单价各是多少元？ 4．4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，每筐苹果和每筐香蕉各重多少千克？ 5．买3本科技书和6本故事书共需165元，买6本科技书和3本故事书共需150元，科技书和故事书的单价各是多少元？ 6．李强用66元买了一本字典、一支钢笔和一把尺子。字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共比尺子贵56元。字典、钢笔和尺子的单价各是多少元？ 7．李涛用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共比鞋贵138元。大衣、裤子和鞋的单价各是多少元？ 8．王华买4件相同的上衣和9条相同的裤子共用去1200元，已知2件上衣相当于3条裤子的价格．求上衣和裤子的单价． 9．李阿姨买了3盒巧克力和5千克果冻，一共花了195元；沈叔叔买了同样多的3盒巧克力和3千克果冻，一共花了159元．问每盒巧克力和每千克果冻各多少钱？ 10．聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元．帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元．”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？ 11．小明买4个练习本与1枝铅笔共用去28角钱，已知一枝铅笔比一个练习本贵3角钱．请问练习本与铅笔的单价各是多少？ 12．5头牛6匹马每天共吃草139千克，6头牛5匹马每天吃草共125千克，3头牛3匹马一天共吃草多少千克？ 13．学校买来2张桌子和5把椅子，共用去110元，已知每张桌子价钱是椅子的3倍，问：每张桌子多少钱？ 14．水果店第一次运进5箱苹果和6箱梨共重250千克，第二次运进5箱梨和10箱苹果共重325千克．问：一箱苹果和一箱梨共重多少千克？ 15．3头牛、8只羊一天共吃草86千克，5头牛、15只羊一天共吃草150千克，求一头牛和一只羊一天共吃草多少千克？ 16． 开学时，学校买进新桌椅，第一次买来8张课桌和5把椅子，共付人民币330元；第二次又买来4张课桌和20把椅子，共付人民币480元．每张课桌和每把椅子各多少元？ 17．已知：要购买3千克黄豆和5千克绿豆一共要花42元钱，而要购买6斤黄豆和6斤绿豆价值要花60元钱．可是，这怎么能知道黄豆和绿豆各自的价格呢？ 18．2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1个篮球。那么，买1个篮球的价格可以买多少个网球？ 19．3包科技书和5包故事书共420本，学校买来4包科技书和10包故事书共760本．每包科技书多少本？每包故事书多少本？ 20．甲、乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时，两人共做196个；甲做6小时，乙做4小时，则共做204个，甲、乙1小时共做多少个？两人每小时各做多少个？ 21．3筐苹果和5筐梨共重138千克，同样的9筐苹果和4筐梨共重216千克，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？ 22．学校第一次买了5个篮球与4个足球共花150元，第二次买了4个篮球与8个足球共花240元．每个篮球与每个足球各是多少元？ 23．3头牛和4只羊一天共吃草77千克,6头牛和5只羊一天共吃草130千克．每头牛,每只羊每天各吃草多少千克? 24．学校买来8张桌子和10把椅子，一共用去900元，买2张桌子的钱可买5把椅子，每张桌子多少元？ 25．在2008年北京奥运会中，中国代表团获得51枚金牌，比韩国代表团和日本代表团的金牌总数的2倍还多7枚，韩国代表团的金牌数比日本代表团的金牌数多4枚。韩国代表团在2008年奥运会上获得了多少枚金牌？ 26．1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？ 27．720 人外出参观，1辆大客车比1辆面包车多载20人，6辆大客车和8辆面包车载的人数相等，如果都乘面包车；需要几辆？如果都乘大客车呢？ 28．爸爸买一套西服、一条领带和一双皮鞋共用了1425元，已知西服的价钱比领带贵703元，西服和领带一共比鞋贵809元，求西服、领带、皮鞋的单价． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $