小升初奥数培优讲义：比例的应用-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦比例的应用专题，涵盖比例基础定义、正反比例判断、连比转化、按比分配及变比问题，通过知识梳理构建体系，例题讲解从基础到培优，配合跟踪训练和高频真题，帮助学生掌握不变量技巧等关键解题方法。 亮点在于分层递进教学与核心素养培养，如连比转化中统一中间项份数训练推理意识，变比问题以不变量为突破口建立模型意识。设计“基础-培优-真题”三级练习，助力学生从概念理解到灵活应用，教师可精准把握薄弱点，提升复习针对性与效率。

小升初奥数培优讲义：比例的应用 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 比例，是打通小学数学基础与奥数拔高的关键钥匙，也是小升初考试的核心重难点。从简单的按比分配、连比换算，到灵活多变的正反比例应用、不变量拔高题型，所有题目万变不离其宗，核心都是找准数量关系、抓住解题关键。 本节课的学习由浅入深、循序渐进，基础题型帮你夯实公式和解题套路，培优题型帮你拓展数学思维、突破易错难点。学习比例知识，切忌死记硬背、机械刷题，希望大家吃透例题思路、总结解题规律，熟练判断正反比例、活用不变量技巧，做到举一反三、触类旁通。 小升初备考，点滴积累，终有回响。每一次认真思考、每一次规范解题，都是思维的成长与能力的提升。愿你稳住基础、攻克难题、打磨细节，牢牢掌握比例解题核心方法，练就灵活的数学思维，在小升初的赛道上稳步前行、全力冲刺，遇见更好的自己！ 本节课的知识由浅入深、层层递进，基础题型帮你夯实公式与方法，培优题型帮你拓展思维、突破短板。学习数学切忌死记硬背、机械刷题，希望同学们认真吃透每一道例题，复盘每一步解题思路，熟练掌握连比转化、正反比例判断、不变量解题的核心技巧，做到举一反三、灵活变通。 小升初备考，贵在坚持、重在积累。每一次认真审题，每一次规范解题，都是在为自己蓄力。愿你深耕基础、攻克难点、打磨思维，熟练运用比例知识解决各类难题，在数学学习中稳步提升、突破自我，从容迎战小升初，奔赴理想前程！ 一、比例的基础核心知识 1. 比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。形如 （），其中为比例外项，为比例内项。 2. 比例的基本性质（解题核心依据）：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即若，则。可用于解比例方程、化简比例、判断比例是否成立。 3. 比与比例的区别：比表示两个数的倍数关系（两项），比例表示两个比的相等关系（四项）；多个比可通过统一中间项转化为连比，是解决多量比例问题的关键。 二、正比例与反比例（重难点） 1. 正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若两种量对应的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系。 字母表达式：（为固定常数，） 常见场景：速度一定，路程与时间成正比；单价一定，总价与数量成正比；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比。 2. 反比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若两种量对应的乘积一定，则这两种量成反比例关系。 字母表达式：（为固定常数，） 常见场景：路程一定，速度与时间成反比；总价一定，单价与数量成反比；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比。 3. 正反比例判断口诀 商正积反，不变定量；同增同减是正比，一增一减是反比。 三、连比转化技巧（高频考点） 当题目给出两组两两比，求三个及以上量的连比时，核心方法：统一公共项份数。 例：已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙。 步骤：统一乙的份数，3和4的最小公倍数为12，甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，最终得甲:乙:丙=8:12:15。 四、按比分配问题（基础应用） 1. 定义：把一个总量按照一定的比例分成若干部分，求各部分数量的问题。 2. 通用解题步骤： ① 求出总份数（各比例份数相加）； ② 求出每份对应的具体数量（总量÷总份数）； ③ 分别求出各部分数量（每份数量×对应份数）； ④ 逆向题型：已知部分量，先求每份数量，再求总量或其他部分量。 五、比例应用题通用解题步骤 1. 审题：找出题目中两种相关联的量，确定定量； 2. 判断：判断两种量成正比例还是反比例； 3. 设未知数：设关键量为，列出比例式； 4. 解方程：根据比例基本性质求解； 5. 检验作答：验证结果符合题意，规范答题。 例题讲解 【典型例题1】按比分配基础应用题 题目：甲、乙两个数的比是3:5，两数的和是64，求甲、乙两数分别是多少？ 【分析】 本题为基础按比分配问题，已知两数之比和两数总和。首先根据比例求出总份数，再计算每份的数量，最后分别乘甲、乙对应的份数，即可求出两数具体值。 【详解】 1. 计算总份数：（份） 2. 计算每份数量： 3. 求甲数： 4. 求乙数： 【答案】 甲数是24，乙数是40。 【跟踪训练1】 题目：学校把80本课外书按2:3的比分给一班和二班，两个班各分到多少本书？ 【分析】 典型按比分配题型，总量为80本，分配比例2:3，先求总份数，再求单份数量，最后计算两个班级的书本数量。 【详解】 总份数：（份） 每份数量：（本） 一班：（本） 二班：（本） 【答案】 一班32本，二班48本。 【跟踪训练2】 题目：甲、乙、丙三个数的比是2:4:7，三个数的总和是65，求三个数分别是多少？ 【分析】 三连比按比分配问题，解题思路与两数分配一致，先计算三者总份数，求出单份数量，再分别对应求解三个数。 【详解】 总份数：（份） 每份数量： 甲数： 乙数： 丙数： 【答案】 甲=10，乙=20，丙=35。 【典型例题2】连比转化应用题 题目：已知甲:乙=3:4，乙:丙=6:5，求甲、乙、丙的连比。 【分析】 本题核心是统一中间量“乙”的份数，找出4和6的最小公倍数，将两组比例中乙的份数化为相同，即可得到三者连比，是多量比例问题的基础题型。 【详解】 1. 求4和6的最小公倍数：12 2. 转化甲、乙比例：（前后项同时乘3） 3. 转化乙、丙比例：（前后项同时乘2） 4. 统一连比：甲:乙:丙=9:12:10 【答案】 甲:乙:丙=9:12:10 【跟踪训练1】 题目：已知a:b=2:5，b:c=10:3，求a:b:c。 【分析】 观察两组比例，中间量b的份数分别为5和10，最小公倍数为10，统一b的份数后，直接拼接得到三者连比。 【详解】 1. 统一b的份数为10： 2. 已知 3. 可得连比： 【答案】 a:b:c=4:10:3 【跟踪训练2】 题目：已知甲:乙=4:7，乙:丙=3:2，求甲:乙:丙。 【分析】 中间量乙的份数为7和3，最小公倍数为21，分别对两组比例进行扩倍，统一乙的份数后求解连比。 【详解】 1. 7和3的最小公倍数为21 2. （前后项乘3） 3. （前后项乘7） 4. 连比：甲:乙:丙=12:21:14 【答案】 甲:乙:丙=12:21:14 【典型例题3】正比例应用题 题目：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时可以行驶多少千米？ 【分析】 汽车行驶速度固定，路程和时间成正比例关系，即路程与时间的比值（速度）一定。可设未知路程为，列出正比例比例式求解。 【详解】 解：设5小时可以行驶千米。 速度一定，路程与时间成正比： 根据比例基本性质： 【答案】 5小时可以行驶300千米。 【跟踪训练1】 题目：小明4分钟口算60道题，按照这个速度，10分钟可以口算多少道题？ 【分析】 小明口算速度固定，口算题数量和时间成正比例，比值为每分钟做题数，据此列比例式求解。 【详解】 解：设10分钟可以口算道题。 【答案】 10分钟可以口算150道题。 【跟踪训练2】 题目：购买5支钢笔需要40元，照这样计算，买12支钢笔需要多少元？ 【分析】 钢笔单价固定，总价和数量成正比例关系，根据正比例规律列方程求解即可。 【详解】 解：设买12支钢笔需要元。 【答案】 买12支钢笔需要96元。 【典型例题4】反比例应用题 题目：一批货物，用载重8吨的卡车运输，需要15次运完；如果改用载重10吨的卡车，需要多少次运完？ 【分析】 货物总总量固定，卡车载重和运输次数的乘积为总货物量，因此载重和运输次数成反比例关系，据此列反比例比例式求解。 【详解】 解：设需要次运完。 总货物量一定，载重×次数=定值： 【答案】 需要12次运完。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，10人工作12天可以完成，如果增加2人，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 工程总量固定，工作人数和工作天数成反比例，人数越多，天数越少，根据乘积一定列方程求解。 【详解】 解：设天可以完成。 总工程量不变： 【答案】 10天可以完成这项工程。 【跟踪训练2】 题目：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。如果每小时行80千米，需要几小时到达？ 【分析】 甲乙两地路程固定，行驶速度和时间成反比例，速度×时间=路程（定值），据此列方程求解。 【详解】 解：设需要小时到达。 【答案】 需要3小时到达。 【典型例题5】比例变比问题（培优拔高） 题目：甲、乙两人的存款比是5:3，甲取出200元后，两人存款比变为3:3，求甲原来的存款是多少元？ 【分析】 本题关键：乙的存款始终不变，以乙的存款为统一不变量。先统一乙的份数，再根据甲的份数变化对应实际金额变化，求出单份金额，进而求出甲原有存款。 【详解】 1. 原比例：甲:乙=5:3 2. 现比例：甲:乙=3:3=1:1=3:3 3. 乙的份数不变，甲从5份变为3份，减少了份 4. 2份对应200元，1份：元 5. 甲原有存款：元 【答案】 甲原来的存款是500元。 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两筐苹果重量比是4:3，从甲筐取出12千克放入乙筐后，重量比变为2:3，求甲筐原有苹果多少千克？ 【分析】 本题不变量为两筐苹果总重量，先统一总份数，对比甲筐份数变化与实际重量变化，求出单份重量，进而求解。 【详解】 1. 原总份数：份，甲占 2. 现总份数：份，甲占 3. 统一总份数：7和5最小公倍数35 原比例：甲:乙=20:15，现比例：甲:乙=14:21 4. 甲减少份数：份，对应12千克 5. 1份：千克 6. 甲原有：千克 【答案】 甲筐原有苹果40千克。 【跟踪训练2】 题目：原有男、女生人数比是5:4，转入10名女生后，男女生人数比变为10:9，求原来男生有多少人？ 【分析】 本题不变量为男生人数，统一男生份数，对比女生份数变化和转入人数，求出单份人数，即可求出原有男生人数。 【详解】 1. 原比例：男:女=5:4=10:8 2. 现比例：男:女=10:9 3. 男生份数不变，女生增加份，对应10人 4. 1份=10人，原有男生10份 5. 原有男生：人 【答案】 原来男生有100人。 高频真题 1．甲、乙、丙三人进行400米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有85米，如果甲、乙、丙的速度保持不变。问：当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 【答案】50米 【分析】当甲到达终点时，乙和丙所用的时间相同。在时间相同的情况下，路程的比等于速度的比。先求出甲到达终点时乙和丙各自跑过的路程，得出乙与丙的路程比。当乙到达终点时，根据乙跑的总路程和乙丙的路程比，求出丙跑过的路程，最后用总路程减去丙跑过的路程，即可求出丙离终点的距离。 【详解】当甲到达终点时，乙跑的路程：400－40＝360（米） 丙跑的路程：400－85＝315（米） 乙与丙的路程比：360∶315＝8∶7 当乙到达终点时，丙跑的路程：400×＝350（米） 丙离终点的距离：400－350＝50（米） 答：当乙到达终点时，丙离终点还有50米。 2．甲、乙两只盒子里都放有黑、白两种颜色的棋子，已知甲盒里黑、白棋子数的比是4∶5，乙盒里黑、白棋子数的比为5∶4，并且甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9∶16。求两盒棋子中黑色棋子总数与白色棋子总数的比。 【答案】116∶109 【分析】设乙盒棋子总数为单位“1”，根据甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9∶16，可知甲盒总数为，再分别计算甲、乙盒中黑、白棋子数，最后求出总数比。 【详解】甲盒黑色棋子数为：＝＝ 甲盒白色棋子数为：＝＝ 乙盒黑色棋子数为：＝＝ 乙盒白色棋子数为：＝＝ 黑色棋子总数为： 白色棋子总数为：＝＝ 总数比为：＝：＝ 答：两盒棋子中黑色棋子总数与白色棋子总数的比为116：109。 3．一个施工队安装一条水管，前6天装了224米，照这样的速度，又用了15天把水管全部装完，这条水管一共长多少米？ 【答案】784米 【分析】根据题意可知，施工队的工作效率保持不变，即工作量与工作时间的比值一定，因此工作量与工作时间成正比例关系。已知前6天的工作量是224米，总工作时间是前6天加上后来的15天，设水管总长度为未知数，利用正比例关系列出比例方程进行求解。 【详解】解：设这条水管一共长米。 总工作时间为：（天） 因为工作效率一定，所以工作量与工作时间成正比例，可得： 答：这条水管一共长784米。 4．在男子100米短跑比赛中，细心的裁判发现，当明明到达终点时，冬冬距离终点还有10米，而晶晶才跑了81米。如果照这样的速度跑下去，当冬冬到达终点时，晶晶距终点还有多少米？ 【答案】10米 【分析】解题的关键在于抓住“照这样的速度跑下去”这一条件，说明两人的速度保持不变。在相同时间内，两人跑的路程之比等于速度之比，是一个定值。首先计算出明明到达终点时冬冬实际跑的路程，进而求出晶晶跑的路程是冬冬跑的路程的几分之几。当冬冬跑完全程100米时，根据这个比例关系求出晶晶跑的总路程，最后用全程减去晶晶跑的总路程，即可得出晶晶距终点的距离。 【详解】冬冬跑的路程为：100－10 ＝90（米） 晶晶与冬冬的路程比为：81：90＝＝ 冬冬跑的总路程为100米，此时晶晶跑的总路程为：100×＝90（米） 晶晶距终点的距离为：100－90＝10（米） 答：晶晶距终点还有10米。 5．一幅地图上2厘米长的线段表示实际的1000米，在这幅地图上量得一个长方形公园长3.6厘米，宽3厘米，这个公园的占地面积是多少公顷？ 【答案】270公顷 【分析】已知图上2厘米表示实际的1000米，可先求出图上1厘米表示的实际距离，再分别计算长方形长和宽的实际长度；利用“长方形面积＝长×宽”，计算公园实际占地面积并将面积单位转换为公顷。 【详解】1000÷2＝500（米） 3.6×500＝1800（米） 3×500＝1500（米） 1800×1500＝2700000（平方米） 2700000平方米＝270公顷 答：这个公园的占地面积是270公顷。 6．光明小学六年级共有学生35人，分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。这三个小组各有多少人？ 【答案】8人；12人；15人 【分析】题目中给出了第一小组与第二小组的人数比，以及第二小组与第三小组的人数比，其中第二小组是中间量。解题思路是先根据比的基本性质，将两个比中第二小组对应的份数化成相同的数（即求3和4的最小公倍数），从而求出三个小组人数的连比。最后根据总人数和连比，利用按比例分配的方法求出各小组的具体人数。 【详解】2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 4∶5＝（4×3）∶（5×3）＝12∶15 第一小组、第二小组和第三小组人数的比是8∶12∶15。 总份数：8＋12＋15＝35（份） 第一小组人数：35×＝8（人） 第二小组人数：35×＝12（人） 第三小组人数：35×＝15（人） 答：第一小组有8人，第二小组有12人，第三小组有15人。 7．大、小两瓶油共重2.7千克，小瓶用去0.3千克后，大瓶的油与小瓶剩下的油质量比是2∶1。大瓶原来有油多少千克？小瓶原来有油多少千克？ 【答案】1.6千克；1.1千克 【分析】本题考查比的应用。已知大、小两瓶油原来的总质量，以及小瓶用去一部分后，大瓶与小瓶剩下油的质量比。解题的关键在于抓住大瓶油的质量始终不变，小瓶用去0.3千克后，两瓶油的总质量也随之减少0.3千克。此时的总质量对应的是大瓶油与小瓶剩下油的总和，按照2∶1的比例进行分配，即可求出大瓶油的质量（即原来的质量）和小瓶剩下油的质量，进而求出小瓶原来油的质量。 【详解】2.7－0.3＝2.4（千克） 总份数：2＋1＝3（份） 大瓶原来有油的质量：2.4×＝1.6（千克） 小瓶原来有油的质量：2.7－1.6＝1.1（千克） 答：大瓶原来有油1.6千克，小瓶原来有油1.1千克。 8．某工厂有三个车间，甲车间占全厂人数的，乙、丙车间人数的比是12∶13，甲车间比丙车间少4人，全厂共有多少人？ 【答案】300人 【分析】把全厂总人数看作单位“1”。甲车间占全厂人数的，则乙、丙车间人数之和占全厂人数的。已知乙、丙车间人数的比是，根据按比例分配的方法，可以求出丙车间人数占乙、丙车间人数之和的，进而求出丙车间人数占全厂总人数的分率。题目已知甲车间比丙车间少4人，即丙车间比甲车间多4人，用丙车间占全厂的分率减去甲车间占全厂的分率，得到4人对应的分率，最后根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法计算全厂总人数。 【详解】 （人） 答：全厂共有300人。 9．甲、乙两车同时从A地开往B地，当甲车行到全程的处时，乙车行了全程的；当乙车到达B地时，甲车距B地还有20千米。求A、B两地间的路程。 【答案】60千米 【分析】本题考查分数除法的应用以及行程问题中路程、速度、时间的关系。关键在于利用“时间相同，路程比等于速度比”这一性质，求出甲车速度是乙车的几分之几。然后将全程看作单位“1”，找出20千米对应的分率，从而求出全程。 【详解】甲、乙两车的速度比为： 即甲车的速度是乙车的。 当乙车到达B地时，甲车行了全程的： 甲车距B地还有的路程占全程的： A、B两地间的路程为： （千米） 答：A、B两地间的路程是60千米。 10．用边长20厘米的方砖铺一块地，需要2000块，如果改用边长为40厘米的方砖铺地，需要多少块？ 【答案】500块 【分析】铺地的总面积是一定的，即方砖的面积与方砖的块数的乘积一定，所以方砖的面积与方砖的块数成反比例。设需要块，根据两种方砖铺地的总面积相等列出方程求解。 【详解】解：设需要块。 答：需要 500 块。 11．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 【答案】3∶4∶10 【分析】第一次溢出的水量的体积相当于是小球的体积；第二次溢出的水量的体积相当于是中球体积减去小球体积；第三次溢出的水量的体积相当于是大球体积减去中球体积。 【详解】设第二次溢出的水量是1份，那么第一次溢出的水量是3份，第三次溢出的水量是6份； 那么小球体积是3份，中球的体积为3＋1＝4份，大球体积是4＋6＝10份； 所以小中大三球的体积比是3∶4∶10。 答：小、中、大三球的体积比是3∶4∶10。 【点睛】本题考查的是比的应用与排水问题，当容器注满水时，溢出的水的体积就是物体的体积。 12．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 【答案】小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率之和，再按比例分配，得到各自的工作效率，然后求出乙完成一半需要的总时间，减去5小时，得到还需要的时间。 【详解】乙小时完成总工作量的； 乙每小时完成总工作量的； 乙需要完成的总工作量为； 乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 答：乙还要5小时才能完成分配的任务。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，按比例分配的问题可以设份数求解。 13．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 【答案】10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 【点睛】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。 14．甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？ 【答案】甲工地200袋；乙工地100袋 【详解】2:1=8:4 125÷（8-3）=25（袋） 甲工地：25×8=200（袋） 乙工地：25×4=100（袋） 15．某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多；各组男会员与女会员人数之比是： 甲组12∶13，乙组5∶3，丙组2∶1，那么丙组有多少名男会员？ 【答案】12名 【分析】按比例分配算出男生有56人，女生有44人。甲组人数与乙、丙两组人数的和一样多，则甲组有会员50人，按比例分配算出甲组的男会员有24人，剩下的男会员就有32人。设丙组有x人，丙组的男生会员有，乙组就有（50－x）人，乙组的男生会员有人，则数量关系式为：丙组的男会员＋乙组的男会员＝剩下的男会员人数。据此解答。 【详解】男生人数：（人） 甲组人数或者乙丙两组人数和：100÷2＝50（人） 甲组男会员人数：（人） 剩下的男会员人数：56－24＝32（人） 设丙组有x人，乙组就有（50－x）人。 （人） 答：丙组中有12名男会员。 16．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 【答案】30∶25∶26 【详解】略 17．小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？ 【答案】原来小明40张，小强30张 【详解】解法一：4∶3=20∶15 5∶2=20∶8 假设小强也买来15×=（张），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20∶8． 因此这个比的每一份是：（+8）（15-8）= 小明现有：20×=55（张），原有55-15=40（张） 小强现有：8×=22（张），原有22+8=30（张） 答：原来小明有40张，小强有30张. 解法二：设原来小明有4“份”，小强有3“份”.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图： 从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张. 18．某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是． 问报考的共有多少人？ 【答案】119人 【详解】(法1)录取的学生中男生有人，女生有(人)，先将未录取的人数之比变成，又有(人)，所以每份人数是(人)，那么未录取的男生有(人)，未录取的女生有(人)．所以报考总人数是(人)。 (法2)设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于录取的学生中男生有人，女生有(人)，则，解得．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是(人)。 19．一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？ 【答案】12 【详解】由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的，小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的，所以小明、小强的钱数的比值为，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为，所以小明买刀前后的钱数之比为，所以小刀的售价等于小明原来钱数的，所以小明的钱数为元．也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为，小明的钱数为（元） 20．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？ 【答案】140厘米 【详解】如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为（厘米），所以原来铁板的长为（厘米）。 答：原来长方形铁板的长是140厘米。 21．一个正方形的一边减少，另一边增加 米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米？ 【答案】8米 【分析】将一个正方体一边减少20%，要使面积不变，另一边需要增加1÷（1－20%）－1＝25%，所以增加的2米是原边长的25%，用2÷25%即可求出原边长。 【详解】1÷（1－20%）－1 ＝1.25－1 ＝25% 2÷25%＝8（米） 答：原正方形的边长是8米。 【点睛】解答此题的关键是求出增加的2米占原来长度的几分之几，从而求出正方形的边长。 22．学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的．这三个年级各有多少名学生？ 【答案】180名；225名；210名 【详解】将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人 23．、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满。求、、三个水桶容积各是多少公升？ 【答案】480公升；400公升；560公升 【分析】根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的。据此确定三个水桶容积之比，根据按比例分配问题的解题方法进行计算。 【详解】、、三个水桶的容积之比是。 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 答：A桶容积是480公升，B桶容积是400公升，C桶容积是560公升。 【点睛】关键是确定三个水桶容积之比，掌握按比例分配应用题的解题方法。 24．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 【答案】400 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件 25．在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐( )元，乙捐( )元，丙捐( )元． 【答案】 38 22 20 【详解】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为：(元)，乙、丙所捐资的和为元．所以，甲捐了(元)，乙捐了(元)，丙捐了(元)． 26．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 【答案】1400个；1200个；1050个 【详解】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：比例的应用 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 比例，是打通小学数学基础与奥数拔高的关键钥匙，也是小升初考试的核心重难点。从简单的按比分配、连比换算，到灵活多变的正反比例应用、不变量拔高题型，所有题目万变不离其宗，核心都是找准数量关系、抓住解题关键。 本节课的学习由浅入深、循序渐进，基础题型帮你夯实公式和解题套路，培优题型帮你拓展数学思维、突破易错难点。学习比例知识，切忌死记硬背、机械刷题，希望大家吃透例题思路、总结解题规律，熟练判断正反比例、活用不变量技巧，做到举一反三、触类旁通。 小升初备考，点滴积累，终有回响。每一次认真思考、每一次规范解题，都是思维的成长与能力的提升。愿你稳住基础、攻克难题、打磨细节，牢牢掌握比例解题核心方法，练就灵活的数学思维，在小升初的赛道上稳步前行、全力冲刺，遇见更好的自己！ 本节课的知识由浅入深、层层递进，基础题型帮你夯实公式与方法，培优题型帮你拓展思维、突破短板。学习数学切忌死记硬背、机械刷题，希望同学们认真吃透每一道例题，复盘每一步解题思路，熟练掌握连比转化、正反比例判断、不变量解题的核心技巧，做到举一反三、灵活变通。 小升初备考，贵在坚持、重在积累。每一次认真审题，每一次规范解题，都是在为自己蓄力。愿你深耕基础、攻克难点、打磨思维，熟练运用比例知识解决各类难题，在数学学习中稳步提升、突破自我，从容迎战小升初，奔赴理想前程！ 一、比例的基础核心知识 1. 比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。形如 （），其中为比例外项，为比例内项。 2. 比例的基本性质（解题核心依据）：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即若，则。可用于解比例方程、化简比例、判断比例是否成立。 3. 比与比例的区别：比表示两个数的倍数关系（两项），比例表示两个比的相等关系（四项）；多个比可通过统一中间项转化为连比，是解决多量比例问题的关键。 二、正比例与反比例（重难点） 1. 正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若两种量对应的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系。 字母表达式：（为固定常数，） 常见场景：速度一定，路程与时间成正比；单价一定，总价与数量成正比；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比。 2. 反比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若两种量对应的乘积一定，则这两种量成反比例关系。 字母表达式：（为固定常数，） 常见场景：路程一定，速度与时间成反比；总价一定，单价与数量成反比；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比。 3. 正反比例判断口诀 商正积反，不变定量；同增同减是正比，一增一减是反比。 三、连比转化技巧（高频考点） 当题目给出两组两两比，求三个及以上量的连比时，核心方法：统一公共项份数。 例：已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙。 步骤：统一乙的份数，3和4的最小公倍数为12，甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，最终得甲:乙:丙=8:12:15。 四、按比分配问题（基础应用） 1. 定义：把一个总量按照一定的比例分成若干部分，求各部分数量的问题。 2. 通用解题步骤： ① 求出总份数（各比例份数相加）； ② 求出每份对应的具体数量（总量÷总份数）； ③ 分别求出各部分数量（每份数量×对应份数）； ④ 逆向题型：已知部分量，先求每份数量，再求总量或其他部分量。 五、比例应用题通用解题步骤 1. 审题：找出题目中两种相关联的量，确定定量； 2. 判断：判断两种量成正比例还是反比例； 3. 设未知数：设关键量为，列出比例式； 4. 解方程：根据比例基本性质求解； 5. 检验作答：验证结果符合题意，规范答题。 例题讲解 【典型例题1】按比分配基础应用题 题目：甲、乙两个数的比是3:5，两数的和是64，求甲、乙两数分别是多少？ 【分析】 本题为基础按比分配问题，已知两数之比和两数总和。首先根据比例求出总份数，再计算每份的数量，最后分别乘甲、乙对应的份数，即可求出两数具体值。 【详解】 1. 计算总份数：（份） 2. 计算每份数量： 3. 求甲数： 4. 求乙数： 【答案】 甲数是24，乙数是40。 【跟踪训练1】 题目：学校把80本课外书按2:3的比分给一班和二班，两个班各分到多少本书？ 【分析】 典型按比分配题型，总量为80本，分配比例2:3，先求总份数，再求单份数量，最后计算两个班级的书本数量。 【详解】 总份数：（份） 每份数量：（本） 一班：（本） 二班：（本） 【答案】 一班32本，二班48本。 【跟踪训练2】 题目：甲、乙、丙三个数的比是2:4:7，三个数的总和是65，求三个数分别是多少？ 【分析】 三连比按比分配问题，解题思路与两数分配一致，先计算三者总份数，求出单份数量，再分别对应求解三个数。 【详解】 总份数：（份） 每份数量： 甲数： 乙数： 丙数： 【答案】 甲=10，乙=20，丙=35。 【典型例题2】连比转化应用题 题目：已知甲:乙=3:4，乙:丙=6:5，求甲、乙、丙的连比。 【分析】 本题核心是统一中间量“乙”的份数，找出4和6的最小公倍数，将两组比例中乙的份数化为相同，即可得到三者连比，是多量比例问题的基础题型。 【详解】 1. 求4和6的最小公倍数：12 2. 转化甲、乙比例：（前后项同时乘3） 3. 转化乙、丙比例：（前后项同时乘2） 4. 统一连比：甲:乙:丙=9:12:10 【答案】 甲:乙:丙=9:12:10 【跟踪训练1】 题目：已知a:b=2:5，b:c=10:3，求a:b:c。 【分析】 观察两组比例，中间量b的份数分别为5和10，最小公倍数为10，统一b的份数后，直接拼接得到三者连比。 【详解】 1. 统一b的份数为10： 2. 已知 3. 可得连比： 【答案】 a:b:c=4:10:3 【跟踪训练2】 题目：已知甲:乙=4:7，乙:丙=3:2，求甲:乙:丙。 【分析】 中间量乙的份数为7和3，最小公倍数为21，分别对两组比例进行扩倍，统一乙的份数后求解连比。 【详解】 1. 7和3的最小公倍数为21 2. （前后项乘3） 3. （前后项乘7） 4. 连比：甲:乙:丙=12:21:14 【答案】 甲:乙:丙=12:21:14 【典型例题3】正比例应用题 题目：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时可以行驶多少千米？ 【分析】 汽车行驶速度固定，路程和时间成正比例关系，即路程与时间的比值（速度）一定。可设未知路程为，列出正比例比例式求解。 【详解】 解：设5小时可以行驶千米。 速度一定，路程与时间成正比： 根据比例基本性质： 【答案】 5小时可以行驶300千米。 【跟踪训练1】 题目：小明4分钟口算60道题，按照这个速度，10分钟可以口算多少道题？ 【分析】 小明口算速度固定，口算题数量和时间成正比例，比值为每分钟做题数，据此列比例式求解。 【详解】 解：设10分钟可以口算道题。 【答案】 10分钟可以口算150道题。 【跟踪训练2】 题目：购买5支钢笔需要40元，照这样计算，买12支钢笔需要多少元？ 【分析】 钢笔单价固定，总价和数量成正比例关系，根据正比例规律列方程求解即可。 【详解】 解：设买12支钢笔需要元。 【答案】 买12支钢笔需要96元。 【典型例题4】反比例应用题 题目：一批货物，用载重8吨的卡车运输，需要15次运完；如果改用载重10吨的卡车，需要多少次运完？ 【分析】 货物总总量固定，卡车载重和运输次数的乘积为总货物量，因此载重和运输次数成反比例关系，据此列反比例比例式求解。 【详解】 解：设需要次运完。 总货物量一定，载重×次数=定值： 【答案】 需要12次运完。 【跟踪训练1】 题目：一项工程，10人工作12天可以完成，如果增加2人，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 工程总量固定，工作人数和工作天数成反比例，人数越多，天数越少，根据乘积一定列方程求解。 【详解】 解：设天可以完成。 总工程量不变： 【答案】 10天可以完成这项工程。 【跟踪训练2】 题目：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。如果每小时行80千米，需要几小时到达？ 【分析】 甲乙两地路程固定，行驶速度和时间成反比例，速度×时间=路程（定值），据此列方程求解。 【详解】 解：设需要小时到达。 【答案】 需要3小时到达。 【典型例题5】比例变比问题（培优拔高） 题目：甲、乙两人的存款比是5:3，甲取出200元后，两人存款比变为3:3，求甲原来的存款是多少元？ 【分析】 本题关键：乙的存款始终不变，以乙的存款为统一不变量。先统一乙的份数，再根据甲的份数变化对应实际金额变化，求出单份金额，进而求出甲原有存款。 【详解】 1. 原比例：甲:乙=5:3 2. 现比例：甲:乙=3:3=1:1=3:3 3. 乙的份数不变，甲从5份变为3份，减少了份 4. 2份对应200元，1份：元 5. 甲原有存款：元 【答案】 甲原来的存款是500元。 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两筐苹果重量比是4:3，从甲筐取出12千克放入乙筐后，重量比变为2:3，求甲筐原有苹果多少千克？ 【分析】 本题不变量为两筐苹果总重量，先统一总份数，对比甲筐份数变化与实际重量变化，求出单份重量，进而求解。 【详解】 1. 原总份数：份，甲占 2. 现总份数：份，甲占 3. 统一总份数：7和5最小公倍数35 原比例：甲:乙=20:15，现比例：甲:乙=14:21 4. 甲减少份数：份，对应12千克 5. 1份：千克 6. 甲原有：千克 【答案】 甲筐原有苹果40千克。 【跟踪训练2】 题目：原有男、女生人数比是5:4，转入10名女生后，男女生人数比变为10:9，求原来男生有多少人？ 【分析】 本题不变量为男生人数，统一男生份数，对比女生份数变化和转入人数，求出单份人数，即可求出原有男生人数。 【详解】 1. 原比例：男:女=5:4=10:8 2. 现比例：男:女=10:9 3. 男生份数不变，女生增加份，对应10人 4. 1份=10人，原有男生10份 5. 原有男生：人 【答案】 原来男生有100人。 高频真题 1．甲、乙、丙三人进行400米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有85米，如果甲、乙、丙的速度保持不变。问：当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 2．甲、乙两只盒子里都放有黑、白两种颜色的棋子，已知甲盒里黑、白棋子数的比是4∶5，乙盒里黑、白棋子数的比为5∶4，并且甲盒棋子总数与乙盒棋子总数的比为9∶16。求两盒棋子中黑色棋子总数与白色棋子总数的比。 3．一个施工队安装一条水管，前6天装了224米，照这样的速度，又用了15天把水管全部装完，这条水管一共长多少米？ 4．在男子100米短跑比赛中，细心的裁判发现，当明明到达终点时，冬冬距离终点还有10米，而晶晶才跑了81米。如果照这样的速度跑下去，当冬冬到达终点时，晶晶距终点还有多少米？ 5．一幅地图上2厘米长的线段表示实际的1000米，在这幅地图上量得一个长方形公园长3.6厘米，宽3厘米，这个公园的占地面积是多少公顷？ 6．光明小学六年级共有学生35人，分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。这三个小组各有多少人？ 7．大、小两瓶油共重2.7千克，小瓶用去0.3千克后，大瓶的油与小瓶剩下的油质量比是2∶1。大瓶原来有油多少千克？小瓶原来有油多少千克？ 8．某工厂有三个车间，甲车间占全厂人数的，乙、丙车间人数的比是12∶13，甲车间比丙车间少4人，全厂共有多少人？ 9．甲、乙两车同时从A地开往B地，当甲车行到全程的处时，乙车行了全程的；当乙车到达B地时，甲车距B地还有20千米。求A、B两地间的路程。 10．用边长20厘米的方砖铺一块地，需要2000块，如果改用边长为40厘米的方砖铺地，需要多少块？ 11．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 12．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 13．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 14．甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？ 15．某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多；各组男会员与女会员人数之比是： 甲组12∶13，乙组5∶3，丙组2∶1，那么丙组有多少名男会员？ 16．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 17．小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？ 18．某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是． 问报考的共有多少人？ 19．一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？ 20．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？ 21．一个正方形的一边减少，另一边增加 米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米？ 22．学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的．这三个年级各有多少名学生？ 23．、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满。求、、三个水桶容积各是多少公升？ 24．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 25．在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐( )元，乙捐( )元，丙捐( )元． 26．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $