小升初奥数培优讲义：和差问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初奥数培优讲义聚焦和差问题，以“找准和、辨清差”为核心目标，通过知识梳理（定义、公式、题型分类）、例题讲解（基础型到多量变式型）、高频真题巩固的递进流程，帮助学生掌握直接套用公式及推导隐藏和差的解题技巧。 亮点在于结合线段图培养几何直观（数学眼光），通过“移多补少求差值”等实例（如甲给乙20本后相等，原差为40本）训练推理能力（数学思维），28道高频真题覆盖生活场景与多量对比，助力学生用数学语言表达数量关系。教师可依托分层例题与易错点总结，精准指导学生突破难点，提升解题熟练度。

小升初奥数培优讲义：和差问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和差问题是小升初奥数的入门核心题型，看似简单，却藏着严谨的逻辑规律。解题的核心从来不是死记公式，而是找准和、辨清差。面对基础题型，我们要熟练公式、精准计算；面对隐藏和、隐藏差的变式题型，要学会透过题目条件梳理数量关系，巧用线段图辅助分析。 奥数学习没有捷径，每一道错题都是查漏补缺的机会，每一次思考都是思维的提升。希望同学们牢记题型规律、规避易错陷阱，多练习、多总结，熟练掌握和差问题的解题思路，为后续和倍、差倍问题的学习打下坚实基础，在小升初培优冲刺中稳步前行！ 一、和差问题定义 已知两个数量的和与两个数量的差，求这两个数量分别是多少的应用题，统称为和差问题。它是小升初奥数基础高频题型，也是和倍、差倍问题的学习基础，常结合生活场景、移多补少、多量对比等形式考查。 二、核心公式（必背） 我们将两个数中较大的数称为大数，较小的数称为小数，根据和与差的关系，推导得出核心公式： 大数 =（和 + 差）÷ 2 小数 =（和 - 差）÷ 2 辅助公式：大数 = 小数 + 差；小数 = 和 - 大数 三、公式原理（线段图逻辑） 用短线段表示小数，长线段表示大数，大数比小数多出的部分就是“差”。 ① 两数之和加上两数之差，相当于两个大数的和，因此除以2可得大数； ② 两数之和减去两数之差，相当于两个小数的和，因此除以2可得小数。 四、题型分类（小升初高频） 基础型：题目直接给出两个数的和与差，可直接套用公式解题； 隐藏差型（重难点）：题目不直接给出差，需要通过“移多补少”“数量增减”“长短对比”等条件推导出差值，最常见考点：甲给乙n个后两数相等，原来甲比乙多2n； 隐藏和型：题目不直接给出总和，需要通过总数量、总分、总长度等条件计算出两数之和； 多量变式型（培优拔高）：涉及三个及以上数量，通过统一对比标准，转化为两两和差问题求解。 五、易错点总结 （1）移多补少题型中，错误认为“移动数量=两数差值”，正确规律：移动n个相等，原差值=2n； （2）混淆大数、小数对应的公式，计算后未验算； （3）忽略题目中的隐藏条件，无法准确提取和、差核心数据。 例题讲解 【典型例题1】基础直接型和差问题 甲乙两个数的和是80，甲数比乙数大10，求甲、乙两数各是多少？ 【分析】 本题为最基础的和差问题，题目直接给出两数和=80，差=10，甲数是大数，乙数是小数，可直接套用和差核心公式计算。 【详解】 大数（甲数）：(80 + 10) ÷ 2 = 90 ÷ 2 = 45 小数（乙数）：(80 - 10) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35 验算：45 + 35 = 80（和正确），45 - 35 = 10（差正确） 【答案】甲数45，乙数35 【跟踪训练1-1】 两个自然数的和是64，大数比小数多12，这两个数分别是多少？ 【分析】 已知两数和为64，两数差为12，明确大数、小数，直接套用和差公式求解即可。 【详解】 大数：(64 + 12) ÷ 2 = 76 ÷ 2 = 38 小数：(64 - 12) ÷ 2 = 52 ÷ 2 = 26 【答案】大数38，小数26 【跟踪训练1-2】 一个长方形的周长是48厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【分析】 本题属于隐藏和题型，长方形周长=（长+宽）×2，因此需要先求出长与宽的和，再结合“长比宽多4厘米”的差值，用和差公式计算。 【详解】 长+宽：48 ÷ 2 = 24（厘米） 长（大数）：(24 + 4) ÷ 2 = 14（厘米） 宽（小数）：(24 - 4) ÷ 2 = 10（厘米） 【答案】长14厘米，宽10厘米 【典型例题2】隐藏差型（移多补少）和差问题 甲乙两个书架共有图书120本，如果从甲书架拿出20本图书放入乙书架，两个书架的图书数量相等。原来甲乙两个书架各有多少本图书？ 【分析】 本题核心难点是隐藏差值，甲给乙20本后数量相等，说明原来甲比乙多2个20本，即差值=20×2=40本；两数总和已知为120本，再套用和差公式求解。 【详解】 原来甲乙书架图书差值：20 × 2 = 40（本） 甲书架（大数）：(120 + 40) ÷ 2 = 80（本） 乙书架（小数）：(120 - 40) ÷ 2 = 40（本） 验算：80-20=60，40+20=60，数量相等，结果正确。 【答案】甲书架80本，乙书架40本 【跟踪训练2-1】 小明和小红一共有86颗糖果，小明给小红8颗糖果后，两人糖果数量一样多。原来两人各有多少颗糖果？ 【分析】 根据移多补少规律，小明给小红8颗后相等，原差值为8×2=16颗，总和86颗，利用和差公式计算。 【详解】 原有糖果差值：8×2=16（颗） 小明（大数）：(86+16)÷2=51（颗） 小红（小数）：(86-16)÷2=35（颗） 【答案】小明51颗，小红35颗 【跟踪训练2-2】 两筐橘子共重90千克，从第一筐中取出15千克放入第二筐，第一筐还比第二筐多4千克。原来两筐橘子各重多少千克？ 【分析】 本题为移多补少变式，第一筐拿出15千克后仍比第二筐多4千克，说明原差值=15×2+4=34千克，已知总重量，结合和差公式求解。 【详解】 原两筐重量差：15×2+4=34（千克） 第一筐（大数）：(90+34)÷2=62（千克） 第二筐（小数）：(90-34)÷2=28（千克） 【答案】第一筐62千克，第二筐28千克 【典型例题3】培优拔高·三数和差问题 甲乙丙三个数，甲乙两数的和是56，乙丙两数的和是48，甲丙两数的和是64，求甲乙丙三个数分别是多少？ 【分析】 本题为三数和差变式，已知两两之和，可先求出三个数的总和，再用总和分别减去两两之和，求出每个数；也可先求出两数差值，结合和差公式求解，是小升初奥数高频拔高题型。 【详解】 第一步：求三个数总和：(56+48+64)÷2=168÷2=84 第二步：分别求单个数字 丙数：84-56=28 甲数：84-48=36 乙数：84-64=20 【答案】甲数36，乙数20，丙数28 【跟踪训练3-1】 有三个零件，甲乙两个零件共重72克，乙丙两个零件共重65克，甲丙两个零件共重59克，三个零件各重多少克？ 【分析】 已知三组两两重量和，先计算三个零件总重量，再用总重量依次减去两两之和，即可求出每个零件的重量。 【详解】 总重量：(72+65+59)÷2=196÷2=98（克） 丙零件：98-72=26（克） 甲零件：98-65=33（克） 乙零件：98-59=39（克） 【答案】甲33克，乙39克，丙26克 【跟踪训练3-2】 三年级三个班共有学生126人，一班比二班多4人，二班比三班多2人，三个班各有多少人？ 【分析】 多量和差问题，以人数最少的三班为标准，统一差值。一班比三班多4+2=6人，二班比三班多2人，总人数减去多余人数，即为三个三班的人数，先求小数再求大数。 【详解】 统一差值：一班比三班多6人，二班比三班多2人 三班人数：(126-6-2)÷3=118÷3？修正：(126-6-2)÷3=118÷3计算错误，重新计算：126-6-2=114，114÷3=38（人） 二班人数：38+2=40（人） 一班人数：40+4=44（人） 【答案】一班44人，二班40人，三班38人 高频真题 1．将660千克香蕉分别用3个大箱子和5小箱子装，相同型号的箱子所装的重量相同。已知3个大箱子的香蕉总数比5个小箱子的香蕉总数多120千克。每个大箱子和小箱子各装了多少千克香蕉？ 2．姐姐5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，姐姐4年后的年龄与妹妹3年前的年龄和是35岁，姐姐今年多少岁？ 3．张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 4．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 5．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 6．甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？ 7．图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等。求原来上、下层各存书多少本？ 8．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？ 9．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？ 10．A，B两地相距500千米，客车和货车分别从两地同时开出相向而行，4小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，求客车和货车的速度. 11．果园里有桃树、梨树、苹果树共146棵．桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树多4棵，三种树各有多少棵？ 12．一个两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本．上、下层各放书多少本？ 13．有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？ 14．果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 15．用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 16．小阳期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分．语文是多少分？数学是多少分？ 17．期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分．两人各考了多少分？ 18．小记者到城北小学采访，收集到的资料是：该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人．请你提出两个数学问题，并解答． 19．小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？ 20．张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？ 21．有A，B，C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求这三个数. 22．弟弟和哥哥一共收集了78张邮票,哥哥给弟弟20张后,哥哥、弟弟邮票张数同样多,哥哥、弟弟原来各有多少张邮票? 23．一列货车与一列客车同时从北京站出发反向而行，货车每小时比客车多走7千米，4小时后两车相距468千米．求两车速度． 24．四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？ 25．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握手，第三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？ 26．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 27．甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？ 28．一实验五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：和差问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和差问题是小升初奥数的入门核心题型，看似简单，却藏着严谨的逻辑规律。解题的核心从来不是死记公式，而是找准和、辨清差。面对基础题型，我们要熟练公式、精准计算；面对隐藏和、隐藏差的变式题型，要学会透过题目条件梳理数量关系，巧用线段图辅助分析。 奥数学习没有捷径，每一道错题都是查漏补缺的机会，每一次思考都是思维的提升。希望同学们牢记题型规律、规避易错陷阱，多练习、多总结，熟练掌握和差问题的解题思路，为后续和倍、差倍问题的学习打下坚实基础，在小升初培优冲刺中稳步前行！ 一、和差问题定义 已知两个数量的和与两个数量的差，求这两个数量分别是多少的应用题，统称为和差问题。它是小升初奥数基础高频题型，也是和倍、差倍问题的学习基础，常结合生活场景、移多补少、多量对比等形式考查。 二、核心公式（必背） 我们将两个数中较大的数称为大数，较小的数称为小数，根据和与差的关系，推导得出核心公式： 大数 =（和 + 差）÷ 2 小数 =（和 - 差）÷ 2 辅助公式：大数 = 小数 + 差；小数 = 和 - 大数 三、公式原理（线段图逻辑） 用短线段表示小数，长线段表示大数，大数比小数多出的部分就是“差”。 ① 两数之和加上两数之差，相当于两个大数的和，因此除以2可得大数； ② 两数之和减去两数之差，相当于两个小数的和，因此除以2可得小数。 四、题型分类（小升初高频） 基础型：题目直接给出两个数的和与差，可直接套用公式解题； 隐藏差型（重难点）：题目不直接给出差，需要通过“移多补少”“数量增减”“长短对比”等条件推导出差值，最常见考点：甲给乙n个后两数相等，原来甲比乙多2n； 隐藏和型：题目不直接给出总和，需要通过总数量、总分、总长度等条件计算出两数之和； 多量变式型（培优拔高）：涉及三个及以上数量，通过统一对比标准，转化为两两和差问题求解。 五、易错点总结 （1）移多补少题型中，错误认为“移动数量=两数差值”，正确规律：移动n个相等，原差值=2n； （2）混淆大数、小数对应的公式，计算后未验算； （3）忽略题目中的隐藏条件，无法准确提取和、差核心数据。 例题讲解 【典型例题1】基础直接型和差问题 甲乙两个数的和是80，甲数比乙数大10，求甲、乙两数各是多少？ 【分析】 本题为最基础的和差问题，题目直接给出两数和=80，差=10，甲数是大数，乙数是小数，可直接套用和差核心公式计算。 【详解】 大数（甲数）：(80 + 10) ÷ 2 = 90 ÷ 2 = 45 小数（乙数）：(80 - 10) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35 验算：45 + 35 = 80（和正确），45 - 35 = 10（差正确） 【答案】甲数45，乙数35 【跟踪训练1-1】 两个自然数的和是64，大数比小数多12，这两个数分别是多少？ 【分析】 已知两数和为64，两数差为12，明确大数、小数，直接套用和差公式求解即可。 【详解】 大数：(64 + 12) ÷ 2 = 76 ÷ 2 = 38 小数：(64 - 12) ÷ 2 = 52 ÷ 2 = 26 【答案】大数38，小数26 【跟踪训练1-2】 一个长方形的周长是48厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【分析】 本题属于隐藏和题型，长方形周长=（长+宽）×2，因此需要先求出长与宽的和，再结合“长比宽多4厘米”的差值，用和差公式计算。 【详解】 长+宽：48 ÷ 2 = 24（厘米） 长（大数）：(24 + 4) ÷ 2 = 14（厘米） 宽（小数）：(24 - 4) ÷ 2 = 10（厘米） 【答案】长14厘米，宽10厘米 【典型例题2】隐藏差型（移多补少）和差问题 甲乙两个书架共有图书120本，如果从甲书架拿出20本图书放入乙书架，两个书架的图书数量相等。原来甲乙两个书架各有多少本图书？ 【分析】 本题核心难点是隐藏差值，甲给乙20本后数量相等，说明原来甲比乙多2个20本，即差值=20×2=40本；两数总和已知为120本，再套用和差公式求解。 【详解】 原来甲乙书架图书差值：20 × 2 = 40（本） 甲书架（大数）：(120 + 40) ÷ 2 = 80（本） 乙书架（小数）：(120 - 40) ÷ 2 = 40（本） 验算：80-20=60，40+20=60，数量相等，结果正确。 【答案】甲书架80本，乙书架40本 【跟踪训练2-1】 小明和小红一共有86颗糖果，小明给小红8颗糖果后，两人糖果数量一样多。原来两人各有多少颗糖果？ 【分析】 根据移多补少规律，小明给小红8颗后相等，原差值为8×2=16颗，总和86颗，利用和差公式计算。 【详解】 原有糖果差值：8×2=16（颗） 小明（大数）：(86+16)÷2=51（颗） 小红（小数）：(86-16)÷2=35（颗） 【答案】小明51颗，小红35颗 【跟踪训练2-2】 两筐橘子共重90千克，从第一筐中取出15千克放入第二筐，第一筐还比第二筐多4千克。原来两筐橘子各重多少千克？ 【分析】 本题为移多补少变式，第一筐拿出15千克后仍比第二筐多4千克，说明原差值=15×2+4=34千克，已知总重量，结合和差公式求解。 【详解】 原两筐重量差：15×2+4=34（千克） 第一筐（大数）：(90+34)÷2=62（千克） 第二筐（小数）：(90-34)÷2=28（千克） 【答案】第一筐62千克，第二筐28千克 【典型例题3】培优拔高·三数和差问题 甲乙丙三个数，甲乙两数的和是56，乙丙两数的和是48，甲丙两数的和是64，求甲乙丙三个数分别是多少？ 【分析】 本题为三数和差变式，已知两两之和，可先求出三个数的总和，再用总和分别减去两两之和，求出每个数；也可先求出两数差值，结合和差公式求解，是小升初奥数高频拔高题型。 【详解】 第一步：求三个数总和：(56+48+64)÷2=168÷2=84 第二步：分别求单个数字 丙数：84-56=28 甲数：84-48=36 乙数：84-64=20 【答案】甲数36，乙数20，丙数28 【跟踪训练3-1】 有三个零件，甲乙两个零件共重72克，乙丙两个零件共重65克，甲丙两个零件共重59克，三个零件各重多少克？ 【分析】 已知三组两两重量和，先计算三个零件总重量，再用总重量依次减去两两之和，即可求出每个零件的重量。 【详解】 总重量：(72+65+59)÷2=196÷2=98（克） 丙零件：98-72=26（克） 甲零件：98-65=33（克） 乙零件：98-59=39（克） 【答案】甲33克，乙39克，丙26克 【跟踪训练3-2】 三年级三个班共有学生126人，一班比二班多4人，二班比三班多2人，三个班各有多少人？ 【分析】 多量和差问题，以人数最少的三班为标准，统一差值。一班比三班多4+2=6人，二班比三班多2人，总人数减去多余人数，即为三个三班的人数，先求小数再求大数。 【详解】 统一差值：一班比三班多6人，二班比三班多2人 三班人数：(126-6-2)÷3=118÷3？修正：(126-6-2)÷3=118÷3计算错误，重新计算：126-6-2=114，114÷3=38（人） 二班人数：38+2=40（人） 一班人数：40+4=44（人） 【答案】一班44人，二班40人，三班38人 高频真题 1．将660千克香蕉分别用3个大箱子和5小箱子装，相同型号的箱子所装的重量相同。已知3个大箱子的香蕉总数比5个小箱子的香蕉总数多120千克。每个大箱子和小箱子各装了多少千克香蕉？ 【答案】每个大箱子装130千克，每个小箱子装54千克。 【分析】大箱子比小箱子总重量多120千克，将120千克去掉，二者重量就一致了，那么5个小箱子的香蕉总重量就是：（660－120）÷2＝270（千克），再用除法即可求出每个小箱子装的香蕉重量数；同理，3个大箱子的香蕉总重量是：270＋120＝390（千克），平均分给3个大箱子，即为每个大箱子装的香蕉重量数。 【详解】660－120＝540（千克） 540÷2＝270（千克） 每个小箱子：270÷5＝54（千克） 270＋120＝390（千克） 每个大箱子：390÷3＝130（千克） 答：每个大箱子装130千克香蕉，每个小箱子装54千克香蕉。 2．姐姐5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，姐姐4年后的年龄与妹妹3年前的年龄和是35岁，姐姐今年多少岁？ 【答案】 23岁 【分析】根据“姐姐5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄”可知，姐姐比妹妹大：5＋7＝12（岁）。再根据“姐姐4年后的年龄与妹妹3年前的年龄和是35岁”可知，姐妹俩今年的年龄和为：35－4＋3＝34（岁）。最后再根据和差问题的公式“较大数＝（和＋差）÷2”即可求出姐姐今年多少岁。 【详解】姐姐比妹妹大：5＋7＝12（岁） 姐妹俩今年的年龄和为：35－4＋3 ＝31＋3 ＝34（岁） 姐姐今年：（34＋12）÷2 ＝46÷2 ＝23（岁） 答：姐姐今年23岁。 3．张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 【答案】科技书31元，故事书19元，美术书10元 【分析】根据题意可知，三本书总共是60元，科技书和故事书一共比美术书贵40元，所以60减去40等于美术书价钱的2倍，再除以2即等于美术书的单价，60减去美术书的价钱等于科技书和故事书的价钱和，又知科技书和故事书的价钱差为12元，根据和差公式即求出科技书和故事书的价钱，据此即可解答。 【详解】美术书： （60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（元） 60－10＝50（元） 故事书： （50－12）÷2 ＝38÷2 ＝19（元） 科技书：50－19＝31（元） 答：科技书的单价为31元，故事书的单价为19元，美术书的单价是10元。 4．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 【答案】480棵；320棵 【分析】果园地的长120米、宽105米，根据“长方形面积＝长×宽”求出这块果园的面积。每126平方米栽8棵树，因此可以用果园的面积除以126，然后再乘8，即可求出一共可以种多少棵树。全园栽的苹果树比梨树多160棵，最后再用和差问题的公式“较小数＝（和－差）÷2、较大数＝（和＋差）÷2”求出两种果树各有多少棵。 【详解】一共：120×105÷126×8 ＝12600÷126×8 ＝100×8 ＝800（棵） 苹果树：（800＋160）÷2 ＝960÷2 ＝480（棵） 梨树：（800－160）÷2 ＝640÷2 ＝320（棵） 答：苹果树有480棵，梨树有320棵。 5．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 【答案】1元硬币27枚；5角硬币40枚 【分析】本题考查和差问题，1元、5角硬币共67枚，可设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。1元硬币共有：1×x＝x元；5角硬币共有：（67－x）×0.5（元）。根据等量关系：1元硬币的钱数－5角硬币的钱数＝7，列式解答即可。 【详解】解：设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。 x－（67－x）×0.5＝7 x－67×0.5＋x×0.51 1.5x－33.5＝7 1.5x＝7＋33.5 1.5x＝40.5 x＝27 67－x＝67－27＝40 答：1元硬币27枚；5角硬币40枚。 6．甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？ 【答案】人，人 【分析】由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多（20×2＋10）人，即50人；找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题。 【详解】画数量关系示意图如下： 乙：[1050－（20×2＋10）]÷2 ＝[1050－50]÷2 ＝1000÷2 ＝500（人） 甲： （人） 答：甲、乙两校原来分别有学生550人、500人。 【点睛】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件，找出这个隐藏条件是解题关键。 7．图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等。求原来上、下层各存书多少本？ 【答案】120本；100本 【分析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去：（本），就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍；那么上、下两层书架上书的总数加上20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于上层书架上书的2倍。 【详解】画数量关系示意图如下： 方法一： 下层： （220－20）÷2 ＝200÷2 ＝100（本）   上层： （本） 方法二： 上层：（220＋20）÷2 ＝240÷2 ＝120（本） 下层：（本） 答：原来上、下层分别存书120本、100本。 【点睛】根据题意画出熟练关系示意图，即可理清上层和下层书的本数的关系。 8．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？ 【答案】秒 【分析】如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。据此有两种解法如下。 解法一：先求出无风时少年速度是[（90÷10＋70÷10）÷2]，即8米；再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间是（80÷8）秒。 解法二：以10秒跑步路程为标准，先求出该少年无风时10秒跑步路程[（90＋70）÷2]米 ；所以，在无风的时候跑该80米要用10秒。 【详解】解法一： （90÷10＋70÷10）÷2 ＝（9＋7）÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 80÷8＝10（秒） 解法二： （90＋70）÷2 ＝160÷2 ＝80（米） 答：无风的时候他跑80米要用10秒。 【点睛】解答此题的关键是根据（逆风速度＋顺风速度）÷2＝无风速度，求出无风时每秒的速度。 9．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？ 【答案】5400米 【分析】设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据甲，乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等和出发后100分钟，两人与十字路口的距离再次相等，由此即可列出方程1200﹣10x=10y；100x﹣1200=100y，由此即可得出一个关于x、y的二元一次方程组，解得这个方程组即可解决问题． 【详解】方法一：方程法． 解：设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据题意可得方程组：； 方程组可以整理为：； ①+②可得：2y=108，则y=54， 把y=54代入②可得：x=66， 所以甲乙二人距离十字路口的距离为：54×100=5400（米）， 答：出发100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 方法二：第一次距离十字路口相等时，二人行走的路程之和是1200米，第二次距离十字路口相等时，甲行走的路程和乙行走的路程之差是1200米，所以可得： 甲乙二人的速度之和是：1200÷10=120（米/分）； 甲乙的速度之差是1200÷100=12（米/分）， 所以甲的速度是：（120+12）÷2=66（米/分）； 乙的速度是66﹣12=54（米/分）， 所以甲乙离十字路口的距离是：54×100=5400（米）， 答：100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 10．A，B两地相距500千米，客车和货车分别从两地同时开出相向而行，4小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，求客车和货车的速度. 【答案】客车：70千米/小时   货车：55千米/小时 【详解】客车、货车速度差：60÷4=15（千米/小时） 客车、货车的速度和：500÷4=125（千米/小时） 客车速度：（125+15）÷2=70（千米/小时） 货车速度：（125-15）÷2=55（千米/小时） 【点睛】考查了行程问题、和差问题，容易得出两车的速度和与速度差，利用和差公式即可求解. 11．果园里有桃树、梨树、苹果树共146棵．桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树多4棵，三种树各有多少棵？ 【答案】桃树45棵，梨树52棵，苹果树49棵 【分析】先用线段图表示出三种树棵数之间的关系： 从图上可以看出，梨树的棵数比桃树多7棵，苹果树的棵数比桃树多4棵，假设移动多的棵数，则两种果树共减少了7＋4=11（棵），相应的总棵数就减少11棵：146－11=135（棵），而135棵对应的就是桃树棵数的3倍． 【详解】桃树：（146－7－4）÷3=45（棵） 梨树：45+7=52（棵） 苹果树：45+4=49（棵） 答：桃树有45棵，梨树有52棵，苹果树有49棵． 12．一个两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本．上、下层各放书多少本？ 【答案】上层47本，下层25本 【分析】如图： 【详解】上层比下层多：9×2+4=22（本） 下层有书：（72－22）÷2=25（本） 上层有：25+22=47（本）或72-25=47（本） 答：上层原有图书47本，下层25本． 13．有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？ 【答案】第一段长5米，第二段长7米 【详解】第一段：（12-2）÷2=5 (米) 第二段：12-5=7 (米) 答：第一段长5米，第二段长7米． 14．果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 【答案】桃树有140棵，梨树有120棵 【详解】解法一：桃树：（260+20）÷2=140（棵） 梨树：140-20=120（棵） 解法二：梨树：（260-20）÷2=120（棵） 桃树：120+20=140（棵） 答：桃树有140棵，梨树有120棵． 15．用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 【答案】锡：200千克   铝：300千克 【详解】锡的重量：（500-100）÷2= 200（千克） 铝的重量：500-200=300（千克） 答：锡重200千克，铝重300千克． 16．小阳期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分．语文是多少分？数学是多少分？ 【答案】语文92分，数学100分 【分析】要求语文和数学的成绩，由题意可得：语文和数学两门课程的总成绩为96×2=192分；根据“数学比语文多8分”可知：假设数学考的和语文成绩一样多，那么两门课程共考192﹣8=184分；即语文成绩的2倍是184分，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算得出语文的成绩；继而用语文的成绩加8得出数学的成绩． 【详解】语文：（96×2﹣8）÷2 =184÷2 =92（分） 数学：92+8=100（分） 答：语文是92分，数学是 100分． 17．期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分．两人各考了多少分？ 【答案】王平96分，李杨92分 【分析】根据题意画出线段图． 我们可以用假设法来分析．假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分． 【详解】王平：（188+4）÷2=96（分） 李杨：96－4=92（分） 18．小记者到城北小学采访，收集到的资料是：该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人．请你提出两个数学问题，并解答． 【答案】男生有多少人？女生多少人？ 男：975人   女：825人 【详解】男生：（1800+150）÷2 =1950÷2 =975（人） 女生：975-150=825（人） 答：男生有975人，女生825人． 19．小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？ 【答案】甲卡11张  乙卡7张 【详解】甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7＝0.8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（张）. 根据题意，可以列出下面两个式子： 1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4 ① 1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2 ② 从①、②可以看出，两种卡张数之和是：[21.4＋（21.4-3.2）]÷（1.5＋0.7）＝18（张） 因此，甲卡张数是（18＋4）÷2＝11（张） 乙卡张数是18-11＝7（张） 答：小明买甲卡11张、乙卡7张. 20．张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？ 【答案】数学99分  语文91分 【详解】95乘2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此 数学得分=（95×2＋8）÷2＝99 语文得分=(95×2-8）÷2＝91或95×2-99＝91 答：张明数学得99分，语文得91分. 21．有A，B，C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求这三个数. 【答案】A:102  B:150  C:47. 【详解】解法一：从B+C＝197与A+C＝149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此B=（252＋ 197-149）÷2＝150 A＝252-150＝102 C＝149-102＝47 答：A，B，C三数分别是102，150，47. 解法二：（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）. 上面式子说明，题干给出的三数相加再除以2，就是A、B、C三数之和． A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299．因此： C＝299-252＝47 B＝299-149＝150 A＝299-197＝102 22．弟弟和哥哥一共收集了78张邮票,哥哥给弟弟20张后,哥哥、弟弟邮票张数同样多,哥哥、弟弟原来各有多少张邮票? 【答案】哥哥59张    弟弟19张 【详解】哥哥:(78+20×2)÷2=59(张) 弟弟:(78-20×2)=19(张) 23．一列货车与一列客车同时从北京站出发反向而行，货车每小时比客车多走7千米，4小时后两车相距468千米．求两车速度． 【答案】客车：55千米/小时    货车：62千米／小时 【详解】两车的速度和：468÷4=117（千米/小时） 根据和差公式，可得客车车速：（117-7）÷2=110÷2=55（千米/小时） 货车车速：55+7=62（千米／小时） 答：客车、货车的速度分别为55千米/小时、62千米／小时． 24．四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？ 【答案】177人 【分析】根据已知条件，可得出等式：乙＋丙＋丁＝131，甲＋乙＋丙＝134，两式相加得（甲＋丁）＋2（乙＋丙）＝265，而甲＋丁＝（乙＋丙）＋1，代入算式（甲＋丁）＋2（乙＋丙）＝265，整理得：3（乙＋丙）＝265－1，可求出乙＋丙＝88，甲＋丁＝89，再可求出这四个班的总人数。 【详解】乙＋丙＋丁＝131，甲＋乙＋丙＝134，两式相加（甲＋丁）＋2（乙＋丙）＝265，而甲＋丁＝（乙＋丙）＋1 ，所以3（乙＋丙）＝265－1，可求得乙＋丙＝88，甲＋丁＝89，即甲＋乙＋丙＋丁＝88＋89＝177（人）。 答：这四个班共177人。 【点睛】乙＋丙＋丁＝131和甲＋乙＋丙＝134两式相加，整理等式，并通过甲＋丁＝（乙＋丙）＋1等量代换求出结果。 25．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握手，第三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？ 【答案】28名 【详解】可以设想每个女生与最后一个与她握手的男生一同跳舞，不再与其他人握手。这样，一对对舞伴离开后，最后留下6（＝7－1）名男生，所以男生比女生多6名，由和差问题的解法立即得到男生有（50＋6）÷2＝28名。 26．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 【答案】780米 【分析】先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟。而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6＝20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD。即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为：50×（26＋6）＝1600（米）。所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），再根据相遇问题：相遇路程＝速度和×相遇时间，可求出A、B间的距离。 【详解】先画图如下： 根据分析： 甲从C走到D所用时间：26－6＝20（分） 乙从C走到D所用时间：26＋6＝32（分） CD表示的路程为：50×（26＋6）＝1600（米） 甲的速度：1600÷20＝80（米/分） 相遇路程：（80＋50）×6＝780（米） 答：A、B两地的距离是780米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇与追及问题，准确找出对应路程，对应速度，对应时间是解题的关键。 27．甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？ 【答案】11千克 【分析】由题意得：甲筐比乙筐多19千克，如果从甲筐取出19÷2＝9.5千克，这时两筐苹果一样重；要使乙筐中苹果千克数反而比甲筐多3千克，应再从甲筐取出3÷2＝1.5千克，所以一共应从甲筐取出9.5＋1.5＝11千克苹果放入乙筐。 【详解】19÷2＋3÷2 ＝9.5＋1.5 ＝11（千克） 答：从甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。 【点睛】解答此题应明确：如果甲比乙多n，要使甲乙两个数一样多，那么甲应给乙n÷2，进而得出结论。 28．一实验五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？ 【答案】男同学77人；女同学75人 【分析】根据题意画出线段图，找出量率对应： 题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数的（1－）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－＋1）相对应。 【详解】男同学有：（152－5）÷（1－＋1） ＝147÷ ＝77（名） 女同学有：152－77＝75（名） 答：男同学有77名，女同学有75名。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $