小升初奥数培优讲义：和倍问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦和倍问题专题，涵盖基础两数和倍、几倍多/少变式、三数及隐藏和倍等核心题型，通过知识梳理（定义、公式）、例题分层讲解（基础到复杂）、高频真题巩固三个环节，帮助学生掌握找1倍量、算总份数、调总数量的解题步骤。 亮点在于以份数思维为核心，结合阶梯式例题设计，如从基础两数和倍到复杂隐藏和倍问题，培养学生抽象能力与模型意识。通过“先分析再列式后检验”的解题习惯训练，配合高频真题实战，帮助学生突破和倍问题难点，教师可据此精准把握学生思维薄弱点，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：和倍问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和倍问题是小升初奥数应用题的基石，所有复杂的倍数、和差问题，都是基础和倍题型的延伸与变形。学好和倍问题的核心，不是死记硬背公式，而是掌握份数思维，学会找准1倍量、对应总量与总份数，灵活处理“多、少、变化”等特殊条件。 奥数学习没有捷径，每一道例题的分析、每一次训练的复盘，都是思维的沉淀。希望同学们在练习中，养成“先分析、再列式、后检验”的解题习惯，吃透基础题型、攻克变式难点，做到举一反三、融会贯通。在小升初的备考路上，稳步积累、从容突破，用扎实的思维能力攻克每一道难题！ 一、核心定义 和倍问题是小升初奥数高频基础应用题，属于倍数问题核心题型。具体是指：已知两个或多个数量的总和，以及这些数量之间的倍数关系，求解每个数量分别是多少的问题。 这类问题的核心思维是份数思维，通过把较小量看作1倍量（1份数），结合倍数关系表示出其他量的份数，再根据总份数与总和的对应关系，求出1份数，进而算出所有数量。 二、基础数量公式（两数标准和倍） 设：较小数为1倍量，较大数为小数的n倍 ① 1倍量（小数）= 两数和 ÷（倍数 + 1） ② 几倍量（大数）= 1倍量 × 倍数 或 两数和 - 1倍量 ③ 总份数 = 倍数 + 1 三、 常见变式题型公式 （1）几倍多几型 特征：大数是小数的n倍多m，两数和已知 解题关键：先去掉多余的m，让总数刚好对应整数倍 1倍量 =（和 - 多的数）÷（倍数 + 1） （2）几倍少几型 特征：大数是小数的n倍少m，两数和已知 解题关键：先补上缺少的m，让总数刚好对应整数倍 1倍量 =（和 + 少的数）÷（倍数 + 1） （3）三数及多量和倍 特征：已知三个及以上数量的总和，以及相互倍数关系 解题关键：统一以最小量为1倍量，算出所有量的总份数 1倍量 = 总和 ÷ 总份数 四、标准解题步骤 第一步：找1倍量。优先将题目中最小、最基础的数量定为1倍量（通常是“是”“占”后面的量）； 第二步：算总份数。根据倍数关系，求出所有数量对应的总份数； 第三步：调总数量。若题目存在“多几、少几”，对总和进行增减调整，匹配总份数； 第四步：求1份量。调整后的总和 ÷ 总份数 = 1倍量； 第五步：求各数量。根据1倍量和倍数关系，求出所有未知量； 第六步：检验核对。将结果代入题目，验证总和、倍数关系是否符合题意。 五、重难点与易错点 （1）易错点1：混淆1倍量，误将大数当作1份计算，导致结果颠倒； （2）易错点2：几倍多/少题型中，调整总和时符号出错（多的不减、少的不加）； （3）易错点3：多量和倍问题中，未统一1倍量，份数计算混乱； （4）重难点：隐藏和倍问题（总和、倍数关系不直接给出，需先推导计算）。 例题讲解 【典型例题1】基础标准和倍问题（两数整数倍） 题目：学校图书馆有故事书和漫画书共360本，故事书的数量是漫画书的5倍。两种书各有多少本？ 【分析】 本题为最基础的标准和倍问题。已知两数总和（360本）、两数整数倍数关系（故事书=5×漫画书）。将数量更少的漫画书定为1倍量，故事书对应5倍量，总份数为5+1=6份，6份对应总数量360本，即可先求出1倍量，再求5倍量。 【详解】 1. 确定总份数：5 + 1 = 6（份） 2. 求1倍量（漫画书数量）：360 ÷ 6 = 60（本） 3. 求5倍量（故事书数量）：60 × 5 = 300（本） 或 360 - 60 = 300（本） 【答案】 漫画书60本，故事书300本。 【跟踪训练1-1】 题目：果园里苹果树和梨树共480棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 标准两数和倍问题，已知总和480棵，苹果树是梨树的3倍。梨树为1倍量，苹果树为3倍量，总份数4份，对应总棵数480棵，依次计算即可。 【详解】 总份数：3 + 1 = 4（份） 梨树（1倍量）：480 ÷ 4 = 120（棵） 苹果树：120 × 3 = 360（棵） 【答案】 梨树120棵，苹果树360棵。 【跟踪训练1-2】 题目：甲、乙两个数的和是240，甲数是乙数的2倍，甲、乙两数分别是多少？ 【分析】 基础和倍题型，两数和240，甲数为乙数的2倍。乙数为1倍量，甲数2倍量，总份数3份，对应总和240，套用基础公式求解。 【详解】 总份数：2 + 1 = 3（份） 乙数：240 ÷ 3 = 80 甲数：80 × 2 = 160 【答案】 甲数160，乙数80。 【典型例题2】和倍变式：几倍多几型 题目：养殖场有鸡和鸭共220只，鸡的数量比鸭的4倍多20只。鸡和鸭各有多少只？ 【分析】 本题为几倍多几变式和倍问题，无法直接套用基础公式。鸡的数量不是鸭的完整4倍，多出20只。解题核心是先剔除多余数量，让鸡的数量刚好是鸭的4倍，此时总数量也会减少20只，对应总份数4+1=5份，再计算1倍量。 【详解】 1. 调整总数量（去掉多的20只）：220 - 20 = 200（只） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 鸭（1倍量）：200 ÷ 5 = 40（只） 4. 鸡：40 × 4 + 20 = 180（只） 或 220 - 40 = 180（只） 【答案】 鸭40只，鸡180只。 【跟踪训练2-1】 题目：书架上有科技书和文艺书共190本，科技书的本数比文艺书的3倍多10本。两种书各有多少本？ 【分析】 几倍多几变式题型，科技书比文艺书3倍多10本，总和190本。先减去多余10本，使总数量对应完整的4份（3+1），再计算1倍量文艺书数量。 【详解】 调整后总和：190 - 10 = 180（本） 总份数：3 + 1 = 4（份） 文艺书：180 ÷ 4 = 45（本） 科技书：45 × 3 + 10 = 145（本） 【答案】 文艺书45本，科技书145本。 【跟踪训练2-2】 题目：甲、乙两数和是310，甲数比乙数的5倍多10，求甲、乙两数。 【分析】 典型几倍多几和倍问题，以乙数为1倍量，甲数是乙数5倍多10。先从总和中减去10，得到完整6份对应的数值，再依次求解。 【详解】 调整后总和：310 - 10 = 300 总份数：5 + 1 = 6（份） 乙数：300 ÷ 6 = 50 甲数：50 × 5 + 10 = 260 【答案】 甲数260，乙数50。 【典型例题3】和倍变式：几倍少几型 题目：商店运来苹果和橘子共270千克，苹果的重量比橘子的4倍少30千克。苹果和橘子各有多少千克？ 【分析】 本题为几倍少几变式和倍问题，苹果重量不足橘子的4倍，缺少30千克。需先补足缺少的数量，让苹果重量刚好是橘子的4倍，此时总重量增加30千克，对应总份数5份，再计算1倍量，最后还原求出原数量。 【详解】 1. 调整总重量（补上少的30千克）：270 + 30 = 300（千克） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 橘子（1倍量）：300 ÷ 5 = 60（千克） 4. 苹果：60 × 4 - 30 = 210（千克） 或 270 - 60 = 210（千克） 【答案】 橘子60千克，苹果210千克。 【跟踪训练3-1】 题目：钢笔和圆珠笔共150支，钢笔的数量比圆珠笔的2倍少30支，两种笔各有多少支？ 【分析】 几倍少几题型，钢笔数量是圆珠笔2倍少30支。先给总数补上30支，凑成完整3份（2+1），求出1倍量圆珠笔数量，再计算钢笔数量。 【详解】 调整后总数：150 + 30 = 180（支） 总份数：2 + 1 = 3（份） 圆珠笔：180 ÷ 3 = 60（支） 钢笔：60 × 2 - 30 = 90（支） 【答案】 圆珠笔60支，钢笔90支。 【跟踪训练3-2】 题目：甲、乙两个粮仓共存粮420吨，甲仓存粮比乙仓的3倍少60吨，两仓各存粮多少吨？ 【分析】 以乙仓存粮为1倍量，甲仓是乙仓3倍少60吨。总和补上60吨后，对应4份完整份数，先求乙仓1倍量，再求甲仓存粮量。 【详解】 调整后总存粮：420 + 60 = 480（吨） 总份数：3 + 1 = 4（份） 乙仓：480 ÷ 4 = 120（吨） 甲仓：120 × 3 - 60 = 300（吨） 【答案】 乙仓120吨，甲仓300吨。 【典型例题4】多量和倍问题（三数和倍） 题目：甲、乙、丙三个数的和是360，已知甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ 【分析】 三数和倍问题，核心是统一1倍量。三个数中乙数最小，将乙数定为1倍量，则甲数为2倍量，丙数为3倍量。总份数为1+2+3=6份，6份对应总和360，先求出乙数，再依次计算甲、丙两数。 【详解】 1. 统一1倍量：乙数=1份，甲数=2份，丙数=3份 2. 总份数：1 + 2 + 3 = 6（份） 3. 乙数（1倍量）：360 ÷ 6 = 60 4. 甲数：60 × 2 = 120 5. 丙数：60 × 3 = 180 【答案】 甲数120，乙数60，丙数180。 【跟踪训练4-1】 题目：学校买来篮球、足球、排球共240个，足球个数是篮球的2倍，排球个数是篮球的3倍，三种球各有多少个？ 【分析】 三数和倍问题，以数量最少的篮球为1倍量，足球2倍量，排球3倍量，总份数6份，对应总数240个，分步计算即可。 【详解】 总份数：1 + 2 + 3 = 6（份） 篮球：240 ÷ 6 = 40（个） 足球：40 × 2 = 80（个） 排球：40 × 3 = 120（个） 【答案】 篮球40个，足球80个，排球120个。 【跟踪训练4-2】 题目：三个自然数的和是400，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个数的5倍，这三个数分别是多少？ 【分析】 多量和倍基础题型，以第一个数为1倍量，第二个数2倍量，第三个数5倍量，总份数8份，对应总和400，求出1倍量后推导其余两数。 【详解】 总份数：1 + 2 + 5 = 8（份） 第一个数：400 ÷ 8 = 50 第二个数：50 × 2 = 100 第三个数：50 × 5 = 250 【答案】 三个数分别为50、100、250。 【典型例题5】复杂隐藏和倍问题 题目：甲、乙两个仓库共存粮380吨，从甲仓库运出20吨后，甲仓库的存粮是乙仓库的4倍。原来甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 【分析】 本题为隐藏和倍问题，倍数关系是变化后的数量关系，总和也发生了变化。首先计算变化后的总存粮：380-20=360吨。变化后乙仓为1倍量，甲仓为4倍量，总份数5份，先求乙仓不变的存粮量，再反推原来甲仓存粮量。 【详解】 1. 变化后总存粮：380 - 20 = 360（吨） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 乙仓存粮（不变）：360 ÷ 5 = 72（吨） 4. 原来甲仓存粮：380 - 72 = 308（吨） 【答案】 原来甲仓存粮308吨，乙仓存粮72吨。 【跟踪训练5-1】 题目：两根绳子共长250厘米，第一根剪掉50厘米后，第一根长度是第二根的3倍。两根绳子原来各长多少厘米？ 【分析】 隐藏和倍问题，倍数关系为裁剪后的关系，第二根长度不变。先算裁剪后的总长度，以第二根为1倍量，求出第二根长度，再求第一根原长。 【详解】 裁剪后总长度：250 - 50 = 200（厘米） 总份数：3 + 1 = 4（份） 第二根长度：200 ÷ 4 = 50（厘米） 第一根原长：250 - 50 = 200（厘米） 【答案】 第一根原长200厘米，第二根长50厘米。 【跟踪训练5-2】 题目：甲、乙两人共有零花钱280元，甲又收入40元后，甲的钱数是乙的2倍。两人原来各有多少零花钱？ 【分析】 变化型和倍问题，甲收入40元后总和增加，倍数关系成立。先求变化后的总钱数，乙为1倍量，求出乙的钱数，再计算甲原来的钱数。 【详解】 乙=80元，变化后甲=160元，原来甲=160-40=120元，总和120+80=280元。 【答案】 甲原来120元，乙原来80元。 高频真题 1．学校组织新年文艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。那么铅笔有多少支？ 2．小王、小丁、小陈、小张四人到学校的路程和是705米，其中，小王到学校上学的路程是小丁的4倍，小陈到学校的路程是小王的一半多20米，小张到学校的距离比小陈的二倍少15米，问小丁离学校有多少米？ 3．国家的国防建设需要大学生的参与，让国家的国防更加现代化，国家鼓励大学生应征入伍服义务兵役。这个学校今年应征入伍的女生有多少人？ 4．一个公司给某部门发奖金，完成任务的项目组才能得到奖金，任务没完成的项目组没有奖金，奖金共计49万元。最后有A、B两个项目组完成了任务，其中部门经理获得的奖金是A项目组奖金的一半，是B项目组奖金的两倍。那么部门经理获得的奖金是多少？ 5．师徒三人制作喜羊羊系列玩具，师父制作的玩具数是大徒弟的4倍，大徒弟制作的玩具数是小徒弟的2倍，三人一共制作了4587个玩具。大徒弟一共制作了多少个玩具？ 6．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 7．超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗。售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖。最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗。请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？ 8．有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？ 9．有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88。问： （1）有几名同学？ （2）他们的重量各是多少千克？ 10．某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 11．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 12．玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的倍，白气球比黄气球少个。问三种气球各生产了多少个？ 13．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重千克。已知苹果的重量是梨的倍，香蕉的重量比梨少千克。一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 14．爸爸花180元钱给我买了一套服装，上衣的价钱是裤子的2倍，上衣和裤子各花了多少钱？ 15．水果店运来苹果和梨共840千克，苹果的质量是梨的3倍，苹果和梨各重多少千克？ 16．水果店运来苹果和梨共310千克，运来的苹果是梨的61倍，运来苹果多少千克？ 17．据信息产业部统计，到目前为止，我国电话用户达3.6亿户，其中移动电话用户是固定电话用户的2倍．求我国移动电话用户和固定电话用户各是多少亿户？ 18．某鞋店有旅游鞋和皮鞋400双，在售出旅游鞋的后，又采购来70双皮鞋．此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍．问原来两种鞋各有几双？ 19．今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？ 20．一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？ 21．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？ 22．小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 23．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是1．那么乙有书多少本? 24．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟? 25．师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 26．四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：和倍问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和倍问题是小升初奥数应用题的基石，所有复杂的倍数、和差问题，都是基础和倍题型的延伸与变形。学好和倍问题的核心，不是死记硬背公式，而是掌握份数思维，学会找准1倍量、对应总量与总份数，灵活处理“多、少、变化”等特殊条件。 奥数学习没有捷径，每一道例题的分析、每一次训练的复盘，都是思维的沉淀。希望同学们在练习中，养成“先分析、再列式、后检验”的解题习惯，吃透基础题型、攻克变式难点，做到举一反三、融会贯通。在小升初的备考路上，稳步积累、从容突破，用扎实的思维能力攻克每一道难题！ 一、核心定义 和倍问题是小升初奥数高频基础应用题，属于倍数问题核心题型。具体是指：已知两个或多个数量的总和，以及这些数量之间的倍数关系，求解每个数量分别是多少的问题。 这类问题的核心思维是份数思维，通过把较小量看作1倍量（1份数），结合倍数关系表示出其他量的份数，再根据总份数与总和的对应关系，求出1份数，进而算出所有数量。 二、基础数量公式（两数标准和倍） 设：较小数为1倍量，较大数为小数的n倍 ① 1倍量（小数）= 两数和 ÷（倍数 + 1） ② 几倍量（大数）= 1倍量 × 倍数 或 两数和 - 1倍量 ③ 总份数 = 倍数 + 1 三、 常见变式题型公式 （1）几倍多几型 特征：大数是小数的n倍多m，两数和已知 解题关键：先去掉多余的m，让总数刚好对应整数倍 1倍量 =（和 - 多的数）÷（倍数 + 1） （2）几倍少几型 特征：大数是小数的n倍少m，两数和已知 解题关键：先补上缺少的m，让总数刚好对应整数倍 1倍量 =（和 + 少的数）÷（倍数 + 1） （3）三数及多量和倍 特征：已知三个及以上数量的总和，以及相互倍数关系 解题关键：统一以最小量为1倍量，算出所有量的总份数 1倍量 = 总和 ÷ 总份数 四、标准解题步骤 第一步：找1倍量。优先将题目中最小、最基础的数量定为1倍量（通常是“是”“占”后面的量）； 第二步：算总份数。根据倍数关系，求出所有数量对应的总份数； 第三步：调总数量。若题目存在“多几、少几”，对总和进行增减调整，匹配总份数； 第四步：求1份量。调整后的总和 ÷ 总份数 = 1倍量； 第五步：求各数量。根据1倍量和倍数关系，求出所有未知量； 第六步：检验核对。将结果代入题目，验证总和、倍数关系是否符合题意。 五、重难点与易错点 （1）易错点1：混淆1倍量，误将大数当作1份计算，导致结果颠倒； （2）易错点2：几倍多/少题型中，调整总和时符号出错（多的不减、少的不加）； （3）易错点3：多量和倍问题中，未统一1倍量，份数计算混乱； （4）重难点：隐藏和倍问题（总和、倍数关系不直接给出，需先推导计算）。 例题讲解 【典型例题1】基础标准和倍问题（两数整数倍） 题目：学校图书馆有故事书和漫画书共360本，故事书的数量是漫画书的5倍。两种书各有多少本？ 【分析】 本题为最基础的标准和倍问题。已知两数总和（360本）、两数整数倍数关系（故事书=5×漫画书）。将数量更少的漫画书定为1倍量，故事书对应5倍量，总份数为5+1=6份，6份对应总数量360本，即可先求出1倍量，再求5倍量。 【详解】 1. 确定总份数：5 + 1 = 6（份） 2. 求1倍量（漫画书数量）：360 ÷ 6 = 60（本） 3. 求5倍量（故事书数量）：60 × 5 = 300（本） 或 360 - 60 = 300（本） 【答案】 漫画书60本，故事书300本。 【跟踪训练1-1】 题目：果园里苹果树和梨树共480棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 标准两数和倍问题，已知总和480棵，苹果树是梨树的3倍。梨树为1倍量，苹果树为3倍量，总份数4份，对应总棵数480棵，依次计算即可。 【详解】 总份数：3 + 1 = 4（份） 梨树（1倍量）：480 ÷ 4 = 120（棵） 苹果树：120 × 3 = 360（棵） 【答案】 梨树120棵，苹果树360棵。 【跟踪训练1-2】 题目：甲、乙两个数的和是240，甲数是乙数的2倍，甲、乙两数分别是多少？ 【分析】 基础和倍题型，两数和240，甲数为乙数的2倍。乙数为1倍量，甲数2倍量，总份数3份，对应总和240，套用基础公式求解。 【详解】 总份数：2 + 1 = 3（份） 乙数：240 ÷ 3 = 80 甲数：80 × 2 = 160 【答案】 甲数160，乙数80。 【典型例题2】和倍变式：几倍多几型 题目：养殖场有鸡和鸭共220只，鸡的数量比鸭的4倍多20只。鸡和鸭各有多少只？ 【分析】 本题为几倍多几变式和倍问题，无法直接套用基础公式。鸡的数量不是鸭的完整4倍，多出20只。解题核心是先剔除多余数量，让鸡的数量刚好是鸭的4倍，此时总数量也会减少20只，对应总份数4+1=5份，再计算1倍量。 【详解】 1. 调整总数量（去掉多的20只）：220 - 20 = 200（只） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 鸭（1倍量）：200 ÷ 5 = 40（只） 4. 鸡：40 × 4 + 20 = 180（只） 或 220 - 40 = 180（只） 【答案】 鸭40只，鸡180只。 【跟踪训练2-1】 题目：书架上有科技书和文艺书共190本，科技书的本数比文艺书的3倍多10本。两种书各有多少本？ 【分析】 几倍多几变式题型，科技书比文艺书3倍多10本，总和190本。先减去多余10本，使总数量对应完整的4份（3+1），再计算1倍量文艺书数量。 【详解】 调整后总和：190 - 10 = 180（本） 总份数：3 + 1 = 4（份） 文艺书：180 ÷ 4 = 45（本） 科技书：45 × 3 + 10 = 145（本） 【答案】 文艺书45本，科技书145本。 【跟踪训练2-2】 题目：甲、乙两数和是310，甲数比乙数的5倍多10，求甲、乙两数。 【分析】 典型几倍多几和倍问题，以乙数为1倍量，甲数是乙数5倍多10。先从总和中减去10，得到完整6份对应的数值，再依次求解。 【详解】 调整后总和：310 - 10 = 300 总份数：5 + 1 = 6（份） 乙数：300 ÷ 6 = 50 甲数：50 × 5 + 10 = 260 【答案】 甲数260，乙数50。 【典型例题3】和倍变式：几倍少几型 题目：商店运来苹果和橘子共270千克，苹果的重量比橘子的4倍少30千克。苹果和橘子各有多少千克？ 【分析】 本题为几倍少几变式和倍问题，苹果重量不足橘子的4倍，缺少30千克。需先补足缺少的数量，让苹果重量刚好是橘子的4倍，此时总重量增加30千克，对应总份数5份，再计算1倍量，最后还原求出原数量。 【详解】 1. 调整总重量（补上少的30千克）：270 + 30 = 300（千克） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 橘子（1倍量）：300 ÷ 5 = 60（千克） 4. 苹果：60 × 4 - 30 = 210（千克） 或 270 - 60 = 210（千克） 【答案】 橘子60千克，苹果210千克。 【跟踪训练3-1】 题目：钢笔和圆珠笔共150支，钢笔的数量比圆珠笔的2倍少30支，两种笔各有多少支？ 【分析】 几倍少几题型，钢笔数量是圆珠笔2倍少30支。先给总数补上30支，凑成完整3份（2+1），求出1倍量圆珠笔数量，再计算钢笔数量。 【详解】 调整后总数：150 + 30 = 180（支） 总份数：2 + 1 = 3（份） 圆珠笔：180 ÷ 3 = 60（支） 钢笔：60 × 2 - 30 = 90（支） 【答案】 圆珠笔60支，钢笔90支。 【跟踪训练3-2】 题目：甲、乙两个粮仓共存粮420吨，甲仓存粮比乙仓的3倍少60吨，两仓各存粮多少吨？ 【分析】 以乙仓存粮为1倍量，甲仓是乙仓3倍少60吨。总和补上60吨后，对应4份完整份数，先求乙仓1倍量，再求甲仓存粮量。 【详解】 调整后总存粮：420 + 60 = 480（吨） 总份数：3 + 1 = 4（份） 乙仓：480 ÷ 4 = 120（吨） 甲仓：120 × 3 - 60 = 300（吨） 【答案】 乙仓120吨，甲仓300吨。 【典型例题4】多量和倍问题（三数和倍） 题目：甲、乙、丙三个数的和是360，已知甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ 【分析】 三数和倍问题，核心是统一1倍量。三个数中乙数最小，将乙数定为1倍量，则甲数为2倍量，丙数为3倍量。总份数为1+2+3=6份，6份对应总和360，先求出乙数，再依次计算甲、丙两数。 【详解】 1. 统一1倍量：乙数=1份，甲数=2份，丙数=3份 2. 总份数：1 + 2 + 3 = 6（份） 3. 乙数（1倍量）：360 ÷ 6 = 60 4. 甲数：60 × 2 = 120 5. 丙数：60 × 3 = 180 【答案】 甲数120，乙数60，丙数180。 【跟踪训练4-1】 题目：学校买来篮球、足球、排球共240个，足球个数是篮球的2倍，排球个数是篮球的3倍，三种球各有多少个？ 【分析】 三数和倍问题，以数量最少的篮球为1倍量，足球2倍量，排球3倍量，总份数6份，对应总数240个，分步计算即可。 【详解】 总份数：1 + 2 + 3 = 6（份） 篮球：240 ÷ 6 = 40（个） 足球：40 × 2 = 80（个） 排球：40 × 3 = 120（个） 【答案】 篮球40个，足球80个，排球120个。 【跟踪训练4-2】 题目：三个自然数的和是400，第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个数的5倍，这三个数分别是多少？ 【分析】 多量和倍基础题型，以第一个数为1倍量，第二个数2倍量，第三个数5倍量，总份数8份，对应总和400，求出1倍量后推导其余两数。 【详解】 总份数：1 + 2 + 5 = 8（份） 第一个数：400 ÷ 8 = 50 第二个数：50 × 2 = 100 第三个数：50 × 5 = 250 【答案】 三个数分别为50、100、250。 【典型例题5】复杂隐藏和倍问题 题目：甲、乙两个仓库共存粮380吨，从甲仓库运出20吨后，甲仓库的存粮是乙仓库的4倍。原来甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 【分析】 本题为隐藏和倍问题，倍数关系是变化后的数量关系，总和也发生了变化。首先计算变化后的总存粮：380-20=360吨。变化后乙仓为1倍量，甲仓为4倍量，总份数5份，先求乙仓不变的存粮量，再反推原来甲仓存粮量。 【详解】 1. 变化后总存粮：380 - 20 = 360（吨） 2. 总份数：4 + 1 = 5（份） 3. 乙仓存粮（不变）：360 ÷ 5 = 72（吨） 4. 原来甲仓存粮：380 - 72 = 308（吨） 【答案】 原来甲仓存粮308吨，乙仓存粮72吨。 【跟踪训练5-1】 题目：两根绳子共长250厘米，第一根剪掉50厘米后，第一根长度是第二根的3倍。两根绳子原来各长多少厘米？ 【分析】 隐藏和倍问题，倍数关系为裁剪后的关系，第二根长度不变。先算裁剪后的总长度，以第二根为1倍量，求出第二根长度，再求第一根原长。 【详解】 裁剪后总长度：250 - 50 = 200（厘米） 总份数：3 + 1 = 4（份） 第二根长度：200 ÷ 4 = 50（厘米） 第一根原长：250 - 50 = 200（厘米） 【答案】 第一根原长200厘米，第二根长50厘米。 【跟踪训练5-2】 题目：甲、乙两人共有零花钱280元，甲又收入40元后，甲的钱数是乙的2倍。两人原来各有多少零花钱？ 【分析】 变化型和倍问题，甲收入40元后总和增加，倍数关系成立。先求变化后的总钱数，乙为1倍量，求出乙的钱数，再计算甲原来的钱数。 【详解】 乙=80元，变化后甲=160元，原来甲=160-40=120元，总和120+80=280元。 【答案】 甲原来120元，乙原来80元。 高频真题 1．学校组织新年文艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。那么铅笔有多少支？ 【答案】176支 【分析】将圆珠笔的数量设为未知数，根据“铅笔的数量是圆珠笔的4倍”和“铅笔、圆珠笔和钢笔共232支”两个数量关系将铅笔的数量和钢笔的数量也用未知数表示出来，再用每种笔的单价乘数量加起来等于总价列方程求解。 【详解】解：设圆珠笔的数量为x，那么铅笔的数量是4x，钢笔的数量是（232－x－4x）。 0.9x＋0.2×4x＋2.1×（232－x－4x）＝100 0.9x＋0.8x＋2.1×（232－5x）＝100 1.7x＋487.2－10.5x＝100 10.5x－1.7x＝487.2－100 8.8x＝387.2 x＝387.2÷8.8 x＝44 4x＝44×4＝176 答：铅笔有176支。 2．小王、小丁、小陈、小张四人到学校的路程和是705米，其中，小王到学校上学的路程是小丁的4倍，小陈到学校的路程是小王的一半多20米，小张到学校的距离比小陈的二倍少15米，问小丁离学校有多少米？ 【答案】60米 【分析】确定标准量：观察题目条件，小王、小陈、小张的路程都与小丁或彼此有关联，且最终都追溯到小丁，因此把小丁到学校的路程看作"1份”最为简便。 再转化倍数关系： 小王是小丁的4倍，即4份。 小陈是小王的一半多20米，即4份的一半（2份）多20米。 小张是小陈的2倍少15米，即2份多20米的2倍（4份多40米）少15米，整理为4份多25米。 汇总求解：将四人的路程份数和多余的具体数值分别相加，用总路程减去多出的数量，再除以总份数，即可求出小丁的路程（1份的量）。 【详解】把小丁到学校的路程看作1份为。 小丁＝1份 小王＝4份 小陈＝小王一半＋20米 ＝2份＋20米 小张＝小陈×2−15米 ＝（2份＋20米）×2－15米 ＝4份＋25米 总的完整份数：1＋4＋2＋4＝11（份） 额外多出的长度：20＋25＝45（米） 705－45＝660（米） 660÷11＝60（米） 答：小丁离学校有60米。 3．国家的国防建设需要大学生的参与，让国家的国防更加现代化，国家鼓励大学生应征入伍服义务兵役。这个学校今年应征入伍的女生有多少人？ 【答案】57人 【分析】男生人数比女生人数的3倍多23人，设女生人数为1份，男生人数是这样的3份加23人，男女一共就是女生人数4份加23人，用总人数减去23人对应着女生人数的4倍，据此可以求出女生人数。 【详解】根据题意画线段图如下。 女生人数的4倍有：（251－23）人。 （人）     女生：（人） 答：女生有57人。 4．一个公司给某部门发奖金，完成任务的项目组才能得到奖金，任务没完成的项目组没有奖金，奖金共计49万元。最后有A、B两个项目组完成了任务，其中部门经理获得的奖金是A项目组奖金的一半，是B项目组奖金的两倍。那么部门经理获得的奖金是多少？ 【答案】14万元 【分析】因为经理奖金是B项目组的两倍，所以可以设B项目组奖金为x万元，则部门经理的奖金为2x万元；因为经理奖金是A项目组的一半，所以A项目组奖金为4x万元；再根据奖金共计49万元即可列出方程，据此即可解决。 【详解】解：设B项目组奖金为x万元，则部门经理的奖金为2x万元，A项目组奖金为4x万元。 4x＋2x＋x＝49 7x＝49 x＝7 部门经理获得奖金为：2×7＝14（万元） 答：部门经理获得的奖金是14万元。 5．师徒三人制作喜羊羊系列玩具，师父制作的玩具数是大徒弟的4倍，大徒弟制作的玩具数是小徒弟的2倍，三人一共制作了4587个玩具。大徒弟一共制作了多少个玩具？ 【答案】834个 【分析】根据题意，师父、大徒弟、小徒弟制作的玩具数量存在倍数关系。设小徒弟制作的玩具数为1份，则大徒弟为2份，师父为4倍的大徒弟即8份。总份数为1＋2＋8＝11份，对应总数4587个，先求每份数量，再求大徒弟的2份。 【详解】1＋2＋8＝11（份） 4587÷11＝417（个） 大徒弟制作的玩具数：417×2＝834（个） 答：大徒弟一共制作了834个玩具。 6．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【答案】106件；212件 【分析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是倍数。两个年级共制作了318件，这318件就相当于（1＋3）倍，这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：318÷（1＋2）＝106（件）。再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：106×2＝212（件）。 【详解】318÷（1＋2） ＝318÷3 ＝106（件） 106×2＝212（件） 答：三年级制作106件，四年级制作212件。 【点睛】正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数和－小数＝大数），是解答此题的关键。 7．超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗。售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖。最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗。请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？ 【答案】颗；颗 【分析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖。由此可以算出总的袋数为：[（170－10）÷（9－7）]袋，即80袋，因此水果糖总数为（80×7＋170）颗，巧克力糖总数为（80×3）颗。 【详解】（170－10）÷（9－7） ＝160÷2 ＝80（袋） 80×7＋170 ＝560＋170 ＝730（颗） 80×3＝240（颗） 答：这批糖果共有730颗水果糖，240颗巧克力糖。 【点睛】解答此题的关键是，根据“其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗”、“水果糖还剩下170颗”，求出可以装的袋数。 8．有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？ 【答案】13个；20个；21个；26个；31个 【分析】 最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有（22×2）个，即44个；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和是（44－5＋7）个，即46 个；这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：（44＋46）个，即90个，较大的3堆苹果之和（26×3）个，即78个，较小的3堆苹果之和（18×3）个，即54个，较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和。 所以， 中间堆的数量是：（78＋54－90）÷2＝21（个）； 最大堆有苹果：（78－21＋5）÷2＝31（个）， 次大堆有：31－5＝26（个）， 同理最小堆有苹果：（个）， 次小堆有苹果：（个）。 【详解】[26×3＋18×3－22×2－（22×2－5＋7）]÷2 ＝[78＋54－44－46]÷2 ＝42÷2 ＝21（个） （26×3－21＋5）÷2 ＝（78－21＋5）÷2 ＝62÷2 ＝31（个） 31－5＝26（个） （18×3－21－7）÷2 ＝（54－21－7）÷2 ＝26÷2 ＝13（个） 13＋7＝20（个） 答：最小的有13个，次小的有20个，中间的有21个，次大的有26个，最大的有31个。 【点睛】此题有一定的难度，需要认真分析，可以作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，画图表示各个数量关系，再逐步分析解题。 9．有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88。问： （1）有几名同学？ （2）他们的重量各是多少千克？ 【答案】（1）有5名； （2）他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克。 【分析】每人都和其他人合称一次，总共称了10次，相当于从这些同学中选出2个有10种方法，那么需要有5个人；可以把这5人的体重依次设为未知数，由于每人称和其他人合称一次，得到的10组数相当于是这5人体重之和的4倍，可以先求出这5人体重之和，再计算各自的体重。 【详解】（1）首先，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次，所以有5个同学。 答：有5名同学。 （2）设这5个同学的体重从小到大依次为、、、、。 则有，，，； （千克） 千克；千克；千克；千克；千克。 答：他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克。 【点睛】本题考查的是和倍问题，解题的关键是理解每个人的体重被加了几次。 10．某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 【答案】鸭只，鸡只，鹅只 【分析】我们把鸭的只数看作1份，那么鸡的只数看比4份多132只，鹅的只数看比2份少70只，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于是7份多62只，7份相当于是1400只，用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数。 【详解】鸭的只数： （只） 鸡的只数： （只） 鹅的只数： （只） 答：鸭有200只，鸡有932只，鹅有330只。 【点睛】本题考查的是多个量的和倍问题，通常把最小量看成是一份量。 11．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 【答案】桃树292棵；梨树140棵；苹果树120棵 【分析】根据题意画出线段示意图如下，可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较，以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答。又知三种树的总数是552棵。如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为（552＋20－120）棵，即560棵，相当于梨树棵数的4倍，据此即可求出梨树的棵数，由此即可解题。 【详解】 梨树的棵数： （552＋20－12）÷（1＋1＋2） ＝560÷4 ＝140（棵） 桃树的棵数： 140×2＋12 ＝280＋12 ＝292（棵） 苹果树的棵数： 140－20＝120（棵） 答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。 【点睛】解答此题的关键是找好标准量，然后利用倍数问题公式即可解题。 12．玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的倍，白气球比黄气球少个。问三种气球各生产了多少个？ 【答案】90个；30个；5个 【分析】由题意可知，以黄气球的个数为标准量，设黄气球的个数为1份数；又“白气球比黄气球少个”，即白气球的个数加上25个就和黄气球一样多；所以在总个数125个的基础上加上25个，就是黄气球个数的（3＋1＋1）倍，这样即可求出黄气球的个数，再根据红、黄、白气球之间的数量关系，即可求出白气球和红气球的个数。 【详解】黄气球：（125＋25）÷（3＋1＋1） ＝150÷5 ＝30（个） 红气球：30×3＝90（个） 白气球：30－25＝5（个） 答：红、黄、白气球的个数分别是90个、30个、5个。 【点睛】解答此题的关键是，找出红、黄、白气球之间的倍数关系，再根据和倍公式解题即可。 13．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重千克。已知苹果的重量是梨的倍，香蕉的重量比梨少千克。一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 【答案】苹果69千克，梨23千克，香蕉20千克 【分析】把梨的重量看成是1份，那么苹果的重量是3份，香蕉的重量比1份少3千克，总共是比5份少3千克，对应112千克，那么5份是115千克，可以求出1份是多少。 【详解】 （千克） （千克） （千克） 答：一筐苹果重69千克，一筐梨重23千克，一筐香蕉重20千克。 【点睛】本题考查的是多个量的和倍问题，先求出一份量是多少，然后再求多份量是多少。 14．爸爸花180元钱给我买了一套服装，上衣的价钱是裤子的2倍，上衣和裤子各花了多少钱？ 【答案】上衣：120元   裤子：60元 【分析】由上衣的价钱是裤子的2倍，把裤子的价格看作1倍，上衣的价钱就是2倍，一共是3倍正好花了180元，用除法求出1倍的，也就是裤子的价格，再用裤子的价格乘2就是上衣的价格． 【详解】裤子的价格：180÷（1+2）=60（元） 上衣的价钱：60×2=120（元） 答：上衣和裤子各花了120元、60元． 15．水果店运来苹果和梨共840千克，苹果的质量是梨的3倍，苹果和梨各重多少千克？ 【答案】苹果：630千克   梨：210千克 【分析】根据水果店运来苹果的重量是梨的3倍，把运来梨的重量看作1倍，则运来苹果的重量就是3倍，可知运来苹果的重量和梨的重量共有3+1=4倍，正好运来苹果和梨共840千克，用除法求出梨的重量，再用梨的重量乘3就是苹果的重量． 【详解】梨的重量：840÷（3+1）=210（千克） 苹果的重量：210×3=630（千克） 答：苹果和梨各重630千克、210千克． 16．水果店运来苹果和梨共310千克，运来的苹果是梨的61倍，运来苹果多少千克？ 【答案】305千克 【分析】根据水果店运来苹果的重量是梨的61倍，把运来梨的重量看作1倍，则运来苹果的重量就是61倍，可知运来苹果的重量和梨的重量共有61+1=62倍，正好运来苹果和梨共310千克，用除法求出梨的重量，再用梨的重量乘61就是苹果的重量． 【详解】梨的重量： 310÷（61+1） =310÷62 =5（千克） 苹果的重量：5×61=305（千克） 答：运来苹果305千克． 17．据信息产业部统计，到目前为止，我国电话用户达3.6亿户，其中移动电话用户是固定电话用户的2倍．求我国移动电话用户和固定电话用户各是多少亿户？ 【答案】移动电话用户：2.4亿户   固定电话用户：1.2亿户 【分析】根据题意我国电话用户达3.6亿户，其中移动电话用户是固定电话用户的2倍，可知移动电话用户与固定电话用户的和就是3.6亿，根据和倍公式，和÷（倍数+1）=较小数，就可以求出结果． 【详解】固定电话是：3.6÷（2+1）=1.2（亿户） 移动电话是：1.2×2=2.4（亿户） 答：我国移动电话用户和固定电话用户各是2.4亿户、1.2亿户． 18．某鞋店有旅游鞋和皮鞋400双，在售出旅游鞋的后，又采购来70双皮鞋．此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍．问原来两种鞋各有几双？ 【答案】原有旅游鞋188双，皮鞋212双 【详解】为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份．那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）．400＋70将是 3+1＋6＝10（份）.每份是（400＋70）÷10＝47（双）．由此可解． （4-1）×2=6（份） 4＋6＝10（份） （400＋70）÷10＝47（双） 原有旅游鞋：47×4=188（双）. 原有皮鞋：47×6-70＝212（双）. 答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双. 【点睛】设整数的份数，使计算简单方便．小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷．因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中. 19．今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？ 【答案】6年 【详解】方法一：三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），今年爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）。因而，经过12÷2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。 方法二：设经过x年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和，由题意得 27＋x＋23＋x＋16＋x＝78＋x x＝6 20．一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？ 【答案】61.8 【分析】本题属于和倍问题．关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点 向右移一位，原数就扩大10倍． 【详解】小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷（100＋1）＝6.18，6.18×10＝61.8，即原数是61.8． 21．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？ 【答案】12岁 【分析】当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时（即哥哥过去年龄），哥哥过去年龄是弟弟过去年龄的倍，则哥哥过去年龄比弟弟过去年龄多倍，因为哥哥和弟弟之间的年龄差不变，所以哥哥现在的年龄＝弟弟现在的年龄＋年龄差＝弟弟过去年龄的3倍＋弟弟过去年龄的2倍＝弟弟过去年龄的5倍。 当弟弟是哥哥现在年龄时（弟弟过去年龄的5倍），哥哥此时的年龄＝弟弟过去年龄的5倍＋弟弟过去年龄的2倍＝弟弟过去年龄的7倍 此时两人的年龄之和＝弟弟过去年龄的5倍＋弟弟过去年龄的7倍＝弟弟过去年龄的12倍＝48，据此可用48除以12得到弟弟过去的年龄，再根据当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，用弟弟过去的年龄乘3即可得解。 【详解】48÷12＝4（岁） 4×3＝12（岁） 答：弟弟现在12岁。 【点睛】此题关键是根据题意与年龄差不变，求出48是弟弟过去年龄的12倍，由此求出弟弟过去的年龄，进而求出弟弟现在的年龄． 22．小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 【答案】40岁 【详解】今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即“小航今年的年龄”，小航今年的年龄：（岁）．小航父母今年的年龄和：（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：（岁）． 23．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是1．那么乙有书多少本? 【答案】3 【详解】有甲的课外书是乙的5倍多1，丙的课外书是甲的5倍还多1，则丙的课外书是乙的25倍多5+1＝6本． 如果甲的课外书除去1本，丙的课外书除去6本，则甲的课外书是乙的5倍，丙的课外书是乙的25倍． 有(100－1－6)÷(1+5+25)＝3，所以乙有书3本． 于是，甲有3×5+1＝16本，丙有书16×5+1＝81本． 24．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟? 【答案】202 【详解】我们先估算出大致所需时间，然后再进行调整． 因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2＝150个零件左右： 小李完成150个零件需要150÷3×4＝200分钟； 在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4＝144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2＝146个零件； 那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146＝296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成． 所以共需202分钟才能完成． 方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个． 则在44分钟内小李做了：44÷4×3＝33个，小张做了：44÷5.5×4＝32个，他们一共做了：33+32＝65个． 300÷65＝4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4＝176分钟后，还剩下40个零件没有做完． 而22＝4+4+4+4+4+2＝5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2＝17个，小张做了：4×2＝16个，那么还剩下：40－17－16＝7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3＝7个，即这40个零件还需要26分钟． 所以共用时间：44×4+26＝202分钟． 25．师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 【答案】90 【详解】师傅加工的零件的比徒弟加工的零件的多10个则师傅加工的零件的比徒弟加工的零件的倍多30个(两边同时×3)．则：徒弟加工了：(170－30)÷(1+)＝80个，师傅＝80×+30＝90个＝170－80＝90个． 26．四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 【答案】45块橡皮；80支铅笔． 【详解】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $