第23讲 和倍问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第23讲 和倍问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 和倍问题是指已知两个或多个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个或多个数各是多少的问题。它是小学数学中的经典应用题类型，也是培养学生解决实际问题能力的重要内容。 关键要素：和（几个数的总和）、倍数（数与数之间的倍数关系）、1倍数（作为标准的量，也叫较小数）、几倍数（较大数） 2. 基本方法 ① 线段图法：用线段表示数量关系，直观展示倍数关系和总和 ② 公式法： 和÷(倍数+1)=1倍数（较小数） 1倍数×倍数=几倍数（较大数） 和-1倍数=几倍数（较大数） ③ 份数法：将1倍数看作1份，几倍数看作几份，先求1份是多少 ④ 转化法：将复杂问题转化为基本和倍问题 ⑤ 方程法：设未知数，根据等量关系列方程求解（初步介绍） 二、核心题型与技巧 题型1：基本型和倍问题 技巧：已知两个数的和与倍数关系，直接应用基本公式求解。关键是准确确定1倍数和倍数，可借助线段图辅助理解。 题型2：含多量的和倍问题 技巧：三个或三个以上量的和倍问题，先确定其中一个量为1倍数，再根据其他量与1倍数的关系表示出各量，最后利用总和求解。 题型3：含差量的和倍问题 技巧：当题目中除了和与倍数关系外，还包含一个数量比另一个数量多（或少）一定数值时，先从总和中调整差量，转化为基本和倍问题。 题型4：隐藏和的和倍问题 技巧：题目中没有直接给出总和，需要通过分析条件间接求出总和，再应用基本公式求解。 题型5：倍数变化的和倍问题 技巧：当倍数关系发生变化时，先确定变化前后的关系，抓住总和不变或变化的规律，分段或整体分析求解。 三、常见错误提醒 1.倍数关系混淆：误将几倍数当作1倍数，导致整个计算错误 2.和值确定错误：未能准确找出或计算题目中的总和 3.线段图画错：线段图中各量关系表示不准确，导致理解偏差 4.忽略隐含条件：未能发现题目中隐藏的倍数关系或和值信息 5.计算粗心：求出1倍数后，计算几倍数时出现错误 6.多量问题处理不当：三个或以上量的问题中，未能正确选择1倍数 例题讲解 一、基本型和倍问题 例题1：学校图书馆买来科技书和故事书共240本，故事书的本数是科技书的3倍。两种书各买了多少本？ 跟踪练习1：小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？ 二、含多量的和倍问题 例题2：果园里有苹果树、梨树和桃树共360棵，其中梨树是苹果树的2倍，桃树是苹果树的3倍。三种树各有多少棵？ 跟踪练习2：甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ 三、含差量的和倍问题 例题3：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。二、三年级各得图书多少本？ 跟踪练习3：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐的2倍少30千克。两筐水果各重多少千克？ 四、隐藏和的和倍问题 例题4：甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，从乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油的重量是乙桶的5倍？ 跟踪练习4：小明有邮票30张，小红有邮票15张，小红给小明多少张后，小明的邮票张数是小红的8倍？ 五、倍数变化的和倍问题 例题5：甲、乙两个粮仓共存粮320吨，后来从甲仓运出40吨，给乙仓运进20吨，这时甲仓存粮是乙仓的2倍。两个粮仓原来各存粮多少吨？ 跟踪练习5：甲、乙两个书架共有图书450本，从甲书架拿出30本放入乙书架后，甲书架图书本数是乙书架的2倍。两个书架原来各有图书多少本？ 提升练习 1．学校买来足球和篮球共48个，已知足球的个数是篮球的3倍，足球和篮球各有多少个？ 2．果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多12棵，两种树各有多少棵？ 【答案】梨树36棵，苹果树84棵 3．甲、乙、丙三个数的和是105，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的2倍，甲、乙、丙三个数各是多少？ 4．小明、小红、小刚三人共有故事书60本，小明的故事书是小红的2倍，小刚的故事书是小红的3倍，三人各有故事书多少本？ 5．甲桶有油45千克，乙桶有油24千克，从甲桶倒多少千克油到乙桶后，乙桶油的重量是甲桶的2倍？ 6．甲、乙两个数的和是165，把乙数的小数点向右移动一位后就正好等于甲数，甲、乙两个数各是多少？ 7．学校体育室有足球、篮球和排球共120个，其中篮球的个数是足球的2倍，排球的个数是篮球的3倍，三种球各有多少个？ 8．果园里苹果树比梨树多240棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 9．甲、乙两筐苹果共有100个，如果从甲筐取出12个放到乙筐，这时甲筐的苹果还比乙筐多6个，甲、乙两筐原来各有苹果多少个？ 10．一个长方形的周长是48厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 11．甲、乙两个仓库共存粮400吨，甲仓库运走30吨，乙仓库运进20吨后，甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，原来两个仓库各存粮多少吨？ 12．三(1)班有学生45人，其中男生人数是女生人数的2倍，这个班男生和女生各有多少人？ 13．甲、乙两个数的和是120，甲数是乙数的3倍，甲、乙两数各是多少？ 14．商店运来苹果、香蕉和橘子共1200千克，其中香蕉的重量是苹果的2倍，橘子的重量是香蕉的3倍，三种水果各运来多少千克？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第23讲 和倍问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 和倍问题是指已知两个或多个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个或多个数各是多少的问题。它是小学数学中的经典应用题类型，也是培养学生解决实际问题能力的重要内容。 关键要素：和（几个数的总和）、倍数（数与数之间的倍数关系）、1倍数（作为标准的量，也叫较小数）、几倍数（较大数） 2. 基本方法 ① 线段图法：用线段表示数量关系，直观展示倍数关系和总和 ② 公式法： 和÷(倍数+1)=1倍数（较小数） 1倍数×倍数=几倍数（较大数） 和-1倍数=几倍数（较大数） ③ 份数法：将1倍数看作1份，几倍数看作几份，先求1份是多少 ④ 转化法：将复杂问题转化为基本和倍问题 ⑤ 方程法：设未知数，根据等量关系列方程求解（初步介绍） 二、核心题型与技巧 题型1：基本型和倍问题 技巧：已知两个数的和与倍数关系，直接应用基本公式求解。关键是准确确定1倍数和倍数，可借助线段图辅助理解。 题型2：含多量的和倍问题 技巧：三个或三个以上量的和倍问题，先确定其中一个量为1倍数，再根据其他量与1倍数的关系表示出各量，最后利用总和求解。 题型3：含差量的和倍问题 技巧：当题目中除了和与倍数关系外，还包含一个数量比另一个数量多（或少）一定数值时，先从总和中调整差量，转化为基本和倍问题。 题型4：隐藏和的和倍问题 技巧：题目中没有直接给出总和，需要通过分析条件间接求出总和，再应用基本公式求解。 题型5：倍数变化的和倍问题 技巧：当倍数关系发生变化时，先确定变化前后的关系，抓住总和不变或变化的规律，分段或整体分析求解。 三、常见错误提醒 1.倍数关系混淆：误将几倍数当作1倍数，导致整个计算错误 2.和值确定错误：未能准确找出或计算题目中的总和 3.线段图画错：线段图中各量关系表示不准确，导致理解偏差 4.忽略隐含条件：未能发现题目中隐藏的倍数关系或和值信息 5.计算粗心：求出1倍数后，计算几倍数时出现错误 6.多量问题处理不当：三个或以上量的问题中，未能正确选择1倍数 例题讲解 一、基本型和倍问题 例题1：学校图书馆买来科技书和故事书共240本，故事书的本数是科技书的3倍。两种书各买了多少本？ 答案：科技书60本，故事书180本 解析：把科技书的本数看作1倍数，则故事书的本数是3倍数，两种书的总本数是4倍数。 科技书的本数（1倍数）：240÷(3+1)=60(本) 故事书的本数（3倍数）：60×3=180(本)或240-60=180(本) 跟踪练习1：小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？ 答案：小明200元，小红600元 解析：把小明的钱数看作1倍数，小红的钱数是3倍数，两人总钱数是4倍数。 小明的钱数（1倍数）：800÷(3+1)=200(元) 小红的钱数（3倍数）：200×3=600(元)或800-200=600(元) 二、含多量的和倍问题 例题2：果园里有苹果树、梨树和桃树共360棵，其中梨树是苹果树的2倍，桃树是苹果树的3倍。三种树各有多少棵？ 答案：苹果树60棵，梨树120棵，桃树180棵 解析：把苹果树的棵数看作1倍数，梨树是2倍数，桃树是3倍数，三种树总棵数是6倍数。 苹果树的棵数（1倍数）：360÷(1+2+3)=60(棵) 梨树的棵数（2倍数）：60×2=120(棵) 桃树的棵数（3倍数）：60×3=180(棵) 跟踪练习2：甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ 答案：甲数60，乙数30，丙数90 解析：把乙数看作1倍数，甲数是2倍数，丙数是3倍数，三个数总和是6倍数。 乙数（1倍数）：180÷(1+2+3)=30 甲数（2倍数）：30×2=60 丙数（3倍数）：30×3=90 三、含差量的和倍问题 例题3：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。二、三年级各得图书多少本？ 答案：二年级100本，三年级260本 解析：先去掉三年级多的60本，使三年级本数正好是二年级的2倍。 调整后的总和：360-60=300(本) 二年级本数（1倍数）：300÷(2+1)=100(本) 三年级本数：100×2+60=260(本)或360-100=260(本) 跟踪练习3：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐的2倍少30千克。两筐水果各重多少千克？ 答案：第一筐90千克，第二筐60千克 解析：先给第一筐加上30千克，使第一筐正好是第二筐的2倍。 调整后的总和：150+30=180(千克) 第二筐重量（1倍数）：180÷(2+1)=60(千克) 第一筐重量：60×2-30=90(千克)或150-60=90(千克) 四、隐藏和的和倍问题 例题4：甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，从乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油的重量是乙桶的5倍？ 答案：从乙桶倒入10千克油给甲桶 解析：无论如何倒油，两桶油的总重量不变，先求出总重量。 总重量：25+17=42(千克) 倒油后乙桶油重（1倍数）：42÷(5+1)=7(千克) 需从乙桶倒出的油：17-7=10(千克) 跟踪练习4：小明有邮票30张，小红有邮票15张，小红给小明多少张后，小明的邮票张数是小红的8倍？ 答案：小红给小明10张邮票 解析：先求出两人邮票的总张数，这是不变的量。 总张数：30+15=45(张) 小红给邮票后剩余的张数（1倍数）：45÷(8+1)=5(张) 小红需给小明的张数：15-5=10(张) 五、倍数变化的和倍问题 例题5：甲、乙两个粮仓共存粮320吨，后来从甲仓运出40吨，给乙仓运进20吨，这时甲仓存粮是乙仓的2倍。两个粮仓原来各存粮多少吨？ 答案：甲仓原来存粮240吨，乙仓原来存粮80吨 解析：先求出变化后的存粮总量和倍数关系，再求变化后的存粮，最后还原。 变化后的存粮总量：320-40+20=300(吨) 变化后乙仓存粮（1倍数）：300÷(2+1)=100(吨) 乙仓原来存粮：100-20=80(吨) 甲仓原来存粮：320-80=240(吨) 跟踪练习5：甲、乙两个书架共有图书450本，从甲书架拿出30本放入乙书架后，甲书架图书本数是乙书架的2倍。两个书架原来各有图书多少本？ 答案：甲书架原来有330本，乙书架原来有120本 解析：先求出移动图书后两书架的总本数和倍数关系。 移动后总本数：450本（不变） 移动后乙书架图书本数（1倍数）：450÷(2+1)=150(本) 乙书架原来图书本数：150-30=120(本) 甲书架原来图书本数：450-120=330(本) 提升练习 1．学校买来足球和篮球共48个，已知足球的个数是篮球的3倍，足球和篮球各有多少个？ 【答案】足球36个，篮球12个 【详解】把篮球个数看作1倍数，足球个数是3倍数，总和是4倍数。 篮球个数（1倍数）：48÷(3+1)=12(个) 足球个数：12×3=36(个)或48-12=36(个) 2．果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多12棵，两种树各有多少棵？ 【答案】梨树36棵，苹果树84棵 【详解】先去掉苹果树多的12棵，使苹果树棵数正好是梨树的2倍。 调整后的总和：120-12=108(棵) 梨树棵数（1倍数）：108÷(2+1)=36(棵) 苹果树棵数：36×2+12=84(棵)或120-36=84(棵) 3．甲、乙、丙三个数的和是105，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的2倍，甲、乙、丙三个数各是多少？ 【答案】甲数60，乙数30，丙数15 【详解】把丙数看作1倍数，乙数是2倍数，甲数是4倍数，总和是7倍数。 丙数（1倍数）：105÷(1+2+4)=15 乙数：15×2=30 甲数：30×2=60或15×4=60 4．小明、小红、小刚三人共有故事书60本，小明的故事书是小红的2倍，小刚的故事书是小红的3倍，三人各有故事书多少本？ 【答案】小红10本，小明20本，小刚30本 【详解】把小红的故事书本数看作1倍数，小明是2倍数，小刚是3倍数。 小红的本数（1倍数）：60÷(1+2+3)=10(本) 小明的本数：10×2=20(本) 小刚的本数：10×3=30(本) 5．甲桶有油45千克，乙桶有油24千克，从甲桶倒多少千克油到乙桶后，乙桶油的重量是甲桶的2倍？ 【答案】从甲桶倒22千克油到乙桶 【详解】先求出总油量，这是不变的量。 总油量：45+24=69(千克) 倒油后甲桶油量（1倍数）：69÷(2+1)=23(千克) 需从甲桶倒出的油量：45-23=22(千克) 6．甲、乙两个数的和是165，把乙数的小数点向右移动一位后就正好等于甲数，甲、乙两个数各是多少？ 【答案】甲数150，乙数15 【详解】乙数的小数点向右移动一位等于甲数，说明甲数是乙数的10倍。 乙数（1倍数）：165÷(10+1)=15 甲数：15×10=150 7．学校体育室有足球、篮球和排球共120个，其中篮球的个数是足球的2倍，排球的个数是篮球的3倍，三种球各有多少个？ 【答案】足球12个，篮球24个，排球72个 【详解】把足球个数看作1倍数，篮球是2倍数，排球是6倍数。 足球个数（1倍数）：120÷(1+2+6)=12(个) 篮球个数：12×2=24(个) 排球个数：24×3=72(个) 8．果园里苹果树比梨树多240棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 【答案】梨树60棵，苹果树300棵 【详解】这是一道差倍问题，也可看作和倍问题的变形。 梨树棵数（1倍数）：240÷(5-1)=60(棵) 苹果树棵数：60×5=300(棵)或60+240=300(棵) 9．甲、乙两筐苹果共有100个，如果从甲筐取出12个放到乙筐，这时甲筐的苹果还比乙筐多6个，甲、乙两筐原来各有苹果多少个？ 【答案】甲筐原来有65个，乙筐原来有35个 【详解】先求出两筐苹果的差，再用和差问题的解法。 甲筐比乙筐多的个数：12×2+6=30(个) 甲筐苹果数：(100+30)÷2=65(个) 乙筐苹果数：100-65=35(个) 10．一个长方形的周长是48厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【答案】长18厘米，宽6厘米 【详解】长方形周长包括两条长和两条宽，先求出长与宽的和。 长与宽的和：48÷2=24(厘米) 宽（1倍数）：24÷(3+1)=6(厘米) 长：6×3=18(厘米) 11．甲、乙两个仓库共存粮400吨，甲仓库运走30吨，乙仓库运进20吨后，甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，原来两个仓库各存粮多少吨？ 【答案】甲仓库原来存粮270吨，乙仓库原来存粮130吨 【详解】先求出变化后的存粮总量和倍数关系。 变化后的存粮总量：400-30+20=390(吨) 变化后乙仓存粮（1倍数）：390÷(2+1)=130(吨) 乙仓原来存粮：130-20=110(吨) 甲仓原来存粮：400-110=290(吨) 12．三(1)班有学生45人，其中男生人数是女生人数的2倍，这个班男生和女生各有多少人？ 【答案】女生15人，男生30人 【详解】把女生人数看作1倍数，男生人数是2倍数。 女生人数（1倍数）：45÷(2+1)=15(人) 男生人数：15×2=30(人)或45-15=30(人) 13．甲、乙两个数的和是120，甲数是乙数的3倍，甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数90，乙数30 【详解】把乙数看作1倍数，甲数是3倍数，总和是4倍数。 乙数（1倍数）：120÷(3+1)=30 甲数：30×3=90 14．商店运来苹果、香蕉和橘子共1200千克，其中香蕉的重量是苹果的2倍，橘子的重量是香蕉的3倍，三种水果各运来多少千克？ 【答案】苹果120千克，香蕉240千克，橘子720千克 【详解】把苹果重量看作1倍数，香蕉是2倍数，橘子是6倍数。 苹果重量（1倍数）：1200÷(1+2+6)=120(千克) 香蕉重量：120×2=240(千克) 橘子重量：240×3=720(千克) 1 学科网（北京）股份有限公司 $