小升初奥数培优讲义：归一归总问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦归一归总问题专题，涵盖正归一、反归一、双归一、归总四大核心题型，旨在帮助学生掌握“求单一量、定不变量、算新总量、求新份数”的完整解题链条。通过学习寄语导入激发兴趣，知识梳理明确单一量、份数、总量三量关系，例题讲解分题型突破，高频真题分层巩固，构建系统复习路径。 亮点在于融合归一与归总逆运算思维，如双归一例题通过“3名工人2天加工60个零件”引导学生连续归一求单人单日效率，培养推理意识。解题口诀“归一先求一份量，归总先抓不变量”强化模型意识，助力学生建立标准化解题框架。教师可依托分层例题与真题精准诊断学生掌握情况，有效提升学生数学思维与问题解决能力。

小升初奥数培优讲义：归一归总问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 归一归总问题是小学数学应用题的思维基石，是从简单计算走向复合应用的关键转折点，也是后续工程问题、行程问题、分数应用题的底层解题逻辑。所有复杂的奥数应用题，本质都是“先标准化归一、再整体归总运算”的延伸。 本节课我们系统掌握了正归一、反归一、双归一、归总四大核心题型，吃透了“求单一量、定不变量、算新总量、求新份数”的完整解题链条。归一思想教会我们以小见大、标准化统一，归总思想教会我们抓牢核心、以静制动，两种思维相辅相成，贯穿整个小学数学学习。解题时无需死记硬背，只要看清变量与不变量，分清先归一还是先归总，就能轻松破解所有变式题型。 小升初的比拼，本质是思维习惯的比拼。希望同学们熟练掌握本专题的解题逻辑，规避份数混淆、变量漏算的易错问题，养成严谨、有序的解题习惯。在日常练习中多总结、多变通，夯实奥数基础，练就灵活的数学思维，从容应对各类拔高应用题，在小升初备考中稳步进阶、步步领先！ 一、问题定义 归一归总问题是小升初奥数最基础、最必考的应用题题型，属于整数复合应用题的核心拔高内容，广泛应用于工程、行程、购物、生产、耕作等各类场景。 简单来说：归一问题是先求“单一量（1份的量）”，再根据单一量求总量或份数；归总问题是先求“总数量”，再根据固定总量求新的单一量或新的份数。二者互为逆运算，是小学奥数“先标准化、再运算”思维的典型代表。 题干高频关键词：照这样计算、同样速度、同样效率、总量不变、总量固定。 二、核心三量与基础公式 本专题所有题型围绕单一量、份数、总量三个核心量展开： 1. 单一量：单位数量（每小时工作量、每个物品价格、每天产量、每千米用时等） 2. 份数：对应的数量、时间、个数、天数等 3. 总量：所有数量的总和（总工作量、总价、总产量等） 核心万能公式： 总量 ÷ 份数 = 单一量 单一量 × 新份数 = 新总量 总总量 ÷ 新单一量 = 新份数 三、题型分类与解题思路 1. 正归一问题（先归一、后求总量） 题型特征：已知几份的总量，求更多份数对应的总量。 解题步骤：先算1份是多少（归一）→ 再乘对应份数求总总量。 2. 反归一问题（先归一、后求份数） 题型特征：已知几份的总量，给出新的总量，求对应份数。 解题步骤：先算1份是多少（归一）→ 再用新总量÷单一量求份数。 3. 双归一问题（奥数培优重点） 题型特征：含有两个变化量（多人、多天、多机器），例如“3人5天做多少”。 解题步骤：先求单人单日单一量 → 再求多人多日总量。 4. 归总问题（总量不变） 题型特征：工作总量、总费用、总路程、总材料不变，改变每份数量或份数。 解题步骤：先算出固定总总量 → 再根据新条件求新单一量或新份数。 四、通用解题步骤 1. 判断题型：分辨是归一还是归总，区分单归一、双归一； 2. 求出标准量：归一先求1份，归总先求总量； 3. 对应计算：根据题目问题，乘份数求总量、除单量求份数； 4. 验证逻辑：对照“照这样计算、总量不变”条件验算结果。 五、易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 双归一问题漏除人数或天数，单一量计算错误； ② 归总问题忘记“总量不变”，随意更改总数量； ③ 正归一、反归一混淆乘法、除法运算。 2. 解题口诀 归一先求一份量，一份得后算全场； 求总乘份求份除，双重归一慢慢消； 归总先抓不变量，总量固定再换算； 看清份数与单量，题型不乱答案妙。 例题讲解 【典型例题1】正归一问题（基础必考） 题目：商店买5支圆珠笔需要25元，照这样计算，购买12支同样的圆珠笔需要多少元？ 【分析】 标准正归一题型，已知5支笔的总价，需要先归一求出单支圆珠笔的单价（单一量），再用单价乘12支的份数，求出12支笔的总价格。题干“照这样计算”代表单价不变。 【详解】 1. 求单一量（单价）：（元/支） 2. 求12支总价：（元） 【答案】 购买12支圆珠笔需要60元。 【跟踪训练1】 题目：工人4小时加工零件36个，照这样的速度，8小时可以加工多少个零件？ 【分析】 基础正归一变式，先求每小时加工零件数（单一效率），再乘工作时间求出总工作量。 【详解】 1. 每小时加工：（个） 2. 8小时加工：（个） 【答案】 8小时可以加工72个零件。 【跟踪训练2】 题目：3千克苹果售价18元，买9千克同样的苹果需要多少钱？ 【分析】 正归一简化题型，可先归一求单价，也可通过倍数关系快速求解，巩固归一核心思维。 【详解】 1. 苹果单价：（元/千克） 2. 9千克总价：（元） 【答案】 买9千克苹果需要54元。 【典型例题2】反归一问题（高频考点） 题目：工厂3天生产口罩150箱，照这样的效率，生产400箱口罩需要多少天？ 【分析】 标准反归一题型，先归一求出每天的生产数量（单一量），已知新的总总量，用总数量÷单日产量，求出对应的工作份数（天数）。 【详解】 1. 每日产量：（箱） 2. 所需天数：（天） 【答案】 生产400箱口罩需要8天。 【跟踪训练1】 题目：小明5分钟口算完成40道题，照这样计算，完成96道口算题需要多少分钟？ 【分析】 反归一常规题型，先求每分钟做题数量，再用总题量÷每分钟题量求出用时。 【详解】 1. 每分钟做题：（道） 2. 所需时间：（分钟） 【答案】 完成96道题需要12分钟。 【跟踪训练2】 题目：一辆汽车4小时行驶240千米，保持速度不变，行驶420千米需要多少小时？ 【分析】 行程类反归一问题，先归一求速度（单一量），再用总路程÷速度求时间，是归一问题与行程问题的结合考法。 【详解】 1. 汽车速度：（千米/时） 2. 行驶时间：（小时） 【答案】 行驶420千米需要7小时。 【典型例题3】双归一问题（奥数培优难点） 题目：3名工人2天可以加工零件60个，照这样计算，1名工人1天可以加工多少个零件？5名工人3天可以加工多少个零件？ 【分析】 经典双归一题型，存在人数、天数两个变量，必须连续两次归一，先消去人数、再消去天数，求出单人单日的基础效率，最后根据人数、天数计算总工作量，是小升初拔高必考题型。 【详解】 1. 3名工人1天加工：（个） 2. 1名工人1天加工：（个） 3. 5名工人3天加工：（个） 【答案】 1名工人1天加工10个零件，5名工人3天加工150个零件。 【跟踪训练1】 题目：4名学生3天一共背诵古诗48首，照这样计算，1名学生1天背诵多少首？6名学生2天背诵多少首？ 【分析】 双归一基础变式，连续两次归一求出单人单日工作量，再叠加人数、份数求出总总量。 【详解】 1. 4名学生1天背诵：（首） 2. 1名学生1天背诵：（首） 3. 6名学生2天背诵：（首） 【答案】 1名学生1天背诵4首，6名学生2天背诵48首。 【跟踪训练2】 题目：2台机器4小时生产产品80件，照这样计算，1台机器1小时生产多少件？3台机器5小时生产多少件？ 【分析】 工程类双归一题型，机器数、工时双变量，通过两次归一锁定单位效率，再计算多机多时总产量。 【详解】 1. 2台机器1小时生产：（件） 2. 1台机器1小时生产：（件） 3. 3台机器5小时生产：（件） 【答案】 1台机器1小时生产10件，3台机器5小时生产150件。 【典型例题4】归总问题（总量不变核心题型） 题目：服装厂做一批衣服，原来每套衣服用布4米，可做30套。改进工艺后，每套衣服只用3米布，这批布料现在可以做多少套衣服？ 【分析】 标准归总问题，布料总总量始终不变。解题核心：先根据旧规格求出布料总米数（归总），再用总布料÷新每套用量，求出新的可做套数。 【详解】 1. 求出布料总长：（米） 2. 新工艺可做套数：（套） 【答案】 现在可以做40套衣服。 【跟踪训练1】 题目：一堆货物，每次运12吨，8次可以运完。如果每次运16吨，多少次可以运完？ 【分析】 运输类归总题型，货物总重量不变，先归总求总吨数，再根据新单次运量求运输次数。 【详解】 1. 货物总重量：（吨） 2. 新运输次数：（次） 【答案】 6次可以运完。 【跟踪训练2】 题目：修一条路，每天修20米，15天可以修完。如果想要10天修完，每天需要修多少米？ 【分析】 工程类归总题型，道路总长度不变，先归总求总长，再根据新工期求新工作效率。 【详解】 1. 道路总长：（米） 2. 每日需修长度：（米） 【答案】 每天需要修30米。 【典型例题5】归一归总综合培优问题 题目：工程队6人5天修路300米，照这样的速度，10人修800米的路需要多少天？ 【分析】 小升初压轴变式题型，融合双归一与反归一思维。先双归一求出单人单日修路效率，再求出10人单日工作总量，最后用总路程÷团队日产量求出所需天数。 【详解】 1. 6人1天修路：（米） 2. 1人1天修路：（米） 3. 10人1天修路：（米） 4. 所需天数：（天） 【答案】 需要8天。 【跟踪训练1】 题目：5名工人4小时组装零件200个，照这样计算，8名工人组装480个零件需要几小时？ 【分析】 综合变式题，先双归一求单人单时效率，再求多人工作效率，最后反归一求工作时间。 【详解】 1. 5名工人1小时组装：（个） 2. 1名工人1小时组装：（个） 3. 8名工人1小时组装：（个） 4. 所需时间：（小时） 【答案】 需要6小时。 【跟踪训练2】 题目：3头牛2天吃草60千克，照这样计算，5头牛7天吃草多少千克？ 【分析】 双归一正求总量综合题，先归一求出单头牛单日吃草量，再叠加牛的数量与天数，求出总吃草量。 【详解】 1. 3头牛1天吃草：（千克） 2. 1头牛1天吃草：（千克） 3. 5头牛7天吃草：（千克） 【答案】 5头牛7天吃草350千克。 高频真题 1．2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机器1小时造纸多少吨？ 【答案】120吨 【分析】利用除法先求出1台机器1分钟造纸的重量，再乘60分钟，求出1台机器1小时造纸的重量即可。 【详解】80÷2÷20＝2（吨） 1小时＝60分钟 2×60＝120（吨） 答：1台机器1小时造纸120吨。 【点睛】本题考查了归一问题，解题关键是求出1台机器1分钟造纸的重量。 2．一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？ 【答案】14小时 【分析】先用108÷4求出每小时航行多少千米，再用270除以轮船的速度，即可解答。 【详解】每小时航行多少千米：108÷4＝27（千米） 270千米需航行多少小时：270÷27＝10（小时） 共需多少小时：10＋4＝14（小时） 答：共需14小时。 【点睛】此题主要考查学生对归一归总问题的理解与解答。 3．一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，30分钟爬行多少分米？ 【答案】60分米 【分析】归一思想。为了求出蜗牛30分钟爬多少分米，必须先求出1分钟爬多少分米（单一数），“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果。小蜗牛每分钟爬行12÷6＝2（分米），30分钟爬2×30＝60（分米）。 【详解】12÷6＝2（分米） 2×30＝60（分米） 答：照这样的速度，30分钟爬行60分米。 【点睛】本题属于正归一，有两种解题思路。方法二：倍比思想。仔细观察题目中所给的条件，已知30分钟正好是6分钟的5倍，爬行的距离也应是12的5倍，即12×5＝60（分米）。 4．一个工人在森林中锯木头，他用40分钟把一根树干锯成了5段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？ 【答案】50分钟 【分析】把一根木头锯成5段，实际上只需要锯4下，据此利用除法求出锯1下需要的时间，再利用乘法求出再锯5下需要的时间即可。 【详解】40÷4＝10（分钟） 10×5＝50（分钟） 答：还需要50分钟的时间。 【点睛】本题考查了归一问题，解题关键在于求出锯1刀需要用的时间。 5．王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？ 【答案】1728千克 【分析】以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，先求出1头奶牛1天产牛奶的千克数，再根据乘法的意义求出8头奶牛12天可产牛奶的千克数。 【详解】（630÷7÷5）×8×12 ＝18×8×12 ＝1728（千克） 答：照这样计算，8头奶牛12天可产牛奶1728千克。 【点睛】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量。 6．孙悟空组织小猴子摘桃子。开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？ 【答案】4个 【分析】要求增加多少只小猴子，必须先求出需要多少只小猴子去完成孙悟空布置的任务。根据要求，3小时摘桃子1200个，可以先求出1小时共摘桃的个数，即：（个）。再根据每只小猴每小时摘的个数，即：（个），就可以求出所需要的小猴数量，即：（只），最后求出增加的小猴只数：（只）。 【详解】1200÷3＝400（个） （个） （个） （只） 答：那么需要增加4只小猴子一起来摘桃子。 【点睛】本题考查归一问题，明确每只小猴每小时是解题的关键。 7．用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克。这个空罐重多少千克？ 【答案】4千克 【分析】根据倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克，可知重量由6千克增加到9千克是因为多倒进了（5－2）杯水，因此可先求出1杯水的重量，最后再减去水的重量，即空罐的重量。 【详解】1杯水的重量： （9－6）÷（5－2） ＝3÷3 ＝1（千克） 空罐的重量： 6－2×1 ＝6－2 ＝4（千克） 答：空罐重4千克。 【点睛】本题考查了归一问题，解题关键是先求出1杯水的重量。 8．4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？ 【答案】5趟 【详解】1辆卡车1趟运沙土：（吨），现在有（辆）卡车，需要 ＝420÷84 ＝5（趟）就可以运完。 9．7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？ 【答案】7辆 【详解】（方法一）要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土， 每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。一辆卡车一次能运沙土：（吨）；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：（吨）；需要增加同样的卡车：（辆）。 （方法二）在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：             ①，②。算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法： ⑴（辆） （其中112是所需的卡车一趟运走的吨数） ⑵（辆） （其中70是运走560吨沙土需要的车次） ⑶（辆） （其中40是一辆卡车5次运走的吨数） 10．一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克。照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？ 【答案】7小时 【分析】通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量；计算出剩下的量除以1小时磨粉的数量，即可得解。 【详解】（200－60）÷（60÷3） ＝140÷20 ＝7（小时） 答：照这样计算，磨完剩下的面粉还要7小时。 【点睛】解决正归一的问题首先要求出单位数量，解决反归一的问题同样也是要先求出单位数量。 11．学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？ 【答案】18天 【分析】据题意知：剩下的粉笔18个班可用（天），班级数乘剩下的天数可求出剩下的总量，现在还剩下（个）班级，用剩下的总量除以剩下的班级数即可求出剩下的粉笔够用多少天。 【详解】（天） （18×15）÷（18－3） ＝270÷15 ＝18（天） 答：剩下的粉笔够用18天。 【点睛】求出剩下的总量以及剩下的班级数，用剩下的总量除以剩下的班级数，这是解决此题的关键。 12．有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？ 【答案】19天 【分析】根据题意，设每个工人一天修1份公路，20人计划15天完成，说明这条公路有20×15＝300（份），动工3天后抽出5人植树，20人修3天完成20×3＝60（份），那么总工作量还剩300－60＝240（份），15个人修，需要工作240÷15＝16（天），所以共计3＋16＝19（天）。 【详解】3＋（20×15－20×3）÷（20－5） ＝3＋（300－60）÷15 ＝3＋240÷15 ＝3＋16 ＝19（天） 答：修完这段公路实际用19天。 【点睛】抓住“每个人的工作效率不变”，设每个工人一天修1份公路，然后根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系进行解答。 13．学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？ 【答案】25套 【分析】（1）用除法先求出1套课桌椅的价钱，再用乘法求出7套的价钱即可； （2）用3000元除以每套课桌椅的单价即可。 【详解】（1）480÷4＝120（元） 120×7＝840（元） 答：如果买同样的课桌椅7套，共需840元钱。 （2）3000÷120＝25（套） 答：如果有3000元，可以买进这样的课桌椅25套。 【点睛】本题考查了单价、总价和数量三者之间关系的灵活应用。 14．一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】330千米 【分析】先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。 【详解】火车每小时行多少千米：150÷2.5＝60（千米） 火车共行了多少小时：2.5＋3＝5.5（小时） 甲乙两地相距多少千米：60×5.5＝330（千米） 综合算式：150÷2.5×（2.5＋3） ＝150÷2.5×5.5 ＝60×5.5 ＝330（千米） 答：甲、乙两地相距330千米。 【点睛】归一问题的关键是用除法求出单位数量，但有时也要注意观察分析题目所给的条件，注意数的特点，利用倍比的思路解题更简单。如果直接用归一法求单一量是不能得出整数的，应该根据题目所给数据的特点，采用倍比的方法解题，就像拓展中的题目。 15．妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？ 【答案】3元；2元 【分析】分析题意，2斤苹果＋4斤菠萝＝14元，3斤苹果＋2斤菠萝＝13元，可转化为：6斤苹果＋4斤菠萝＝26元，所以（6－2）斤苹果的售价为（26－14）元，据此利用除法先求出苹果的单价，从而求出菠萝的单价即可。 【详解】（26－14）÷（6－2） ＝12÷4 ＝3（元） （14－3×2）÷4 ＝8÷4 ＝2（元） 答：1斤苹果3元，1斤菠萝2元。 【点睛】本题考查了归一问题，能根据题意正确列式是解题的关键。 16．学校买来一些足球和篮球。已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元。现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？ 【答案】308元 【分析】根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差（个），总价差（元）。74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。 【详解】（355－281）÷（7－5） ＝74÷2 ＝37（元） （281－37×5）÷3 ＝（281－185）÷3 ＝96÷3 ＝32（元） 32×5＋37×4 ＝160＋148 ＝308（元） 答：现在要买5个足球、4个篮球共花308元。 【点睛】要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元。 17．姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三。姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？ 【答案】54年 【分析】根据题意可知：妹妹1年所学懂的知识由学一知一的人来学，需要3年；姐姐学三忘二，也就是学三知一，则学一知一的人1年所学懂的知识，姐姐需要3年；由此可以知道妹妹学1年所学懂的知识，姐姐需要3×3＝9（年）；据此分析解答即可。 【详解】6×3×3＝54（年） 答：妹妹在6年间所学懂的知识，姐姐需要54年才能学懂。 【点睛】本题的关键是根据题意分析出，妹妹学1年所懂的知识，姐姐需要的时间，据此分析解答即可。 18．某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？ 【答案】160吨 【分析】“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10辆汽车的运输量。先求出一辆汽车每天的运输量，再计算10辆汽车的运输量。 【详解】（96÷6）×（6＋4） ＝16×10 ＝160（吨） 答：每天可运水泥160吨。 【点睛】能求出一辆汽车每天的运输量，理解“增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨”的意思，这是解决此题的关键。 19．8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了为原来的，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？ 【答案】480个 【分析】先求出每个工人每小时制作机器零件的个数，人数少一半变成了8÷2人，时间增加5小时变成了（3＋5）小时，每个工人每小时制作机器零件的个数与8÷2人、（3＋5）小时的乘积即为所求。 【详解】此题中人数缩小了为原来的指现在的人数是8÷2＝4（人）；时间增加了5小时指现在的时间是3＋5＝8（小时）。 360÷8÷3×（8÷2）×（3＋5） ＝15×4×8 ＝480（个） 答：可制作机器零件480个。 【点睛】工作总量＝工作效率×工作时间，求出1个工人1小时制作零件的个数是解本题的关键。 20．某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？ 【答案】400个 【分析】要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。 【详解】（1）每人每天生产的零件数1280÷20÷4＝16（个） （2）15人7天生产的零件数16×15×7＝1680（个） （3）增加的零件数1680－1280＝400（个） 综合算式（1280÷20÷4）×15×7－1280 ＝16×15×7－1280 ＝1680－1280 ＝400（个） 答：增加了400个零件。 【点睛】本题的关键是求出每人每天生产的零件数。 21．光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10个人8天完成。问增加了几个零件？ 【答案】700个 【分析】先求出每个人每天做的个数，再求出共做的个数，最后求出增加的个数。 【详解】900÷15÷3 ＝60÷3 ＝20（个） 20 × 10 ×8 ＝200 × 8 ＝1600（个） 1600－900＝700（个） 答：增加了700个零件。 【点睛】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量。 22．家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？ 【答案】30套 【分析】用30×12求出这批桌椅的总套数，再除以实际的天数即可求出实际每天生产多少套，再用实际每天生产的套数减去计划的套数即可。 【详解】（套）； （天）； （套）； （套）； 答：实际每天比计划多生产30套。 【点睛】求出这批桌椅的总套数和实际生产的天数是解答本题的关键，进而求出实际每天生产多少套。 23．某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？ 【答案】1个 【分析】首先求出每个工人每小时加工零件的个数，再求出没加工的零件的个数，进而求出1个工人15小时加工零件的个数，然后用没加工的零件数量除以1个工人15小时加工数量就是需要的人数，再减去3人即可求出增加的人数。 【详解】（3960－1320）÷（1320÷10×3×15）－3 ＝2640÷（44×15） －3 ＝2640÷660－3 ＝4－3 ＝1（个） 答：需要增加1个工人。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再根据已知条件回到问题即可解决问题。 24．甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃。甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱。后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？ 【答案】4元2角；6角 【分析】由已知条件可知，甲要付出的钱是4元8角，即48角。因为甲没有带钱，而三个人吃的面包一样多，可知乙、丙都应付48角。这样三个人应付的总数是3个48角，正好是8个面包的总价。这样就可以求出面包的单价，同时也可求出乙付的5个面包与丙付的3个面包的钱。最后以每人应付的48角为标准，多付的就是应收回的钱。 【详解】面包总价：48×3＝144（角） 面包单价：144÷8＝18（角） 乙应收回： 18×5－48 ＝90－48 ＝42（角） 丙应收回： 18×3－48 ＝54－48 ＝6（角） 答：应还给乙4元2角，应还给丙6角。 【点睛】本题考查了归一问题，解题关键是找出每个面包的单价。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：归一归总问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 归一归总问题是小学数学应用题的思维基石，是从简单计算走向复合应用的关键转折点，也是后续工程问题、行程问题、分数应用题的底层解题逻辑。所有复杂的奥数应用题，本质都是“先标准化归一、再整体归总运算”的延伸。 本节课我们系统掌握了正归一、反归一、双归一、归总四大核心题型，吃透了“求单一量、定不变量、算新总量、求新份数”的完整解题链条。归一思想教会我们以小见大、标准化统一，归总思想教会我们抓牢核心、以静制动，两种思维相辅相成，贯穿整个小学数学学习。解题时无需死记硬背，只要看清变量与不变量，分清先归一还是先归总，就能轻松破解所有变式题型。 小升初的比拼，本质是思维习惯的比拼。希望同学们熟练掌握本专题的解题逻辑，规避份数混淆、变量漏算的易错问题，养成严谨、有序的解题习惯。在日常练习中多总结、多变通，夯实奥数基础，练就灵活的数学思维，从容应对各类拔高应用题，在小升初备考中稳步进阶、步步领先！ 一、问题定义 归一归总问题是小升初奥数最基础、最必考的应用题题型，属于整数复合应用题的核心拔高内容，广泛应用于工程、行程、购物、生产、耕作等各类场景。 简单来说：归一问题是先求“单一量（1份的量）”，再根据单一量求总量或份数；归总问题是先求“总数量”，再根据固定总量求新的单一量或新的份数。二者互为逆运算，是小学奥数“先标准化、再运算”思维的典型代表。 题干高频关键词：照这样计算、同样速度、同样效率、总量不变、总量固定。 二、核心三量与基础公式 本专题所有题型围绕单一量、份数、总量三个核心量展开： 1. 单一量：单位数量（每小时工作量、每个物品价格、每天产量、每千米用时等） 2. 份数：对应的数量、时间、个数、天数等 3. 总量：所有数量的总和（总工作量、总价、总产量等） 核心万能公式： 总量 ÷ 份数 = 单一量 单一量 × 新份数 = 新总量 总总量 ÷ 新单一量 = 新份数 三、题型分类与解题思路 1. 正归一问题（先归一、后求总量） 题型特征：已知几份的总量，求更多份数对应的总量。 解题步骤：先算1份是多少（归一）→ 再乘对应份数求总总量。 2. 反归一问题（先归一、后求份数） 题型特征：已知几份的总量，给出新的总量，求对应份数。 解题步骤：先算1份是多少（归一）→ 再用新总量÷单一量求份数。 3. 双归一问题（奥数培优重点） 题型特征：含有两个变化量（多人、多天、多机器），例如“3人5天做多少”。 解题步骤：先求单人单日单一量 → 再求多人多日总量。 4. 归总问题（总量不变） 题型特征：工作总量、总费用、总路程、总材料不变，改变每份数量或份数。 解题步骤：先算出固定总总量 → 再根据新条件求新单一量或新份数。 四、通用解题步骤 1. 判断题型：分辨是归一还是归总，区分单归一、双归一； 2. 求出标准量：归一先求1份，归总先求总量； 3. 对应计算：根据题目问题，乘份数求总量、除单量求份数； 4. 验证逻辑：对照“照这样计算、总量不变”条件验算结果。 五、易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 双归一问题漏除人数或天数，单一量计算错误； ② 归总问题忘记“总量不变”，随意更改总数量； ③ 正归一、反归一混淆乘法、除法运算。 2. 解题口诀 归一先求一份量，一份得后算全场； 求总乘份求份除，双重归一慢慢消； 归总先抓不变量，总量固定再换算； 看清份数与单量，题型不乱答案妙。 例题讲解 【典型例题1】正归一问题（基础必考） 题目：商店买5支圆珠笔需要25元，照这样计算，购买12支同样的圆珠笔需要多少元？ 【分析】 标准正归一题型，已知5支笔的总价，需要先归一求出单支圆珠笔的单价（单一量），再用单价乘12支的份数，求出12支笔的总价格。题干“照这样计算”代表单价不变。 【详解】 1. 求单一量（单价）：（元/支） 2. 求12支总价：（元） 【答案】 购买12支圆珠笔需要60元。 【跟踪训练1】 题目：工人4小时加工零件36个，照这样的速度，8小时可以加工多少个零件？ 【分析】 基础正归一变式，先求每小时加工零件数（单一效率），再乘工作时间求出总工作量。 【详解】 1. 每小时加工：（个） 2. 8小时加工：（个） 【答案】 8小时可以加工72个零件。 【跟踪训练2】 题目：3千克苹果售价18元，买9千克同样的苹果需要多少钱？ 【分析】 正归一简化题型，可先归一求单价，也可通过倍数关系快速求解，巩固归一核心思维。 【详解】 1. 苹果单价：（元/千克） 2. 9千克总价：（元） 【答案】 买9千克苹果需要54元。 【典型例题2】反归一问题（高频考点） 题目：工厂3天生产口罩150箱，照这样的效率，生产400箱口罩需要多少天？ 【分析】 标准反归一题型，先归一求出每天的生产数量（单一量），已知新的总总量，用总数量÷单日产量，求出对应的工作份数（天数）。 【详解】 1. 每日产量：（箱） 2. 所需天数：（天） 【答案】 生产400箱口罩需要8天。 【跟踪训练1】 题目：小明5分钟口算完成40道题，照这样计算，完成96道口算题需要多少分钟？ 【分析】 反归一常规题型，先求每分钟做题数量，再用总题量÷每分钟题量求出用时。 【详解】 1. 每分钟做题：（道） 2. 所需时间：（分钟） 【答案】 完成96道题需要12分钟。 【跟踪训练2】 题目：一辆汽车4小时行驶240千米，保持速度不变，行驶420千米需要多少小时？ 【分析】 行程类反归一问题，先归一求速度（单一量），再用总路程÷速度求时间，是归一问题与行程问题的结合考法。 【详解】 1. 汽车速度：（千米/时） 2. 行驶时间：（小时） 【答案】 行驶420千米需要7小时。 【典型例题3】双归一问题（奥数培优难点） 题目：3名工人2天可以加工零件60个，照这样计算，1名工人1天可以加工多少个零件？5名工人3天可以加工多少个零件？ 【分析】 经典双归一题型，存在人数、天数两个变量，必须连续两次归一，先消去人数、再消去天数，求出单人单日的基础效率，最后根据人数、天数计算总工作量，是小升初拔高必考题型。 【详解】 1. 3名工人1天加工：（个） 2. 1名工人1天加工：（个） 3. 5名工人3天加工：（个） 【答案】 1名工人1天加工10个零件，5名工人3天加工150个零件。 【跟踪训练1】 题目：4名学生3天一共背诵古诗48首，照这样计算，1名学生1天背诵多少首？6名学生2天背诵多少首？ 【分析】 双归一基础变式，连续两次归一求出单人单日工作量，再叠加人数、份数求出总总量。 【详解】 1. 4名学生1天背诵：（首） 2. 1名学生1天背诵：（首） 3. 6名学生2天背诵：（首） 【答案】 1名学生1天背诵4首，6名学生2天背诵48首。 【跟踪训练2】 题目：2台机器4小时生产产品80件，照这样计算，1台机器1小时生产多少件？3台机器5小时生产多少件？ 【分析】 工程类双归一题型，机器数、工时双变量，通过两次归一锁定单位效率，再计算多机多时总产量。 【详解】 1. 2台机器1小时生产：（件） 2. 1台机器1小时生产：（件） 3. 3台机器5小时生产：（件） 【答案】 1台机器1小时生产10件，3台机器5小时生产150件。 【典型例题4】归总问题（总量不变核心题型） 题目：服装厂做一批衣服，原来每套衣服用布4米，可做30套。改进工艺后，每套衣服只用3米布，这批布料现在可以做多少套衣服？ 【分析】 标准归总问题，布料总总量始终不变。解题核心：先根据旧规格求出布料总米数（归总），再用总布料÷新每套用量，求出新的可做套数。 【详解】 1. 求出布料总长：（米） 2. 新工艺可做套数：（套） 【答案】 现在可以做40套衣服。 【跟踪训练1】 题目：一堆货物，每次运12吨，8次可以运完。如果每次运16吨，多少次可以运完？ 【分析】 运输类归总题型，货物总重量不变，先归总求总吨数，再根据新单次运量求运输次数。 【详解】 1. 货物总重量：（吨） 2. 新运输次数：（次） 【答案】 6次可以运完。 【跟踪训练2】 题目：修一条路，每天修20米，15天可以修完。如果想要10天修完，每天需要修多少米？ 【分析】 工程类归总题型，道路总长度不变，先归总求总长，再根据新工期求新工作效率。 【详解】 1. 道路总长：（米） 2. 每日需修长度：（米） 【答案】 每天需要修30米。 【典型例题5】归一归总综合培优问题 题目：工程队6人5天修路300米，照这样的速度，10人修800米的路需要多少天？ 【分析】 小升初压轴变式题型，融合双归一与反归一思维。先双归一求出单人单日修路效率，再求出10人单日工作总量，最后用总路程÷团队日产量求出所需天数。 【详解】 1. 6人1天修路：（米） 2. 1人1天修路：（米） 3. 10人1天修路：（米） 4. 所需天数：（天） 【答案】 需要8天。 【跟踪训练1】 题目：5名工人4小时组装零件200个，照这样计算，8名工人组装480个零件需要几小时？ 【分析】 综合变式题，先双归一求单人单时效率，再求多人工作效率，最后反归一求工作时间。 【详解】 1. 5名工人1小时组装：（个） 2. 1名工人1小时组装：（个） 3. 8名工人1小时组装：（个） 4. 所需时间：（小时） 【答案】 需要6小时。 【跟踪训练2】 题目：3头牛2天吃草60千克，照这样计算，5头牛7天吃草多少千克？ 【分析】 双归一正求总量综合题，先归一求出单头牛单日吃草量，再叠加牛的数量与天数，求出总吃草量。 【详解】 1. 3头牛1天吃草：（千克） 2. 1头牛1天吃草：（千克） 3. 5头牛7天吃草：（千克） 【答案】 5头牛7天吃草350千克。 高频真题 1．2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机器1小时造纸多少吨？ 2．一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？ 3．一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，30分钟爬行多少分米？ 4．一个工人在森林中锯木头，他用40分钟把一根树干锯成了5段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？ 5．王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？ 6．孙悟空组织小猴子摘桃子。开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？ 7．用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克。这个空罐重多少千克？ 8．4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？ 9．7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？ 10．一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克。照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？ 11．学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？ 12．有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？ 13．学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？ 14．一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？ 15．妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？ 16．学校买来一些足球和篮球。已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元。现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？ 17．姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三。姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？ 18．某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？ 19．8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了为原来的，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？ 20．某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？ 21．光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10个人8天完成。问增加了几个零件？ 22．家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？ 23．某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？ 24．甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃。甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱。后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $