小升初奥数培优讲义：平均数问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦平均数问题，涵盖基础求平均、逆向求未知量、移多补少等五大核心题型，通过知识梳理（核心公式、移多补少思想）、例题讲解（典型题+跟踪训练）、高频真题巩固，帮助学生掌握解题关键。 亮点在于以核心素养为导向，培养运算能力与推理意识，通过“总数量÷总份数”公式统一解题逻辑，设计移多补少调剂、平均速度等专题训练，如逆向求未知量先算总数量再求差值，助力学生突破易错点，教师可精准把握考点，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：平均数问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 平均数问题是小学数学统计应用的核心，也是小升初奥数最基础、最实用的题型之一。它看似简单，却藏着“均衡统一、以整体推局部”的数学思维，从基础的数值平均，到移多补少的逻辑推理，再到加权平均、平均速度的拔高变式，层层递进，全面考察你的计算能力与逻辑思辨能力。 本节课我们系统攻克了基础求平均、逆向求未知量、移多补少、加权平均、行程平均速度五大核心题型，吃透了平均数的正向、逆向、变式全部考法。大家要牢记：平均数的核心永远是总数量÷总份数，所有复杂变式都是基础公式的延伸，移多补少是奥数解题的捷径，加权平均切记不能简单平均，平均速度务必区分总路程与总时间。规避思维误区，理清解题逻辑，就能轻松应对所有题型。 小升初的数学比拼，细节和思维是制胜关键。希望同学们熟练掌握本专题的解题方法，跳出固定计算思维，学会用整体思想、均衡思想分析问题，在练习中总结规律、规避易错点，夯实基础、突破拔高题型。愿你稳步积累、精准解题，练就缜密的数学思维，在小升初考试中稳拿基础分、冲刺拔高分，不负每一份努力！ 一、问题定义 平均数问题是小升初奥数基础核心必考题型，属于统计类基础应用题，广泛穿插在填空、选择、应用题压轴题型中。该题型主要研究一组数据的整体平均水平，核心本质是移多补少、匀分均等，把若干个不相等的数量，在总数量、总份数不变的前提下，通过调剂互补，分成相等的份数。 平均数问题是后续加权统计、浓度问题、行程平均速度问题的思维基础，题型灵活多变，既考查基础计算能力，也侧重逻辑推理与逆向思维，是小升初数学拉分的基础重点题型。 二、核心三量与万能公式 所有平均数问题围绕总数量、总份数、平均数三个核心量展开，三者可逆运算，是解题根本依据： 基础核心公式 1. 平均数 = 总数量 ÷ 总份数（最核心公式） 2. 总数量 = 平均数 × 总份数（逆向求总和，高频必考） 3. 总份数 = 总数量 ÷ 平均数（求个数、人数、天数等） 三、核心解题思想：移多补少 奥数平均数问题区别于普通数学的核心思维：多的部分补给少的部分，多出的总量 = 不足的总量。 当一组数以某个数为标准平均时，所有数比标准数多出来的总和，一定等于所有数比标准数少的总和。该思想是解决拔高、变式平均数问题的关键，可快速秒杀各类逆向难题。 四、五大高频必考题型分类 1. 基础直接求平均型 已知所有数据，直接求和、数份数，套用公式求平均数，属于基础送分题型。 2. 逆向求未知量型（高频） 已知整体平均数和部分数据，利用“总数量=平均数×总份数”求出整体总和，再减去已知数据，算出未知数据。 3. 移多补少调剂型（奥数重点） 已知两组数据或多人分数，通过互相补给、数据变动产生新的平均数，利用多补少相等原理解题。 4. 加权平均数型（培优难点） 多组不同数量、不同平均值的数据混合，求整体平均值，需要先求各组总数量，汇总后再求整体平均。 5. 平均速度复合型（小升初压轴） 行程专属平均数问题，牢记平均速度≠速度的平均数，必须用：总路程÷总时间=平均速度。 五、通用解题步骤 1. 定份数：找准题目对应的总份数（人数、个数、天数、段数等）； 2. 算总量：根据条件求出对应总数量、总分数、总路程； 3. 套公式：根据已知条件，正向或逆向套用平均数三大公式； 4. 验均衡：拔高题型用移多补少思想验证结果是否合理。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆“速度平均数”和“平均速度”，直接求速度平均值导致错误； ② 加权平均漏算对应份数，直接平均两组数据； ③ 逆向题型忘记先算总数量，直接单独计算未知量； ④ 移多补少问题算错补给总量与单份变化量。 2. 解题口诀 平均问题看总分，总和除以总份数； 已知平均先求总，逆向求解不用慌； 移多补少恒相等，多补少抵总均衡； 加权平均先汇总，平均速度看全程。 例题讲解 【典型例题1】基础直接求平均数问题 题目：小明五次数学单元测试的成绩分别是92分、96分、88分、90分、94分，求小明五次测试的平均成绩是多少分？ 【分析】 基础平均数必考题型，已知全部数据和总份数，直接套用核心公式。先求出五次成绩的总分数，再除以测试次数（总份数5次），即可得到平均成绩。 【详解】 1. 计算五次总成绩：（分） 2. 总份数为5次 3. 平均成绩：（分） 【答案】 小明五次测试的平均成绩是92分。 【跟踪训练1】 题目：小华四天背诵的单词数量分别是45个、50个、48个、47个，小华平均每天背诵多少个单词？ 【分析】 基础正向求平均题型，先汇总四天单词总数量，除以天数4，得到日均背诵量。 【详解】 1. 总单词数：（个） 2. 平均每天背诵：（个） 【答案】 小华平均每天背诵47.5个单词。 【跟踪训练2】 题目：5个连续自然数分别是23、24、25、26、27，求这5个数的平均数。 【分析】 特殊平均数题型，奇数个连续自然数的平均数等于最中间的数，可快速求解，也可常规求和计算验证。 【详解】 方法一（常规计算）： 总和：，平均数： 方法二（秒杀技巧）：奇数个连续数，平均数=中间数=25 【答案】 这5个数的平均数是25。 【典型例题2】逆向求未知量问题（高频考点） 题目：有4个数的平均数是30，已知其中三个数分别是25、32、28，第四个数是多少？ 【分析】 小升初高频逆向题型，已知平均数和总份数，优先利用逆向公式总数量=平均数×总份数求出四个数的总和，再减去已知三个数，剩余数值即为未知量。 【详解】 1. 四个数总和： 2. 已知三个数的和： 3. 第四个数： 【答案】 第四个数是35。 【跟踪训练1】 题目：小明四门功课平均分是85分，其中语文82分、数学90分、英语83分，科学成绩是多少分？ 【分析】 典型逆向求分题型，先根据平均分求四门总分，减去三门已知科目分数，即可求出科学成绩。 【详解】 1. 四门总分：（分） 2. 三门已知总分：（分） 3. 科学成绩：（分） 【答案】 科学成绩是85分。 【跟踪训练2】 题目：一组6个数据的平均数是45，去掉一个数据后，剩余5个数据的平均数是43，去掉的数据是多少？ 【分析】 变式逆向题型，分别求出原来6个数的总和与剩余5个数的总和，两个总和的差值即为去掉的数。 【详解】 1. 6个数总和： 2. 5个数总和： 3. 去掉的数： 【答案】 去掉的数据是55。 【典型例题3】移多补少平均数问题（奥数重点） 题目：甲、乙、丙三人的平均身高是135厘米，已知甲、乙两人的平均身高是132厘米，丙的身高是多少厘米？ 【分析】 移多补少基础变式，通过两组不同份数的平均数，分别求出对应总身高，利用总身高差值，求出单人数据，核心是利用整体与局部的总量差解题。 【详解】 1. 三人总身高：（厘米） 2. 甲乙两人总身高：（厘米） 3. 丙的身高：（厘米） 【答案】 丙的身高是141厘米。 【跟踪训练1】 题目：有5个数的平均数是28，前3个数的平均数是25，后3个数的平均数是32，求第三个数是多少？ 【分析】 经典重叠型移多补少问题，前3个数总和+后3个数总和=5个数总和+第三个数，利用重叠部分的总量差，求出重复计算的第三个数，是奥数高频题型。 【详解】 1. 5个数总和： 2. 前3个数总和： 3. 后3个数总和： 4. 第三个数： 【答案】 第三个数是31。 【跟踪训练2】 题目：小明前几次数学测试的平均分是80分，最近这次测试考了100分，将平均分提升到了84分，请问最近这次是第几次测试？ 【分析】 拔高移多补少题型，本次考试多出的分数，补给了之前的所有测试，拉高了整体平均分。先求多出总分、单次拉高分数，即可求出总测试次数。 【详解】 1. 本次分数比新平均分多出：（分） 2. 每次旧测试被拉高分数：（分） 3. 原有测试次数：（次） 4. 总测试次数：（次） 【答案】 最近这次是第5次测试。 【典型例题4】加权平均数问题（培优难点） 题目：某班级有20名男生，平均身高140厘米；30名女生，平均身高135厘米。求全班同学的平均身高是多少厘米？ 【分析】 标准加权平均题型，两组数据份数不同，不能直接求两个平均数的平均值。必须分别求出男生、女生总身高，汇总全班总身高和总人数，再计算整体平均身高。 【详解】 1. 男生总身高：（厘米） 2. 女生总身高：（厘米） 3. 全班总身高：（厘米） 4. 全班总人数：（人） 5. 全班平均身高：（厘米） 【答案】 全班同学的平均身高是137厘米。 【跟踪训练1】 题目：商店卖出10千克单价8元的水果，15千克单价6元的水果，求卖出水果的平均单价？ 【分析】 价格类加权平均问题，先求两类水果的总价和总重量，用总售价÷总重量得到平均单价。 【详解】 1. 高价水果总价：（元） 2. 低价水果总价：（元） 3. 总售价：（元） 4. 总重量：（千克） 5. 平均单价：（元） 【答案】 卖出水果的平均单价为6.8元。 【跟踪训练2】 题目：甲组5人平均分90分，乙组15人平均分82分，两组合并后的整体平均分是多少？ 【分析】 多人加权平均变式，严格按照“总分相加、总人数相加”的原则，计算整体平均分，规避直接平均的易错点。 【详解】 1. 甲组总分：（分） 2. 乙组总分：（分） 3. 两组总分数：（分） 4. 总人数：（人） 5. 整体平均分：（分） 【答案】 两组合并后的整体平均分是84分。 【典型例题5】平均速度综合问题（小升初压轴） 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/时，行驶3小时到达；原路返回时速度为30千米/时，行驶6小时。求汽车往返的平均速度？ 【分析】 小升初必考压轴题型，核心易错点：平均速度不是（60+30）÷2。必须严格套用公式：平均速度=总路程÷总时间，先求往返总路程、往返总时间，再计算平均速度。 【详解】 1. 去程路程：（千米） 2. 往返总路程：（千米） 3. 往返总时间：（小时） 4. 平均速度：（千米/时） 【答案】 汽车往返的平均速度是40千米/时。 【跟踪训练1】 题目：小明上山速度4千米/时，用时2小时；下山速度8千米/时，用时1小时，求小明上下山的平均速度？ 【分析】 行程平均速度基础题，牢记核心公式，分别计算总路程和总时间，严禁直接求速度平均值。 【详解】 1. 上山路程：（千米） 2. 总路程：（千米） 3. 总时间：（小时） 4. 平均速度：（千米/时） 【答案】 上下山平均速度为千米/时。 【跟踪训练2】 题目：一辆货车从A地到B地，每小时行45千米，4小时到达，原路返回多用1小时，求往返平均速度？ 【分析】 平均速度拔高题型，先求单程路程、返程时间，汇总总路程与总时间，再精准计算平均速度。 【详解】 1. 单程路程：（千米） 2. 往返总路程：（千米） 3. 返程时间：（小时） 4. 总时间：（小时） 5. 平均速度：（千米/时） 【答案】 货车往返平均速度是40千米/时。 高频真题 1．张明同学跳远，前8次平均每次跳了4.1米，他又跳了2次，10次平均每次跳了3.9米，最后2次平均跳了多少米？ 2．一条盘山道，山脚到山顶有12千米，一个人以4千米/时的速度上到山顶，又立即按原路返回，已知他上、下山的平均速度是4.8千米/时。求此人的下山速度。 3．六年级（1）班中，13岁的有3人，12岁的有15人，11岁的有11人，10岁的有21人。这个班的平均年龄是多少？ 4．四（2）班第一小组同学进行跳绳比赛，有2个同学跳了53下，有1个同学跳了52下，有2个同学跳了49下，还有2个同学跳了47下。这个小组的同学平均每人跳多少下？ 5．某学生统计自己一学期的考试成绩，满分为100分，平均分为85分。如果去掉最高分，平均分为83分。如果去掉最低分，平均分为86分。问：这学期他最多考试几次？若确实考这些次，他所得的最低分是多少分？ 6．六年级某班学生中有的学生年龄为13岁，有的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是多少岁？ 7．某校共有200名学生为希望工程捐书。一半男生每人捐7本，另一半男生每人捐3本：一半女生每人捐6本，另一半女生每人捐4本。问：全校共捐书多少本？ 8．在一次数学测验中，包括小明在内的6名同学的平均分为70分，其中小明得了96分，则小明以外的另5位同学的平均分为多少分？ 9．龙一鸣前几次英语测验的平均成绩是88分，这次要考100分才能把平均成绩提高到90分，这是他第几次测验？ 10．马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起．有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001．原来这2000个数的平均数是多少？ 11．五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23,前四个数的平均数是21,后四个数的平均数是24.已知C是偶数，D是多少？ 12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？ 13．如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？ 14．A，B，C，D，E这5人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数．如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是多少分? 15．有4个数，每次选取其中3个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数．用这种方法计算了4次，分别得到以下4个数：86，92，100，106．那么，原来4个数的平均数是多少? 16．有4个少先队小队拾树种，甲、乙、丙3队平均每队拾24千克，乙、丙、丁3队平均每队拾26千克．已知丁队拾28千克，求甲队拾多少千克？ 17．有、、三个数，其中、两个数的平均数是81，、两个数的平均数是86，、两个数的平均数是85，这三个数的平均数是多少？ 18．上学期期末测试中。李明同学语文、数学的平均成绩为96分。英语成绩为78分。请你算一算，他语文、数学、英语三门功课的平均成绩是多少分？ 19．甲、乙两名工人生产零件，甲每小时生产120个，乙每小时生产90个。已知某天甲生产了5小时，甲、乙平均每人每小时生产100个，请问：乙这天生产了几小时？ 20．一次数学考试的满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分数是90分。这6人得分互不相同，且都是自然数。其中一位同学仅得60分。那么排在第三名的同学至少得多少分？ 21．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 22．甲、乙、丙三人共买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5元，甲应收回多少钱？ 23．有若干个大于0的自然数．它们的平均数是10，如果去掉最大的一个，余下数的平均数为9：如果去掉最小的一个，余下数的平均数为11，这些数最多有多少个？其中最大的是多少？ 24．一到周末，小强便进行登山练习。早上开始登山，每分钟行20米；下午沿原路返回，每分钟行30米。你知道小强登山锻炼身体的平均速度吗？ 25．有四个数，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数：36、42、50、56，求原来四个数的平均数。 26．六（2）班42名同学合影留念，拍7寸合影照片可送2张照片，费用为10.4元，如需加印，每张收1.42元。要使每人都有一张照片，平均每人需付多少元？ 27．某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有多少名同学参加跳绳比赛？ 28．原来有8个人合租了一条船，后来租船的人又增加了2名，现在平均每人所需的租金减少了1元。租一条船的租金是多少元？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：平均数问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 平均数问题是小学数学统计应用的核心，也是小升初奥数最基础、最实用的题型之一。它看似简单，却藏着“均衡统一、以整体推局部”的数学思维，从基础的数值平均，到移多补少的逻辑推理，再到加权平均、平均速度的拔高变式，层层递进，全面考察你的计算能力与逻辑思辨能力。 本节课我们系统攻克了基础求平均、逆向求未知量、移多补少、加权平均、行程平均速度五大核心题型，吃透了平均数的正向、逆向、变式全部考法。大家要牢记：平均数的核心永远是总数量÷总份数，所有复杂变式都是基础公式的延伸，移多补少是奥数解题的捷径，加权平均切记不能简单平均，平均速度务必区分总路程与总时间。规避思维误区，理清解题逻辑，就能轻松应对所有题型。 小升初的数学比拼，细节和思维是制胜关键。希望同学们熟练掌握本专题的解题方法，跳出固定计算思维，学会用整体思想、均衡思想分析问题，在练习中总结规律、规避易错点，夯实基础、突破拔高题型。愿你稳步积累、精准解题，练就缜密的数学思维，在小升初考试中稳拿基础分、冲刺拔高分，不负每一份努力！ 一、问题定义 平均数问题是小升初奥数基础核心必考题型，属于统计类基础应用题，广泛穿插在填空、选择、应用题压轴题型中。该题型主要研究一组数据的整体平均水平，核心本质是移多补少、匀分均等，把若干个不相等的数量，在总数量、总份数不变的前提下，通过调剂互补，分成相等的份数。 平均数问题是后续加权统计、浓度问题、行程平均速度问题的思维基础，题型灵活多变，既考查基础计算能力，也侧重逻辑推理与逆向思维，是小升初数学拉分的基础重点题型。 二、核心三量与万能公式 所有平均数问题围绕总数量、总份数、平均数三个核心量展开，三者可逆运算，是解题根本依据： 基础核心公式 1. 平均数 = 总数量 ÷ 总份数（最核心公式） 2. 总数量 = 平均数 × 总份数（逆向求总和，高频必考） 3. 总份数 = 总数量 ÷ 平均数（求个数、人数、天数等） 三、核心解题思想：移多补少 奥数平均数问题区别于普通数学的核心思维：多的部分补给少的部分，多出的总量 = 不足的总量。 当一组数以某个数为标准平均时，所有数比标准数多出来的总和，一定等于所有数比标准数少的总和。该思想是解决拔高、变式平均数问题的关键，可快速秒杀各类逆向难题。 四、五大高频必考题型分类 1. 基础直接求平均型 已知所有数据，直接求和、数份数，套用公式求平均数，属于基础送分题型。 2. 逆向求未知量型（高频） 已知整体平均数和部分数据，利用“总数量=平均数×总份数”求出整体总和，再减去已知数据，算出未知数据。 3. 移多补少调剂型（奥数重点） 已知两组数据或多人分数，通过互相补给、数据变动产生新的平均数，利用多补少相等原理解题。 4. 加权平均数型（培优难点） 多组不同数量、不同平均值的数据混合，求整体平均值，需要先求各组总数量，汇总后再求整体平均。 5. 平均速度复合型（小升初压轴） 行程专属平均数问题，牢记平均速度≠速度的平均数，必须用：总路程÷总时间=平均速度。 五、通用解题步骤 1. 定份数：找准题目对应的总份数（人数、个数、天数、段数等）； 2. 算总量：根据条件求出对应总数量、总分数、总路程； 3. 套公式：根据已知条件，正向或逆向套用平均数三大公式； 4. 验均衡：拔高题型用移多补少思想验证结果是否合理。 六、高频易错点与解题口诀 1. 高频易错点 ① 混淆“速度平均数”和“平均速度”，直接求速度平均值导致错误； ② 加权平均漏算对应份数，直接平均两组数据； ③ 逆向题型忘记先算总数量，直接单独计算未知量； ④ 移多补少问题算错补给总量与单份变化量。 2. 解题口诀 平均问题看总分，总和除以总份数； 已知平均先求总，逆向求解不用慌； 移多补少恒相等，多补少抵总均衡； 加权平均先汇总，平均速度看全程。 例题讲解 【典型例题1】基础直接求平均数问题 题目：小明五次数学单元测试的成绩分别是92分、96分、88分、90分、94分，求小明五次测试的平均成绩是多少分？ 【分析】 基础平均数必考题型，已知全部数据和总份数，直接套用核心公式。先求出五次成绩的总分数，再除以测试次数（总份数5次），即可得到平均成绩。 【详解】 1. 计算五次总成绩：（分） 2. 总份数为5次 3. 平均成绩：（分） 【答案】 小明五次测试的平均成绩是92分。 【跟踪训练1】 题目：小华四天背诵的单词数量分别是45个、50个、48个、47个，小华平均每天背诵多少个单词？ 【分析】 基础正向求平均题型，先汇总四天单词总数量，除以天数4，得到日均背诵量。 【详解】 1. 总单词数：（个） 2. 平均每天背诵：（个） 【答案】 小华平均每天背诵47.5个单词。 【跟踪训练2】 题目：5个连续自然数分别是23、24、25、26、27，求这5个数的平均数。 【分析】 特殊平均数题型，奇数个连续自然数的平均数等于最中间的数，可快速求解，也可常规求和计算验证。 【详解】 方法一（常规计算）： 总和：，平均数： 方法二（秒杀技巧）：奇数个连续数，平均数=中间数=25 【答案】 这5个数的平均数是25。 【典型例题2】逆向求未知量问题（高频考点） 题目：有4个数的平均数是30，已知其中三个数分别是25、32、28，第四个数是多少？ 【分析】 小升初高频逆向题型，已知平均数和总份数，优先利用逆向公式总数量=平均数×总份数求出四个数的总和，再减去已知三个数，剩余数值即为未知量。 【详解】 1. 四个数总和： 2. 已知三个数的和： 3. 第四个数： 【答案】 第四个数是35。 【跟踪训练1】 题目：小明四门功课平均分是85分，其中语文82分、数学90分、英语83分，科学成绩是多少分？ 【分析】 典型逆向求分题型，先根据平均分求四门总分，减去三门已知科目分数，即可求出科学成绩。 【详解】 1. 四门总分：（分） 2. 三门已知总分：（分） 3. 科学成绩：（分） 【答案】 科学成绩是85分。 【跟踪训练2】 题目：一组6个数据的平均数是45，去掉一个数据后，剩余5个数据的平均数是43，去掉的数据是多少？ 【分析】 变式逆向题型，分别求出原来6个数的总和与剩余5个数的总和，两个总和的差值即为去掉的数。 【详解】 1. 6个数总和： 2. 5个数总和： 3. 去掉的数： 【答案】 去掉的数据是55。 【典型例题3】移多补少平均数问题（奥数重点） 题目：甲、乙、丙三人的平均身高是135厘米，已知甲、乙两人的平均身高是132厘米，丙的身高是多少厘米？ 【分析】 移多补少基础变式，通过两组不同份数的平均数，分别求出对应总身高，利用总身高差值，求出单人数据，核心是利用整体与局部的总量差解题。 【详解】 1. 三人总身高：（厘米） 2. 甲乙两人总身高：（厘米） 3. 丙的身高：（厘米） 【答案】 丙的身高是141厘米。 【跟踪训练1】 题目：有5个数的平均数是28，前3个数的平均数是25，后3个数的平均数是32，求第三个数是多少？ 【分析】 经典重叠型移多补少问题，前3个数总和+后3个数总和=5个数总和+第三个数，利用重叠部分的总量差，求出重复计算的第三个数，是奥数高频题型。 【详解】 1. 5个数总和： 2. 前3个数总和： 3. 后3个数总和： 4. 第三个数： 【答案】 第三个数是31。 【跟踪训练2】 题目：小明前几次数学测试的平均分是80分，最近这次测试考了100分，将平均分提升到了84分，请问最近这次是第几次测试？ 【分析】 拔高移多补少题型，本次考试多出的分数，补给了之前的所有测试，拉高了整体平均分。先求多出总分、单次拉高分数，即可求出总测试次数。 【详解】 1. 本次分数比新平均分多出：（分） 2. 每次旧测试被拉高分数：（分） 3. 原有测试次数：（次） 4. 总测试次数：（次） 【答案】 最近这次是第5次测试。 【典型例题4】加权平均数问题（培优难点） 题目：某班级有20名男生，平均身高140厘米；30名女生，平均身高135厘米。求全班同学的平均身高是多少厘米？ 【分析】 标准加权平均题型，两组数据份数不同，不能直接求两个平均数的平均值。必须分别求出男生、女生总身高，汇总全班总身高和总人数，再计算整体平均身高。 【详解】 1. 男生总身高：（厘米） 2. 女生总身高：（厘米） 3. 全班总身高：（厘米） 4. 全班总人数：（人） 5. 全班平均身高：（厘米） 【答案】 全班同学的平均身高是137厘米。 【跟踪训练1】 题目：商店卖出10千克单价8元的水果，15千克单价6元的水果，求卖出水果的平均单价？ 【分析】 价格类加权平均问题，先求两类水果的总价和总重量，用总售价÷总重量得到平均单价。 【详解】 1. 高价水果总价：（元） 2. 低价水果总价：（元） 3. 总售价：（元） 4. 总重量：（千克） 5. 平均单价：（元） 【答案】 卖出水果的平均单价为6.8元。 【跟踪训练2】 题目：甲组5人平均分90分，乙组15人平均分82分，两组合并后的整体平均分是多少？ 【分析】 多人加权平均变式，严格按照“总分相加、总人数相加”的原则，计算整体平均分，规避直接平均的易错点。 【详解】 1. 甲组总分：（分） 2. 乙组总分：（分） 3. 两组总分数：（分） 4. 总人数：（人） 5. 整体平均分：（分） 【答案】 两组合并后的整体平均分是84分。 【典型例题5】平均速度综合问题（小升初压轴） 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/时，行驶3小时到达；原路返回时速度为30千米/时，行驶6小时。求汽车往返的平均速度？ 【分析】 小升初必考压轴题型，核心易错点：平均速度不是（60+30）÷2。必须严格套用公式：平均速度=总路程÷总时间，先求往返总路程、往返总时间，再计算平均速度。 【详解】 1. 去程路程：（千米） 2. 往返总路程：（千米） 3. 往返总时间：（小时） 4. 平均速度：（千米/时） 【答案】 汽车往返的平均速度是40千米/时。 【跟踪训练1】 题目：小明上山速度4千米/时，用时2小时；下山速度8千米/时，用时1小时，求小明上下山的平均速度？ 【分析】 行程平均速度基础题，牢记核心公式，分别计算总路程和总时间，严禁直接求速度平均值。 【详解】 1. 上山路程：（千米） 2. 总路程：（千米） 3. 总时间：（小时） 4. 平均速度：（千米/时） 【答案】 上下山平均速度为千米/时。 【跟踪训练2】 题目：一辆货车从A地到B地，每小时行45千米，4小时到达，原路返回多用1小时，求往返平均速度？ 【分析】 平均速度拔高题型，先求单程路程、返程时间，汇总总路程与总时间，再精准计算平均速度。 【详解】 1. 单程路程：（千米） 2. 往返总路程：（千米） 3. 返程时间：（小时） 4. 总时间：（小时） 5. 平均速度：（千米/时） 【答案】 货车往返平均速度是40千米/时。 高频真题 1．张明同学跳远，前8次平均每次跳了4.1米，他又跳了2次，10次平均每次跳了3.9米，最后2次平均跳了多少米？ 【答案】3.1米 【分析】根据平均数的数量关系式“总数量＝平均数×总份数”，先求出10次跳远的总米数，再求出前8次跳远的总米数。 两者相减得到最后2次跳远的总米数，最后除以2即可求出最后2次的平均成绩。 【详解】（10×3.9－8×4.1）÷2 ＝（39－32.8）÷2 ＝6.2÷2 ＝3.1（米） 答：最后2次平均跳了3.1米。 2．一条盘山道，山脚到山顶有12千米，一个人以4千米/时的速度上到山顶，又立即按原路返回，已知他上、下山的平均速度是4.8千米/时。求此人的下山速度。 【答案】每小时6千米 【分析】根据总时间＝总路程÷平均速度，计算出上、下山用的总时间；根据上山时间＝上山路程÷上山速度，计算出上山用的时间；用上、下山用的总时间减去上山用的时间就是下山的时间；最后根据：下山速度＝下山路程÷下山时间，列式解答即可。 【详解】12×2＝24（千米） 24÷4.8＝5（小时） 12÷4＝3（小时） 5－3＝2（小时） 12÷2＝6（千米/时） 答：此人的下山速度是 6 千米/时。 3．六年级（1）班中，13岁的有3人，12岁的有15人，11岁的有11人，10岁的有21人。这个班的平均年龄是多少？ 【答案】11岁 【分析】本题考查平均数的实际应用。根据平均数的计算公式：平均数＝总数量÷总份数。在这道题中，要求平均年龄，需要先求出全班学生的年龄总和（总数量）和全班学生的总人数（总份数）。解题思路是先分别计算各年龄段的人数之和得到总人数，再计算各年龄段年龄与人数的乘积之和得到总年龄，最后用总年龄除以总人数得出平均年龄。 【详解】全班总人数：3＋15＋11＋21＝50（人） 全班总年龄：13×3＋12×15＋11×11＋10×21 ＝39＋180＋121＋210 ＝550（岁） 平均年龄：550÷50＝11（岁） 答：这个班的平均年龄是11岁。 4．四（2）班第一小组同学进行跳绳比赛，有2个同学跳了53下，有1个同学跳了52下，有2个同学跳了49下，还有2个同学跳了47下。这个小组的同学平均每人跳多少下？ 【答案】50下 【分析】本题考查平均数的计算方法。根据平均数的定义，平均数等于总数量除以总份数。在本题中，总数量是小组所有同学跳绳的总下数，总份数是小组的总人数。需要先利用乘法分别求出不同跳绳下数对应的人数总和，相加得到跳绳总下数；再将各部分人数相加得到总人数；最后用总下数除以总人数求得平均数。 【详解】（53×2＋52×1＋49×2＋47×2）÷（2＋1＋2＋2） ＝（106＋52＋98＋94）÷7 ＝350÷7 ＝50（下） 答：这个小组的同学平均每人跳50下。 5．某学生统计自己一学期的考试成绩，满分为100分，平均分为85分。如果去掉最高分，平均分为83分。如果去掉最低分，平均分为86分。问：这学期他最多考试几次？若确实考这些次，他所得的最低分是多少分？ 【答案】8次；78分 【分析】解题关键在于利用“平均数×考试次数＝总分数”，设考试次数为未知数，表示出三种情况下的总分，通过对比“全部成绩”“去掉最高分”“去掉最低分”三种情况的总分差，算出最高分和最低分。关键要先通过题目隐含条件（满分100分、分数不能为负），推导出合理的考试次数，再一步步计算。 【详解】解：设这学期他考试了次，则总分为分。 去掉最高分后，剩余（）次考试的总分为：分 则最高分为： ＝ ＝ 因为满分为100分，最高分不能超过100分，所以： ＋83≤100 ≤17 ≤8.5 因为考试次数必须为整数，所以最大为 8。 去掉最低分后，剩余（）次考试的总分为：分 则最低分为： ＝ 当时，最低分为：（分） 答：这学期他最多考试8次。若确实考这些次，他所得的最低分是78分。 6．六年级某班学生中有的学生年龄为13岁，有的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是多少岁？ 【答案】11.875岁 【分析】把全班总人数设为a，根据题意分别求出各年龄段的学生人数，计算出总年龄后，再除以总人数即可得到平均年龄。 【详解】解：设全班人数为a。 年龄为13岁的学生人数：（人） 13岁年龄段的总岁数：（岁） 年龄为12岁的学生人数：（人） 12岁年龄段的总岁数：（岁） 年龄为11岁的学生人数：（人） 11岁年龄段的总岁数：（岁） 全班学生总年龄： （岁） 这个班学生的平均年龄： （岁） 答：这个班学生的平均年龄是 11.875 岁。 7．某校共有200名学生为希望工程捐书。一半男生每人捐7本，另一半男生每人捐3本：一半女生每人捐6本，另一半女生每人捐4本。问：全校共捐书多少本？ 【答案】1000本 【分析】可以将这两部分男生看作整体，求得平均每人捐书数量，同理求出两部分女生的平均每人捐书的数量，由于男生和女生平均每人捐书数量相等，直接用总人数乘平均每人捐书本数即可求出总捐书的数量。 【详解】平均每个男生捐书：（7＋3）÷2＝5（本） 平均每个女生捐书：（6＋4）÷2＝5（本） 全校共捐书：200×5＝1000（本） 答：全校共捐书1000本。 8．在一次数学测验中，包括小明在内的6名同学的平均分为70分，其中小明得了96分，则小明以外的另5位同学的平均分为多少分？ 【答案】64.8分 【分析】根据平均数的意义，先利用平均分乘人数求出6名同学的总分，再减去小明的分数得到其余5名同学的总分，最后除以5即可求出另5位同学的平均分。 【详解】70×6－96 ＝420－96 ＝324（分） 324÷5＝64.8（分） 答：小明以外的另5位同学的平均分为64.8分。 9．龙一鸣前几次英语测验的平均成绩是88分，这次要考100分才能把平均成绩提高到90分，这是他第几次测验？ 【答案】6次 【分析】已知前几次的平均成绩、这次的成绩以及包括这次在内的新平均成绩。解题关键在于分析这次成绩高出新平均成绩的部分，就是弥补前几次成绩低于新平均成绩的差额的。通过这次成绩与新平均成绩的差值，除以新平均成绩与前几次平均成绩的差值，可求出前几次测验的次数，最后加1即为这是第几次测验。 【详解】（100－90）÷（90－88）＋1 ＝10÷2＋1 ＝5＋1 ＝6（次） 答：这是他第6次测验。 10．马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起．有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001．原来这2000个数的平均数是多少？ 【答案】2001 【详解】设2000个数的和是S，平均数为，则 这2001个数的平均数为 11．五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23,前四个数的平均数是21,后四个数的平均数是24.已知C是偶数，D是多少？ 【答案】23 【分析】平均数问题与不定方程 【详解】依题意得 A=23×5-24×4=19 E=23×5-21×4=31 B+C+D=21×4-19=65． 因为＞21，所以D应大于21．而A<B<C，A=19，故C>20．又C为偶数，因此若C=22，此时D至少为23．若D=23，此时则B=65-22-23=20．若D>23，则B<19，不符合题意．故D=23． 12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？ 【答案】△中数为3.1 【详解】要求平均值尽可能小，就要尽量少使用大的数，而要多使用小的数．这五个○，两端的○中的数只参加一次运算，应该填入6.5和4.6；中间的○中的数参加了三次运算，应该填1.2，其余两个圈填2.9与3.7，这时有两种填法，不论哪一种，计算以后知道△中填的数应该是3.1．于是△中数为3.1． 13．如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？ 【答案】年龄最大的人最大40岁 【分析】因6人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使5个人的年龄尽可能的小，所以其余5个人的年龄应是20岁，21岁，22岁，23岁，24岁再用他们的年龄和减去5个的年龄就是年龄最大人的岁数，据此解答． 本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答． 【详解】25×6﹣（20+21+22+23+24） =25×6﹣110 =150﹣110 =40（岁） 答：年龄最大的人最大40岁． 14．A，B，C，D，E这5人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数．如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是多少分? 【答案】97分 【详解】如果B是第二名或并且第一名．那么，A和B得分都比第三名E的96分多，至少各得97分．这样C最多得95－2×(97－95)＝91分，矛盾，所以B不可能是第二名．同理，C不可能是第二名．只有D是第二名．从A、B、C平均分是95，B、C、D得平均分是94，得知A比D多1×3＝3分．又知A、D的得分都大于96，只有A得100分，D得97分． 15．有4个数，每次选取其中3个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数．用这种方法计算了4次，分别得到以下4个数：86，92，100，106．那么，原来4个数的平均数是多少? 【答案】48 【分析】每次选三个数，算出它们的平均数，实际上就是算出这三个数的的和．所以，将上面的四个平均分相加，就得到原来四个数的和的2倍． 【详解】原来四个数的平均分是:(86+92+100+106)÷2÷4＝48． 16．有4个少先队小队拾树种，甲、乙、丙3队平均每队拾24千克，乙、丙、丁3队平均每队拾26千克．已知丁队拾28千克，求甲队拾多少千克？ 【答案】22 【分析】先求出甲、乙、丙三队一共拾的树种24×3＝72千克，再算甲、乙、丙、丁四队一共拾的树种72＋28，最后用四队一共拾的树种减去乙、丙、丁三队一共拾的树种就是甲队拾的。 【详解】甲、乙、丙3队共拾了24×3＝72千克，乙、丙、丁3队共拾了26×3＝78千克，由丁队拾了28千克知，乙、丙两队拾了78－28＝50千克． 那么甲队拾了72－50＝22千克。 答：甲队拾的22千克。 【点睛】本题考查平均数问题，需要根据已知的平均数，反求总数。 17．有、、三个数，其中、两个数的平均数是81，、两个数的平均数是86，、两个数的平均数是85，这三个数的平均数是多少？ 【答案】84 【分析】根据总数＝平均数×份数，可以分别求得A＋B，B＋C，A＋C，然后将这三个和相加即为2（A＋B＋C），因此可以知道A＋B＋C的和，从而可以求出这三个数的平均数。 【详解】81×2＋86×2＋85×2 ＝162＋172＋170 ＝504 504÷2÷3 ＝252÷3 ＝84 答：这三个数的平均数是84。 18．上学期期末测试中。李明同学语文、数学的平均成绩为96分。英语成绩为78分。请你算一算，他语文、数学、英语三门功课的平均成绩是多少分？ 【答案】90分 【分析】根据“总数＝平均数×份数”，可以先求出语文数学的总分，再加上英语的分数，即可求出语文数学英语三科的总成绩。用三科的总成绩除以3，即可求出这三科的平均分。 【详解】总分：96×2＋78 ＝192＋78 ＝270（分） 平均分：270÷3＝90（分） 答：他语文、数学、英语三门功课的平均成绩是90分。 19．甲、乙两名工人生产零件，甲每小时生产120个，乙每小时生产90个。已知某天甲生产了5小时，甲、乙平均每人每小时生产100个，请问：乙这天生产了几小时？ 【答案】10小时 【分析】按照甲、乙平均每人每小时生产100个，甲5个小时生产了500个零件，但是甲每小时生产120个，应该生产600个零件，甲就少了100个零件，则乙应该多生产100个零件，和乙平均每小时生产的零件相比，每小时多生产10个零件，则需要10小时完成。 【详解】120×5－100×5 ＝600－500 ＝100（个） 100÷（100－90） ＝100÷10 ＝10（小时） 答：乙这天生产了10小时。 20．一次数学考试的满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分数是90分。这6人得分互不相同，且都是自然数。其中一位同学仅得60分。那么排在第三名的同学至少得多少分？ 【答案】95分 【分析】6位同学在这次考试中的平均分数是90分，这6位同学考试的总分是540分，第一名和第二名的分数尽可能的高，且不相同，为100分、99分。第四名和第五名的分数尽可能的和第三名相近。就是第三名同学分数最少的情况。其中一位同学仅得60分，则剩余的三名同学总分是281分，而且这三名学生的分数尽量接近，三个人分数的平均分大概在93左右，据此得出第三名是95分。 【详解】90×6＝540（分） 540－100－99－60 ＝540－（100＋99＋60） ＝540－259 ＝281（分） 281＝94＋94＋93＝92＋95＋94 答：排在第三名的同学至少95分。 【点睛】要理解至少的意思是第三名的分数在最少的情况下保持6个人的平均数是90分。也就是在和相等的情况下，其他的数字尽可能大的情况，另外的一个数才会尽可能的小。 21．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 【答案】4位 【详解】解：设有x个裁判员 [(x-1)×8.82+9.70]÷x=9.04 8.82x=9.04x-0.88 x=4 答：共有4位裁判员． 22．甲、乙、丙三人共买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5元，甲应收回多少钱？ 【答案】3元 【详解】9÷3=3（个） 4.5÷（2+1） =4.5÷3 =1.5（元）； 甲收回：1.5×（5-3） =1.5×2 =3（元） 答：甲应收回3元． 23．有若干个大于0的自然数．它们的平均数是10，如果去掉最大的一个，余下数的平均数为9：如果去掉最小的一个，余下数的平均数为11，这些数最多有多少个？其中最大的是多少？ 【答案】10个  19 【详解】解：假设有（A+1）个数,那么最大的数就是：10A+10-9A=A+10；最小数就是：10-11A=10-A. 因为10-A>0,所以A最大为9,因此这些数最多有10个,最大为19． 24．一到周末，小强便进行登山练习。早上开始登山，每分钟行20米；下午沿原路返回，每分钟行30米。你知道小强登山锻炼身体的平均速度吗？ 【答案】24米分 【分析】把山脚到山顶的路程看作单位“1”，往返的路程就为“1＋1”，根据路程÷速度＝时间可知，上山的时间为，下山时间为，往返的时间为（＋），往返往返的路程除以往返的时间，即等于登山的平均速度，据此即可解答。 【详解】（1＋1）÷（＋） ＝2÷ ＝2× ＝24（米分） 答：小强登山锻炼身体的平均速度是24米分。 【点睛】熟练掌握速度、时间和路程的关系是解答本题的关键。 25．有四个数，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数：36、42、50、56，求原来四个数的平均数。 【答案】23 【分析】由题意可知，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数:36、42、50、56。我们可以将这四个数相加，然后除以2，得到的结果就是原来四个数的和。然后，我们再将这个结果除以4，就可以得到原来四个数的平均数。 【详解】36＋42＋50＋56＝184 184÷2＝92 92÷4＝23 答：原来四个数的平均数是23。 26．六（2）班42名同学合影留念，拍7寸合影照片可送2张照片，费用为10.4元，如需加印，每张收1.42元。要使每人都有一张照片，平均每人需付多少元？ 【答案】1.6元 【分析】依据“拍7寸合影照片可送2张照片”可得出全班还需要再加印42－2＝40张照片即可，依据总价＝单价×数量，求出加印需要的钱数，再依据总钱数＝10.4＋加印需要的钱数，求出需要支付的总钱数，最后依据每人付的钱数＝总钱数÷人数解答即可。 【详解】42－2＝40（张） 1.42×40＝56.8（元） 10.4＋56.8＝67.2（元） 67.2÷42＝1.6（元） 答：要使每人都有一张照片，平均每人需付1.6元。 27．某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有多少名同学参加跳绳比赛？ 【答案】100名 【分析】根据参加比赛的男同学比女同学多40人，可以设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。再根据数量关系式：男生的人数×男生平均每分钟跳的下数＋女生的人数×女生平均每分钟跳的下数＝总人数×平均每分钟跳的下数，列出方程解得出女生的人数，进而得出男生的人数，最后根据男生的人数＋女生的人数＝这个学校的参加跳绳的总人数。 【详解】解：设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。 60（x＋40）＋70x＝63（x＋x＋40） 60x＋2400＋70x＝63（2x＋40） 60x＋2400＋70x＝126x＋2520 130x＋2400＝126x＋2520 130x－126x＝2520－2400 4x＝120 x＝120÷4 x＝30 30＋40＝70（名） 70＋30＝100（名） 答：该校一共有100名同学参加跳绳比赛。 28．原来有8个人合租了一条船，后来租船的人又增加了2名，现在平均每人所需的租金减少了1元。租一条船的租金是多少元？ 【答案】40元 【分析】根据现在平均每人所需的租金减少了1元，可以设一开始平均每人所需的租金是x元，后来每个人的租金是（x－1）元。根据这条船的租金不变，列出数量关系式：原来的人数×一开始平均每人的租金＝（原来的人数＋2）×后来平均每个人的租金，列出方程得出一开始平均每人所需的租金是5元。再根据原来的人数×一开始平均每人的租金＝租一条船的租金。 【详解】解：设一开始平均每人所需的租金是x元。 8x＝（8＋2）（x－1） 8x＝10（x－1） 8x＝10x－10 10x－8x＝10 2x＝10 x＝10÷2 x＝5 5×8＝40（元） 答：租一条船的租金是40元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $