25.3第3课时 循环问题与销售问题教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，围绕循环问题（单循环、双循环）和销售问题展开，通过排球邀请赛、握手聚会、商品销售等实际情境导入，衔接方程解法与实际问题，以问题示例和变式训练为支架帮助学生建立模型。 其亮点在于用表格清晰梳理数量关系（如销售问题中盈利、销量、利润的对比），变式训练联系生活（直播销售问题），知识要点结构化呈现（循环类型对比表、销售等量关系）。通过数学眼光抽象数量关系，数学思维进行推理运算，数学语言构建方程模型，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.熟练掌握列一元二次方程解应用题. 2.掌握循环、销售等问题的常见应用题解法. 3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 复习回顾 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）. 答：组织者应邀请 8 支球队参赛. 探索新知 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n–1)=300. 解方程，得 n = . 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 变式训练 1. 某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？ 解：设该县团委应邀请 x 支足球队参赛. 根据题意，得 x(x−1)=9×5. 解得 x1=−9（不符合题意，舍去），x2=10. 答：该县团委应邀请 10 支足球队参赛. 变式训练 2. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 【选自教材第23页 练习 第1题】 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 知识要点 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 变式训练 3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 解：设每件售价应定为 x 元，则每件的利润为 (x−40) 元，日销售量为 20 + = (140−2x) 件. 依题意，得(x−40)(140−2x)=(60−40)×20. 整理，得x2−110x+3000=0. 解得x1=50，x2=60（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. 知识要点 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 随堂练习 1.生物兴趣小的学生组，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有_____名学生. 2.已知平面上有 n 个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有_____个点. 14 19 3.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则其对角线有 条. 当 = 20 时，解得 n1=8，n2= −5（不合题意，舍去）； 当 = 18 时，解得 n = （均不合题意，舍去）. 答：有20条对角线的凸多边形是八边形，不存在有这条对角线的多边形. 【选自教材第23页 练习 第2题】 4.某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价 x（单位：元/个）与每天销售量 y（单位：个）的对应值如下表： x（元/个） … 52 53 54 55 … y/个 … 760 740 720 700 … （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到 6000 元? x（元/个） … 52 53 54 55 … y/个 … 760 740 720 700 … 解：（1）由表格数据可知，y 与 x 满足一次函数关系，设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b (k≠0). 将(52, 760)，(53, 740)代入 y=kx+b，得解得因为成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，所以 50≤ x ≤75， 所以y关于x的函数解析式为 y = −20x+1800（50≤ x ≤75）. x（元/个） … 52 53 54 55 … y/个 … 760 740 720 700 … （2）根据题意，得(x−50)(−20x+1800)=6000. 解得 x1=60，x2=80（不符合题意，舍去）. 答：当售价定为每个60元时，每天的利润可达到 6000 元. 课堂小结 本节课学习了循环、销售与一元二次方程的问题，你有哪些收获呢？请同学们谈一谈. $