9.3.1二元一次方程组的应用之方案问题 同步练习 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组方案问题，通过基础列举、条件限制到综合应用的三阶分层设计，强化模型意识与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选6题）|二元一次方程正整数解|购物情境（笔记本、学习用品），直接列举方案数| |提升层（填空12题）|多变量/限制条件方案|含三种物品（图书、器材）、数量倍数限制，需分类讨论| |综合层（解答7题）|最优方案与实际应用|租车、采购利润计算，结合不等式与成本分析，培养推理能力|

· 2025年上海市六下新教材同步培优练习12 · —9.3.1二元一次方程组的应用之方案问题 一、单选题 1．班主任张老师准备将200元钱全部用于购买A，B两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 2．小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 4．学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 6．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 7．年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 8．小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 9．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制作盒身16个或者盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用 张制作盒身， 张制作盒底，能使盒身和盒底恰好配套． 10．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满． （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间． 11．某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 12．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有 种． 13．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 14．一批旅客决定分乘几辆大汽车；并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有 辆汽车，这批旅客有 人． 15．某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 种． 16．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有 箱货物装错． 17．某公园门票价格如表： 购票人数 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 某学校组织射影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 18．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元； （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 三、解答题 19．A班师生共23人准备前往“冰雪世界游乐园”开展研学旅游活动，游乐园门票价格如下：成人票每张240元，学生票按成人票价的五折优惠，团体票（30人及以上）按成人票价的六折优惠． (1)若A班购买门票共花3120元，则A班一共去了几名老师？几名学生？ (2)在（1）的条件下，B班有5名老师和24名学生与A班一起去“冰雪世界游乐园”研学旅游，请你算一算，怎样购票更省钱？ 20．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 21．某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 22．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 23．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 24．综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 25．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 26．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 试卷第8页，共8页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：设购买x个A款笔记本，y个B款笔记本， 依题意，得：， 解得：， ∵x，y均为正整数， ∴y是2的倍数， ∴或或或或或， ∴共有6种购买方案． 故选：A 2．解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B 3．解：设购买笔记本本，水性笔支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 两种物品都买， 有两种购买方案， 故选：D 4．解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：B 5．解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得 , ， 为正整数， ，且为偶数， 解得， ，即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有9种购买方案． 故选：C 6．解：设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个， 当购买A种健身器材5个时，则， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材5个时，共有3种方案； 当购买A种健身器材6个时，则， ∴ ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材6个时，共有3种方案； 综上所述，一共有种方案， 故选：C 7．解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：3 8．解：（1）根据题意可列方程， 当时，可得方程，解得， 故答案为：8； （2）将变形为， 为正整数， 观察式子，可得只能取偶数，且， 可解得，，，，， 故有5种不同的选购方案， 故答案为：5． 9．解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：20，16 10．解：（1）依题意，∵（元/人），（元/人），， ∴三人间的人均费用低， ∴租住的两人间越少，花费越少． ∵（间），（间）（人），（间）， ∴要想使花费最少，需要租住1间两人间． 故答案为：1； （2）∵（元/人），， ∴两人间的人均费用低， ∴租住的两人间越多，花费越少． 设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间， 根据题意得： ∴， 又∵均为非负整数， ∴或或或或；或或 又∵， ∴的最大值为13，此时的值为10， ∴要想花费最少，需要租住10间三人间． 故答案为：10． 11．解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， 由于，所以，当，则有： 解得， 故答案为：60，30． 12．解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 13．解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4 14．解：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然，， 由题意可得：旅客人数为，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示出， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴必为正整数， ∵为质数，只有和两个因数，且， ∴或， 如果，则，，不满足，不符合题意； 如果，则，，符合题意； ∴旅客人数为（人）， 故答案为：，． 15．解：当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买5本种图书时，有3种采购方案； 当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 当购买6本种图书时，有3种采购方案． 此次采购的方案有（种． 故答案为：6 16． 解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错 故答案为：2 17．解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又∵1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， ∵， ∴ 当， ，则有： 解得： 故答案为：60，30 18．解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； 设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为， 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有， 由题意得： 整理得：， a、b均为正整数， 或， ， ， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6 19．解：（1）设班一共去了名老师，名学生， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：班一共去了3名老师，20名学生． （2）由题意可知，两班共有老师人数为（名），学生人数为（名）． ①若两个班分开购票， 则共需门票费：（元）； ②若两个班合在一起全部购买团体票， 则共需门票费：（元）； ③若22名学生和8名老师购买团体票，其余学生（名）购买学生票， 则共需门票费：（元）； 因为， 所以22名学生和8名老师购买团体票，剩余22名学生购买学生票更省钱． 20．解：（1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 21．解：（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 22．解：（1）设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 23．解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得， 答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶， 根据题意得：， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天， 则 ， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 答：这批消毒液可使用10天． 24．解：（1）设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人； （2）①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆， 由题意得，， 整理得，， ， ∵为正整数， ∴一定是正整数， ∴一定是的倍数， ∴或， ∴租车方案有两种： 方案一：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆； 方案二：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆． ②方案一的费用为（元）， 方案二的费用为1（元）， ∵， ∴最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元． 25．解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 26．解：（1）设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 答案第14页，共15页 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $