8.3 等边三角形 同步培优练习 2025--2026学年沪教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质与判定，通过选择、填空、解答题系统覆盖概念辨析、动态几何、综合证明，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选1-2、填空7-10|概念辨析与基础计算|定义→性质→判定的递进| |性质应用|单选3-5、填空11-14|全等与旋转模型应用|性质延伸→手拉手模型→旋转不变性| |综合拓展|单选6、填空15-18、解答19-26|动态问题与费马点探究|性质综合→动态几何→实际应用|

2026年上海市七下新教材同步培优练习13—18.3等边三角形 一、单选题 1．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 3．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（    ） （1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则； A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 6．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 7．如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 8．如图，和是等边三角形且，则 °． 9．如图在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，若，则 ． 10．如图，在等边中，点分别在边上，且，则 ． 11．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 12．如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则 ． 13．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 14．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则 ． 15．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ． 16．如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是 ．（用含的代数式表示） 17．如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 18．如图，等边的边长为3，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为 ． 三、解答题 19．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 20．如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 21．数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 22．已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，求点F到的距离； (2)设直线、交于点M，求两直线的夹角（即）的度数；若点E在的反向延长线（如图2），且直线，交于点仍记为M．这两条直线的夹角是否发生变化．说明理由 23．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 24．（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 25．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 26．设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 试卷第2页，共11页 第 23 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：根据题意可得不一定成立， 故A不符合题意； 如图1，、分别是、的中点，为等边三角形， 则， ， ，， ，， ， 故仅仅满足时，不一定成立， 故B不符合题意； 在和中， ， ， ， ， 故C符合题意； 根据题意，不一定成立， 故D不符合题意， 故选：C 2．解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：B 3．解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选：B 4．解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形， ∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6， 故选：C 5．解：（1）都是等边三角形， ， ， 可由旋转得到， 故说法正确； （2）由（1）同理可得， ， ， 都是等边三角形， ， ， 绕点顺时针旋转可得， 故说法正确； （3）， ， 都是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 故说法正确； （4）， ， 故说法正确； （5），， ， 是等边三角形， ， ， 故说法正确； （6），， ， ，， ， ， 故说法正确； 综上，说法正确的有6个． 故选：A 6．解：①∵是的角平分线， ∴， 又， ， ，故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ∵， ， 的周长， ∵F是的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点，即平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 即的周长的周长，故③错误； ④在中，（1）， 在中，， 即（2）， 得，故④正确； 故选：C 7．解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18 8．解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：127 9．解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：5 10．解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120 11．解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一） 12．解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4 14．解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：10 15．解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．解：当在的内部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数是或． 故答案为：或 17．解：如图，连接，，， 点关于直线、的对称点分别为、， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， 由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长， 此时， ， 故答案为： 18．解：连接，． 和是等边三角形， ，，． ． 即， 在和中 ． ． ， ． ． 则点F在过点A且与夹角为的射线上． 过点D作射线的垂线，垂足为M， ，， ． 即的最小值为 故答案为： 19．解：（1）和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过C作于G，于H， ， ， ， ， ， ， ， 由知， ， 是的平分线； ②解：如图，在BF上截取，连接CM， 因，则是等边三角形， ， ， ，（等量减等量，差相等） ， ， ， ， ， ， 20．解：证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 21．解：探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 22．解：（1）①证明：∵和均为等边三角形， ， ， 在和中， ， ． ②， ， ， 是等边三角形的角平分线， ， ， ， ， ， 设点到的距离是为， ， ， 故点到的距离是为． （2）如图1，若点E在线段上，同（1）①可证， ， 又 ∵， ． 如图2，若点E在的反向延长线，这两条直线的夹角不会发生变化． 同（1）①可证， ， 又 ∵， ． 23．解：（1）结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； （2）①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 24．解：（1）如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， （2）由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 25．解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 26．解：（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； （2）①， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第22页，共23页 第23页 学科网（北京）股份有限公司 $