18.3等边三角形 同步练习2024-2025学年 沪教版 (五四制)七年级数学下册

18.3等边三角形 一、单选题 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 3．等边三角形的一边与这边上的高的比是（    ） A．：2 B．：1 C．2： D．1： 4．如图，是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 5．下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 6．如图，等边中，点D是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 8．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点D在上，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且有BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小为（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 11．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④ 二、填空题 13．如图，是等边三角形，，垂足为点，则与的数量关系为 ． 14．如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 15．如图，等边的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为 ． 16．如图，是等边三角形，在AC边的右侧作等腰，，连接，则的度数为 ． 17．如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝ 度． 18．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 ; 19．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将△ADE沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 . 20．如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则 ． 三、解答题 21．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度． 22．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E． 求证：是等边三角形． 23．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24．如图，为等边三角形，相交于点P，于Q，．求证：． 25．如图，是等边三角形，过点C作交的外角平分线于点D，连接，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求的度数． 26．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 27．如图①，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图②，是点关于直线的对称点，连接，，，求证：． 28．如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． (1)如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； (2)如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； (3)如图③，若点G和点B关于对称，延接，若 =4, ，请直接写出的值． 29．如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、． 求证：①；②；③； 30．和有公共顶点，，，，，点是的中点，连接并延长交直线于点，连接． (1)如图1，当时，求证： ①； ②是等腰直角三角形． (2)如图2，当，点在直线同侧时，直接写出： ①是何种特殊三角形； ②线段之间的数量关系．（无需证明） (3)如图3，当，点在直线异侧时，（2）中的结论是否依然成立？若不成立，请直接写出新的结论． 答案 一、单选题 1．C 【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【解析】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条， 故选：C． 2．C 【分析】根据等边三角形的定义即可解答． 【解析】等边三角形ABC的周长=3AB=6． 故选C． 3．C 【解析】略 4．C 【分析】根据等边三角形的性质，以及平角的性质即可求得． 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∴, 故选C． 5．A 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可． 【解析】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 6．D 【分析】根据等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得 【解析】∵是等边三角形， ∴， 在△ADE中，， 即， 又∵， 即， ∴． 故选D 7．C 【分析】根据条件先可以得出△ABD≌△BCE，由全等三角形的性质就可以得出∠BAD＝∠DBP．由∠APE＝∠ABP+∠BAP，就可以得出∠APE＝60°． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠DBE． ∵∠APE＝∠ABP+∠BAP， ∴∠APE＝∠ABP+∠DBE． 即∠APE＝∠ABD． ∴∠APE＝60°． 故选：C． 8．C 【分析】根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可 【解析】解：①∵等腰三角形有一个外角是120°， ∴与这个外角相邻的内角是60°， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 9．C 【分析】根据已知条件求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，求得，根据等腰三角形的性质求得，进而求得． 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．C 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解． 【解析】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ， ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ． 又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP， ∴∠BAP=∠CAQ=30°． ∴∠BAC=120°． 故∠BAC的度数是120°． 故选：C． 11．C 【分析】由△ABC是等边三角形，CB＝BD得出∠DCB＝∠CDB，由∠ACD＝110°，得出∠DCB＝50°，由AB＝BC，BC＝BD，得出AB＝BD，根据三角形的内角和定理即可求得． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，CB＝BD，∠ACD＝110°， ∴ ∠DCB＝50° ， ∵CB＝BD，AB＝BC， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA 故选：C． 12．B 【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得CD=BD，再由AD=CD，可得D为AB中点，由于无法得到AC，AD，CD的关系，故不能证得△ADC是等边三角形，由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF，在此条件下，利用ASA即可证明△ADE≌△ACB，从而判断结果． 【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD，∠DCB=∠B； ∴CD=BD，故①正确； ∵AD=CD， ∴CD=BD=AD，即D为AB中点，故②正确； 但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误； ∵若∠E=30°， ∴∠A=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC=60°， ∵∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°， ∴CF=DF， ∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确． ∵若∠E=30°，则△ACD是等边三角形， 在△ADE和△ACB中， ， ∴△ADE≌△ACB（ASA），故⑤正确； 故选：B． 二、填空题 13． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．2 【分析】根据等边三角的性质，即可求解． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴． 故答案为：2 15． 【分析】此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质．由等边三角形的三边相等且周长为9，求出的长为3，且；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知，再由等边对等角推知；最后由外角定理求出也为，根据等角对等边得到，都等于边长的一半，从而求出的值． 【解析】解：∵为等边三角形，D为边上的中点， ∴为的平分线，且，即， 又， ∴， ∴，即， ∴； ∵等边的周长为9， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由是等腰直角三角形，，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可． 【解析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．30． 【分析】根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求得∠E． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝＝30°， 故答案为30． 18．60° 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解． 【解析】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ∵， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°， 即∠AFE=60°． 故答案为：60°． 19．3 【分析】根据折叠的性质可得，，则阴影部分图形的周长即可转化为等边的周长. 【解析】解：由折叠性质可得，， 所以. 故答案为：3. 20．6 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出即可得到；在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，从而得到，据此求解即可． 【解析】解：如图1，∵， ∴， ∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，   ∴，即， ∴在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴； 在上截取，使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 21．解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．∵ 是等边三角形， ∴  ， ∵  ， ∴  ，， ∴ ， ∴△ADE  是等边三角形． 23．解：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE与△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 即：∠BPC=120°． 24．证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°． ∵在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD． ∴∠2＝∠1． ∵∠BPQ是△ABP的一个外角， ∴∠BPQ＝∠2+∠BAP＝∠1+∠BAP＝∠BAC＝60°． 25．解： （1）证明：如图，为等边三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）∵， ∴． 26．（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE＝AE， ∵DE+BD＝BE， ∴AE+CE＝BE， ∴BE＝2+3＝5； （3）解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 27．（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴. （2）∵点是点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴. 28．（1）解：，． 理由：如图①中 ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为，． （2）结论依然成立．理由如下： 如图②中，过点D作，交AB于点H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图③中， ∵B，G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．证明：①和均是等边三角形， ，，， ，， ∴, ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ②    ， ，， ③连接    同理：， ， 是等边三角形， 30．（1）证明：①∵， ∴． ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴； ②当时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴， ∴ 即， ∴是等腰直角三角形． （2）①是等边三角形．理由如下： 由（1）同理可得：， ∴． 又∵， ∴； ∵，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形． ②∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）（2）中是等边三角形成立，另一个结论为，理由如下： 由（1）同理可得：， ∴． 又∵， ∴； ∵，，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $$