第18章《等腰三角形》 --等腰三角形与线段垂直平分线 2025-2026学年数学沪教版（五四制）七年级下册

第18章《等腰三角形》复习题--等腰三角形与线段垂直平分线 【题一 等腰三角形的定义】 1.已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 2.已知等腰∆ABC中，其中一边长为，周长为，则其底边长为（   ） A． B． C．或 D．不存在 3.如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号） 4.一个等腰三角形的周长为． (1)若腰长是底边的2倍，求各边的长； (2)若其中一边的长为，求另两边的长． 【题二 等边对等角】 1.如图，在∆ABC中，，为边上两点，且满足，，连结．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2.如图，在中，，，直线l是线段的垂直平分线，交于点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 4.如图，在∆ABC中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题三 三线合一】 1.如图，，分别是∆ABC的中线和高．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.“洛阳牡丹甲天下，丽景城楼世无双”，诗中提到的丽景门具有“中原第一楼”“古都第一门”的美誉．如图，丽景门的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在∆ABC中，于D，则的长为 ．    4.如图，在∆ABC中，，． (1)平分吗？为什么？ (2)若∆ABC的面积是S，的面积是x，则S与x之间的数量如何表示？ 【题四 根据等边对等角证明】 1.如图，将∆ABC绕点按逆时针方向旋转至，若点，，在一条直线上，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在∆ABC中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D，E分别为，上的点，，，，，则的长为 ． 4.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 【题五 根据三线合一证明】 1.如图，在∆ABC中，，是的中点，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2.下列关于等腰三角形的说法错误的是（    ） A．等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称“三线合一” B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形两腰上的中线相等 3.检测房梁是否水平，可以采用下面的方法： 在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边帖在房梁上，结果线绳经过三角尺的顶点，则可以判断房梁是水平的，这样做的根据是： ． 4.如图，在∆ABC中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【题六 找出图中的等腰三角形】 1.如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.如图，已知∆ABC中，，在∆ABC所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    4.如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 【题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 1.如图，在∆ABC中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.在∆ABC中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定∆ABC是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 3.如图，在∆ABC中，，，，三等分，图中共有等腰三角形 个． 4.某卡通形象如图所示，其中射线是的外角的平分线，且，请你说明呈现卡通形象头部的是等腰三角形的理由． 【题八 根据等角对等边证明边相等】 1.如图，在∆ABC中，，为上一点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.在∆ABC中，已知，则（   ） A． B． C． D． 3.如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点，与交于点，则的长度为 ． 4.如图，和中，点在上，．求证：． 【题九 根据等角对等边求边长】 1.如图，在∆ABC中，DE∥AC，分别交于点，连接，且．若，则的长为（   ） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 2.如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点D/处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3.在∆ABC，，且，则 ． 4.如图，在∆ABC中，，．若∆ABC的周长为17，求的长． 【题十 等腰三角形的性质和判定】 1.如图，在∆ABC中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 2.已知∆ABC的三边长满足，则∆ABC形状可能是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．无法确定 3.如图，在∆ABC中，，平分，，，则∆ABC的周长为 ． 4.如图，在∆ABC中，，是的角平分线，交于点E． (1)求证：△DEC是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题十一 等边三角形的性质】 1.如图，∆ABC是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 2.如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，已知∆ABC是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于 ． 4.已知，分别是等边的两边，上的点，且，与交于点．求的度数． 【题十二 等边三角形的判定】 1.下列条件不能判断∆ABC是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 4.已知：如图，在∆ABC中，，于点D，，求证：∆ABC为等边三角形． 证明：∵， ∴∆ABC是____________． ∵于点D， ∴____________． 又， ∴∆ABC为等边三角形．（____________） 【题十三 线段垂直平分线的性质】 1.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2.如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则∆CDM周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3.如图在∆ABC中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 4.如图所示，在∆ABC中，． (1)实践与操作： 尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①在边上求作一点，使得，连接； ②作边的垂直平分线，交于点，交于点． (2)猜想与证明： 试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【题十四 线段垂直平分线的判定】 1.如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的∆ABC区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，在∆ABC中，，如图，（1）分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）作射线，连接，．根据以上过程及所作图形，下列结论中正确的个数为（   ） ①垂直平分 ② ③ ④是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 4.“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【题十五 利用垂直平分线求周长】 1.如图，在∆ABC中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若∆ABC的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.如图，在∆ABC中，是的垂直平分线，，的周长为，则∆ABC的周长为（    ） A．26 B．17 C．20 D．23 3.如图，在∆ABC中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若，的周长为18，则 ．    4.如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 【题十六 直平分线的实际应用】 1.（1）在图用尺规作的平分线交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；    （2）在图用尺规在边上求作一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）．    2.如图，∆ABC中，点为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线，使点关于的对称点为点． (2)如图②，作一条经过点的直线，使得点关于的对称点落在线段上． 3.如图，是∆ABC的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 4.风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【题十七 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1.如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 2.在∆ABC中，为∆ABC的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 3.如图，∆ABC中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 4.【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【题十八 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）】 1.如图，在中，平分，，，则的长为（    ） A．3 B．11 C．15 D．9 2.如图，M是∆ABC的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则∆ABC的周长是（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 3.如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    4.如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 参考答案 【题一 等腰三角形的定义】 1.C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：， ，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为3，等腰三角形的三边长为：， ，不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长是15． 故选：C． 2.A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、，根据三角形三边关系可知此时不能组成三角形，当为三角形底边时，则另两条边的长均为，根据三角形三边关系可知此时能组成三角形，所以等腰三角形的底边为． 【详解】解：是等腰三角形， 中有两条边相等， 当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、， ， 不能组成三角形； 当为三角形底边时，则另两条边的长均为， ， 能组成三角形， 等腰的底边长为． 故选：A． 3.②或③ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 4.（1）解：设底边长为，则腰长为，由题可得：， 解得：， ∴， ∴底边长为5，腰长为． （2）解：∵在等腰三角形中，一边的长为， ①当腰长为时，底边长为：， ∵，不符合三角形三边关系，故舍去， ②当底边长为时，底边长为：， ∴另两边的长都为：． 【例题二 等边对等角】 1.B 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到的度数，根据等边对等角，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； 故选B． 2.A 【分析】本题考查三角形内角和定理，垂直平分线性质，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．结合垂直平分线性质，等腰三角形性质得到，再利用三角形内角和定理得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：直线l是线段的垂直平分线， ， ，， ，， ， 故选：A． 3.①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先证明，进而可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，，据此可判断③；再根据全等三角形的性质、角的和差、等腰三角形的性质以及等量代换说明，即可判断②；根据三角形内角和定理可证明，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ，，故③正确；； ， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴不一定等于，即不一定平分，故②错误； 如图：延长交于F， ，， ， ∴，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 4.（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【题三 三线合一】 【1.B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可，熟知三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：是∆ABC的高， ， ， ， ， 是∆ABC的中线，， ， ， 故选：B． 2.C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴，即是∆ABC的高线， ∵∆ABC是等腰三角形，， ∴是∆ABC的角平分线，故此选项不符合题意； B、∵∆ABC是等腰三角形，， ∴是∆ABC的角平分线，故此选项不符合题意； C、若，不能说明是∆ABC的角平分线，故此选项符合题意； D、∵， ∴是∆ABC的角平分线，故此选项不符合题意； 故选：C． 3.3 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵于D， ∴． 故答案为：3． 4.（1）解：不一定平分，理由如下： 在△中，，，但与不一定相等， 不一定平分； （2）解 ：在∆ABC中，， 的面积与∆BEC的面积相等， ， ． 【题四 根据等边对等角证明】 1.A 【分析】由旋转的性质得，，，，由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，即可得到，根据三角形外角的性质即可得到答案．本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，灵活运用相关知识是解题关键． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 2.B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的三线合一性质． 根据等腰三角形“三线合一”的性质解答． 【详解】解：中，，是中点， ，故A正确，此选项不符合题意； ，故C正确，此选项不符合题意； ，故D正确，此选项不符合题意； 无法得到，故B不正确，此选项不符合题意． 故选：B． 3.2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接．证明，得到，即可由求解． 【详解】解：在上截取，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 4.解：∵， ∴， 在∆ABC和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题五 根据三线合一证明】 1.B 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 2.A 【分析】直接根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”故错误； B、等腰三角形中，两底角相等，所以两底角的平分线也相等，故正确； C、等腰三角形两腰相等，由面积相等可知，两腰上的高也相等，故正确； D、由对称性可知等腰三角形两腰上的中线相等，故正确． 故选：A． 3.三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵∆ABC是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面． 故答案为：三线合一． 4.（1）解， 理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵ ∴， ∵ ∴； （2）（1）中关系还成立， 理由：连接， ∵CD⊥AB,PE⊥AB,PF⊥AC， ∴S∆ABC= AB×CD,S∆PAB= AB×PE,S∆PAC= AC×PF 又， 【题六 找出图中的等腰三角形】 1.C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 2.D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， ∴∆ABC是等腰三角形是∆ABC； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 3.4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 4.解：∵， ∴∆ABC为等腰三角形， ∆ABC中，腰：和，底边：，顶角为； ∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为． 【题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 1.B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、根据在∆ABC中，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵是平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即是等腰三角形， 在∆ABC中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∴等腰三角形有，，； 故答案为：3． 2.B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴∆ABC是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴∆ABC不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∆ABC是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴∆ABC是等腰三角形． 故选：B． 3. 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，仔细审题，根据、易求，又因为∆ABC是等腰三角形，再结合、三等分即可得到， 然后得到，结合三角形内角和定理即可得到， 接下来再根据等角对等边即可得到、、、∆ADE、是等腰三角形，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边进行判断． 【详解】∵，， ∴， ∴∆ABC是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、∆ADE、是等腰三角形， 则等腰三角形有：∆ABC、、、、∆ADE、共个， 故答案为：． 4.解：， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 【题八 根据等角对等边证明边相等】 1.B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B 2.B 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【详解】解：在∆ABC中，， 则：； 无法得到， 故选B． 3.2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 4.证明： 在与中， ． 【题九 根据等角对等边求边长】 1.A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行得到，继而等量代换得到，则，再由线段和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2.A 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 3. 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．根据等角对等边即可得． 【详解】解：∵在∆ABC，，且， ∴， 故答案为：． 4.解：∵在∆ABC中，， ∴， ∵，∆ABC的周长为17， ∴， 解得． 【题十 等腰三角形的性质和判定】 1.B 【分析】本题考查了作图和等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解，利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 2.B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据可得出，或，进而可得出∆ABC至少有两个边相等，即∆ABC形状是等腰三角形． 【详解】解：∵ ∴或， ∴，或， ∴∆ABC至少有两个边相等， ∴∆ABC形状是等腰三角形， 故选：B． 3. 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，由等角对等边得出，再由等腰三角形的性质得出，最后由周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵在∆ABC中，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴∆ABC的周长为， 故答案为：． 4.（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题十一 等边三角形的性质】 1.D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2.C 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“”证明，得，推导出，可判断C符合题意，证明是找到符合题意的选项的关键． 【详解】解：根据题意可得不一定成立， 故A不符合题意； 如图1，、分别是、的中点，∆ABC为等边三角形， 则， ， ，， ，， ， 故仅仅满足时，不一定成立， 故B不符合题意； 在和中， ， ， ， ， 故C符合题意； 根据题意，不一定成立， 故D不符合题意， 故选：C． 3.9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得，是解题的关键． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． 阴影部分图形的周长 ， ∵∆ABC是边长为3的等边三角形， ， ， 阴影部分图形的周长等于9， 故答案为：9． 4．解：∵∆ABC为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题十二 等边三角形的判定】 1.B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断∆ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到∆ABC是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断∆ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2.A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用证明，进而解答判断①由，进而得到．求得，求出．所以是等边三角形，即可判断②，进而根据全等三角形的性质可得结合等腰三角形的性质，即可判断③和④，即可求解． 【详解】解：， ． ，， ． 是边的中点， ． ，， ． 在∆BDE和∆CDF中， ， ， ，故①正确 ∵， ∴， ． ． 是等边三角形．故②正确 ∵ ∴ 又∵ ∴，故③正确， 连接， ∵ ∴ 又∵ ∴垂直平分，故④正确 故选：A． 3.（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据∆ABC是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，∆ABC是等边三角形； 当时，∆ABC是等边三角形； 当时，∆ABC是等边三角形； 当时，∆ABC是等边三角形； 当时，∆ABC是等边三角形； 故答案为：或或或或． 4.证明：∵， ∴∆ABC是等腰三角形． ∵于点D， ∴． 又， ∴∆ABC为等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形） 故答案为：等腰三角形，，有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【题十三 线段垂直平分线的性质】 1.D 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 2.B 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是∆ABC等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是是线段的垂直平分线，可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵∆ABC是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴的长为的最小值， ∴∆CDM周长的最小值为． 故选：B． 3. 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 4.（1）解：①如图1，点即为所求； ②如图2，即为所求． （2）解：．理由如下： 过点作于点，连接，如图3， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题十四 线段垂直平分线的判定】 1.B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 2.D 【分析】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形性质，等边三角形判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质，等边三角形判定是解题关键． 由∆ABC中，，由作法知，可得是的垂直平分线，为等边三角形，平分，得出，，即可求解． 【详解】解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等边三角形， ∴平分， ∴， ∴，故①②③④正确． 故选：D． 3.3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：3． 4.（1）解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； （2）性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）∵垂直平分， ∴． 【题十五 利用垂直平分线求周长】 1.C 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 2.D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式、等量代换可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴∆ABC的周长为， 故选：D． 3.11 【分析】本题主要考查了等腰三角形，线段垂直平分线，熟练掌握等腰三角形边的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为18， ，即， ， ， ∵， ， 故答案为：11． 4.（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题十六 直平分线的实际应用】 1.解：（1）如图，为所求线段：    （2）如图，点E为所求点．    2.（1）解：如图， 直线为所求作； （2）解：如图， 直线为所求作． 理由：由作图可得：，是的垂直平分线， ∴得点关于的对称点落在线段上． 3.（1）证明：是∆ABC的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 4.（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 【题十七 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1.D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题； 【详解】如图，延长到使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 2.C 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点E，使，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 3.12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 4.解：（1）∵是∆ABC的中线． ∴， ∵，， ∴∆ADC≌∆EDB， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ∵∠AOB=90°，， ． ， ， ， ． 【题十八 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）】 1.B 【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可． 【详解】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE， ∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB， 而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB， ∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11． 故选：B． 2.D 【分析】可以延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为DB的中点，由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，根据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长． 【详解】如图，延长BN交AC于点D， ∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N， 在Rt△ANB和Rt△AND中， ∴Rt△ANB≌Rt△AND， ∴AD=AB=10，BN=DN， 即N为BD的中点， 又∵M是BC的中点 ∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+6+15=41， 故选：D． 3.1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 4.（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 学科网（北京）股份有限公司 $