精品解析：湖北咸宁市2025年春季期末质量监测八年级数学试题

2025年春季期末质量监测 八年级数学试题 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 化简的结果是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（ ） A. B. C. D. 3. 古代的木匠师傅为了确保自己做好的门是矩形，不仅要测量两组对边的长度是否相等，还会拉一根绳子判断两组对角之间的距离（对角线）是否相等，这样做的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分四边形是矩形 D. 对角线相等平行四边形是矩形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 35 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（ ） A. 太乙真人 B. 哪吒 C. 敖丙 D. 申公豹 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 直线和交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点、分别是、中点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 32 9. 如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A. B. C. D. 10. 小谦同学在学了一次函数图象后，用数学软件绘制了的图象，如图所示，通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 当时， C. 关于的方程有两个实数根 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个符合条件的实数的值，使得有意义，则____． 12. 学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 13. 2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______． 14. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 15. 如图矩形，，，为的中点，将沿着折叠，得，延长与相交于点，则的形状为______三角形，的长为_____． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 小明用彩纸制作了一个独特的信封造型，如图所示．已知矩形，，．求证：四边形为菱形． 18. 如图所示的网格中，所有小正方形的边长都为1，点，，，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）在图1中，以为边构造平行四边形； （2）在图2中，以为对角线构造正方形． 19. 综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 20. 人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． （3）若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 21. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 22. 2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 （1）分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． （2）请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 23. 【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． （1）【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； （2）【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 24. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； （3）如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期末质量监测 八年级数学试题 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 化简的结果是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 2. 如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补这一性质，用减去已知的锐角度数即可求得钝角的度数． 【详解】解： 该图形为平行四边形，  其中一个锐角约为，   其一个钝角的度数约为． 3. 古代的木匠师傅为了确保自己做好的门是矩形，不仅要测量两组对边的长度是否相等，还会拉一根绳子判断两组对角之间的距离（对角线）是否相等，这样做的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，先由两组对边分别相等判定四边形为平行四边形，再由对角线相等判定该平行四边形为矩形． 【详解】 木匠师傅测量了两组对边的长度相等，  该四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 又  测量了对角线长度相等，  该平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、乘法运算法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵，∴，A错误； 选项B：∵3与不是同类二次根式，不能合并，∴，B错误； 选项C：∵二次根式乘法法则为 ，∴，C正确； 选项D：∵，∴D错误． 5. 某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（ ） A. 太乙真人 B. 哪吒 C. 敖丙 D. 申公豹 【答案】B 【解析】 【分析】平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，方差反映了这组数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．题目要求成绩又好（扔得越远越好）又稳定的，需选择平均数较大的，若平均数相等，需比较方差，方差较小的成绩较稳定，即可求解． 【详解】解：由题意可知，哪吒与敖丙的平均成绩最高，均为54m，而哪吒的方差小于敖丙的方差，说明哪吒的成绩较稳定，由此可知哪吒的成绩又好（扔得越远越好）又稳定． 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 7. 直线和交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可求解． 【详解】∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，由菱形的性质及可得是等边三角形，进而求出的长，即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，，， 又∵， ∴是等边三角形 ∴，． 9. 如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，则为中点，．利用直角三角形斜边中线性质求出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，，即：， 解得，即． 10. 小谦同学在学了一次函数图象后，用数学软件绘制了的图象，如图所示，通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 当时， C. 关于的方程有两个实数根 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】从图象上获取信息，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，图象经过点，故A正确，不符合题意； 当时，；故B错误，符合题意； 图象与轴有2个交点，故关于的方程有两个实数根，故C正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个符合条件的实数的值，使得有意义，则____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数为非负数，求出的取值范围，再选取范围内任意一个实数即可. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数， 可得 解得 任取一个满足的实数即可， 例如（答案不唯一） 12. 学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 【答案】 3 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算公式进行计算即可. 【详解】解：30名学生参加活动的平均次数是（次）. 13. 2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出标准体重与身高的关系式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，可得， 将代入得，． 14. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 【答案】 4 【解析】 【详解】勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正方形的面积公式进行求解即可. 【点睛】解：由题意，， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为. 15. 如图矩形，，，为的中点，将沿着折叠，得，延长与相交于点，则的形状为______三角形，的长为_____． 【答案】 ①. 等腰 ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，利用平行线的性质和折叠的性质可得，从而判断的形状；设，在中利用勾股定理构建方程求解即可 【详解】解：四边形是矩形 ，  ，  ， 由折叠的性质可知：，，， ，  ，  ， 是等腰三角形 ， 为的中点， ，  ，  ， 设， 则 ，  ，  ，  ， 在中， 由勾股定理得： ， 即 ， 解得 ，  ． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：  ． 17. 小明用彩纸制作了一个独特的信封造型，如图所示．已知矩形，，．求证：四边形为菱形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的判定定理证明即可． 【详解】略． 18. 如图所示的网格中，所有小正方形的边长都为1，点，，，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）在图1中，以为边构造平行四边形； （2）在图2中，以为对角线构造正方形． 【答案】（1）解：如图1，平行四边形为所求： （2）解：如图2，正方形为所求： 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，取格点，连接，利用平移的性质得到，且，然后连接即可得到平行四边形； （2）根据网格特点，找到，且与互相垂直平分，连接即可得出正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 【答案】四边形的面积为 【解析】 【分析】连接，将四边形分割为和．在中，由利用勾股定理求出的长；在中，利用勾股定理的逆定理验证其为直角三角形，再分别求出两个三角形的面积并相加． 【详解】解：连接， ， 在中，由勾股定理得： ， （米）， 在中，，，， ， ， ， 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ， ， ． 20. 人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． （3）若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【答案】（1），， （2）八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） （3）216 【解析】 【分析】（1）统计七年级得分中出现次数最多的数值即可得到a．先计算B组的百分比，再用1减去C、D、B组的百分比即可得到m． 中位数是排序后第5和第6个数据的平均数，先根据各组占比确定八年级10个数据的分组人数，再将数据从小到大排序，找到第5、6个数据求平均得到b． （2）判断哪个年级表现更好：选择平均数、中位数、众数、方差中的一个统计量，对比两个年级的对应数值，给出合理理由即可． （3）分别计算七年级、八年级样本中A组的占比，再乘对应年级总人数，求和即可． 【小问1详解】 解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组1人、C组3人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴； 答案：，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级抽取的10人中，A组（）有3人， ∴七年级A组总人数约为人； 八年级A组占比， ∴八年级A组总人数约为人； ∴两个年级A组总人数为人． 21. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； 【小问2详解】 解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 22. 2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 （1）分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． （2）请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；当时，，当时， （2）当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； 【小问2详解】 略 23. 【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． （1）【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； （2）【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 【答案】（1）平行四边形； 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即E为的中点． （2）①证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴点为的中点， ∵，， ∴， 由（1）知，点为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和全等三角形的判定定理解题即可； （2）①结合（1）中的结论，证明，进而证明； ②设正方形的边长为，则，可求出正方形的边长，根据计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①略； ②设正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知为的中位线， ∴， ∴． 24. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； （3）如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）①；②存在， 【解析】 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【小问1详解】 解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． 【小问2详解】 解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． 【小问3详解】 ①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $