精品解析：湖北省咸宁市通城县关刀中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

湖北省咸宁市通城县关刀中学2022—2023八年级下册数学 期末质量检测 一、填空题（每空2分，共计14分） 1. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，若，则_____． 2. 如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为米，高为米的矮台， （1）旗杆的高度_______米； （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度_______米． 3. 如图，在中，，若，则线段的长为__． 4. 如图，矩形中，点分别在边上，平分，，则线段的长为_______，线段的长为_______． 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为_____． 二、单选题（每小题3分，共计30分） 6. 下列说法正确的是（　　） A. 8的立方根是2 B. C. 4的平方根是2 D. 7. 一次函数（a，b是常数，）的图象经过点和点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 一组数据1，2，1，4的方差为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 11. 如图，已知的顶点，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 矩形具有而菱形不具有性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四个角相等 D. 四条边相等 13. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（　　） A B. C. D. 15. 在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②③④ 三、解答题（共计76分） 16. 已知y﹣2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝12，求y与x的函数关系式． 17. 已知函数 （1）分别求当，4时函数y的值； （2）求当，时x的值． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 19. 实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）已知是有理数． ①当是正整数时，求值； ②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数． 20. 某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）： ：；：；：；：；：． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下： 已知组的全部数据如下：． 请根据以上信息，完成下列问题． （1）______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______； （2）若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______； （3）学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数． 21. 如图，在中，点分别为中点，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，，点D在上，连接，为的高． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F； （2）在（1）的条件下，若，求证． 23. 如图，在正方形ABCD中，AE、BF相交于点O且AF＝DE．求证：∠DAE＝∠ABF． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线以的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求线段的长． （2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标； （3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省咸宁市通城县关刀中学2022—2023八年级下册数学 期末质量检测 一、填空题（每空2分，共计14分） 1. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质得出，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点，， ∴， 中， ， 故答案为：8． 【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握这两个定理是解题关键． 2. 如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为米，高为米的矮台， （1）旗杆的高度_______米； （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度_______米． 【答案】 ①. 15 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解图示，勾股直角三角形，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）如图所示，作，交于点，连接，可得，，在中，根据勾股定理可得的值，在等腰直角中可得，设，在中可得，由此可得的值，即可求解； （2）根据（1）可得即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，，过点作于点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四变形，是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在等腰直角中，， 设，则， ∴在中，，即， 解得，，， 当时，即米，不符合题意，舍去， ∴，即米，则米， ∴米； （2）根据题意可得，米， ∴米， 故答案为：15，2． 3. 如图，在中，，若，则线段的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】由得，从而，由勾股定理即得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是证明及熟练应用勾股定理． 4. 如图，矩形中，点分别在边上，平分，，则线段的长为_______，线段的长为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，再证，可求出的值，设，则，根据勾股定理可得，即可求解； 【详解】解：∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，； 设，则， ∴，且， 在中，，即， 解得，，即， ∴； 故答案为：2，6 ． 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】120 【解析】 【分析】连接先证明四边形是平行四边形，得到，根据EO∥BG，得到，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵平行四边形中，对角线、相交于点， ∴是边的中点， 又∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴EO∥BG，． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， 又∵EO∥BG， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴等腰中边上的高为， ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴阴影部分的面积为120． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关面积计算、不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键． 二、单选题（每小题3分，共计30分） 6. 下列说法正确的是（　　） A. 8的立方根是2 B. C. 4的平方根是2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的概念即可求出答案． 【详解】解：A. 8的立方根是2，故正确； B. ，故错误； C. 4的平方根是2，故错误； D. ，故错误； 故选A． 【点睛】本题考查平方根、立方根概念，解题的关键是根据相关定义解答问题． 7. 一次函数（a，b是常数，）的图象经过点和点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据一次函数与不等式的关系求解，理解数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：如图，关于的不等式的解集为， 故选：A． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则依次进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除法则是解题的关键． 9. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 10. 一组数据1，2，1，4的方差为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式进行计算即可. 【详解】解：平均数为 方差. 故选B． 【点睛】考查方差的计算公式，熟记方差的计算公式：是解题的关键 11. 如图，已知的顶点，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOD中，AD=，依据∠AHD=∠ADH，即可得到AH=AD=，可得H（，2）． 【详解】∵的顶点， ∴AO=2，OD=1， ∴Rt△ADD中，AD=， 由题可得，DG平分∠ADB， ∴∠ADH=∠FDH， 又∵AH∥DF， ∴∠AHD=∠FDH， ∴∠AHD=∠ADH， ∴AH=AD=， ∴H（，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解题的关键． 12. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四个角相等 D. 四条边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据相关性质逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，所以此选项结论错误； B、菱形的对角线互相垂直，所以此选项结论错误； C、因为矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角都相等，所以此选项结论正确； D、菱形的四条边相等，所以此选项结论错误； 故选：C． 13. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 14. 如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，，可证点在的角平分线上运动，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长，交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 点在的角平分线上运动， ，， ， 当点运动到点时，有最小值为， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接，，点为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． 正确的有①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键． 三、解答题（共计76分） 16. 已知y﹣2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝12，求y与x的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，设，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解． 【详解】解：由题意，设， 把x=1，y=12代入，得， 解得 ∴y与x的函数关系式为 即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质，求得k的值是解题的关键． 17. 已知函数 （1）分别求当，4时函数y的值； （2）求当，时x的值． 【答案】（1），5； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的值和自变量的值；熟悉“在函数解析式中，已知自变量的值，求对应的函数值和已知函数值，求对应的自变量的值的方法”是解答本题的关键. （1）将x的值代入函数解析式计算即可得到对应的函数值； （2）将代入函数解析式得到关于x的方程，解方程即可求得对应的x的值. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 当时，，解得 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 【答案】（1）5 （2）144 （3）40；40 （4）480 【解析】 【分析】（1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解； （2）用乘以B组对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和中位数的意义，即可求解； （4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为：5 【小问2详解】 解：B组对应扇形的圆心角为； 故答案为：144 【小问3详解】 解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多， ∴阅读时间在范围内的数据的众数是； 把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55， ∵， ∴调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40， ∴调查的20名同学课外阅读时间的中位数是； 故答案为：40；40 【小问4详解】 解：根据题意得：， ∴全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人． 【点睛】本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 19. 实数与满足． （1）写出与取值范围； （2）已知是有理数． ①当是正整数时，求的值； ②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数． 【答案】（1） （2）①或② 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件解题即可； （2）①把正整数的值一次代入，将是有理数的数值留下即可；②要使是有理数，则为的整数倍，即可以得到知第3个数，第11个数，代入求出的值． 【小问1详解】 解：由题可知： 解得：; 【小问2详解】 ①∵是正整数时， ∴可以取， 这时b的对应值为：， 又∵是有理数， ∴或； ②∵是有理数， ∴的整数倍， 当是正整数时，则， 由①可知第3个数，第11个数， 即， 解得：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式的有意义条件是解题的关键． 20. 某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）： ：；：；：；：；：． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下： 已知组的全部数据如下：． 请根据以上信息，完成下列问题． （1）______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______； （2）若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______； （3）学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数． 【答案】（1），； （2）； （3）名． 【解析】 【分析】（）根据频数分布直方图即可求出，根据中位数的定义计算即可求出中位数； （）用乘以组人数的占比即可求解； （）用乘以80分以上（含80分）的学生的占比即可求解； 本题考查了频数分布直方图，中位数，扇形统计图，样本估计总体，看到统计图，从统计图中获得必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 将这名学生的成绩从小到大排列， 处在第位的两个数的平均数为， ∴中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ∴组所在扇形的圆心角为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数为名． 21. 如图，在中，点分别为中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，根据中点可得，，由此即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，且， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，，点D在上，连接，为的高． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F； （2）在（1）的条件下，若，求证． 【答案】（1）图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）尺规作的平分线交于F即可； （2）先证明，再证明，得，然后由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 小问2详解】 证明：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的高． ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴　． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在正方形ABCD中，AE、BF相交于点O且AF＝DE．求证：∠DAE＝∠ABF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得∠DAE=∠ABF． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABF与△DAE中 ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠DAE＝∠ABF 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线以的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）直线BC的解析式为； （3）存在，点坐标或． 【解析】 【分析】（1）分别求出、点坐标，再求的长即可； （2）过点作轴交于点，证明，设，，则，由点在直线上，将点坐标代入直线解析式求出的值，可得点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出的值即可． 【小问1详解】 当时，， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， 点在直线上， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问3详解】 存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知，， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， 此时点不存在； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求线段的长． （2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标； （3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）线段的长为10 （2）或或 （3）当时，点恰好落在内部（不含边界） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）当在上时，过点作轴于点，过点作过点轴于点，因为点为的中点，由(2)可知，，根据等面积法求得，进而得出根据轴对称的性质得出∴，得出，在中,即可求解． 【小问1详解】 （1）∵点的坐标为，点的坐标是， ∴， ∴； 所以，线段的长为10． 【小问2详解】 为等腰三角形，分三种情况： 当时，过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴＝5， 设， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，过点轴于点，轴于点，过点于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴, 解得：， 即， 在中，， 在中，， ∴， 即, 解得：， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或或； 【小问3详解】 （3）如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点， ∵点为的中点， 由（2）可知，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点记为， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）或， 当点运动到点重合，此时，解得， ∴当时，点恰好落在内部（不含边界）． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$