25.1 一元二次方程的概念&25.2 降次解一元二次方程（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

=4,0C=20D=2.CD=VOD-0C-25.∴Sas=S%am-S8x=合CD· 0心-00C=号×2vBX2-602=2v厅-号图中阴影部分的面积为3v5 360 2 3π. 23.解：(1)由题意，得△ACD是等边三角形，△BCE是以BC为底边的等腰直角三角 形.∠ACD=60°，∠BCE=45°.AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCE= 360°-∠ACD-∠BCE-∠ACB=165°.(2)①△ACD是⊙O的“完美三角形”.理由如 下：连接OC.,△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，△ACD是等边三角形.∴.∠CAD= ∠ACD=60°.：AD与⊙O相切，∴.AB⊥AD.∴.∠BAD=90°.∠BAC=∠BAD- ∠CAD=30°.，OA=OC,∴.∠OCA=∠BAC=30°.∴.∠OCD=∠OCA+∠ACD= 90°，即OC⊥CD.又，OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切.AD与⊙O相切， .△ACD是⊙0的“完美三角形”.②15√3 期末综合评价 1.B2.C3.D4.C5.C6.A7.A8.D9.C10.D11.C12.A 13y=-是14815.4r16V2厘 17.(1)解：移项，得x2一6x=3.配方，得x2-6x十32=3+32，即(x-3)2=12.由此可得 x-3=±2√3，解得x1=3十2√3，x2=3-2W3.(2)证明：：PA,PB分别与⊙O相切于 点A,B,.PA=PB,∠OBP=∠OAP=90°.，PO=PO,.Rt△POA≌Rt△POB (HL)..∠POA=∠POB.∠POB=2∠C..∠POA=2∠C 18解：1：点A与点B(-1,2)关于y轴对称，A1,2.把A1,2)代入n=得 k1=1×2=2.把A(1,2)代入y2=k2x,得2=k2×1,解得k2=2.(2)由图象可知，当y1 <y时，x>1. 19.解：(1)如图，△A1OB1即为所求.A1(0,1),B1(一2,2).(2)由题意，得OB1=OB= V2+2=2√2，“点B所经过的路径长为90xX22=V2元 180 -3-2-10 23x 20.(1)证明：由旋转的性质，得AE=AC,∠AED=∠C,∴∠AEC=∠C.∴.∠AED= ∠AEC.∴.EA平分∠CED.(2)解：由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE,AD=AB, ∴∠ADB=∠ABD.∠AEC=∠C,∴∠ABD=∠C.:∠C+∠ABC=90°，∴.∠ABD +∠ABC=90°，即∠DBE=90°. 21.解：(1)由题意，得A(一30,4)，H(0,22).设经过A,B,H三点的抛物线的函数解析 式为y=ar2+2.把A(-30,4)代人，得4=900a十2，解得a=-0经过A,B,H 三点的抛物线的函数解析式为y=一品2十2（②）由(1)可得两车同时后退10m后， y轴右侧的抛物线的函数解析式为y=一0（红-10）+2.当x=0时，y=一品×(0 一10)2+22=20.答：两条水柱的相遇点距离地面20m. 22.解：（任务一）四边形ABCD为矩形，∠A=90°..BG为经过A,B,G三点的圆 的直径，“BG=√AG+AB-5cm,∴该圆的半径为号BG-9cm(任务二)①直 线PN与⊙O相切.理由如下：连接OP.:四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠NAD =∠1.∴.∠NOP=2∠NAD=2∠1.，MN⊥BC,.∠BNM=90°..∠1+∠2+ ∠ANP=90°.∠1=∠2，.∠ANP+2∠1=90°，即∠ANP+∠NOP=90°. —43 ∠OPN=90°，即OP⊥PN.OP为圆的半径，∴.PN与⊙O相切.②由题意，得AB =2cm,∴.AM=2AB=4cm.易知∠AMN=90°，MN=AB=2cm.∴.PN= √PMf+MNz=√5cm,AN=√AM+MN产=2√5cm.设OP=OA=rcm,则ON= AN-OA=(25-r)cm.在Rt△OPN中，OP2+PN2=ON2,即2+(W5)2=(2√5- 9,解得，3500的半径为9cm 23.解：(1)存在.理由如下：，C(1,1),AC=BC=4,∠C=90°，BC∥y轴，.A(5,1), B1,5).1X5=5X1=5,点A和点B在同-反比例函数1=三的图象上.∴存在 反比例函数=5是Rt△ABC的“对应函数”，k的值为5.(2)①：∠C=90°，BC∥y x 轴，A(2,2),B(1,m),.C(1,2).将A(2,2),C(1,2)代人y2=x2+bx+c,得 (4+2b+c=2, 解得 1+b+c=2, 43·=云3z+4(x多)+子心当1≤x≤2时 27 咖=2，=子.∴h=2=日，即RAABC的“最值半差”为日②将A(2,2, 4+2b+c=2, .b=-m一1， B(1,m)代人y2=x2+bx十c,得{ 解得{ .y2=x2-(m+1)x 1+b+c=m, c=2m. 十2m二次函数图象的对称销为直线x=m士.：二次函数=t十bx十c的图象 fm>2, 与Rt△ABC的边有第三个交点， 1<mt1<2, 解得2<m<3. 2 随堂反馈 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.C 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x一1=0.它的二次项系数为2， 一次项系数为3，常数项为一1.(2)去括号，得3x2十3x一2x一2=2x2十x.移项、合并同 类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2 +2x-120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80-x)= 5000.化成一般形式为x2-210x+5400=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.B2.m≥73.9x=-3 4.解：(1)整理，得x2=16.由此可得x=士4，即x1=4,x2=-4.(2)整理，得(x-1)2= 9.由此可得x-1=±3.x-1=3,或x-1=-3.∴.x1=4,x2=-2. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.A3.412 4.解：)移项，得2-3x=-2.配方，得x2-3x+(号）=-2+(），即(x 号)》”-子由此可得x-是=士分“4=2，=1.(2)二次项系数化为1，得2+号 =合配方，得2+受+（日）”=合+（行）》，即(+)广-最由此可得x+ 1 一 44 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.B2.A3.m<1且m≠0 4.解：(1)原方程可化为3x2一2x一1=0..△=（一2）2一4×3×（一1）=16>0，∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2十4x十4=0.△=42一4×1×4=0，.方 程有两个相等的实数根， 第2课时用公式法解一元二次方程 1.C2.C 3.解：(1)，a=4,b=-8,c=1,∴.△=b2-4ac=(-8)2-4×4X1=48>0..方程有两 个不相等的实数根=生证c=8吉X-2生，=2百a 2a 2×4 25.(2)方程化为22-x+2=0.a=2,6=-1,c=2,∴4=8-4ac=(-12-4 ×2×2=-15<0..原方程无实数根. 25.2.3因式分解法 1.C2.B3.x+2-3=0x1=-5,x2=1 4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)左边因式分解，得2x(x十5)=0.于是得x=0,或x十5=0.∴.x1=0,x2=-5. (2)移项，得4x2-3x=0.左边因式分解，得x(4x-3)=0.于是得x=0,或4x一3=0. ∴=0，=是.(3)移项，得x(x一5)十8(x-5)=0.左边因式分解，得（x-5)(x十8) =0.于是得x-5=0,或x十8=0..x1=5,x2=-8.(4)整理，得(x-1)2-2(x-1)= 0.左边因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0.于是得x-1=0,或x -3=0.x1=1,x2=3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.B4.-3-6 5.解：①十=0=一号.(2)十=-号=-3，=号.（3)整理，得 -x-5=0..x1+x2=1,x1x2=-5. 6.解：(1)由题意，得△=22-4×1×(a-1)≥0，解得a≤2.(2)由根与系数的关系，得 x1十x2=-2,x1x2=a-1.,'2x1十2x2-x1x2=2(x1十x2)-x1x2=5,.2X(一2)- (a-1)=5,解得a=-8. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.A 3.解：设这个矩形区域的长是xm,则宽是40,2x=(20-x)m.根据题意，得x(20-x) 2 =96,解得x1=8,x2=12.当x=8时，20-x=12>8,不符合题意，舍去；当x=12时， 20一x=8<12,符合题意.答：这个矩形区域的长是12m,宽是8m. 4.解：设小路的宽为xm.根据题意，得(16-2x)(9-x)=112,解得1=1，x2=16(不 符合题意，舍去)，答：小路的宽应为1m 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.B2.12 3.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)=49,解得x1= 6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学. 4.解：(1)设该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是x.根据题 意，得2000(1十x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 该社区的图书借阅总量从8月份至10月份的月平均增长率是20%.(2)2880×(1十 20%)=3456(本).答：11月份的图书借阅总量是3456本. 第3课时循环、数字与销售问题 1.A2.D —45第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.3x-1=0 B.2x2-y-1=0 C.1+2=0 D.x2-3x=0 2.将方程x2=10十8x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别是 A.-8,-10 B.-8,10 C.8,-10 D.10,8 3.下列各数中，是方程x2=4x一3的解的是 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.将下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项， (1)2x2=1-3x; (2)(3x-2)(x+1)=x(2x+1). 5.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数； (2)如图，某停车场将长为130m、宽为80m的矩形停车场沿着AB和AD修建宽度相 同的充电桩区域，剩余停车场的面积为5000m,求充电桩区域的宽度， 充电桩 电 B 。1。 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.一元二次方程x2一49=0的根是 () A.x1=x2=7 B.x1=7,x2=-7C.x1=x2=9 D.x1=9,x2=-9 2.若方程(x一5)2=m一7可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 3.若x=3是一元二次方程x2一p=0的一个根，则p的值是 ,方程的另一个根是 4.解下列方程： (1)5.x2-80=0; (2)2(x-1)2=18. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程x2十x=2时，应把方程的两边同时 A加号 &加分 C减 D.减号 2.用配方法解方程2x2一12x十9=0，下列配方正确的是 A(x-3)2=号 B.(x-3)-9 cx-6=号 D.2x-3y9= 3.将方程x2十8x十4=0化为(x十n)2=p的形式，则n的值为，p的值为 4.解下列方程： (1)x2-3x+2=0; (2)2x2+x=1. ·2。 25.2.2公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程2x2十x一5=0的根的判别式的值是 A.24 B.41 C.-41 D.-24 2.一元二次方程3x2一4x十2=0的根的情况为 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 3.若关于x的一元二次方程x2一2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范 围是 4.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)3x2=1+2x; (2)(x十3)2=2x+5. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程3x2十2x=3时，a,b,c的值分别是 ( A.3,2,3 B.-3,2,3 C.3,2,-3 D.3,-2,3 2.一元二次方程x2一2x一1=0的根是 ) A.x1=x2=1 B.x1=1+√2，x2=-1一√2 C.x1=1+√2，x2=1-√2 D.x1=-1+√2，x2=-1-√2 3.解下列方程： (1)4x2-8x+1=0; (2)2x2-x=-2. ·3。 25.2.3因式分解法 1.一元二次方程x2一x=0的解为 A.x1=x2=1 B.x1=1,x2=-1C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=-1 2.解一元二次方程x(x十1)=x十1时，下列变形正确的是 () A.x+1=1 B.(x+1)(x-1)=0 C.(x-1)2=0 D.(x+1)2=0 3.用因式分解法解一元二次方程(x十2)2一9=0时，要转化成两个一元一次方程求解，其 中的一个方程是x十2十3=0，则另一个方程是 ,因此一元二次方程(x十 2)2一9=0的解是 4.认真观察下列方程，指出使用哪种方法求解最合适. (1)4(x十2)2-20=5，应选用 法； (2)x2十16x=5,应选用 法； (3)2x2-3x-3=0,应选用 法； (4)x(x一2)=3x一6，应选用 法. 5.解下列方程： (1)2x2+10x=0; (2)4x2=3x; (3)x(x-5)=8(5-x); (4)(x-1)2+2-2x=0. ·4。 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.若x1,x2是一元二次方程x2一2x十3=0的两个根，则x1十x2的值是 A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.若一元二次方程3x2一2x=0的两个根为x1,x2,则x1x2的值为 A.2 B.0 c号 D.-2 3.下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是 A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2-x+1=0 D.x2-4x十1=0 4.若关于x的方程x2十x十k=0有一个根为2，则另一个根为，k的值为 5.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根℃1，x2的和与积： (1)9x2-2=0; (2)2x2+6x+3=0; (3)3x2+5=4x2-x. 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x十a一1=0的两个根分别为x1,x2. (1)求a的取值范围； (2)若2x1+2x2一x1x2=5,求a的值. ·5·