阅读与思考 一元二次方程与黄金分割数&数学活动 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

阅读与思考一元二 1.黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领 域.例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如 图，枫叶的叶脉AC长为14cm,B为线段 AC上一点(AB>BC),且满足S-A怨则 称点B为线段AC的黄金分割点.若BC的 长为xcm,则根据题意可列方程为( A.(14-x)2=14x B.x2=14(14-x) C.x(14-x)=142 D.14(1-x)2=14-x 2.(教材P24习题T9变式)如图，已知点C在 线段AB上，且满足AC=AB·BC. (1)若AB=1,求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长. 23数学九年级全一册(R) 次方程与黄金分割数 3.综合与实践 【主题】黄金分割数 【素材】如图①，我们知道，如果点P是线段 AB上一点(AP>BP),且满足BP：AP= AP:AB,那么这种分割就叫作黄金分割.其 中，线段AP与AB的比值或线段BP与AP 的比值叫作黄金分割数， 【实践操作】若线段AB=1,设AP的长为x, 则BP=1-x. .BP:AP=AP:AB, .(1-x):x=x:1. … 根据此方法可计算出黄金分割数为 (结果保留根号) 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐 器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴 弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦 比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐 悦耳.如图②，一把二胡的琴弦长为80cm， 求“千斤”下面一截琴弦长.（结果保留根号） -琴头 琴轴 千斤 入弓杆 弓毛、 应琴筒 琴托琴皮 图① 图② 数学活动探究方程有公共 活动1探究方程有公共解的条件 1.若一元二次方程a.x2一bx十c=0,bx2-cx十 a=0,cx2-ax十b=0(a≠b≠c,abc≠0)恰有 一个公共解 (1)求证：a+b+c=0; 证明：将三个方程相加，得(a十b十c)x2一 (a+b+c)x+(a+b+c)=0, ∴.(a+b+c)(x2-x+1)=0. 。。 请将后面的证明过程补充完整. (2)求方程ax2-bx+c=0的解. 我们可以用两种方法进行求解： 方法一：用因式分解法求解。 a+b+c=0,.b=-a-c. ∴.a.x2-bx+c=a.x2+(a+c)x+c=a.x2+a.x十 cx+c=a.x(x+1)+c(x+1)=(x+1)(a.x+c). ax2-bx+c=0, .x+1=0或a.x十c=0.∴x1=-1,2=- a 方法二：用公式法求解。 … 请你写出方法二的具体过程。 解的条件与神奇的线段分割 活动2神奇的线段分割 2.【阅读材料】老师出了一道题：如果三条线段 的长度分别为a,b,c,且a>b>c,试找出一 组a,bc的值，使a=叶c和子+-同时 成立 小明是这么解答的：将a=b叶c代人2+1=3 ac b 化简可得=3c2,把c看作常数，可得b=√3c, .a=(W3+1)c. ∴.a:b:c=(3+1):√3：1. 答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即 可，如：a=√3十1，b=√3，c=1. 【尝试应用】仿照上面小明的解题思路，解答 下列问题： 如果三条线段的长度分别为a,b,c,且a> b>c,试找出一组a,b,c的值，使a=2b十c 和+6-同时成立。 第二十五章一元二次方程24=3,x2=30.要保证薄利多销，∴.x=3..15十x=18.答：销售价格应定为18元/kg. 6.36 7.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得号x(x-1)=28,解得=8，x2=-7 (不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8，(2)根据题意，得之(m十2)(m十1)=21， 解得m=5,m=一8（不符合题意，舍去）.·m的值为5.(3)根据题意，得2(n一3)十 9=号n+1)(n-2),解得n=10. 8.解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意， 舍去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20% (任务2)设下调后每人的团费为y元.根据题意，得(30+0902）=320，解得 =400,y2=800.:y≥750，.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A 2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.AC=AB·BC,∴a2=1-a,解得a1= ,-5(合去).AC=5号.(2设AC=,则BC=-2.AB-AC+ 2 BC=2x-2.AC=AB·BC,∴.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十5，x2=3-V5(舍 去)..AB=2x-2=4+2√5. 3解：【实践操作2【实践探累】：二胡的“千斤”倒在琴弦长的黄金分制点处， “千斤”下面一截琴弦长为80X5,1=405-40(cm. 2 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：2-z+1=(2-）+是>0a+6+c=0.(2a+6+c=06-a -c..ax2-bx+c=0可化为a.x2+(a+c)x+c=0.,'.△=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a+0洁a=d=-台=-l. 2a 2解：将a=26叶e代入2+名-名得2+号=2次+(26+0=(2b+06 化简，得26一36c-2=0.把c看作常数，利用求根公式进行计算，得b=3±√区。.：6 4 >c>0,b=3+☑。.a=5+)区。.a:6:c=5+7:3+亚：1.答案不唯 4 2 2 4 一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十2√17，b=3+√17，c=4. 第二十五章章末复习 思维导图 一整式？不相等相等无一合台 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D 7.解：(1)整理，得(x一2)2=24.由此可得x一2=士2√6..x一2=2√6，或x一2= 一2√6.∴.x1=2十2√6，x2=2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)+2(x-2)=0.左边因 式分解，得(x-2)(x十1十2)=0.于是得x-2=0,或x十3=0.∴x1=2,x2=一3. (3)原方程可化为2x2+2√2x+1=0.a=2,b=2√2，c=1,.△=-4ac=(2√2)2- 4X2X1-0方程有两个相等的实数根-一会-一得-竖 2 8.C9.-1 一7 10.解：(1)根据题意，得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)>0,解得m>2.(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2(m+1),x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-（x1+ x2)十1=7，即m2十5-2(m十1)+1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,∴.m=3. (3),x1≠x2,.7是方程的一个根.将x=7代入原方程，得49一14(m十1)十m2十5= 0,解得m1=4,m2=10.当m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符 合三边关系；当m=10时，方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成 三角形，舍去.∴这个三角形的周长为7十7+3=17. 11.D12.10% 13.解：1(44-30）(2)根据题意，得x(44-3)=160,解得=9=8.当x= 9时，44-3z=2>22,不符合题意，合去：当x=8时，4-3x=20<2,符合题意.答： 重建后的养鸡场的宽AB为8m. 聚焦课标 14.解：（任务1）设民宿宣传海报边框的宽为acm.根据题意，得(30十2a)(20+2a)= 816,解得a1=2,a2=一27（不符合题意，舍去）.答：民宿宣传海报边框的宽为2cm.(任 务2)①(200+)（30-品)②根据题意，得(200+x)(30-忌)-20(30-品)= 8600.整理，得x2-120x十32000=0.△=(-120)2-4×32000=-113600<0， 该方程无实数根.无法满足要求.（任务3）答案不唯一，合理即可，如：建议加强宣 传推广，融合特色文化等. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x 6.(1)y=-30.x2+360.x+4800(2)54007.C8.B 9.y=60+60(1+x)+60(1+x)2 10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x一2)]=-2x2+32x.自变量x的取值范围是2 <x<16.(2)由题意，得y=一2x2十32x=56,解得x1=2(不合题意，舍去)，x2=14. .x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 名师导学 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 【例】解：(1)如表所示. x 2 2 y=x2 y=2x2 y=-2.x2 … -8-20 -2-8… (2)如图所示.(3)对称轴都是y轴，顶点都是原点. y=2x2 1.D2.A 8 3.解：(1)如图所示.(2)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1. -6-420 246x -6 4.B5.<【变式题】<6.B7.2(答案不唯一)8.a>b>c>d 9.解：(1)根据题意，得十2<0，且k2十一4=2，解得=一3.(2)由(1)，得k=一3，则 y=一x2.∴函数图象的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.(3)，一1≤x≤2，一1<0， 当x=0时，y有最大值，最大值为0；当x=2时，y有最小值，最小值为一22=一4. 10.解：(1)1.8(2)由题意，得CE=0.2m,则yg=0.2-1.8=-1.6.令y=-1.6,则 -号x=-1.6,解得x=士E.∴EF=E-(-②)=2E(m). 11.解：(1)1(2)由(1)知a=1,即y=x2.将C(-1,n)代入，得n=(-1)2=1,∴.C(-1, 1).将D(m,9)代入，得m2=9,解得m=3(负值已舍去)，∴.D(3,9).设直线CD的函数 解析式为y=x+6,将C(-1,1D,DC3,9)代入，得一+6=1， 3k+b=9, (k-2.:y2+ 解得 b=3. 3.令x=0,则y=3,即P(0,3).∴Saa0=Sa0+Sam=合×3X1+2×3X3=6. 26.2.2二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 名师导学 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②上|k|下|1 【例】解：1)如图所示抛物线为的函数解析式是儿=-2，顶点坐标是(0，一2)， 对称轴是y轴.(2)当x=0时，y2有最小值-2.(3)0≤y2≤6 3 43-2+101234x 1.A2.C3.D 4.解：(1)当x=2时，y=}×4+3=4.点(2,4)在该函数的图象上.(2)< 41 5.A6.17.D8.C9.16 10.解：(1)2-5(2)·抛物线的函数解析式为y1=2x2-5,.顶点坐标为(0，-5)， 对称轴为y轴.(3)当-3≤x≤1时，函数值y1的取值范围是-5≤y≤13. 1.解：1)x为任意实数(2)①子②@如图所示.(3)B（④a< -2 -1O 9