第28章 旋转 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

的抛物线，对称轴是直线工=号，分以下两种情况讨论：当点B,C均在对称轴的左侧 时，y随x的增大面减小，此时m十2≤，即m≤-当点B,C均在抛物线的右侧 时，y随x的增大而增大，此时n≥号综上所述，m的取值范围是m<一合或m≥》. 第二十八章综合评价 1.C2.A3.B4.C5.A6.D7.D8.A9.D10.B11.B12.C 13.90°（答案不唯一）14.A15.4816.3 2m=一6·解得 m=-3, 17.解：(1)由题意，得 (2)如图所示 八1-n=3, n=-2. B V B' 12345x (第17题图) (第18题图) 18.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.点B1的坐标为（一2,5）.(2)如图，△A2B2C2即 为所求.点C2的坐标为(4,5). 19.证明：.四边形ABCD、四边形FECG均为矩形，.AD∥BC,EF∥CG,∠BCD= ∠DCG=∠EFG=90°.∴∠BCD+∠DCG=180.点B,C,G在-条直线上.∴AD∥ EF..∠DAM=∠HFM.由旋转的性质，得CD=CG,AD=FG,.∠DGC=45°. .∠DGF=45°=∠FHG..HF=FG=AD.又：∠DMA=∠HMF,∴.△ADM≌ △FHM(AAS)...AM=FM. 20.解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 图③ 21.解：(1)过点D作DE⊥x轴于点E.:A(W3,0),B(3,m)(m>0),∠OAB=90°， OA=√3.由∠AOB=30°，易得AB=1,OB=2.由旋转的性质，得OD=OB=2,∠COD =∠A0B=30,∠D0E=60.∠0DE=90°-∠D0E=30.∴0E=20D=1. ∴.DE=√OD-OE=√3..D(1,W3).(2)过点C作CF⊥x轴于点F.由旋转的性质， 得0C=OA=5,∠C0F=45.易得0F=CF=9点C的坐标为(5，) 22.解：(1)四边形BEGF为正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠F=∠BEC=90°， ∠EBF=90°，BF=BE,∴.∠BEG=180°-∠BEC=90°，∴.四边形BEGF为矩形.又 ,BE=BF,∴.四边形BEGF为正方形.(2)设正方形BEGF的边长为x,则AF=x十 1.在Rt△BFA中，根据勾股定理，得AF2+BF2=AB2,即(x十1)2+x2=52,解得x=3 (负值已舍去).∴.AF=4.CE=AF=4.∴CG=CE十GE=7. 23.解：(1)①2②：△AB'C是△ABC的“旋补三角形”，AB=AB,AC=AC, ∠BAB'+∠CAC=180°.∠BAC=90°，.∠BAC=360°-∠BAC-(∠BAB+ (AB'=AB, ∠CAC)=90°..∠BAC'=∠BAC.在△AB'C和△ABC中，∠BAC=∠BAC,.△ABC AC=AC, ≌△ABC(SAS).BC'=BC=8.:AD是△ABC的“旋补中线”，AD=号BC'=4. 40 (2)猜想：AD=号BC.证明如下：延长AD至点E,使得DE=AD,连接B'E,CE.“AD 是△AB'C'的中线，B'D=CD.DE=AD,∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE =AC,BE∥AC.∴∠BAC'+∠ABE=180°.，△ABC'是△ABC的“旋补三角 形”，.a+B=180°，AB=AB,AC=AC..∠BAC'+∠BAC=180°，BE=AC. AB'=BA, .∠EBA=∠CAB.在△EB'A和△CAB中， ∠EBA=∠CAB,∴.△EBA≌△CAB B'E=AC, (SAS).AE-BC.AD-AEAD-BC. 第二十九章综合评价 1.A2.D3.A4.D5.A6.B7.B8.D9.D10.A11.B12.B 13.ab≤014.415.√41π 16.34°【解析】在AC上找到点D的对称点D',连接AD,CD,BC.AB为⊙O的直 径，.∠ACB=90°.∴.∠B=90°-∠BAC=62°..∠D=180°-∠B=118°.由折叠的 性质，得∠ADC=∠D=118°，∴∠DCA=180°-∠ADC-∠DAC=34°. 17.(1)解：连接AC.,四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8cm,∠B=90°.，AB= 6cm,.AC=√AB2十BC=l0cm.,圆的半径为6cm,∴.点B在圆上，点C在圆外， 点D在圆外.(2)证明：：OA=OB,.∠A=∠B.:AC=BD,∴△OAC≌△OBD (SAS).∴∠AOE-∠BOF..AE=BF∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE 18.证明：：四边形ABCD内接于⊙O,.∠DAB+∠DCB=180°.，∠EAD+∠DAB =180°，.∠EAD=∠DCB.'∠DAE=∠DAC,.∠DAC=∠DCB.,∠DAC= ∠DBC,∴.∠DBC=∠DCB..DB=DC. 19.解：(1)如图所示.(2)在Rt△ABC中，AC=1.2m,BC=1.6m,∴.AB= √AC+BC=2m.∴所需圆板的最小面积是x×(号) =π(m2). 20.(1)证明：在△ABC中，AB=AC,AH⊥BC,.BH=CH.,AF⊥BC,.DH=EH. ,BH-DH=CH-EH,即BD=CE.(2)解：连接AD.设⊙A的半径为r,则AD=r, AH=r-2.:DE=8,DH=EH=合DE=4.在R△ADH中，DF+AP=AD, .42+(r-2)2=r2,解得r=5.∴.⊙A的半径为5. 21.(1)证明：∠E=∠B,∠D=∠E,∴∠D=∠B..AD=AB.AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°，即AC⊥DB.BC=CD.(2)解：连接OC.,AB=4,.⊙O的半径为 22=2=号∠A0C=A=60.0A=0C,△0AC为等边三角形. ∴SmE=Sc-Sac=60XX2-合X2X5=号x-5. 360 2.解：(1)连接OM,:0C1MN,MN=48,MC=2MN=24.:AB=52,0D= OM=号AB=26.在RtA0MC中，0C=VOM-MC=10.:CD=0D-0C=16.故 水截面最大深度CD的长为16.(2)过点O作OE⊥GH于点E,交MN于点D.,MN ∥GH,∴.OE⊥MN.∴.MD=BD.由题意，得DE=13,则OD=OE-DE=13.在 Rt△OBD中，BD=√OB2-OD=13√3.∴.MN=2BD=26√3.答：此时水面截线MN 的长为26√3. 23.(1)证明：连接OD.“C为优弧ABD的中点，.AC-CD.·∠AOC=∠COD.:OA =0C=0D,.∠CA0=∠A00=号(180°-∠A0C,∠DC0=∠CD0=合(180°- ∠COD).∴.∠ACO=∠DCO..CO平分∠ACD.(2)证明：AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°..∠EAD+∠E=∠ADC+∠CDE=90.:AC=CD,∠CDA= ∠CAD.∴∠CDE=∠E.:∠EAB=∠CDE,∴∠EAB=∠E.∴.BA=BE.(3)解： :∠CDE=∠E,∴.CD=CE.AC=CD,AC=CD=CE=4√5.∴.AE=AC+CE= 8√5.设AB=BE=x.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2.在Rt△AED中，AD2=AE -DE..AB2-BD2=AE2-DE,即x2-62=(8√5)2-(6十x)2,解得x=10(负值已 舍去)..AB=10.∴.AD=√AB-BD=8. 第三十章综合评价 1.D2.B3.B4.B5.B6.C7.C8.B9.A10.B11.D 12.B【解析】连接OB,OP,过点O作OP'⊥1于点P',则OP=3.,PB切⊙O于点 B,.OB⊥PB.∠PBO=90°.∴PB=√OP-OB=√OP-2.当点P运动到点 P'的位置时，OP的长有最小值，则PB长的值最小，此时OP=OP=3,∴.PB长的最小 值为√32-2=√5.故选B. 13.<14.20°156.916号 17.(1)解：过点C作CD⊥AB于点D.:∠C=90°，AC=4,BC=3,.AB= VBC+AC-5.:Sac=号BC·AC=合AB.CDCD-BCAC=.2.4∴当直 AB 线AB与⊙C相切时，r=2.4.(2)证明：，PA,PB是⊙O的切线，∴.PA=PB.在 (PA=PB, △OAP和△OBP中，OP=OP,.△OAP≌△OBP(SSS)..∠AOP=∠BOP,即OP LOA=OB, 平分∠AOB. 18.解：(1)67.5°(2)连接DH,OG,则DH为直径，∴.∠B=90°，DH=20cm.由(1)知 ∠BDP=67.5,∠P=90°-∠BDP=2.5.:∠H0G=360°=45°，∠HDG= 8 7∠H0G=22.5°=∠P.∴PH=DH=20cm. 19.解：(1)如图所示.(2)连接OD.'∠C=90°，AC=4,BC=3,∴.AB=√AC2+BC2= 5.:⊙O与AB相切于点D,BC⊥AC,.AD=AC=4.∴.BD=AB-AD=1.设OD= OC=x,则OB=3-x.在Rt△BOD中，BD十OD2=OB2,∴.1+x2=(3-x)2,解得x =号∴⊙0的半径为号 4 20.(1)证明：.⊙A与x轴相切于点B,.AB⊥x轴.AH⊥CD,HO⊥OB,.∠AHO =∠HOB=∠OBA=90°..四边形ABOH是矩形.(2)解：连接AD.四边形ABOH 是矩形，∴.AH=OB=√7.AD=AB=4,.DH=√AD-A=3.AH⊥CD, ∴.CD=2DH=6. 21.解：(1)连接OD..CD与⊙O相切，.∠ODC=90°..∠COD=90°-∠C=70° ∠A=2∠C0D=35°，(2)设车轮的半径为rm,则OD=OB=rm,OC=BC+OB= (3+r)m在R△C0D中，0C=0D+CD,∴3+)2=+(23，解得r=2答： 车轮的半径为号m 22.(1)证明：连接OC.AC=CD,∠D=30°，∴.∠CAO=∠D=30°..∠COD= 2∠CAO=60°..∠OCD=180°-∠D-∠COD=90°..OC⊥CD.:OC为⊙0的半 径，.CD是⊙0的切线.(2)解：由(1)可知∠OCD=90°，∠COB=60°.：∠D=30°，OD 42第二十八章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 州 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小 题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未 爵 选均不得分) 题号 3 4 6 8 9 10 12 新 答案 1.下列现象属于旋转的是 A.太阳缓缓升起 B.雪花在天空中飘落 C.拧开瓶盖 D.运动员在100m跑道上赛跑 2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史， 下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 鲜￥ 3.如图，若△ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，则与线 段OB长度相等的线段是 ) A.OC B.OM C.ON D.ML B ① ③ (第3题图) (第5题图) (第6题图) 4.点A(5,一2)关于原点的对称点A'的坐标是 ( A.（-5,-2) B.(5,2) C.（-5,2) D.(-2,5) 5.如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90° 得到Rt△A'B'C.若AB=5,AC=4,则AB的长为( A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，从图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能的 图形变换是 ( ) A.轴对称 B.旋转 C.中心对称 D.平移 7.如图，△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，下列说法不正 确的是 ) A.△ABC≌△A'B'C B.OC-OC' C.点A的对应点是点A D.∠COB'=∠AOC D (第7题图) (第8题图) (第9题图) 25 8.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一个 方块正在向下运动，为了使所有图案消失，需进行的操作是 ( A.顺时针旋转90°，向右平移B.逆时针旋转90°，向右平移 C.顺时针旋转90°，向左平移D.逆时针旋转90°，向左平移 9.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC,使点D落在BC 的延长线上.已知∠A=30°，∠B=35°，则∠ACE的度数是 A.30 B.35° C.45 D.50° 10.如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转 与△CBF重合，连接EF.若BE=√3，则EF的长为 ( A.2 B.√6 C.2√2 D.2√ (第10题图) (第11题图) （第12题图) （第13题图) 11.如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，点A在y轴正 半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2.将△AOB绕点O顺时针 旋转90°得到△A'OB',则点B的对应点B'的坐标是( A.(3,1) B.(3,3) C.(3,3) D.(-√3,3) 12.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将 △BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接DE.若BC= 8,BD=7,则下列结论错误的是 ( A.AE∥BC B.△BDE是等边三角形 C.∠ADE=∠BDC D.△ADE的周长是15 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.一个风车图案如图所示，它绕中心点旋转一定的角度后能与 自身重合，则这个角度可能是 .（写出一个即可) 14.如图，在正方形网格中，将△MNP绕旋转中心旋转一定角度 后得到△M1N1P1,则旋转中心是点A,B,C,D中的点 B (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称.已 知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长是 26 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1,将 △ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',使点A,B,C在同 一条直线上.若点P在射线A'B上运动，则AP十CP的最小 值为 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本题满分8分)(1)已知点A(2m,一3)与点B(6,1一n)关于 原点对称，求m,n的值； (2)如图，△ABC和△A'B'C关于某一点成中心对称，某同学不小 心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段 BC,请你帮该同学找到对称中心O,并补全△AB'C'. 18.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶 点的坐标分别为A(1,-1),B(2,-5),C(5,-4). (1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点B1 的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的 △A2B2C2,并写出点C2的坐标. 012345x -27 19.(本题满分10分)如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后 得到矩形FECG,连接DG,交EF于点H,连接AF,交DG于 点M.求证：AM=FM. 20.(本题满分10分)如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正 方形被涂色. (1)在图①中再涂4个小正方形，使新涂色的图形与原来涂色 部分关于点O成中心对称； (2)在图②和图③中再分别涂4个小正方形，使新涂色的图形 与原来的涂色部分所组成的新图形既是轴对称图形又是 中心对称图形.（两个图各画一种） 图① 图② 图③ —28 21.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，已知A(√3,0)，B(√3， m)(m>0),∠AOB=30°，以点O为中心，逆时针旋转△OAB 得到△OCD,点A,B的对应点分别为点C,D,记旋转角为α (1)如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标； (2)如图②，当α=45°时，求点C的坐标. 图① 图② 22.(本题满分12分)如图，E为正方形ABCD内一点，∠BEC= 90°，将△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA(,点E的对 应点为点F),延长CE,交AF于点G (1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由； (2)若AB=5,AG=1,求CG的长. -29- 23.（本题满分12分)定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A 顺时针旋转α(0°<a<180)得到AB',把AC绕点A逆时针 旋转B得到AC',连接B'C'.当a十B=180时，我们称△AB'C 是△ABC的“旋补三角形”，边B'C'上的中线AD叫作△ABC 的“旋补中线”，点A叫作“旋补中心” 【特例感知】(1)在图②和图③中，△AB'C'是△ABC的“旋补 三角形”，AD是△ABC的“旋补中线” ①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量 关系是AD= BC. ②如图③，当∠BAC=90°，BC=8时，求AD的长 【猜想论证】(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想 AD与BC的数量关系，并给予证明， B 图① 图② 图③ —30