25.3 实际问题与一元二次方程（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

25.3 第 【名师导学 >◆◆预习新知 新知梳理 ①列一元二次方程解应用题：把实际问题 抽象成数学问题，即建立方程模型，通 过解决数学问题来解决实际问题， ②一般步骤：审、设、列、解、检、答， ☑例题引路 【例1】用30cm长的铁丝围成一个斜边 是13cm的直角三角形，求该直角三角 形的两条直角边的长， 【名师点拨】设一条直角边的长为xcm, 用含x的式子表示出另一条直角边的长， 再根据勾股定理列方程求解 【学生解答】 易错典例 【例2】如图，某小区内有 一块长20m、宽18m的 矩形空地，物业打算在空 地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路， 余下部分铺上草坪.若草坪的面积为 288m,则道路的宽度为 m. 【易错剖析】将不在一起的四个图形通 过平移转化为一个矩形，再根据图形面 积公式列方程求解.注意结合实际，对 方程的解进行取舍， 【学生解答】 17数学九年级全一册(R) 实际问题与一元二次方程 课时几何图形问题 【基础过关 >逐点击破 知识点1一般图形与围墙问题 1.数学文化新趋势(2025·辽宁中考)我国古代数学家杨 辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四 步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块 矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步， 根据题意可列方程为 () A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 2.(教材P24习题T5变式)有一个菱形试验田，其对角线 AC,BD为田埂.若田埂AC比田埂BD长8m,菱形试 验田的面积为24m2,则田埂BD的长为m. 3.一个三角形的两边之差是5，两边之积是24，则两边之 和是 4.(2025一2026·柳州期中)柳州窑埠古镇计划用长32m 的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊 位（墙的长度为18m),要求围成的摊位面积为120m, 求这个矩形摊位垂直于墙的边长， 知识点2边框与甬道问题 5.地域特色情境化壮锦是我国四大名锦之一，是壮民族 文化的“活化石”.如图，现将一幅长为6m、宽为4m的 壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂 画，且整幅挂画的面积是48m2.设边饰的宽度为xm, 则下列方程正确的是 () A.(6+x)(4+x)=48 挂画的长 B.(6-x)(4-x)=48 C.(6+2x)(4+2x)=48 的 宽 D.(6-2x)(4-2x)=48 6.（2025·威海中考)如图，某校有一块长 20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作 管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同 的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成 面积均为24m的9个矩形地块，求小路的 宽度 20m 口能力提升 ◆◆整合运用 7.(2025一2026·梧州期末)如图，小程的爸爸 用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙 (墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m, 在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由 其他材料制成)，则BC的长为 A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3 m (第7题图) (第8题图) 8.如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上 修筑同样宽的道路（阴影部分），余下的部分 种上草坪.要使草坪的面积为540m,则道 路的宽为m. 9.（教材P21练习T1变式)如图，把一根长为 80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围 成一个正方形， (1)要使这两个正方形的面积之和为200cm, 该怎么剪？ (2)这两个正方形的面积之和可能为488cm吗？ 以 口思维拓展 ◆◆◆强化素养 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点 M从点B出发以每秒2个单位长度的速度 向点C运动，同时，点N从点C出发以每 秒1个单位长度的速度向点D运动，当一 个点运动到达终点时另一个点也随之停止 运动，设运动时间为ts.当t为何值时， △AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ 第二十五章一元二次方程18 第2课时 【名师导学 ◆◆◆预习新知 同新知梳理 ①传播问题：若有a个传染源，每个传 染源每轮传染x人，则n轮后的总人 数为a(1+x)" ②平均增长率（下降率）问题：a为增长 (下降)前的量，x为平均增长（下降） 率，n为增长（下降）次数，b为增长 (下降)后的量，则平均增长率的公式 为 ,平均下降率的公 式为 ☑例题引路 【例1】电脑病毒传播快，如果一台电脑 被感染，经过两轮感染后就会有169台 电脑被感染.若每轮感染中，平均一台 电脑会感染x台电脑，则下列方程正确 的是 () A.x(x+1)=169 B.1+x+x2=169 C.1+x+x(x+1)=169 D.1+(x+1)2=169 【名师点拨】传播问题：传播源十第一轮 被传染的十第二轮被传染的=两轮被 传染后的总数， 【学生解答】 【例2】某商场响应国家消费品以旧换新 的号召，开展了家电惠民补贴活动.4月 份投入资金20万元，6月份投入资金 24.2万元，现假定每月投入资金的增长 率相同. (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场7月 份投入资金将达到多少万元？ 【名师点拨】(1)设出未知数，再利用平 均增长率的公式列方程求解；(2)7月份 投入资金=6月份投入资金X(1十月平 均增长率). 【学生解答】 19数学九年级全一册(RJ) 传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 ◆·◆逐点击破 知识点1传播问题 1.(2025一2026·南宁江南区期中)秋冬季节是流感高发 期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传 染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为( ) A.1+x=121 B.(1+x2)=121 C.1+x+x2=121 D.1+x+x(1+x)=121 2.学科融合新趋势（教材P22练习T1变式）生物学家研 究发现，很多植物的生长都有这样的规律：主干长出若 干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分 支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干 和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出 个小分支. 知识点2平均增长（下降）率问题 3.地域文化情境化“苍苍森八桂，兹地在湘南.江作青罗 带，山如碧玉簪.”从唐代起，八桂就是广西的代称.八桂 大地孕育了丰富的药用植物.某药材种植基地的中药材 去年销售收人为25万元，明年预计达到36万元.设年 平均增长率为x,则可列方程为 A.25(1+x)=36 B.25(1+2x)=36 C.25(1+x+x2)=36 D.25(1+x)2=36 4.科技创新情境化在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪 潮中，我国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而 出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一.随 着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下 降，2023年电池成本约为1200元/(kW·h),2025年 电池成本约为972元/(kW·h),求这两年该电池成本 的年平均下降率. 【能力提升 >,整合运用 5.(2025·凉山中考)某钢铁厂1月份生产钢 铁560t,月平均增长率相同，第一季度共生 产钢铁1860t.若设月平均增长率为x,则可 列出的方程是 ( ) A.560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 6.某云平台的网络安全事件中，最初有4台服 务器遭受攻击并感染病毒.两轮传播后共有 196台服务器感染病毒，则每轮感染中平均 每台服务器感染的台数为 7.某商场9月份的销售额是200万元，10月份 的销售额下降了20%.该商场从11月份起 加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，12 月份的销售额达到了193.6万元.求11,12 这两个月销售额的月平均增长率. 8.节能环保情境化为了宣传低碳生活，小王写 了一封倡议书，用社交平台转发的方式传 播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发 表在自己的主页上，然后邀请x个好友转 发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相 同的好友转发.已知经过两轮转发后，共有 111人参与了本次活动. (1)求x的值； (2)再经过几轮转发后，参与人数会超过 10000人？ 思维拓展 >◆强化素养 9.小王了解到某理财产品按年计息，有单利和 复利两种不同的计息方式 单利是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前 期利息所产生的利息； 复利是指每年依据本金和前期利息之和计算利息， 小王准备用10000元购买该理财产品，有如 下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利方式存2年 方案二：按复利方式存2年. (1)设该理财产品的年利率为x,两年后方案 一的本息和为 元，方案二的本 息和为 元； (2)若两年后方案二得到的本息和比方案一 多25元，请计算该理财产品的年利率. 第二十五章一元二次方程20 第3课耳 【名师导学 >◆>预习新知 同新知梳理 ①循环问题：握手、单循环问题：总次数 n(n一1)(n≥2)；互赠礼物、双循环问 2 题：总次数=n(n-1)(n≥2). ②营销问题常用的等量关系：利润=售 价一进价，利润率=利润X100%,售 进价 价=进价X(1十利润率)，总利润= (售价一进价)×数量， ☑例题引路 【例1】一个两位数，它的十位数字比个 位数字小2，十位数字与个位数字的积 的3倍刚好等于这个两位数，求这个两 位数. 【名师点拨】数字问题：两位数=十位数 字×10十个位数字.解方程后要对方程 的根进行取舍，要符合实际意义，即个 位数字为非负整数 【学生解答】 到易错典例 【例2】某商店销售某种商品，平均每天 可售出20件，每件盈利40元.经调查 发现，商品销售单价每降1元，平均每 天可多售出2件.在每件盈利不少于25 元的前提下，要获利1200元，则每件商 品应降价 () A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元 【易错剖析】求解后需根据条件“每件盈 利不少于25元”进行取舍. 【学生解答】 21数学九年级全一册(RJ) 循环、数字与销售问题 口基础过关 ◆··逐点击破 知识点1循环问题 1.科技前沿情境化(2025一2026·南宁武鸣区期中)某高 校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机 器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进 行一场比赛)制，每组x个机器人.若每组共需进行15 场比赛，则可列方程为 () A.x(x-1)=15 B.x(x+1)=15 C.x(x-1=15 D.x(x+1D=15 2 2 【变式题】更改赛制：单循环→双循环 参加排球邀请赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的 比赛叫作双循环比赛)，共要比赛110场，则参加比赛的 球队有支. 知识点2数字问题 2.(教材P24习题T1变式)两个连续奇数的积为323，设其 中较小的一个奇数为x,则可列方程为 () A.x(x-2)=323 B.x(x+2)=323 C.x(x-1)=323 D.(2x-1)(2x+1)=323 3.一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数 字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是· 知识点3销售问题 4.某商品进价为3元/件，当售价为x元/件时可销售该商品 (x十3)件，此时获利160元，则该商品每件售价为元. 5.地域特色情境化广西是我国面积最大的火龙果产区， 为促进火龙果生长，火龙果园会安装LED灯，傍晚LED 灯同时点亮，场景蔚为壮观.某火龙果园迎来丰收季，其 成本为8元/kg,若按每千克15元销售，每天能售出 400kg,若销售价格每千克每上涨1元，日销售量就会 减少10kg. (1)如果每千克涨价x元，那么日销售量为 kg, 涨价后每千克的利润为 元；（用含x的式子 表示) (2)在保证薄利多销的前提下，要使日销售利润 达到3700元，销售价格应定为多少？ 【能力提升 )●整合运用 6.学科融合新趋势小明同学是一名古诗文爱 好者，在学习了一元二次方程这一章后，改 编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江 东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位 平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数 周瑜？”可算出周瑜去世时年龄是岁. 7.(教材P23练习T1变式)在一次聚会上，规 定每两个人见面必须握手，且握手1次. (1)若参加聚会的人共握手28次，请求出参 加聚会的人数； (2)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线 段AB上共有m个点（不含端，点A,B),线 段总数为21，求m的值. (3)琪琪想到另一个数学问题：若n边形的 边数增加1，对角线总数增加9，求边数n 的值. ·思维拓展 >>>强化素养 8.产业创新情境化自“苏超”开赛以来，江苏各 市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密 串联，有效带动了江苏文旅消费.某旅行社 推出了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动 方案进行升级，需要对定价和报名人数进行 调研. “跟着苏超去旅行”的活动调研 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活 素材1 动的人数是1500，随着“苏超”热度不 断提升，8月份的报名人数达到2160 经过研讨，旅行社初步制定方案为：30 素材2 人起组团；每人团费为900元 在统计游客的反馈后，发现每人团费每 素材3 下降10元，平均每个团的报名人数会 增加1人，但每人团费不低于750元 问题解决 求从6月份到8月份“跟着苏 确定 任务1 超去旅行”活动报名人数的平 增长率 均增长率 若旅行社要使平均每个团的 拟定价 任务2 总团费为32000元，求下调 格方案 后每人的团费 请完成“问题解决”中的任务1和任务2. 提示 请完成基本功专练（二） 第二十五章一元二次方程22根.(2)解：由1)得x=+1)±，/k=3》,=-1,,=2.由题意，得0<k-1< 2 1,解得1<k<2. 10.解：1)：∠ACB=90,BC=号，AC=b,AB=VBC+AC=√+F a6,:BD=合，AD=AB-BD=ya+4奶-a,(2)方程化为+az-6 2 0,A=a2-4X1X(-B)=a2+46.c=二a±a+4w.=二a+a+4 2 =二4一公干亚.“AD的长是方程的正根，遗之处：图解法不能表示方程的负 2 根.（合理即可) 25.2.3因式分解法 名师导学 ②00 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x一3)=0.于是得x=0,或x一3=0..x1=0,x2= 3.(2)左边因式分解，得(x-5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x+1=0..x1=5,x2= -1.(3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x+1.移项，得3x(2x+1)一(2x十1)=0.左边 因式分解，得(2x十1(3z-1）=0,于是得2z+1=0,或3z-1=0函=-分4=子 1 【例2】② 1.D2.C 3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴.x1=0,x2= 朵.(2)移项，得（5x十)-x(5z十)=0.左边因式分解，得(5x十4)1-)=0.于是得 5x十4=0，或1-x=0.x1=一号=1.(3)移项、合并同类项，得9x-4=0.左边 4 因式分解，得(3x+2)(3x-2)=0.于是得3x+2=0,或3x-2=0.∴=-号4=号. 4.D 5.解：(1)配方，得x2-2x十1=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2..x1=3, x2=-1.(2)原方程可化为3x2-7x十2=0.a=3,b=-7,c=2,∴.△=b2-4ac= （一7)2-4X3×2=25>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=-b±=4a匹= 2a 7告-告5=2=子 6.C7.20 8.解：(1)①B②等式的基本性质（2).a=3,b=一6，c=1,.△=b2-4ac=(一6)2 一4X3×1=24>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=二b士y-4c_6±25 2a 2×3 1上9=1+54=1-5.（3)移项，得3x一2》-（红-0=0.左边因式分解， 得(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x一2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8= 0..x1=2,x2=4. 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，把x 0代人x2+x十m一1=0，得m一1=0，解得m=1:当相同的根是x=2时，把x=2代人 x2十x十m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或一5. (3),关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a一b+c=0和9a十3b十 c=0,.该方程的两个根是x1=一1，x2=3.,方程(x一n)(x十3)=0的两个根是x1= n,x2=-3,且与方程ax2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.x+1=0,或x十4=0..x1=-1,x2 =-4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0.x-1=0,或x-2=0..x=1,x2= 4 2.(3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=一1，x2=6. 3 (4)左边因式分解，得(2x-3)(x+2)=0.…2x-3=0,或x+2=0.x=2西=-2. 2解：(13十}=号(2)设十2x=则原方程可变形为号+y-2.整，科 十2y十1=0，解得y1=y2=-1..x2+2x=一1，解得x1=x2=-1.经检验，x=-1是 原方程的根.∴.原方程的根为x=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 名师导学 ①-6 ÷@ 【例1】限：0运十=-（一）=4=1.2十=-号-号=马与 6 -2.(3)原方程化为x2+8x10=0,.x1+x2=一8，xx2=一10. 【例2】D 1.C2.C3.A4.55.-2 6.解：佳佳的解题过程未考虑△≥0这个条件.正确的解题过程如下：根据题意，得△= [-(2m-1D]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的关系，得a十6=2m-1,a6=m. ,a十b=ab-4,∴.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去)..m=-1. 7.C8.B9.C10.10 11.解：，方程x2+(a2一2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反数，x1十x2=-a2+ 2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2一1=0，符合题意；当a=2时，原方 程为x2十1=0，方程无实数根，舍去..a=0. 2果，71@合洁》”-++高出+后+2-0 1 √a√6 >0,+2=3.(3)令=a,-1=6,则。+a-1=0,8+6-7=0.:m≠-1 vab ≠-m,即a≠.∴a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴a十b= 1,ab=-7.+r=a+=(a+b)2-2ab=（-1)2-2×(-7)=15 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·广西热点】 1.A2.-33.C 4.)-告(2)号(3)号4)}6 5 1【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=（一6）2一4(2m+1)≥0，解得m≤4.（2)由根与系数的关系，得 x1+x2=6,x1x2=2m+1.2x1x2十x+x2≥20，.2(2m+1)+6≥20，解得m≥3. ,m≤4，.3≤m≤4. 6.解：1)由题意，得△=(2m+1)2-4(m+1)=4m-3≥0，解得m>子.(2)由根与系 数的关系，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2+1.x好+z=(x1十zx2)2-2z1z2=15, [-(2m+1]-2(m2+1)=15,解得m=2,m=-4.“m≥子m=2。 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 名师导学 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根 据题意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5; 当x=5时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm. 【例2】2 1.A2.43.11 4.解：设这个矩形摊位垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32-2x)=120,解得x1 5 =6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不符合题意，舍去；当x=10时，32一2x=12 <18,符合题意.∴.x=10.答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10m. 5.C 6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9,解得x1=0.5,x2 =8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 7.C8.2 9.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题意，得 ()广+(0）-20，解得五==40.∴要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-)m根据题意，得()）‘+(0之) =488,解得y=-8(舍去)，y2=88(舍 去)..这两个正方形的面积之和不可能为488cm, 10.解：：四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN -tCM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-t.SMS:8X6- 合×6X2-号×(8-20)×1-号×8×(6-)=号×8×6.整理，得2-6+8=0，解 得=2,2=4.∴当1=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的号。 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 名师导学 ②a(1+x)"=ba(1-x)m=b 【例1】C 【例2】解：(1)设该商场投人资金的月平均增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投人资金将 达到26.62万元. 1.D2.63.D 4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x.根据题意，得1200(1一x)2=972,解 得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平均下降 率为10%. 5.C6.6 7.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1一20%)(1 +x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：11,12这两个 月销售额的月平均增长率为10%. 8.解：(1)根据题意，得1十x+x2=111,解得1=10，x2=一11（不符合题意，舍去） .x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000=1111（人），四 轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000=11111（人）.，11111> 10000,∴.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 9.解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1+x)2-10000(1 十2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年 利率为5% 第3课时循环、数字与销售问题 名师导学 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3x(x+2)=10x十(x十 2).整理，得3x-5x-2=0,解得西=2，=-号（不符合题意，合去).x十2=4. 答：这个两位数为24. 【例2】A 1.C【变式题】112.B3.324.13 5.解：(1)(400一10x)(x+7)(2)根据题意，得(x+7)(400-10x)=3700,解得1 —6 =3,x2=30.要保证薄利多销，∴.x=3..15十x=18.答：销售价格应定为18元/kg. 6.36 7.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得号x(x-1)=28,解得=8，x2=-7 (不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8，(2)根据题意，得之(m十2)(m十1)=21， 解得m=5,m=一8（不符合题意，舍去）.·m的值为5.(3)根据题意，得2(n一3)十 9=号n+1)(n-2),解得n=10. 8.解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意， 舍去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20% (任务2)设下调后每人的团费为y元.根据题意，得(30+0902）=320，解得 =400,y2=800.:y≥750，.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A 2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.AC=AB·BC,∴a2=1-a,解得a1= ,-5(合去).AC=5号.(2设AC=,则BC=-2.AB-AC+ 2 BC=2x-2.AC=AB·BC,∴.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十5，x2=3-V5(舍 去)..AB=2x-2=4+2√5. 3解：【实践操作2【实践探累】：二胡的“千斤”倒在琴弦长的黄金分制点处， “千斤”下面一截琴弦长为80X5,1=405-40(cm. 2 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：2-z+1=(2-）+是>0a+6+c=0.(2a+6+c=06-a -c..ax2-bx+c=0可化为a.x2+(a+c)x+c=0.,'.△=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a+0洁a=d=-台=-l. 2a 2解：将a=26叶e代入2+名-名得2+号=2次+(26+0=(2b+06 化简，得26一36c-2=0.把c看作常数，利用求根公式进行计算，得b=3±√区。.：6 4 >c>0,b=3+☑。.a=5+)区。.a:6:c=5+7:3+亚：1.答案不唯 4 2 2 4 一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十2√17，b=3+√17，c=4. 第二十五章章末复习 思维导图 一整式？不相等相等无一合台 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D 7.解：(1)整理，得(x一2)2=24.由此可得x一2=士2√6..x一2=2√6，或x一2= 一2√6.∴.x1=2十2√6，x2=2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)+2(x-2)=0.左边因 式分解，得(x-2)(x十1十2)=0.于是得x-2=0,或x十3=0.∴x1=2,x2=一3. (3)原方程可化为2x2+2√2x+1=0.a=2,b=2√2，c=1,.△=-4ac=(2√2)2- 4X2X1-0方程有两个相等的实数根-一会-一得-竖 2 8.C9.-1 一7 10.解：(1)根据题意，得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)>0,解得m>2.(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2(m+1),x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-（x1+ x2)十1=7，即m2十5-2(m十1)+1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,∴.m=3. (3),x1≠x2,.7是方程的一个根.将x=7代入原方程，得49一14(m十1)十m2十5= 0,解得m1=4,m2=10.当m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符 合三边关系；当m=10时，方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成 三角形，舍去.∴这个三角形的周长为7十7+3=17. 11.D12.10% 13.解：1(44-30）(2)根据题意，得x(44-3)=160,解得=9=8.当x= 9时，44-3z=2>22,不符合题意，合去：当x=8时，4-3x=20<2,符合题意.答： 重建后的养鸡场的宽AB为8m. 聚焦课标 14.解：（任务1）设民宿宣传海报边框的宽为acm.根据题意，得(30十2a)(20+2a)= 816,解得a1=2,a2=一27（不符合题意，舍去）.答：民宿宣传海报边框的宽为2cm.(任 务2)①(200+)（30-品)②根据题意，得(200+x)(30-忌)-20(30-品)= 8600.整理，得x2-120x十32000=0.△=(-120)2-4×32000=-113600<0， 该方程无实数根.无法满足要求.（任务3）答案不唯一，合理即可，如：建议加强宣 传推广，融合特色文化等. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x 6.(1)y=-30.x2+360.x+4800(2)54007.C8.B 9.y=60+60(1+x)+60(1+x)2 10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x一2)]=-2x2+32x.自变量x的取值范围是2 <x<16.(2)由题意，得y=一2x2十32x=56,解得x1=2(不合题意，舍去)，x2=14. .x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 名师导学 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 【例】解：(1)如表所示. x 2 2 y=x2 y=2x2 y=-2.x2 … -8-20 -2-8… (2)如图所示.(3)对称轴都是y轴，顶点都是原点. y=2x2 1.D2.A 8 3.解：(1)如图所示.(2)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1. -6-420 246x -6 4.B5.<【变式题】<6.B7.2(答案不唯一)8.a>b>c>d 9.解：(1)根据题意，得十2<0，且k2十一4=2，解得=一3.(2)由(1)，得k=一3，则 y=一x2.∴函数图象的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.(3)，一1≤x≤2，一1<0， 当x=0时，y有最大值，最大值为0；当x=2时，y有最小值，最小值为一22=一4. 10.解：(1)1.8(2)由题意，得CE=0.2m,则yg=0.2-1.8=-1.6.令y=-1.6,则 -号x=-1.6,解得x=士E.∴EF=E-(-②)=2E(m). 11.解：(1)1(2)由(1)知a=1,即y=x2.将C(-1,n)代入，得n=(-1)2=1,∴.C(-1, 1).将D(m,9)代入，得m2=9,解得m=3(负值已舍去)，∴.D(3,9).设直线CD的函数 解析式为y=x+6,将C(-1,1D,DC3,9)代入，得一+6=1， 3k+b=9, (k-2.:y2+ 解得 b=3. 3.令x=0,则y=3,即P(0,3).∴Saa0=Sa0+Sam=合×3X1+2×3X3=6. 26.2.2二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 名师导学 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②上|k|下|1 【例】解：1)如图所示抛物线为的函数解析式是儿=-2，顶点坐标是(0，一2)， 对称轴是y轴.(2)当x=0时，y2有最小值-2.(3)0≤y2≤6 3 43-2+101234x 1.A2.C3.D 4.解：(1)当x=2时，y=}×4+3=4.点(2,4)在该函数的图象上.(2)< 41 5.A6.17.D8.C9.16 10.解：(1)2-5(2)·抛物线的函数解析式为y1=2x2-5,.顶点坐标为(0，-5)， 对称轴为y轴.(3)当-3≤x≤1时，函数值y1的取值范围是-5≤y≤13. 1.解：1)x为任意实数(2)①子②@如图所示.(3)B（④a< -2 -1O 9