25.2.3 因式分解法&专题2 一元二次方程的特殊解法（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

25 【名师导学 ◆◆预习新知 同新知梳理 ①用因式分解法的条件：方程ax2十 bx十c=0(a≠0)的左边能因式分解，化 为两个一次因式的乘积等于0的形式. ②理论依据：若ab=0,则a=或 b=· ③一般步骤：一移项（方程右边等于0）， 二分解，三转化，四求解. ☑例题引路 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2-3x=0; (2)x(x-5)+x-5=0; (3)6x2+3x=2x+1. 【名师点拨】在用因式分解法解一元二 次方程时，不要急于将方程化为一般 式，要先观察方程的特点，能因式分解 的先因式分解.如本题(3)的左边. 【学生解答】 易错典例 【例2】小明解方程的步骤如下，他是从 第 步开始出错的.（填序号） 解方程：2x2十8x=-4-x. 解：2x(x十4)=一(x十4).① 2x=-1.② 【易错剖析】用因式分解法解方程时，不 要将方程两边同时除以含有未知数的 式子，会导致漏根。 【学生解答】 11数学九年级全一册(R) .2.3因式分解法 基础过关 ◆◆◆逐点击破 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.一元二次方程(x+2)(x一5)=0的根是 () A.-2 B.5 C.2或-5D.-2或5 2.用因式分解法解方程，下列解法正确的是 () A.(x一2)(x-3)=2×3,则x一2=2或x一3=3 B.(x+3)(x一1)=1，则x+3=0或x一1=1 C.(2x-2)(3x-4)=0,则2x-2=0或3x-4=0 D.x(x+2)=0,则x+2=0 3.用因式分解法解下列方程： (1)4x2-11x=0; (2)5x+4=x(5x+4); (3)11x2-3x=2x2-3x十4. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 4.解方程x一√2=（√2-x)2,最合适的方法是( A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x=3; (2)x(3x-7)=-2. 【能力提升 >>◆整合运用 6.将(2x一1)2=10x-5转化为两个一元一次 方程，这两个方程是 ( ) A.2x-1=0,2x+1=-5 B.2x+1=5,2x-1=0 C.2x-1=0,2x-1=5 D.2x+1=0,2x-1=-5 7.(易错题)一个三角形的两边长分别是3和 8,第三边的长是方程x2一9x一13(x一9)=0 的根，则这个三角形的周长是 8.张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的 板书过程如下，请阅读并解答下列问题. 解方程：3x2一6x十1=0. 解：x2-2x= 1 3 …第一步 x2-2x+1= 第二步 (x1)2=2 3 第三步 x-1-± 。。。。。。。。。0。。。0。 3 第四步 x1=1+ 3x2=1 √6 3 第五步 (1)①张老师解方程的方法是 ( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 ②第二步变形的依据是 (2)请你用公式法解该方程； (3)请你用因式分解法解方程：3(x一2)2= x2-4. ·思维拓展 >>◆强化素养 9.新定义新趋势定义：若两个一元二次方程有 且只有一个相同的实数根，我们就称这两个 方程为“同伴方程”.例如，方程x2=4和 (x一2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数 根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”， (1)根据以上定义，下列方程属于“同伴方 程”的是 ;(填序号) ①(x-1)2=9; ②x2十4x十4=0； ③x2+2x-8=0; (2)若关于x的一元二次方程x2一2x=0与x2十 x十m一1=0为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 (a≠0)同时满足a一b+c=0和9a十3b十 c=0,且与(x一n)(x+3)=0为“同伴方程”， 求n的值. 提示 请完成基存功专练（一）》 第二十五章一元二次方程12 专题二一元二次方程的特 类型1十字相乘法（选用） 1.阅读下列材料： 材料一：将代数式x2+2x一35分解因式，我 们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项： x2=x·x,-35=(-5)×(+7). ②交叉相乘，验中项： 7x-5x=2x. X> ③横向写出两因式： x2+2x-35=(x-5)(x+7) 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方 法叫作十字相乘法。 材料二：根据乘法原理，若ab=0,则a=0或 b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2+5x+4=0; (2)x2-3x+2=0; (3)x2-5x-6=0; (4)2x2+x-6=0. 13数学九年级全一册(RJ) 殊解法【培养阅读理解能力】 类型2换元法 2.（2025一2026·南宁江南区月考)阅读以下 材料：如果一个分式方程中分母比较复杂且 各部分有相同的形式，可采用换元法，达到 简化运算的目的.例如，用换元法解方程： x+2十1-5 x2+1 x21 解：设千，则原方程可变形为y叶- y2· 整理，得2y2-5y十2=0，解得=2，%=2 1 当，千1=2时，方程可整理为2x-x十2=0， ,△=b2-4ac=-15<0,.方程无实数解. 当千7时，方程可整理为一2x十1= 0,解得x1=x2=1. 经检验，x=1是原方程的根. .原方程的根为x=1. (1)【感悟】用换元法解方程3x,十-1 x2-1x 时，若设，”二，则原方程可变形为 1 (2)【挑战】用换元法解方程：x2千2x x2十 2x=-2.根.(2)解：由1)得x=+1)±，/k=3》,=-1,,=2.由题意，得0<k-1< 2 1,解得1<k<2. 10.解：1)：∠ACB=90,BC=号，AC=b,AB=VBC+AC=√+F a6,:BD=合，AD=AB-BD=ya+4奶-a,(2)方程化为+az-6 2 0,A=a2-4X1X(-B)=a2+46.c=二a±a+4w.=二a+a+4 2 =二4一公干亚.“AD的长是方程的正根，遗之处：图解法不能表示方程的负 2 根.（合理即可) 25.2.3因式分解法 名师导学 ②00 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x一3)=0.于是得x=0,或x一3=0..x1=0,x2= 3.(2)左边因式分解，得(x-5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x+1=0..x1=5,x2= -1.(3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x+1.移项，得3x(2x+1)一(2x十1)=0.左边 因式分解，得(2x十1(3z-1）=0,于是得2z+1=0,或3z-1=0函=-分4=子 1 【例2】② 1.D2.C 3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴.x1=0,x2= 朵.(2)移项，得（5x十)-x(5z十)=0.左边因式分解，得(5x十4)1-)=0.于是得 5x十4=0，或1-x=0.x1=一号=1.(3)移项、合并同类项，得9x-4=0.左边 4 因式分解，得(3x+2)(3x-2)=0.于是得3x+2=0,或3x-2=0.∴=-号4=号. 4.D 5.解：(1)配方，得x2-2x十1=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2..x1=3, x2=-1.(2)原方程可化为3x2-7x十2=0.a=3,b=-7,c=2,∴.△=b2-4ac= （一7)2-4X3×2=25>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=-b±=4a匹= 2a 7告-告5=2=子 6.C7.20 8.解：(1)①B②等式的基本性质（2).a=3,b=一6，c=1,.△=b2-4ac=(一6)2 一4X3×1=24>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=二b士y-4c_6±25 2a 2×3 1上9=1+54=1-5.（3)移项，得3x一2》-（红-0=0.左边因式分解， 得(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x一2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8= 0..x1=2,x2=4. 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，把x 0代人x2+x十m一1=0，得m一1=0，解得m=1:当相同的根是x=2时，把x=2代人 x2十x十m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或一5. (3),关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a一b+c=0和9a十3b十 c=0,.该方程的两个根是x1=一1，x2=3.,方程(x一n)(x十3)=0的两个根是x1= n,x2=-3,且与方程ax2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.x+1=0,或x十4=0..x1=-1,x2 =-4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0.x-1=0,或x-2=0..x=1,x2= 4 2.(3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=一1，x2=6. 3 (4)左边因式分解，得(2x-3)(x+2)=0.…2x-3=0,或x+2=0.x=2西=-2. 2解：(13十}=号(2)设十2x=则原方程可变形为号+y-2.整，科 十2y十1=0，解得y1=y2=-1..x2+2x=一1，解得x1=x2=-1.经检验，x=-1是 原方程的根.∴.原方程的根为x=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 名师导学 ①-6 ÷@ 【例1】限：0运十=-（一）=4=1.2十=-号-号=马与 6 -2.(3)原方程化为x2+8x10=0,.x1+x2=一8，xx2=一10. 【例2】D 1.C2.C3.A4.55.-2 6.解：佳佳的解题过程未考虑△≥0这个条件.正确的解题过程如下：根据题意，得△= [-(2m-1D]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的关系，得a十6=2m-1,a6=m. ,a十b=ab-4,∴.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去)..m=-1. 7.C8.B9.C10.10 11.解：，方程x2+(a2一2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反数，x1十x2=-a2+ 2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2一1=0，符合题意；当a=2时，原方 程为x2十1=0，方程无实数根，舍去..a=0. 2果，71@合洁》”-++高出+后+2-0 1 √a√6 >0,+2=3.(3)令=a,-1=6,则。+a-1=0,8+6-7=0.:m≠-1 vab ≠-m,即a≠.∴a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴a十b= 1,ab=-7.+r=a+=(a+b)2-2ab=（-1)2-2×(-7)=15 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·广西热点】 1.A2.-33.C 4.)-告(2)号(3)号4)}6 5 1【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=（一6）2一4(2m+1)≥0，解得m≤4.（2)由根与系数的关系，得 x1+x2=6,x1x2=2m+1.2x1x2十x+x2≥20，.2(2m+1)+6≥20，解得m≥3. ,m≤4，.3≤m≤4. 6.解：1)由题意，得△=(2m+1)2-4(m+1)=4m-3≥0，解得m>子.(2)由根与系 数的关系，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2+1.x好+z=(x1十zx2)2-2z1z2=15, [-(2m+1]-2(m2+1)=15,解得m=2,m=-4.“m≥子m=2。 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 名师导学 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根 据题意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5; 当x=5时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm. 【例2】2 1.A2.43.11 4.解：设这个矩形摊位垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32-2x)=120,解得x1 5 =6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不符合题意，舍去；当x=10时，32一2x=12 <18,符合题意.∴.x=10.答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10m. 5.C 6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9,解得x1=0.5,x2 =8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 7.C8.2 9.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题意，得 ()广+(0）-20，解得五==40.∴要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-)m根据题意，得()）‘+(0之) =488,解得y=-8(舍去)，y2=88(舍 去)..这两个正方形的面积之和不可能为488cm, 10.解：：四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN -tCM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-t.SMS:8X6- 合×6X2-号×(8-20)×1-号×8×(6-)=号×8×6.整理，得2-6+8=0，解 得=2,2=4.∴当1=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的号。 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 名师导学 ②a(1+x)"=ba(1-x)m=b 【例1】C 【例2】解：(1)设该商场投人资金的月平均增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投人资金将 达到26.62万元. 1.D2.63.D 4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x.根据题意，得1200(1一x)2=972,解 得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平均下降 率为10%. 5.C6.6 7.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1一20%)(1 +x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：11,12这两个 月销售额的月平均增长率为10%. 8.解：(1)根据题意，得1十x+x2=111,解得1=10，x2=一11（不符合题意，舍去） .x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000=1111（人），四 轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000=11111（人）.，11111> 10000,∴.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 9.解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1+x)2-10000(1 十2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年 利率为5% 第3课时循环、数字与销售问题 名师导学 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3x(x+2)=10x十(x十 2).整理，得3x-5x-2=0,解得西=2，=-号（不符合题意，合去).x十2=4. 答：这个两位数为24. 【例2】A 1.C【变式题】112.B3.324.13 5.解：(1)(400一10x)(x+7)(2)根据题意，得(x+7)(400-10x)=3700,解得1 —6