21.3 特殊的平行四边形 暑期巩固 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质与判定，通过分层题型构建"概念-性质-判定-应用"完整逻辑链，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|18题|对角线性质转化、直角三角形中线应用|从平行四边形到矩形的性质递进，结合坐标系与动态问题| |菱形|20题|四边相等特性、对角线垂直应用|菱形与矩形性质对比，尺规作图与判定综合| |正方形|22题|折叠性质、旋转全等模型|正方形作为特殊矩形+菱形的性质融合，覆盖多考向| |综合应用|15题|中点四边形规律、动点轨迹分析|特殊四边形间关系及与三角形综合，培养数学思维|

人教版（2024）八年级下册 21.3 特殊的平行四边形 暑期巩固 用矩形性质求角度 1、如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　） A.41°    B.51° C.49°    D.59° 2、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　） A.30°    B.45° C.60°    D.120° 3、如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAO＝________. 5、（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？ 6、定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 用矩形性质求线段长或面积 1、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A.10cm    B.15cm C.20cm    D.40cm 2、已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（ ） A.S可能是24      B.可能是15      C.可能是12      D.可能是6 3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF是OA的中垂线，分别交AD、OA于点E、F.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△DEO的周长＝________ cm. 4、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2 cm，AE⊥BD于点E，且BE∶BD＝1∶4，求AC的长． 用矩形性质证明 1、如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是(　　) A.∠ABC＝90° B.AC＝BD C.OA＝OB D.OA＝AD 3、如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连接FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 4、如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 求矩形在坐标系中的坐标 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么a﹣b的值为（　　） A.﹣3    B.﹣1 C.3    D.1 2、如图，已知△OAB的顶点A，B在坐标轴上，A（4，0），∠BAO＝60°．矩形OCDE的顶点C，E分别在坐标轴上，且E（﹣1，0）．将矩形OCDE向右平移2个单位长度，点C恰好落在线段AB上，此时点D的对应点D′的坐标为（　　） A.    B. C.    D. 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为(　　) A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－) 4、在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为     ． 5、（教材改编）如图，四边形ABCD是矩形 ，O，B，D的坐标分别是（0，0），（b，0），（0，d）.求点C的坐标. 6、如图，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，B点坐标为（m，0），AB＝a，BC＝b，且满足．问m取何值时△OAC是直角三角形？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1、如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC＝3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时， 2、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(　　) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 3、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　    　°． 4、已知：如图，在△ABC，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F.求证：∠CBF＝∠ADE. 添加一个条件成为矩形 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，CE，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A.AB＝BE      B.DE⊥DC C.∠ADB＝90°      D.CE⊥DE 2、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 3、在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(　　) A.AB＝CD B.AC＝BD C.∠A＝∠D D.∠A＝∠B 4、ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件 　 　，使ABCD为矩形． 5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　                　．（写出一个即可） 6、一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE，DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 证明四边形是矩形 1、已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定☑ABCD为矩形的是（　　） A.∠A＝90°      B.∠B＝∠C C.AC＝BD      D.AC⊥BD 2、如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A.      B.， C.，，      D. 3、已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B      B.∠A＝∠C C.AC＝BD      D.AB⊥BC 4、木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为66 cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)． 5、用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有________．(只要填序号即可) ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2. ④量出两条对角线长，看是否相等． 6、如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BC于E，EO的延长线交AD于F，求证：四边形AECF是矩形． 矩形的判定与尺规作图的综合 1、平行四边形中，经过两条对角线的交点，分别交，于点，，在上通过作图得到点，，如图1，图2，下面关于以点，，，为顶点的四边形形状说法正确的是（ ） 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， 过点作于点，过点作于点 A.都为矩形    B.都为菱形 C.图1为矩形，图2为菱形    D.图1为矩形，图2为平行四边形 2、在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（ ） A.嘉嘉正确，明明错误    B.嘉嘉错误，明明正确 C.两人都正确    D.两人都错误 3、如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 4、下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中， 求作：矩形． 作法：如图，  1．以点A为圆心，长为半径作弧；  2．以点C为圆心，长为半径作弧；  3．两弧交于点D．点B和点D在异侧；  4．连接，． 所以四边形是矩形． （1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，画出了下图； （2）请你依据小明的画图过程进行证明． 证明： 综合利用矩形性质与判定计算或证明 1、下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的对角线平分一组对角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形 2、如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A.2 B.3 C.4 D.4 3、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 4、如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 综合利用矩形性质与判定求面积 1、如图，点O为正六边形对角线上一点，连接，，若正六边形的边长为6，则图中阴影部分的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，中，为钝角，以为边向外作平行四边形，为钝角，连结，，设，，的面积分别为，，，若知道的面积，则下列代数式的值可求的是（ ） A.      B.      C.      D. 3、如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( ) A.的面积      B.的面积      C.的面积      D.矩形的面积 4、如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为      ． 5、如图，在矩形中，，是边上两点（），，是边上两点，且，连接，，，．若，，，则阴影部分的面积为         ． 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝2，求四边形ABCD的面积． 7、如图，在ABCD中，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接AC，BD交于点O，G是线段AE的中点，连接OG．若AC＝3，OG＝2，求矩形AECF的面积． 矩形性质与判定的综合应用 1、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(　　) A. B. C. D. 2、如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3＝∠4．若∠1＝48°，则∠DGF的度数是（　　） A.48°    B.84° C.96°    D.98° 3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F． （1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF； （2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数； （3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数． 4、已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 用菱形性质求角度 1、如图，在菱形ABCD中，连接AC，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AD边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在AD上方画弧，两弧交于点F，作射线CF交AD边于点G．若∠B＝50°，则∠ACG的度数为（　　） A.30°    B.25° C.20°    D.15° 2、在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A.55°    B.57.5° C.60°    D.62.5° 3、如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 4、如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接PC，则∠DCF的度数为__________度． 5、如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　 　°． 6、如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 用菱形性质求线段长或面积 1、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B∶∠BCD＝1∶2，则对角线AC等于(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 2、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 3、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________． 4、（教材改编）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长. 5、（教材改编）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. 用菱形性质证明 1、下列性质中，菱形对角线不具有的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线所在直线是对称轴 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则OA ：OB ：BC的值可以是（　　） A.1 ：1 ：2    B.1 ：2 ：3 C.2 ：3 ：4    D.3 ：4 ：5 3、对角线        的四边形是菱形． 4、已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF，求证：∠ADE＝∠CDF． 5、如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 菱形性质的实际应用 1、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图所示）．若AB的长度为a，且=60°，则菱形ABCD的面积为（　　） A.      B. C.a2      D. 2、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5 m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为(　　) A.20m B.25m C.30m D.35m 3、如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2 012米停下，则这个微型机器人停在 　        　点． 4、[情境]部分图形通过剪拼后能够得到矩形． [操作1]嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． [操作2]淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． [操作3]淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） [操作4]嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 添加一个条件成为菱形 1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A.AB＝AC B.AE＝CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 2、如图所示，在正方形ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（　　） A.∠1＝∠2    B.BE＝DF C.∠EDF＝60°      D.AB＝AF 3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AB＝AD      B.AC＝BD C.AC⊥BD      D.∠ABO＝∠CBO 4、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是　   　（写出一个即可）． 5、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使DF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，请添加一个条件：　         　使四边形AECF为菱形（不需要说明理由）． 证明四边形是菱形 1、下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A.    B. C.    D. 2、顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　) A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边 3、探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，点H是CD的中点，连接HE，FH，求证：四边形DFHE是菱形． 菱形的判定与尺规作图的综合 1、如图1，在ABCD中，AD＞AB，∠ABC为钝角．要在对边BC，AD上分别找点M，N，使四边形ABMN为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（　　） A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确 2、如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线平分一组对角的四边形是菱形 3、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是　           　． 4、如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是　               　． 5、已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 6、在数学课上，老师让同学们以已知线段为对角线作一个菱形．小明和小红分别展示了他们各自的作法： 小明：如图： （1）分别以A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点B和D． （2）顺次连接A，B，C，D，则四边形是以为对角线的菱形． 小红：如图： （1）作的垂直平分线，交于点O． （2）在上截取． （3）顺次连接A，B，C，D，则四边形是以为对角线的菱形． 你认为他们作出的四边形一定是菱形吗？请说明理由． 综合利用菱形性质与判定计算或证明 1、已知四边形，延长至点，延长至点，连接．连接并延长交于点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A.      B. C.      D. 2、如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为(　　) A.100° B.105° C.110° D.120° 3、如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4、将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形ABCD，若AB＝3cm，则四边形ABCD的周长为 　   　cm． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为　　． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 7、[课本重现] 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： [操作1]小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． [操作2]小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； [操作3]小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 综合利用菱形性质与判定求面积 1、如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（ ） A.四边形EFGH是矩形 B.四边形不是菱形 C.四边形周长等于四边形的周长 D.四边形的面积为 2、如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ） A.96    B.84    C.66    D.48 3、有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是     ． 4、如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________． 5、如图，在□ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E、交BC于点O，在EO的延长线上截取OF＝OE，连接BE，CE，BF，CF． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若AD＝8，CE＝5，求EF的长及五边形ABFCD的面积． 6、如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积． 菱形性质与判定的综合应用 1、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 2、如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(　　) A.四边形CEDF为菱形 B.DE＝DA C.DF⊥CB D.CD＝BD 3、如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A.16 B.15 C.14 D.13 4、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________ cm. 5、综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； (1)以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 (2)如果，请求出菱形的面积 用正方形性质求角度 1、如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD＝BE，则∠BED的大小为(　　) A.15° B.22.5° C.30° D.45° 2、正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ大小为(　　) A.50° B.60° C.45° D.70° 3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝α，则∠AFE的度数为（　　） A.      B. C.      D. 4、如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝_____度． 5、（教材改编）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，求∠AEB的度数. 6、如图1是甘肃敦煌北朝时期洞窟中流行的一种平棋顶，它的中心为1～3个同心圆，圆形外套叠2～3层正方形，每一层正方形旋转角，以内层正方形的四角连接外层正方形四条边的中点，多个正方形套叠成棋格状．洞窟中的平棋顶更多的是装饰意义，并不具有承重等实际功能．如图2，已知正方形，作正方形的中点四边形．作法如下： ①连接交于点O； ②以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交线段的两侧于点M，N，连接，与交于点E； ③以点O为圆心，长为半径画圆，分别与线段交于点F，G，H； ④顺次连接，则四边形为正方形的中点四边形． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中画出正方形的中点四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 用正方形性质求线段长或面积 1、如图，正方形ABCD的边长为6，点E为BC上一点，连接DE，过点A作DE的垂线交CD于点F，连接BF．若CE＝2，则BF的长为（　　） A.    B. C.8    D. 2、如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的面积为（　　） A.    B.8 C.    D. 3、将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(　　) A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.18 cm2 4、在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为      ． 5、如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）若AF＝1，△DFE的面积为3，求EF的长． 6、四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 用正方形性质证明 1、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则下列结论错误的是（　　） A. B. C.x﹣y＝n D. 2、如图，在边长为1的正方形网格中有下列图形，点A、B、C、D都在正方形格子顶点上，和交于点E．则下列结论中有（　　）个是错误的． [结论一] 射线平分； [结论二] ； [结论三] A.0    B.1    C.2    D.3 3、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有(　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 4、如图，在正方形中，点O为对角线的中点，Q为上动点，作等腰，，，连接，，，下列四个结论中：①；②；③；④若，则最小值为，正确的是      ． 5、已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)求证：、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于． 6、如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF．求证：四边形BEDF为菱形． 正方形与折叠问题 1、如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（ ） A.三个角都相等的三角形是等边三角形      B.有两个角是的三角形是等边三角形 C.三边都相等的三角形是等边三角形      D.有一个角是的等腰三角形是等边三角形 2、如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长等于（ ）． A.      B.      C.      D. 3、如图，正方形中，为对角线，，分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处．若，则的长是（ ） A.      B.      C.      D. 4、如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为          ． 5、如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是       ． 6、综合与实践 [引入]纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． [操作]①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． [探究] (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 对正方形性质的理解 1、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A.四条边都相等    B.四个角都相等 C.对角线互相平分    D.对角线相等且互相平分 2、矩形和正方形都具有的性质是（ ） A.对角线互相平分且相等    B.对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直平分且相等    D.对角线平分一组对角 3、如图1，点在四边形内，满足，，则称点为四边形的一个等分角点．如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，两个四边形的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺在图中画图． (1)画出正方形的一个等分角点，使得点为格点，且满足； (2)画出四边形的一个等分角点，保留画图痕迹． 4、有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 用正方形性质求点的坐标 1、如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E，F分别在边BC，BA上，CE＝1，若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是(　　) A.1 B. C.2 D. 2、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（﹣，1）    B.（﹣1，﹣） C.（﹣1，）    D.（1，﹣） 3、如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度，则点B的对应点坐标为　      　． 4、如图，在平面直角坐标系中，△POB为等边三角形，点O（0，0），点B（2，0），以PB为边在PB右侧作正方形PBAC．则点C的坐标为　    　． 5、（教材改编）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0）， （0，d）.求B，C两点的坐标. 正方形性质的实际应用 1、去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ） A.8      B.10      C.6      D.5 3、小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为（ ）． A.      B.      C.      D. 4、七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为       ． 5、（教材改编）（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板？ 6、（教材改编）如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 添加一个条件成为正方形 1、小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件： ①AB＝AD； ②AC＝BD； ③AC⊥BD； ④AC平分∠DAB中， 选择其中一个条件填入（　　）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（　　） A.①③    B.①④ C.①③④    D.②③④ 2、已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（　　） A.AB＝BC      B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30°      D.AC＝AB 3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A.BD＝AB      B.OA＝OB C.AC⊥BD      D.OD＝AC 4、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件__________，使四边形BECF是正方形． 5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　            　，使得菱形ABCD为正方形． 6、如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 7、如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并证明你的结论． 证明四边形是正方形 1、如图，已知平行四边形ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 成为正方形． ①AB＝BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC＝90°； ④AC＝BD． 下列四种选法错误的是（　　） A.①②    B.①③ C.②③    D.①④ 2、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（　　） A.由①推出②，由②推出③ B.由②推出①，由②推出③ C.由①推出②，由③推出② D.由②推出①，由③推出② 3、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 4、小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为　       　． 5、如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作AF⊥BE.垂足为点F，且AF＝BE，过点F作MN∥BC，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形． 6、如图，已知矩形ABCD中，FA，HB，FD，HC分别平分∠BAD，∠ABC，∠ADC，∠BCD．求证：四边形EFGH是正方形． 综合利用正方形性质与判定计算或证明 1、如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A.结论Ⅰ对，结论Ⅱ错    B.结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C.结论Ⅰ，Ⅱ都对    D.结论Ⅰ，Ⅱ都错 2、如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 3、在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有(　　) A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个 4、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________． 5、如图，在Rt△ABC中，，，，，两锐角的角平分线交于点，点，分别在边，上，且，连接EF，则△CEF的周长为 　　. 6、如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH． 求证：四边形EFGH是正方形． 7、如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF. (1)求证：∠HEA＝∠CGF； (2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 综合利用正方形性质与判定求面积 1、如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 2、如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（ ） A.      B.      C.      D. 3、小明将4个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是a，b）拼成如图所示的五边形，则五边形的面积表示为　      　． 4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 中点四边形 1、如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形； ②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形； ④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（ ） A.①②③    B.②③④    C.①②④    D.①③④ 3、如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则  ． 4、如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为          ． 5、如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断并证明四边形EFGH的形状． （2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积． 6、定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接BE，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； (4)学习应用：若“等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为 ． 动点问题 1、如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A.      B.      C.或      D.或 2、如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（ ） A.①②③    B.①②④    C.①③④    D.①②③④ 3、如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是：      ．（填序号即可） 4、如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒． (1)当时，t的值为______． (2)当时，求t的值． (3)在点P和点Q的运动过程中是否存在，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． (1)请直接写出直线的函数表达式； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 最值问题 1、如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A.      B.      C.      D. 2、（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） ， A.12    B.13    C.      D. 3、如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为      ． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为      ． 4、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 其他问题 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 2、在四边形ABCD中，AB＝CD，∠DAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＋∠ACD＝90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为( )． A.4    B.      C.6    D. 3、如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 4、已知：点是正方形外部的一个点，，，，连接．过点作交延长线于点，连接，． (1)在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，的数量关系 5、如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． [问题探究]如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） [学以致用]如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 人教版（2024）八年级下册 21.3 特殊的平行四边形 暑期巩固（参考答案） 用矩形性质求角度 1、如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　） A.41°    B.51° C.49°    D.59° 【答案】C 【解析】 解：延长CB与直线b交于点M，如图， ∵a∥b，∠2＝41°， ∴∠BMA＝∠2＝41°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠1+∠BMA＝90°， ∴∠1＝90°﹣41°＝49°． 2、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　） A.30°    B.45° C.60°    D.120° 【答案】C 【解析】 证明：∵△EBC是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝60°． 3、如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1＝40°，则∠CFG的度数等于__________． 【答案】 130° 【解析】 解：延长HG交CD于M，如图所示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝40°，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FGH＝90°，∴∠FGM＝90°，∴∠CFG＝∠FGM＋∠2＝90°＋40°＝130°. 4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAO＝________. 【答案】 45° 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°－22.5°＝67.5°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°，∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°， 5、（教材改编）矩形的对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角是多少度？ 【答案】 解：如图，若∠AOB=50°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=DO=CO， ∴△AOB为等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB+∠OBA=180°-50°， ∴∠OAB=∠OBA=65°， ∴∠DAC=∠ACB=90°-65°=25°． 6、定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【答案】 （1）四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， 四边形ABCD是矩形， ， ， 为等边三角形， 故答案为：60． （2） ， ， 四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， ， ，， ，， ，，， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ， ， ， 在中， ， 用矩形性质求线段长或面积 1、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A.10cm    B.15cm C.20cm    D.40cm 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵矩形ABCD的周长为20cm， ∴AB+CB＝10（cm）， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴△BEC的周长＝CE+CB+BE＝CB+AE+BE＝AB+CB＝10（cm）． 2、已知矩形的两条邻边分别为，如果为整数，则关于矩形的面积，下列说法正确的是（ ） A.S可能是24      B.可能是15      C.可能是12      D.可能是6 【答案】A 【解析】 解：由题意得， 为整数， 中一定有一个数为偶数， 是8的倍数， 可能是24． 故选：A 3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF是OA的中垂线，分别交AD、OA于点E、F.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△DEO的周长＝________ cm. 【答案】 13 【解析】 解：∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AD＝BC，AC＝BD＝＝＝10(cm)，∴OD＝BD＝5cm.又∵EF是OA的中垂线，∴AE＝EO，∴△DEO的周长为EO＋OD＋ED＝OD＋AD＝5＋8＝13(cm)． 4、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2 cm，AE⊥BD于点E，且BE∶BD＝1∶4，求AC的长． 【答案】 解： 解法一：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD， 又∵OF⊥AD，∴OF∥AB， 又∵OB＝OD， ∴AB＝2OF＝4 cm， ∵BE∶BD＝1∶4，∴BE∶ED＝1∶3， 设BE＝x，ED＝3x，则BD＝4x，∵AE⊥BD于点E， ∴AE2＝AB2－BE2＝AD2－ED2， ∴16－x2＝AD2－9x2， 又∵AD2＝BD2－AB2＝16x2－16， ∴16－x2＝16x2－16－9x2,8x2＝32， ∴x2＝4， ∴x＝2，∴BD＝2×4＝8(cm)， ∴AC＝8 cm. 解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD， ∵BE∶BD＝1∶4， ∴BE∶BO＝1∶2，即E是BO的中点，又AE⊥BO， ∴AB＝AO， 由矩形的对角线互相平分且相等，∴AO＝BO， ∴△ABO是正三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠OAD＝90°－60°＝30°， 在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4， ∴AC＝2AO＝8. 用矩形性质证明 1、如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　) A.△AFD≌△DCE B.AF＝AD C.AB＝AF D.BE＝AD－DF 【答案】B 【解析】 解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE，可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC.又∵DE＝AD，∴△AFD≌△DCE(AAS)，故A正确； B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；C.由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，由矩形ABCD，可得AB＝CD，∴AB＝AF，故C正确； D.由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，由矩形ABCD，可得BC＝AD，又∵BE＝BC－EC，∴BE＝AD－DF，故D正确； 故选B. 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是(　　) A.∠ABC＝90° B.AC＝BD C.OA＝OB D.OA＝AD 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴A、B、C各项结论都正确，而OA＝AD不一定成立， 故选D. 3、如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连接FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥|BC， ∴∠DAF＝∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴DF∥BE，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠DCB＝90°，BC＝DA， ∵DF⊥AC， ∴∠ADF＝30°， ∴AF＝AD＝2， ∴DF＝＝2， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝8， ∵△ADF≌△CBE（AAS）， ∴EC＝AF＝2， ∴EF＝AC﹣AF﹣EC＝8﹣2﹣2＝4， ∴S△DEF＝EF•DF＝×4×2＝4， ∵M为DE的中点， ∴S△FME＝S△FDE＝×4＝2， 同理可得S△FNE＝2， ∴四边形MFNE的面积为S△FME+S△FNE＝4． 4、如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】 证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 求矩形在坐标系中的坐标 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么a﹣b的值为（　　） A.﹣3    B.﹣1 C.3    D.1 【答案】D 【解析】 解：设矩形的对角线交于点P，如图， 得P是两条对角线的中点， 得5+b＝2P纵＝2+13，a+9＝2P横＝5+15， 得b＝10，a＝11， 得a﹣b＝1． 2、如图，已知△OAB的顶点A，B在坐标轴上，A（4，0），∠BAO＝60°．矩形OCDE的顶点C，E分别在坐标轴上，且E（﹣1，0）．将矩形OCDE向右平移2个单位长度，点C恰好落在线段AB上，此时点D的对应点D′的坐标为（　　） A.    B. C.    D. 【答案】B 【解析】 解：如图，将矩形OCDE向右平移2个单位长度，点C恰好落在线段AB上，得到矩形O′C′D′E′，设点C平移后的点C′的坐标为（2，c）， ∵点C平移后的点恰好在线段AB上，∠BAO＝60°，A（4，0）， ∴∠AC′O′=30°，AO′=4-2=2， ∴AC′=2O′A=4. ∴O′C′==2， 解得c＝2， ∵矩形OCDE向右平移2个单位长度，E（﹣1，0）， ∴点D的对应点D′的坐标为（1，2）. 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为(　　) A.(0，－) B.(0，－) C.(0，－) D.(0，－) 【答案】B 【解析】 解：由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形OABC为矩形， ∴OC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠B′AC＝∠DCA， ∴AD＝CD，设OD＝x，则DC＝6－x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2＋OD2＝AD2，即9＋x2＝(6－x)2，解得x＝， ∴点D的坐标为(0，－)，故选B. 4、在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为     ． 【答案】 【解析】 解：水平上方矩形，长，宽，面积，形心坐标； 竖直中间矩形，长，宽，面积，形心坐标； 水平下方矩形，长，宽，面积，形心坐标； ∴， 重心横坐标， 重心竖坐标， 重心坐标为． 故答案为：． 5、（教材改编）如图，四边形ABCD是矩形 ，O，B，D的坐标分别是（0，0），（b，0），（0，d）.求点C的坐标. 【答案】 解：∵B（b,0），D（0，d）， ∴OB=b,OD=d, ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠CDO=∠CBO=90°，CD=OB=b，BC=OD=d, ∴C（b，d）． 6、如图，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，B点坐标为（m，0），AB＝a，BC＝b，且满足．问m取何值时△OAC是直角三角形？ 【答案】 解：∵， ∴a＝8，b＝15， ∴OA2＝AB2+OB2＝64+m2，AC2＝AB2+BC2＝64+225＝289，OC2＝（m+15）2， ∵m＞0，点C在x轴上， ∴只能是∠OAC＝90°， ∴OA2+AC2＝OC2，即64+m2+289＝（m+15）2， ∴m＝， ∴m取时，△OAC是直角三角形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1、如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC＝3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时， 【答案】D 【解析】 解：对于选项A， 连接DE，如图1所示， ∵CE⊥AB，点D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴DE＝AD＝CD＝AC， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α， 即∠BDC＝3∠ABD， 故选B正确，不符合题意； 对于选项C， 当E为AB中点时，则BE＝AB， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， 故选C正确，不符合题意； 对于选项D， 连接AO，并延长交BC于点F，如图2所示， 当E为AB中点时， ∵点D为AC的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得，点F为BC的中点， ∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠OBC=∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴OA＝OB， 在Rt△OBF中，OB＝2OF， ∴OA＝OB＝2OF， ∴AF＝OA+OF＝3OF， ∴S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF， ∴， 故选项D不正确，符合题意． 2、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(　　) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 【答案】D 【解析】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MC＝AB＝AM＝1.2 km.故选D. 3、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　    　°． 【答案】 38 【解析】 解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴EA＝EB＝EC＝DE， ∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA， 在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE， 同理可得∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝ 2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）=2∠BAD＝2×52°＝104°， 在等腰三角形BED中，． 4、已知：如图，在△ABC，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F.求证：∠CBF＝∠ADE. 【答案】 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADC＝90°， 又∵E是AC的中点， ∴AE＝DE， ∴∠ADE＝∠EAD＝90°－∠C， ∵BF⊥CA延长线于点F， ∴∠CBF＝90°－∠C， ∴∠CBF＝∠ADE. 添加一个条件成为矩形 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，CE，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A.AB＝BE      B.DE⊥DC C.∠ADB＝90°      D.CE⊥DE 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A，∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴四边形DBCE为矩形，故本选项错误； B，∵矩形的边和对角线不垂直，∴DE⊥DC时，四边形DBCE不为矩形，故本选项正确； C，∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴四边形DBCE为矩形，故本选项错误； D，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴四边形DBCE为矩形，故本选项错误． 2、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】D 【解析】 解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D. 3、在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(　　) A.AB＝CD B.AC＝BD C.∠A＝∠D D.∠A＝∠B 【答案】D 【解析】 解：条件为∠A＝∠B，理由是∵∠B＝∠C，∠A＝∠B，∴∠A＝∠C，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∴∠D＋∠A＝180°，∴AB∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥DC，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，即选项D能推出四边形ABCD是矩形，选项A、B、C都不能推出四边形ABCD是矩形，所以选项D正确，选项A、B、C都错误；故选D. 4、ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件 　 　，使ABCD为矩形． 【答案】 A 【解析】 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当AC＝BD时，ABCD为矩形． 5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　                　．（写出一个即可） 【答案】 D 【解析】 解：DE＝FG， 理由：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC， ∴DE∥FG， ∵DE＝FG， ∴四边形DFGE是平行四边形， ∵DG＝EF， ∴四边形DFGE是矩形． 6、一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 【答案】 能，如图， 依题意,,， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形. 7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE，DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴AD＝EC， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形. （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， 选择②AB＝AC， ∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECD是矩形． 证明四边形是矩形 1、已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定☑ABCD为矩形的是（　　） A.∠A＝90°      B.∠B＝∠C C.AC＝BD      D.AC⊥BD 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形， ∴选项A可以判定ABCD为矩形， 故选项A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时ABCD为矩形， 故选项B可以判定ABCD为矩形， 故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， 当 AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， ∴选项C可以判定ABCD为矩形， 故选项C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ∴选项D不能判定ABCD为矩形， 故选项D符合题意． 2、如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A.      B.， C.，，      D. 【答案】C 【解析】 解：，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， 故检查方法合理的是测量，，， 故选：C． 3、已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B      B.∠A＝∠C C.AC＝BD      D.AB⊥BC 【答案】B 【解析】 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠A＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意； C，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D，∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意． 4、木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为66 cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)． 【答案】 不合格 【解析】 解：∵＝68 cm≠66cm，∴这个桌面不合格， 5、用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有________．(只要填序号即可) ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2. ④量出两条对角线长，看是否相等． 【答案】 ①② 【解析】 解：①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确； ②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知，量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确； ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形；故此选项错误；综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②. 6、如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BC于E，EO的延长线交AD于F，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴EO＝FO， ∵AO＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE为矩形． 矩形的判定与尺规作图的综合 1、平行四边形中，经过两条对角线的交点，分别交，于点，，在上通过作图得到点，，如图1，图2，下面关于以点，，，为顶点的四边形形状说法正确的是（ ） 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， 过点作于点，过点作于点 A.都为矩形    B.都为菱形 C.图1为矩形，图2为菱形    D.图1为矩形，图2为平行四边形 【答案】D 【解析】 解：在平行四边形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图1作图可得， ∴图1以点为顶点的四边形为矩形； 由图2作图可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴图2以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：D． 2、在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（ ） A.嘉嘉正确，明明错误    B.嘉嘉错误，明明正确 C.两人都正确    D.两人都错误 【答案】C 【解析】 解：两人都正确，理由如下： 嘉嘉：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确； 明明：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故明明的作图正确； 故选：C 3、如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 【答案】 （1）证明：，，分别是，，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）解：理由：，， ． 又是的中点， ． ∴是等腰三角形 四边形是矩形， 平分． 4、下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中， 求作：矩形． 作法：如图，  1．以点A为圆心，长为半径作弧；  2．以点C为圆心，长为半径作弧；  3．两弧交于点D．点B和点D在异侧；  4．连接，． 所以四边形是矩形． （1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，画出了下图； （2）请你依据小明的画图过程进行证明． 证明： 【答案】 证明：由作图知，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形． 综合利用矩形性质与判定计算或证明 1、下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的对角线平分一组对角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 解：A，矩形的对角线相等，故选项A符合题意； B，菱形的对角线平分一组对角，故选项B不符合题意； C，矩形的对角线相等且互相平分，故选项C不符合题意； D，矩形的对角线互相平分且相等，故选项D不符合题意． 2、如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A.2 B.3 C.4 D.4 【答案】A 【解析】 解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C＝90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝2.∴BE＝CD＝.∴四边形BCDE的面积为2×＝2.故选A. 3、如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】 A 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 4、如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】 （1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 综合利用矩形性质与判定求面积 1、如图，点O为正六边形对角线上一点，连接，，若正六边形的边长为6，则图中阴影部分的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：过点E作于点M，垂足为M，连接， ∵ABCDEF是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得 四边形是矩形 ∴， ∴. 故选：B 2、如图，中，为钝角，以为边向外作平行四边形，为钝角，连结，，设，，的面积分别为，，，若知道的面积，则下列代数式的值可求的是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于， ∵平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ； 故选B 3、如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( ) A.的面积      B.的面积      C.的面积      D.矩形的面积 【答案】C 【解析】 解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 4、如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为      ． 【答案】 8 【解析】 解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC =S矩形B′C′CB =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 5、如图，在矩形中，，是边上两点（），，是边上两点，且，连接，，，．若，，，则阴影部分的面积为         ． 【答案】 【解析】 解：在矩形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若AB＝AD，且，EC＝2，求四边形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD，BC∥AD， ∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， 即CE＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF为矩形. （2）解：由（1）可知四边形AECF为矩形， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，AC＝，EC＝2， 由勾股定理得AE＝＝4， ∵AB＝AD，BC＝AD， ∴AB＝BC＝BE+EC＝BE+2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＝AE2+BE2， 即（BE+2）2＝42+BE2， ∴BE＝3， ∴BC＝BE+CE＝5， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝×5×4＝20． 7、如图，在ABCD中，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接AC，BD交于点O，G是线段AE的中点，连接OG．若AC＝3，OG＝2，求矩形AECF的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AF⊥CD， ∴AF⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AF⊥CD， ∴∠F＝90°， ∴四边形AECF是矩形. （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵点G是线段AE的中点， ∴AG＝EG， ∴OG是△ACE的中位线， ∴CE＝2OG＝4， ∵AC＝3， ∴AE＝＝＝， ∴矩形AECF的面积为×4＝4． 矩形性质与判定的综合应用 1、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，即∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.∵M是EF的中点，∴AM＝EF＝AP.因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，由三角形面积公式，得×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，∴AM的最小值是.故选D. 2、如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3＝∠4．若∠1＝48°，则∠DGF的度数是（　　） A.48°    B.84° C.96°    D.98° 【答案】B 【解析】 解：由题意得，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠1＝48°， ∴∠2＝48°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠3＝∠2＝48°， ∴∠4＝48°， ∴∠DGF＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣48°﹣48°＝84°. 3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F． （1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF； （2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数； （3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数． 【答案】 解：（1）过C点作CH⊥FG于点F, ∵CH⊥FG，DG⊥FG，BF⊥FG， ∴∠DGH=∠CHE=∠CHM=∠BFE=90°， ∵E为BC的中点， ∴BE=EC， 又∵∠BEF=∠CEH ∴△BFE△CHE（AAS） ∴CH=BF， ∵∠BEF＝70° ∴∠CEH=70°， ∵∠C＝110°， ∴FG//DC， ∴∠CHE=∠HCD=∠DGH=∠GDC=90°， ∴四边形CHGD为矩形， ∴GD=CH=BF； （2）如下图所示，过C点作CH⊥FG于点F, 与（1）同理可证CH=BF，∠DGH=∠CHM=90°，BE=EC， ∵DG＝BF， ∴CH=DG， 又∵∠CME=∠DMG， ∴△CHM△DGM ∴CM=DM， ∵BC＝DC， ∴EC=MC， ∵∠C＝110°， ∴∠CEM=∠CME=35°， ∴∠BEF＝∠CEM=35°； （3）当DG<CD时，DG-BF<CD， 当DG≥CD时，如下图，过C点作CH⊥FG于点F,过点C作CM⊥DG于M， ∵DG⊥FG，CH⊥FG，CM⊥DG ∴∠DGH=∠CHG=∠CMG=90°， ∴CH=GM， 由（1）得CH=BF， ∴DG－BF=DG-GM=MD≤CD，且当G在DC的延长线上时等号成立， 此时如下图， ∠BEF=∠CEG=∠BCD-∠G=110°-90°=20°． 4、已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】 （1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 用菱形性质求角度 1、如图，在菱形ABCD中，连接AC，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AD边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在AD上方画弧，两弧交于点F，作射线CF交AD边于点G．若∠B＝50°，则∠ACG的度数为（　　） A.30°    B.25° C.20°    D.15° 【答案】B 【解析】 解：由作图可知CG⊥AD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠BCA，∠BCA+∠ACG＝90°， ∴， ∴∠ACG＝90°﹣∠BCA＝90°﹣65°＝25°． 2、在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A.55°    B.57.5° C.60°    D.62.5° 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△AEB和△AFD中， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AB∥CD，∠B＝55°， ∴∠B＝180°﹣∠C， ∵∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣∠C， ∴∠EAF＝∠B＝55°， ∵∠AEF+∠AFE+∠EAF＝2∠AEF+55°＝180°， ∴∠AEF＝62.5°． 3、如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 【答案】D 【解析】 解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 4、如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接PC，则∠DCF的度数为__________度． 【答案】 45 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC，AB∥DC，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴∠ADF＝∠BDF＝30°，∴∠FDC＝30°＋60°＝90°，∵DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC＝45°， 5、如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　 　°． 【答案】 60 【解析】 解：∵AN，AM分别是∠BAO和∠DAO的角平分线， ∴∠OAN＝OAB，∠OAM＝OAD， ∴∠MAN＝∠OAN+∠OAM＝（∠OAB+∠OAD）＝BAD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC+∠DAB=180°， ∵∠MAN＝∠ABC， ∴∠BAD+∠BAD=180°， ∴∠BAD=120°， ∴∠ABC＝60°． 6、如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC. （2）解：∵四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∴∠ABO＝∠E＝50°， 又∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°． 用菱形性质求线段长或面积 1、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B∶∠BCD＝1∶2，则对角线AC等于(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BCD＝180°，AB＝BC，∵∠B∶∠BCD＝1∶2，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5.故选A. 2、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 【解析】 解：读图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为6×4×＝12.故选C. 3、如图，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为____________． 【答案】 6 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∴AB＝CD＝4，∵MN垂直平分AD，∴DN＝AN，∵△CND的周长是10，∴CD＋CN＋DN＝CD＋CN＋AN＝CD＋AC＝10，∴AC＝6， 4、（教材改编）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求： （1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长. 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=BC，∠BCD=2∠ACD，∠ABC=∠ADC， ∴∠BCD=60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴∠ADC=∠ABC=120°， ∴∠BAD=∠BCD=60°. （2）如图，∵△BCD为等边三角形，BD=6， ∴BD=BC=DC=AB=6， ∴DO=BD=3， ∴在Rt△COD中，∠COD=90°， 由勾股定理，得 OC=， ∴AC=2CO=6． 5、（教材改编）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. 【答案】 解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD， 在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=5，AO=4， ∴BO==3， ∴AC=2AO=8，BD=2BO=6． 用菱形性质证明 1、下列性质中，菱形对角线不具有的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线所在直线是对称轴 C.对角线相等 D.对角线互相平分 【答案】C 【解析】 解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，∴对角线所在直线是对称轴．故A，B，D正确，C错误．故选C. 2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则OA ：OB ：BC的值可以是（　　） A.1 ：1 ：2    B.1 ：2 ：3 C.2 ：3 ：4    D.3 ：4 ：5 【答案】D 【解析】 解：菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 由AC与BD垂直，OA，OB，BC能构成直角三角形， A.12+12≠22，则OA，OB，BC不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B.12+22≠32，则OA，OB，BC不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C.22+32≠42，则OA，OB，BC不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D.32+42＝52，则OA，OB，BC能构成直角三角形，故该选项符合题意． 3、对角线        的四边形是菱形． 【答案】 垂直平分 【解析】 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 故答案为：垂直平分． 4、已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF，求证：∠ADE＝∠CDF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AB＝CB=AD＝DC， ∵BE＝BF， ∴AB﹣BE＝BC﹣BF， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠ADE＝∠CDF． 5、如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】 （1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 菱形性质的实际应用 1、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图所示）．若AB的长度为a，且=60°，则菱形ABCD的面积为（　　） A.      B. C.a2      D. 【答案】B 【解析】 解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AH＝AB＝a， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝a2． 2、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5 m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为(　　) A.20m B.25m C.30m D.35m 【答案】C 【解析】 解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成. ∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF， ∴∠BMG＝∠BGM＝60°， ∴△BMG是等边三角形， ∴BG＝GM＝2.5(m)，同理可证：AF＝EF＝2.5(m)， ∴AB＝BG＋GF＋AF＝2.5×3＝7.5(m)， ∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4＝30(m)，故选C. 3、如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2 012米停下，则这个微型机器人停在 　        　点． 【答案】 E 【解析】 解：∵两个全等菱形的边长为1（米）， ∴一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为8×1＝8米， ∵2 012÷8＝251……4， ∴行走2 012米与行走4米后停下的点相同， 由图可知，行走4米后停在点E， ∴这个微型机器人停在E点． 4、[情境]部分图形通过剪拼后能够得到矩形． [操作1]嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． [操作2]淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． [操作3]淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） [操作4]嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】 解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 添加一个条件成为菱形 1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A.AB＝AC B.AE＝CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 【答案】D 【解析】 解：当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE＝EC， ∴平行四边形DECF是菱形． 其余选项均无法判断四边形DECF是菱形． 2、如图所示，在正方形ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（　　） A.∠1＝∠2    B.BE＝DF C.∠EDF＝60°      D.AB＝AF 【答案】B 【解析】 解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD， ∵CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF（SAS）， ∴BF＝FD， 同理，BE＝ED， ∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形． 3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AB＝AD      B.AC＝BD C.AC⊥BD      D.∠ABO＝∠CBO 【答案】B 【解析】 解：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形； 当∠ABO＝∠CBO时， 由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO， ∴∠ABO＝∠ADO， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； 当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形． 4、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是　   　（写出一个即可）． 【答案】 A 【解析】 解：这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形． 5、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使DF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，请添加一个条件：　         　使四边形AECF为菱形（不需要说明理由）． 【答案】 （1）证明：∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE与△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF. （2）解：添加AC⊥EF， 由（1）知，△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEF＝∠F， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． 故答案为：AC⊥EF． 证明四边形是菱形 1、下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A.    B. C.    D. 【答案】C 【解析】 解：A项，根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； B项，根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； C项，一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； D项，根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意． 2、顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　) A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边 【答案】B 【解析】 解：∵四边形EFGH是菱形， ∴EH＝FG＝EF＝HG＝BD＝AC，故AC＝BD.故选B. 3、探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 【答案】 图见解析；；；；四边形是平行四边形 【解析】 解：图形如图所示： ， 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，点H是CD的中点，连接HE，FH，求证：四边形DFHE是菱形． 【答案】 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠FCD＝∠DCE＝30°， ∵点H是CD的中点， ∴FH＝CH＝DH，EH＝CH＝DH， ∴FH＝HE， ∵∠DCE＝30°，DE⊥CB， ∴， ∴DF＝DE＝HE＝FH， ∴四边形DFHE是菱形． 菱形的判定与尺规作图的综合 1、如图1，在ABCD中，AD＞AB，∠ABC为钝角．要在对边BC，AD上分别找点M，N，使四边形ABMN为菱形．现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则可得出结论（　　） A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确 【答案】D 【解析】 解：方案甲：根据作图可知AM平分∠DAB，AN＝AB， ∴∠NAM＝∠BAM， ∵在ABCD中，AD∥BC， ∴∠NAM＝∠AMB， ∴∠BAM＝∠AMB， ∴AB＝BM， ∴AN＝BM， ∴四边形ABMN是平行四边形， ∵AB＝AN， ∴平行四边形ABMN是菱形，故方案甲正确； 方案乙：根据作图可知BA＝BM，AN＝AB，则AN＝BM， ∵AN∥BM， ∴四边形ABMN是平行四边形， ∵AB＝AN， ∴平行四边形ABMN是菱形，故方案乙正确． 2、如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线平分一组对角的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，理由如下：∵根据题意得：AB＝AC＝CD＝BD，∴四边形ABDC是菱形，故选B. 3、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是　           　． 【答案】 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解析】 解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON， ∵AD∥BC， ∴∠AMO＝∠CNO， 在△AOM和△CON中， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM＝CN， 又∵AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， 又∵MN⊥AC， ∴平行四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 4、如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是　               　． 【答案】 四条边相等的四边形是菱形 【解析】 解：根据题意得AB＝AC＝BD＝DC， ∴四边形ABDC是菱形. 故答案为：四条边相等的四边形是菱形． 5、已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 【答案】 （1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： （2）解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 6、在数学课上，老师让同学们以已知线段为对角线作一个菱形．小明和小红分别展示了他们各自的作法： 小明：如图： （1）分别以A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点B和D． （2）顺次连接A，B，C，D，则四边形是以为对角线的菱形． 小红：如图： （1）作的垂直平分线，交于点O． （2）在上截取． （3）顺次连接A，B，C，D，则四边形是以为对角线的菱形． 你认为他们作出的四边形一定是菱形吗？请说明理由． 【答案】 解：他们作出的四边形一定是菱形，理由如下： 由小明的作图可得，， ∴四边形是菱形； 由小红的作图可得，是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； ∴综上所述，他们作出的四边形一定是菱形． 综合利用菱形性质与判定计算或证明 1、已知四边形，延长至点，延长至点，连接．连接并延长交于点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A.      B. C.      D. 【答案】C 【解析】 解：A．∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 根据A选项解析可知，此时，故B不符合题意； C．当时，无法证明，故C符合题意； D．延长，取，连接、， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 根据A选项解析可知：， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即，故D不符合题意． 故选：C． 2、如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为(　　) A.100° B.105° C.110° D.120° 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，∴∠DAB＋∠B＝180°，∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，由三角形的内角和定理，得∠BAM＝∠NAD，设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠D＝∠AND＝180°－60°－2x，∵∠NAD＋∠D＋∠AND＝180°，∴x＋2(180°－60°－2x)＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°.故选A. 3、如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 解：∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．∵四边形ABCD是平行四边形，BA＝BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∥DE，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE，故④正确，综上可得①②③④正确，共4个．故选D. 4、将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形ABCD，若AB＝3cm，则四边形ABCD的周长为 　   　cm． 【答案】 12 【解析】 解：如图，作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，连接AC，BD交于点O． 由题意知AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长为3×4＝12（cm）. 故答案为：12． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为　　． 【答案】 2 【解析】 解：∵AD∥BC， ∴∠FDE＝∠BCE， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝EC， 在△BCE与△FDE中， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCFD是菱形， ∴BD＝DF＝CF＝2， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵∠A＝90°， ∴AB＝＝＝， ∴BF＝＝＝2. 故答案为：2． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 【答案】 （1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD＝BD＝， ∴平行四边形CEBD是菱形. （2）解：∵AB＝10， ∴CD＝=5， ∵DF⊥CE， ∴∠DFC＝90°， ∵CF＝3， ∴DF＝＝4， ∵四边形CEBD是菱形， ∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG， ∴EF＝CE﹣CF＝2， 在△DCG与△ECG中， ∴△DCG≌△ECG（SAS）， ∴DG＝GE， ∵FG2+EF2＝EG2， ∴（4﹣DG）2+22＝DG2， ∴DG＝， 故DG的长为． 7、[课本重现] 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： [操作1]小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． [操作2]小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； [操作3]小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 【答案】 （1）解：如图， 由题意可得为折痕，即为四边形的对角线， 由折叠的性质得垂直平分且垂直平分， 则四边形是菱形； （2）解：如图所示为所求； 由作图知，是的垂直平分线，则， 设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ∵四边形，四边形是矩形，且两个矩形相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴此时菱形的边长为． 故答案为：． 综合利用菱形性质与判定求面积 1、如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（ ） A.四边形EFGH是矩形 B.四边形不是菱形 C.四边形周长等于四边形的周长 D.四边形的面积为 【答案】D 【解析】 解：对于嘉嘉的作法： 连接，， 由作图可得垂直平分，垂直平分， ∴点H是的中点，点E是的中点，，， ∴，， ∵在矩形中，， 又，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴点F是的中点，点G是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴是菱形．故选项A错误． ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 对于琪琪的作法： 由题意可得，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形．故选项B错误． 设菱形的边长为x，即， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴菱形的边长为，周长为． ∴．故选项C错误． ∵，， ∴．故选项D正确． 故选：D 2、如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ） A.96    B.84    C.66    D.48 【答案】D 【解析】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 3、有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是     ． 【答案】 【解析】 解：∵矩形纸片和， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张相同大小的矩形纸片和， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 解得， 故答案为：． 4、如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为____________． 【答案】 4 【解析】 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E、F、G、H分别是四条边的中点，∴AE＝DG＝BE＝CG，AH＝DH＝BF＝CF，∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF(SAS)，∴EH＝EF＝FG＝GH，∴四边形EFGH是菱形，∵HF＝2，EG＝4，∴四边形EFGH的面积为HF·EG＝×2×4＝4. 5、如图，在□ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E、交BC于点O，在EO的延长线上截取OF＝OE，连接BE，CE，BF，CF． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若AD＝8，CE＝5，求EF的长及五边形ABFCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵EO垂直平分BC， ∴BO＝OC，BC⊥FE， ∵OF＝OE， ∴四边形BECF是菱形. （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8， ∵EO垂直平分BC， ∴，BC⊥FE， ∴， ∵四边形BECF是菱形， ∴OE＝OF＝3，∴EF＝6， ∴S□ ABCD＝BC•OE＝8×3＝24， ， ∴五边形ABFCD的面积＝S□ABCD+S△BCF＝24+12＝36． 6、如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积． 【答案】 （1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴BC＝CD， ∴BC＝CD＝AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形. （2）解：如图，连接CH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB，BC=6, ∴BE＝CE＝3， ∴AE＝， ∵AO＝OC，BE＝EC， ∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH， ∴＝． 菱形性质与判定的综合应用 1、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱形AECF的面积为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】 解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3， ∴假设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO＝∠ECO， ∵∠ECO＝∠ECB， ∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE， ∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得x＝1，∴CE＝2， 利用勾股定理得出：BC2＋BE2＝EC2， BC＝＝＝， 又∵AE＝AB－BE＝3－1＝2， 则菱形的面积是AE·BC＝2.故选C. 2、如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(　　) A.四边形CEDF为菱形 B.DE＝DA C.DF⊥CB D.CD＝BD 【答案】A 【解析】 解：如图所示， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠FCG＝∠ECG，∵EF是线段CD的垂直平分线， ∴∠CGF＝∠CGE＝90°，CF＝DF，CE＝DE， 在△CGF和△CGE中，∠FCG=∠ECG，CG=CG，∠CGF=∠CGE， ∴△CGF≌△CGE(ASA)，∴CF＝CE， ∴CF＝CE＝DF＝DE， ∴四边形CEDF是菱形， ∴A正确，B、C、D不正确；故选A. 3、如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A.16 B.15 C.14 D.13 【答案】A 【解析】 解：连接EF，AE与BF交于点O，如图， ∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB， 同理：AF＝BE，又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝8， ∴AE＝2OA＝16.故选A. 4、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________ cm. 【答案】 4 【解析】 解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4 cm2，∴AB·OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4 cm. 5、综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； (1)以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 (2)如果，请求出菱形的面积 【答案】 （1）小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形；理由如下： ∵四边形是矩形 ∴ ∴， 由折叠知：， ∴ ∴∥, ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 故时，四边形为菱形，甲成立， 而由小华折叠方法可知， 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 所以，故四边形不可能为菱形． 综上所述：小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形； （2）求菱形的面积如下： 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 用正方形性质求角度 1、如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD＝BE，则∠BED的大小为(　　) A.15° B.22.5° C.30° D.45° 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠ABD＝∠E＋∠BDE，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠E.∴∠E＝×45°＝22.5°，故选B. 2、正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ大小为(　　) A.50° B.60° C.45° D.70° 【答案】C 【解析】 解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝DA＝BC＝CD，∵P、Q分别为BC、CD的中点，∴DQ＝BP，∴CP＝CQ，∵∠C＝90°，∴∠CPQ＝45°，故选C. 3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝α，则∠AFE的度数为（　　） A.      B. C.      D. 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB＝∠DAC＝45°， 在△DCE和△BCE中， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠BEC， ∵∠DEB＝α， ∴∠BEC＝， ∴∠AEF＝∠BEC＝， ∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠DAC＝180°﹣﹣45°＝135°﹣. 4、如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝_____度． 【答案】 45 【解析】 解：设∠BAE＝x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AE＝AB，∴AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB＝(180°－∠BAE)＝90°－x°，∠DAE＝90°－x°，∠AED＝∠ADE＝(180°－∠DAE)＝ [180°－(90°－x°)]＝45°＋x°，∴∠BEF＝180°－∠AEB－∠AED＝180°－(90°－x°)－(45°＋x°)＝45°.答：∠BEF的度数是45°. 5、（教材改编）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，求∠AEB的度数. 【答案】 解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AD=AE，∠BAD=90°，∠DAE=60°， ∴∠BAE=90°+60°=150°， ∴∠AEB=（180°-150°）÷2=15°． 6、如图1是甘肃敦煌北朝时期洞窟中流行的一种平棋顶，它的中心为1～3个同心圆，圆形外套叠2～3层正方形，每一层正方形旋转角，以内层正方形的四角连接外层正方形四条边的中点，多个正方形套叠成棋格状．洞窟中的平棋顶更多的是装饰意义，并不具有承重等实际功能．如图2，已知正方形，作正方形的中点四边形．作法如下： ①连接交于点O； ②以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交线段的两侧于点M，N，连接，与交于点E； ③以点O为圆心，长为半径画圆，分别与线段交于点F，G，H； ④顺次连接，则四边形为正方形的中点四边形． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中画出正方形的中点四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 解：如解图，四边形为正方形的中点四边形． 用正方形性质求线段长或面积 1、如图，正方形ABCD的边长为6，点E为BC上一点，连接DE，过点A作DE的垂线交CD于点F，连接BF．若CE＝2，则BF的长为（　　） A.    B. C.8    D. 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°＝∠CDE+∠AFD， ∴∠AFD＝∠DEC， ∴△ADF≌△DCE（AAS）， ∴DF＝CE＝2， ∴CF＝4， ∴ . 2、如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的面积为（　　） A.    B.8 C.    D. 【答案】D 【解析】 解：连接EF，BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠DAB＝90°， 由勾股定理得BD＝， ∵四边形BEDF是菱形， ∴EF⊥BD，DE＝3，OE＝OF，OB＝OD， ∴OD＝， 由勾股定理得， ∴EF＝2OE＝2， ∴菱形BEDF的面积为. 3、将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(　　) A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.18 cm2 【答案】C 【解析】 解：如图AB、AF. ∵∠EAG＝∠BAF＝90°， ∴∠BAE＝∠FAG， 在△ABE和△AFG中， ∠ABE=∠AFG=45°，AB=AF，∠BAE=∠FAG， ∴△ABE≌△AFG， ∴S△ABE＝S△AFG， ∴S四边形AEBG＝S△ABF＝S正方形， ∴S阴＝4×S正方形＝9，故选C. 4、在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为      ． 【答案】 【解析】 解：如图，根据题意可得，，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是正方形， 设，， ∴，，， ∴，， ∵将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 5、如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）若AF＝1，△DFE的面积为3，求EF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAE+∠DAF＝90°， ∵DF⊥AG，BE⊥AG， ∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠BEA＝∠AFD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF（AAS）. （2）解：由（1）得△ABE≌△DAF（AAS）， ∴DF＝AE，BE＝AF＝1， 设EF＝x，则DF＝AE＝x+1， 由题意得 ， x2+x﹣6＝0， 解得x＝2或﹣3（舍弃）， ∴EF＝2． 6、四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 【答案】 （1）解：四边形是周长为m的正方形， ，， ； 故答案为：；； （2）解：由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为： ， ∴未被小正方形覆盖部分的面积为； （3）解：由（2）及题意得： 解得或 （舍） ， 以，为边长的两个正方形面积之和为． 用正方形性质证明 1、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则下列结论错误的是（　　） A. B. C.x﹣y＝n D. 【答案】A 【解析】 解：依题意得x+y＝m，x﹣y＝n， ∴（x+y）（x﹣y）＝mn， ∴x2﹣y2＝mn， 故选项A错误，符合题意； ∵x+y＝m，x﹣y＝n， ∴（x+y）2＝m2，（x﹣y）2＝n2， 即x2+2xy+y2＝m2①，x2﹣2xy+y2＝n2②， ①﹣②得4xy＝m2﹣n2， ∴xy＝， 故选项B正确，不符合题意； ∵x﹣y＝n， 故选项C正确，不符合题意； ①+②得2（x2+y2）＝m2+n2， ∴x2+y2＝， 故选项D正确，不符合题意． 2、如图，在边长为1的正方形网格中有下列图形，点A、B、C、D都在正方形格子顶点上，和交于点E．则下列结论中有（　　）个是错误的． [结论一] 射线平分； [结论二] ； [结论三] A.0    B.1    C.2    D.3 【答案】B 【解析】 解：如图：由网格图可知：四边形是正方形，为对角线， ∴射线平分，即结论一正确，不符合题意； 由勾股定理可得：，即结论二正确，不符合题意； 如图：由网格图可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即结论三错误，符合题意； 综上，错误的只有1个． 故选：B． 3、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有(　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】C 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝CB＝AD，∠A＝∠C＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，AB=BC，∠A=∠C，AD=CD，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO＝∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，∠MDO=∠M′BC,∠MOD=∠M′OB,DM=BM′,∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C. 4、如图，在正方形中，点O为对角线的中点，Q为上动点，作等腰，，，连接，，，下列四个结论中：①；②；③；④若，则最小值为，正确的是      ． 【答案】 ①②③④ 【解析】 解：①∵四边形为正方形， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，，故①正确； 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接， ∵点O为正方形对角线的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形的边长为4， ∴由勾股定理得，， 由题意知，根据轴对称的性质，的最小值为，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 5、已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)求证：、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于． 【答案】 （1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴四边形与正方形重合部分的面积等于 ． 6、如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF．求证：四边形BEDF为菱形． 【答案】 证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是正方形, ∴OB＝OD，OA＝OC, ∵AE＝CF, ∴OE＝OF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD, ∴平行四边形BEDF是菱形． 正方形与折叠问题 1、如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（ ） A.三个角都相等的三角形是等边三角形      B.有两个角是的三角形是等边三角形 C.三边都相等的三角形是等边三角形      D.有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， 由折叠可得，垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， 故选：C． 2、如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长等于（ ）． A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：四边形为矩形，，， ，，，， 由折叠可知，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 3、如图，正方形中，为对角线，，分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处．若，则的长是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】A 【解析】 解：∵正方形中，为对角线，， ∴，， 设， ∵将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处． ∴，，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 解得， 即的长是， 故选：A 4、如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为          ． 【答案】 【解析】 解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 5、如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是       ． 【答案】 【解析】 解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 由翻折得， ， ，， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ，且， ， 解得 ， ， ， 解得 ， 故答案为：． 6、综合与实践 [引入]纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． [操作]①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． [探究] (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【答案】 （1）解：由折叠可知， ， ， ， ； （2）解：由折叠知，， ， ， ， ， ． 对正方形性质的理解 1、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A.四条边都相等    B.四个角都相等 C.对角线互相平分    D.对角线相等且互相平分 【答案】C 【解析】 解：A、菱形、正方形四条边都相等，矩形四条边不都相等，故本选项不符合题意； B、矩形、正方形四个角相等，菱形的四个角不相等，故本选项不符合题意； C、菱形、矩形、正方形均具有对角线互相平分，故本选项符合题意； D、菱形的对角线互相平分但不相等，矩形、正方形对角线相等且互相平分，故本选项不符合题意； 故选：C． 2、矩形和正方形都具有的性质是（ ） A.对角线互相平分且相等    B.对角线互相垂直平分 C.对角线互相垂直平分且相等    D.对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 解：∵矩形的对角线互相平分且相等，正方形的对角线互相平分且相等， ∴矩形和正方形都具有的性质是对角线互相平分且相等， 故选：A． 3、如图1，点在四边形内，满足，，则称点为四边形的一个等分角点．如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，两个四边形的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺在图中画图． (1)画出正方形的一个等分角点，使得点为格点，且满足； (2)画出四边形的一个等分角点，保留画图痕迹． 【答案】 （1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作． 4、有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 【答案】 （1）解：如图所示： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形； 即剪开后拼成的图2是一个长方形纸片； （2）解：图2是一个长方形纸片，理由如下： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形． 即图2是一个长方形纸片． 用正方形性质求点的坐标 1、如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E，F分别在边BC，BA上，CE＝1，若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是(　　) A.1 B. C.2 D. 【答案】D 【解析】 解：如图，延长BF到G，使CG＝AE，连接OG，EF. ∵四边形OABC为正方形，且点B坐标为(3,3)， ∴OA＝OC＝3；∠A＝∠OCG＝90°；在△OAF与△OCG中，OA=OC，∠OAF=∠OCG，AF=CG，∴△OAF≌△OCG(SAS)，∴∠AOF＝∠COG，OF＝OG；∴∠EOG＝∠EOC＋∠AOF＝90°－45°＝45°；在△OFE与△OGE中，OF=OG，∠EOF=∠GOE，OE=OE，∴△OFE≌△OGE(SAS)，∴EF＝GE＝AF＋CE，设AF＝x，则EF＝1＋x，BF＝3－x，在Rt△EBF中，∵BE2＋BF2＝EF2，∴22＋(3－x)2＝(1＋x)2，∴x＝，∴AF＝，故选D. 2、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（﹣，1）    B.（﹣1，﹣） C.（﹣1，）    D.（1，﹣） 【答案】C 【解析】 解：作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，如图所示， 则∠CFO＝∠OEA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠AOC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCF和△AOE中， ∴△OCF≌△AOE（AAS）， ∴OF＝AE＝1，CF＝OE＝， ∴点C的坐标为（﹣1，）. 3、如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度，则点B的对应点坐标为　      　． 【答案】 （3，3） 【解析】 解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0）， ∴AB＝OA＝2， ∴B（2，2）， ∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度， 即将点B先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴点B的对应点坐标为（3，3）. 4、如图，在平面直角坐标系中，△POB为等边三角形，点O（0，0），点B（2，0），以PB为边在PB右侧作正方形PBAC．则点C的坐标为　    　． 【答案】 【解析】 解：过点P作PN⊥OB于点N，过点C作CM⊥NP，交NP的延长线于点M，交y轴于点E， ∵B（2，0）， ∴OB＝2， ∵△POB是等边三角形， ∴∠PBO＝60°， ∴ON＝NB＝1，PN＝， ∵四边形PBAC是正方形， ∴PC＝PB，∠CPB＝90°， ∵∠CMP＝∠PNB＝90°， ∴∠CPM＝∠PBN， ∴△MPC≌△NBP（AAS）， ∴CM＝PN＝，PM＝BN＝1， ∴CE＝+1，MN＝+1， ∴C（+1，+1）． 5、（教材改编）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0）， （0，d）.求B，C两点的坐标. 【答案】 解:∵四边形OBCD是正方形， ∴OB=BC=CD=OD，∠CDO=∠CBO=90°， ∵D（0，d）， ∴OD=d, ∴OB=BC=CD=d, ∴B（d，0），C（d，d）． 正方形性质的实际应用 1、去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：如下图： 根据题意，得，， ∴ ∴剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形后， ∴矩形的面积 故选：D． 2、如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ） A.8      B.10      C.6      D.5 【答案】A 【解析】 解：根据正方形的对称性， 可知阴影部分的面积． ∵， ∴． 故选：A． 3、小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为（ ）． A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：如图1，2中，连接． 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴，即 ∴， 在图1中，∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 4、七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为       ． 【答案】 【解析】 解：设七巧板正方形的边长为， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5、（教材改编）（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板？ 【答案】 解： （1）由已知，根据折叠原理，对折后所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等， 所以可以裁出正方形纸片. （2）如图，长方形ABCD中，分别以点A、点B为圆心，以宽AB的长为半径，在长方形ABCD的长AD，BC上分别截取AF=AB，BE=AB，连接EF，则四边形ABEF即为所求． 6、（教材改编）如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 【答案】 解：BE=AF，BE⊥AF. 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，又∵DE=CF， ∴AE=DF， 又∠BAE=∠D=90°，AB=AD， ∴△BAE≌△ADF（SAS）, ∴BE=AF，∠ABE=∠FAD， ∵∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠FAD+∠AEB=90°， ∴∠AOE=90°， ∴BE⊥AF． 故BE=AF，BE⊥AF． 添加一个条件成为正方形 1、小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件： ①AB＝AD； ②AC＝BD； ③AC⊥BD； ④AC平分∠DAB中， 选择其中一个条件填入（　　）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（　　） A.①③    B.①④ C.①③④    D.②③④ 【答案】C 【解析】 解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意； 矩形的对角线本身是相等的，所以添加AC＝BD不能判定四边形ABCD是正方形，故②不符合题意； 根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得③符合题意； 由AC平分∠DAB，可证明矩形ABCD的四边相等，根据四边相等的矩形是正方形，可得④符合题意， 所以所有正确选项的序号是①③④． 2、已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（　　） A.AB＝BC      B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30°      D.AC＝AB 【答案】B 【解析】 解：需要添加条件∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形. 3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A.BD＝AB      B.OA＝OB C.AC⊥BD      D.OD＝AC 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB＝AD，AC⊥BD， ∴由“菱形ABCD中，AC⊥BD”不能证明菱形ABCD为正方形， 故C不符合题意； ∵BD＝AB， ∴BD＝AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴菱形ABCD不是正方形， 故A不符合题意； ∵OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形， 故B符合题意； ∵OD＝AC＝2OA， ∴∠OAD＞45°， ∵AB＝AD，AC⊥BD， ∴∠OAB＝∠OAD＞45°， ∴∠BAD＝2∠OAD＞90°， ∴菱形ABCD不是正方形， 故D不符合题意. 4、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件__________，使四边形BECF是正方形． 【答案】 A 【解析】 解：添加条件：AC＝BC.理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形． 5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　            　，使得菱形ABCD为正方形． 【答案】 A 【解析】 解：添加AC＝BD， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴菱形ABCD为正方形． 6、如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 【答案】 （1）解：（1）由题意，作图如下： （2）∵平分，平分， ∴，． ∴． 又∵，平分， ∴（三线合一）． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）当或或时，矩形是正方形； 当时，则：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 7、如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并证明你的结论． 【答案】 解：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形. 理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC， ∴四边形AFCD为平行四边形， 又∵E为AD的中点，AF∥BD， ∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴BD＝AF， ∴BD＝CD， 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形AFCD为矩形, ∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点， ∴AD＝BC＝BD＝CD， ∵平行四边形ADCF为矩形， ∴矩形ADCF为正方形． 证明四边形是正方形 1、如图，已知平行四边形ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 成为正方形． ①AB＝BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC＝90°； ④AC＝BD． 下列四种选法错误的是（　　） A.①②    B.①③ C.②③    D.①④ 【答案】A 【解析】 解：A项，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②AC⊥BD时，菱形ABCD不是正方形，故此选项符合题意； B项，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； C项，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， 当③∠ABC     =90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； D项，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当④AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意． 2、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（　　） A.由①推出②，由②推出③ B.由②推出①，由②推出③ C.由①推出②，由③推出② D.由②推出①，由③推出② 【答案】D 【解析】 解：A项，对角线相等的四边形不一定是矩形，即由①不能推出②，正方形是特殊的矩形，即由②不可以推出③，故此选项不符合题意； B项，矩形是特殊的平行四边形，即由②可以推出①，正方形是特殊的矩形，即由②不可以推出③，故此选项不符合题意； C项，对角线相等的四边形不一定是矩形，即由①不能推出②，正方形是特殊的矩形，由③推出②，故此选项不符合题意； D项，矩形的对角线相等，即由②能推出①，正方形是特殊的矩形，即由③能推出②，故此选项符合题意. 3、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可得平行四边形ABCD是正方形，故A选项符合题意； 添加AC＝BD，∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形，得不到是正方形，故B选项不符合题意； 添加BD平分∠ABC，AB＝BC，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故C选项不符合题意； 添加AB＝BC，AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故D选项不符合题意. 4、小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为　       　． 【答案】 5 【解析】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∵四边形A′B′C′D′为正方形， ∴∠A′B′C′＝90°，A′B′＝B′C′＝AB＝5， ∴A′C′＝＝5. 5、如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作AF⊥BE.垂足为点F，且AF＝BE，过点F作MN∥BC，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠C＝∠ABC＝90°，BC＝AD，∵MN∥BC，∴MN∥AD，又∵AB∥CD，∴四边形AMND是平行四边形，又∵∠BAD＝90°，∴四边形AMND是矩形，∴∠AMN＝90°，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＋∠BAF＝180°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°，又∵∠ABC＝∠ABF＋∠EBC＝90°，∴∠BAF＝∠EBC，在△AFM和△BEC中，∠FAM=∠EBC，∠AMF=∠C=90°，AF=BE，∴△AFM≌△BEC(AAS)，∴AM＝BC，又∵AD＝BC，∴AM＝AD，又∵四边形AMND是矩形，∴四边形AMND是正方形． 6、如图，已知矩形ABCD中，FA，HB，FD，HC分别平分∠BAD，∠ABC，∠ADC，∠BCD．求证：四边形EFGH是正方形． 【答案】 证明：如图，∵矩形ABCD中，FA，HB，FD，HC分别平分∠BAD，∠ABC，∠ADC，∠BCD， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝45°， ∴∠F＝∠FEH＝∠FGH＝90°，AF＝FD， ∴四边形EFGH是矩形， ∵在△ABE和△DCG中, ∵ ∴△ABE≌△DCG（ASA）， ∴AE＝BE＝DG＝GC， ∴AF﹣AE＝DF﹣DG，即EF＝FG， ∴矩形EFGH是正方形． 综合利用正方形性质与判定计算或证明 1、如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A.结论Ⅰ对，结论Ⅱ错    B.结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C.结论Ⅰ，Ⅱ都对    D.结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【解析】 解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确，      故选：C． 2、如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】 解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠FCD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4.故选C. 3、在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有(　　) A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个 【答案】D 【解析】 解：无穷多个．如图正方形ABCD：AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外 很容易得四个角均为90°则四边形EHGF为正方形．故选D. 4、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________． 【答案】 3 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，∴△ADP≌△CDE(AAS)，∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3. 5、如图，在Rt△ABC中，，，，，两锐角的角平分线交于点，点，分别在边，上，且，连接EF，则△CEF的周长为 　　. 【答案】 4 【解析】 解：如图，过点作于，于，于， 在上取一点，使得，连接． 平分，平分，，，，，，，，四边形PMCN是矩形，四边形PMCN是正方形，，，在△PMJ和△PNF中， ，，，，，，，在△PEF和△PEJ中， ，∴△PEF≌△PEJ(SAS)，，，∴△CEF的周长，，，，∴△ECF的周长为4，故答案为：4． 6、如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH． 求证：四边形EFGH是正方形． 【答案】 ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3． ∵EG⊥FH， ∴∠1+∠3＝90°． ∴∠1＝∠2． ∴△COH≌△BOE(ASA)． ∴OE＝OH． 同理可证OE＝OF＝OG． ∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH． 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH为正方形． 7、如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF. (1)求证：∠HEA＝∠CGF； (2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 【答案】 证明：(1)连接GE，∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠CGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠HEA＝∠CGF； (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG＝HE， 在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH=DG，HE=HG， ∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)， ∴∠AHE＝∠DGH， 又∠DHG＋∠DGH＝90°， ∴∠DHG＋∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形； 综合利用正方形性质与判定求面积 1、如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【答案】A 【解析】 解：如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7.故选A. 2、如图，八边形的每个内角都为135°，它是一个旋转对称图形，最小旋转角为，其边长如图中数据所示．设阴影部分面积为，空白部分面积为，则的值为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】A 【解析】 解：如图，过旋转对称中心向两边作垂线，垂足分别为点，延长交于点，则四边形为正方形， ， ， ，， ，， ，，， 故， ， ， ． 3、小明将4个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是a，b）拼成如图所示的五边形，则五边形的面积表示为　      　． 【答案】 a2+ab+b2 【解析】 解：如图，根据题意得AB＝BD＝DF＝FA，∠BAF＝∠BAG+∠FAG＝90°， 所以四边形ABDF是正方形，且AB2＝a2+b2， 所以五边形的面积为：． 4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形. （2）连接AC，如图所示, ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2， ∴AD2＝AC2＝＝64， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 中点四边形 1、如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 2、如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形； ②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形； ④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（ ） A.①②③    B.②③④    C.①②④    D.①③④ 【答案】A 【解析】 解：①与不平行时，中点四边形是平行四边形，故存在无数个中点四边形是平行四边形，所以①正确； ②与相等且不平行时，中点四边形是菱形，故存在无数个中点四边形是菱形，所以②正确； ③与互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形是矩形，所以③正确； ④如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形是正方形，故存在两个中点四边形是正方形，所以④错误． 故选A． 3、如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则  ． 【答案】 【解析】 解：如图，连接， 矩形中，， ， 是的中点， ， 通过图形特点可得，，…… 以此类推，可得， ， 故答案为：． 4、如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为          ． 【答案】 【解析】 解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 5、如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断并证明四边形EFGH的形状． （2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积． 【答案】 解：（1）四边形EFGH为矩形． 理由如下：连接BD，如图， ∵△ABC≌△ADC， ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF＝AC，EF∥AC，HG＝AC，HG∥AC，EH∥BD，EH＝BD， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH为矩形． （2）在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝3， ∴AB＝BC＝， ∵∠DAC＝∠BAC＝30°，AB＝AD， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝， ∴EH＝BD＝， ∵EF＝AC＝3， ∴四边形EFGH的面积＝EH•EF＝×3＝． 6、定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接BE，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； (4)学习应用：若“等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为 ． 【答案】 （1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等角线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等角线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等角线四边形”． 故答案为：②③； （2）解： 是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． 在中，， ∴ 则 ∴ （4）解：若“等角线四边形”的对角线长为4，则 由（2）（3）可得， ． 该四边形周长的最小值为． 动点问题 1、如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A.      B.      C.或      D.或 【答案】B 【解析】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 2、如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（ ） A.①②③    B.①②④    C.①③④    D.①②③④ 【答案】A 【解析】 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵∠， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 当点和点重合时，四边形是矩形，而且，故不可能是正方形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：A． 3、如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是：      ．（填序号即可） 【答案】 ②③ 【解析】 解：如图，连接， 分别平分和， ， ， ，即，故①错误； D，F分别是的中点， 是三角形的中位线， ， 与等底等高， 与的面积相等， E是的中点， 的面积等于的一半， 的面积是面积的一半，故②正确； ， 四边形是平行四边形， 的大小不变， 若是菱形，则， ， 当时，则是菱形成立，故③正确； 同理，当时，四边形是矩形， 当且仅当时，四边形是正方形，故④错误； 故正确的有②③， 故答案为：②③． 4、如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒． (1)当时，t的值为______． (2)当时，求t的值． (3)在点P和点Q的运动过程中是否存在，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）． 【答案】 （1）∵ ∴ ∴ 解得 （2）方法一：作于点M，则四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， ∵， ∴， 解得，． 方法二：作于点M，则四边形CDMQ是矩形， ∴，，． 在中，， ， ∵， ∴． ∴，解得，． 方法三：作于点M，则． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．． ∴，． ∴． 在中，， ∵， ∴， 解得，． （3）作于点M，则四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 在中，， 又∵ ∵ ∴ ∴在点P和点Q的运动过程中不存在． 5、如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． (1)请直接写出直线的函数表达式； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 【答案】 （1）解：直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，， ，， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为， 点C为射线上一点， 直线的函数表达式为； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 轴， ， 又 ， 四边形是平行四边形； 如图，设与y轴交于点D， 点C为射线上一点且纵坐标为8， ， 将代入，得， 解得， ， ， ， 四边形是菱形； （3）解：①由（2）知四边形是菱形， ， 点A以每秒2个单位的速度匀速运动， 时，点F在线段上，， ， ，， 中边上的高， 的面积； ②的面积为9，点F在线段上时， 由①中结论得， 解得，符合要求； 的面积为9，点F在线段上时， 由题意知， 如图，作于点， 则， 又 ， ， 解得， 的面积， 解得， 综上可知，的面积为9时t的值为2或． 最值问题 1、如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 2、（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） ， A.12    B.13    C.      D. 【答案】B 【解析】 解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ， ， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 3、如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为      ． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为      ． 【答案】 【解析】 解：当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 变式题： 如图，连接， ∵四边形为菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ∴， ∴，， ∴， 是等边三角形， ∴． 故答案为：． 4、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】 （1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 其他问题 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（ ） A.8    B.9    C.10    D.11 【答案】C 【解析】 解：∵CD⊥AB，四边形ABEF是矩形， ∴∠ADC=∠F=90°， ∴∠1+∠DAN=∠2+∠DAN， ∴∠1=∠2， 又∵AF＝AD， ∴， ∴CD=NF=2，AC=AN， 又∵∠ACB=∠CAN=∠ANM=90°， ∴四边形ANMC是正方形， ∵NP＝HP，PG∥HE， ∴NG=GE， 设NG=GE=x，则BD=x，AD=FG=2+x，AB=FE=2+2x， ∵在中，, 在中，， ∴在中，+=，即：， ∴， ∴= ==4+6=10． 故选C． 2、在四边形ABCD中，AB＝CD，∠DAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＋∠ACD＝90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为( )． A.4    B.      C.6    D. 【答案】C 【解析】 解：如图，延长BC至点E，使CE=AD，连接AE， ∵∠DAC＋∠BCA＝180°，∠ACE+∠BCA=180°， ∴∠DAC=∠ACE， 在△ACD和△CAE中，， ∴△ACD≌△CAE， ∴S△ACD=S△CAE，∠EAC=∠ACD，CD=AE， ∵∠BAC＋∠ACD＝90°， ∴∠BAC+EAC=90°， ∵AB=CD， ∴△BAE是等腰直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△BAE=AB·AE=CD2， ∵S四边形ABCD=18， ∴CD2=18， 解得：CD=6，（负值舍去） 故选：C． 3、如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是           ． 【答案】 【解析】 解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 4、已知：点是正方形外部的一个点，，，，连接．过点作交延长线于点，连接，． (1)在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，的数量关系 【答案】 （1）如图1，补全图形． （2）如图2，延长到点， ， ，， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， 的度数是． （3），理由如下： 如图2，作于点，交的延长线于点，则， 交延长线于点， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 作交于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 5、如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． [问题探究]如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） [学以致用]如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】 解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $