高一数学下学期期末模拟卷（沪教版必修第二册，高效培优）

**基本信息** 沪教版高一数学期末模拟卷，覆盖复数、向量、三角函数、解三角形等必修二核心知识，通过分层题型与综合解答题，考查数学抽象、逻辑推理及几何直观等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|复数模、向量投影、三角函数最值|前6题基础巩固（4分），后6题能力提升（5分），如第5题结合投影向量考查向量数量积| |选择题|4/18|复数运算、函数单调性、三角形外心|第16题结合重心与外心，考查几何直观与逻辑推理| |解答题|5/78|三角函数性质、复数应用、解三角形动态问题|第19题三选一条件设计，第20题几何动态探究，体现创新应用与综合思维，符合高考命题趋势|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则__________． 【答案】 【详解】． 2．已知复数，则复数的模为________． 【答案】 【详解】， 则． 3．已知向量，，，若，则______． 【答案】0 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】因为向量，， 所以， 又，则，解得． 4．化简的结果是______. 【答案】1 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】原式. 5．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 6．已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，…………① ，…………② 联立以上两式可得：，， 所以. 7．函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 8．中，若，，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】 内心 【分析】通过判断两个同向单位向量之和的方向与的角平分线方向一致，即可推导点P的轨迹经过的三角形特殊点 【详解】因为是与同向的单位向量， 是与同向的单位向量，所以二者模长相等， 根据向量加法的平行四边形法则，两个模长相等的向量的和的方向， 与两向量夹角的角平分线方向一致， 因此的方向与的角平分线方向一致， 由，，可知： 与共线，即点P在的角平分线上， 又因为三角形的内心是三个内角角平分线的交点， 因此点P的轨迹一定通过的内心。 9．函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【分析】根据与轴交点求出，根据零点确定，求出函数解析式，然后根据对称轴与零点的距离求解. 【详解】结合题意， ，，所以， 过点，， 即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以， 解得 . 10．在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 【答案】 【分析】判断出三角形有两解时分析A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可． 【详解】根据正弦定理，，则. 有两解，则角有两个不同的取值. 因为，所以存在两个不同的对应同一个， 因此，即， 因此的取值范围是. 11．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，， 由，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以. 12．若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由已知条件可得，不妨设，根据向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可. 【详解】因为，，都在单位圆上，所以， 又因为，在中，由余弦定理可得， 又因为，所以， 设， 则， 所以 ， 当，即时，取最小值，为， 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， . 14．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式和二倍角正弦公式化简得，然后利用换元法及正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 因为在上单调递增，则，解得，所以． 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变换公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 则，所以. 16．点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 18．（14分） 已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数单位的性质结合复数的除法运算求得，再利用共轭复数的定义求解； （2）根据复数的乘法运算化简，再利用复数的几何意义列式求解； （3）先化简，再根据复数模的公式结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，，， 所以. 所以. （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 19．（14分） 在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2) 选条件①时面积为；选条件②时面积为；条件③无法使三角形唯一确定，不可选。 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式，可求角的三角函数值，进而求角. （2）若选①，可用余弦定理求三角形的边长，再求三角形面积；若选②，可用正弦定理求边，再利用两角和的正弦求，利用三角形的面积公式求面积即可；若选③，利用正弦定理判断满足条件的三角形不唯一，所以选③不满足题意. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得， 整理得， 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）选择条件①：因为的周长为， ，则， 由余弦定理，得，又， 所以，即，又， 解得，所以的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以的面积； 选择条件③：因为， 满足，所以角不唯一，与条件矛盾，故条件③不成立． 20．（18分） 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以． （2）解：设，由， 得， 即， 即， 因为不共线，所以，解得． （3）解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设， 则 因为，所以， 所以的取值范围是． 21．（18分） 如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.    (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，，结合数量积的定义运算求解； （2）由正弦定理可得，，根据面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值； （3）由正弦定理可得，，代入运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，， 若，则，，可得， 所以. （2）若，则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 可得的面积 ， 因为，则， 当，即时，取到最大值. （3）设，由（2）可得：，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 若，则， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则__________． 2．已知复数，则复数的模为________． 3．已知向量，，，若，则______． 4．化简的结果是______. 5．已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 6．已知，，则______. 7．函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 8．中，若，，则点的轨迹一定通过的______心． 9．函数的部分图象如图，，则_____. 10．在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 11．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 12．若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 14．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 16．点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 18．（14分） 已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 19．（14分） 在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 20．（18分） 如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 21．（18分） 如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.    (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； (3)若，求的值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1． 2． 3．0 4． 1 5．2 6． 7． / 8．内心 9． 10． 11． 12．/ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 1 2 3 4 B D C A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【解析】（1）因为，，所以， 由于，则，即.（2分） 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知，（4分） 解得，故的取值范围为.（6分） （2）由结合（1）可知，则， 所以 .（11分） 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，.（14分） 18．（14分） 【解析】（1）（1）因为，，，， 所以.（3分） 所以.（4分） （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为.（6分） 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是.（8分） （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得.（11分） 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为.（14分） 19．（14分） 【解析】（1）在中，， 由正弦定理可得， 整理得，（2分） 因为，，所以，即，（4分） 因为，所以.（5分） （2）选择条件①：因为的周长为， ，则， 由余弦定理，得，又， 所以，即，又， 解得，所以的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以的面积； 选择条件③：因为， 满足，所以角不唯一，与条件矛盾，故条件③不成立．（14分） 20．（18分） 【解析】（1）证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以，（2分） 所以．（4分） （2）解：设，由， 得， 即，（7分） 即， 因为不共线，所以，解得．（10分） （3）解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设，（12分） 则 （15分） 因为，所以， 所以的取值范围是．（18分） 21．（18分） 【解析】（1）由题意可知：，，， 若，则，，可得， 所以.（4分） （2）若，则，，， 在中，由正弦定理可得， 则，（6分） 在中，由正弦定理可得， 则， 可得的面积 ，（8分） 因为，则， 当，即时，取到最大值.（10分） （3）设，由（2）可得：，，， 在中，由正弦定理可得， 则，（12分） 在中，由正弦定理可得， 则， 若，则，（15分） 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为.（18分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $