专题05 平行线的性质和判定（含拐点问题）（期末复习专项训练+10大题型）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

**基本信息** 聚焦平行线判定与性质，以10类题型构建从基础到综合的训练体系，突出拐点、旋转等难点突破，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|30题|含判定、求角、网格作图等常考点，结合余角补角基础|从定义出发，构建"判定→性质→简单应用"的认知链| |综合突破|20题|涵盖多结论、拐点、旋转多解、三角尺问题等难点|以平行线性质为核心，融合动态几何与分类讨论，形成"性质+模型→复杂问题解决"的逻辑体系|

专题05 平行线的性质和判定（含拐点问题） 题型1 判定是否能使直线平行（常考点） 题型2 平行线的判定和性质多结论问题（重点） 题型3 利用平行线的性质求角（重点） 题型4 利用平行线的性质求解旋转多解问题（难点） 题型5 网格中作平行线或垂线 题型6 利用余角、补角或垂线求角 题型7 平行线的性质和判定的综合问题（重点） 题型8 利用平行线的判定与性质求解拐角问题（难点） 题型9 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（难点） 题型10 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定是否能使直线平行（共5小题） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 题型二 平行线的判定和性质多结论问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 10．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 利用平行线的性质求角（共5小题） 11．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 12．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的度数为_____． 14．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则______． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 题型四 利用平行线的性质求解旋转多解问题（共5小题） 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 18．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为___________． 题型五 网格中作平行线或垂线（共5小题） 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 23．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 题型六 利用余角、补角或垂线求角（共5小题） 26．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 27．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 28．（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，． (1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； (2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数． 29．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 30．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 题型七 平行线的性质和判定的综合问题（共5小题） 31．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 32．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接． (1)若，求的大小； (2)若，试判断和的大小关系并说明理由． 34．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 35．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 题型八 利用平行线的判定与性质求解拐角问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 37．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 39．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 40．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 题型九 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（共5小题） 41．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 42．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 43．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 44．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 45．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型十 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（共5小题） 46．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 47．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 48．（24-25七年级下·江西宜春·期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，若，求的度数； (3)探究：将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 49．（24-25七年级下·重庆梁平·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 50．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． $专题05 平行线的性质和判定（含拐点问题） 题型1 判定是否能使直线平行（常考点） 题型2 平行线的判定和性质多结论问题（重点） 题型3 利用平行线的性质求角（重点） 题型4 利用平行线的性质求解旋转多解问题（难点） 题型5 网格中作平行线或垂线 题型6 利用余角、补角或垂线求角 题型7 平行线的性质和判定的综合问题（重点） 题型8 利用平行线的判定与性质求解拐角问题（难点） 题型9 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（难点） 题型10 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定是否能使直线平行（共5小题） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示， 根据题意可知，，和是一对同位角， 根据同位角相等两直线平行可得，当时，． 故选：A． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法依次判定即可．本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和是同位角，，则，A选项正确； B、和是对顶角，不能得出，B选项错误； C、和是领补角，不能得出，C选项错误； D、和既不是同位角也不是内错角，不能得出，D选项错误； 故选：A． 题型二 平行线的判定和性质多结论问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 8．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴ ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴； ∵， 但无法得出， ∴无法得到 因而无法判断④正确； 综上，正确的有②③． 故选：C． 10．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到 ，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】①过点作， 如图： ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，故①正确； ②∵，平分，平分， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； ④∵， ∴，即， ∵， ，故④不正确． 综上，①②③正确， 故选：C． 题型三 利用平行线的性质求角（共5小题） 11．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的度数为_____． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和，邻补角的性质和平行线的内错角相等性质．作辅助线，构造内错角，再结合得到内错角相等，进而结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：如图 延长交于点， 在中， 故答案为16 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 题型四 利用平行线的性质求解旋转多解问题（共5小题） 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 18．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】根据题意，当，，三种情况，结合平行线的性质，折叠的性质解答即可． 本题考查了折叠，平行线的性质，角的计算，熟练掌握折叠性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置， ∴当时，经过折叠在上，不符题意， 当时，则， 根据折叠的性质，得； 当时，根据折叠的性质，得， 过点D作， 则， 故，， 故 故答案为：或． 题型五 网格中作平行线或垂线（共5小题） 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 23．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图的应用与设计 （1）①根据网格线的特点及平行线的性质作图； ②根据网格线的特点及垂线的性质作图； （2）根据点到直线的距离的定义求解； （3）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）解：①即为所求； ②即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为：； （3），理由为：垂线段最短； 故答案为：，垂线段最短． 25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了利用网格画平行线，垂线，平移的性质，平行线的性质，熟练的作图是解题的关键． （1）根据网格作垂线方法，由点向下平移1格，再向左平移5格到，连接交于，结合网格特点可得； （2）根据平移的性质，由点向右平移2格，再向上平移2格到，连接，再由点向左平移1格，再向上平移5格到，即为所求，由点向左平移2格，再向下平移2格到，连接，也为所求； （3）将向右平移1格到，向右平移1格到，由平行线的性质可得，，． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，或即为所求． （3）解：如图，将向右平移1格到，向右平移1格到，则， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 题型六 利用余角、补角或垂线求角（共5小题） 26．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可； （2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：因为点O为直线上一点， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）由（1）知， 因为与互余， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 27．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 28．（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，． (1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； (2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数． 【答案】(1)；；互补 (2)与仍互补，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想． （1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论； （2）分别用，表示出与，再将两角相加，即可得出结论； （3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与的特殊关系是互补． （2）解：仍具有．理由如下：将图1中的绕点逆时针旋转至图2时， 有，， ∵， ∴， 即将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补； （3）解：在（1）的条件下，，， 当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余； 当和都在外部时，如图， 此时，不可能与互余； 当和都在内部时，如图， ∴，不满足与互余； 当在内部，在外部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 当在外部，在内部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 29．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 30．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②是的平分线，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义，是解题的关键． （1）根据角平分线定义求出，根据余角定义得出，再求出结果即可； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②设，则，根据角平分线的定义求得，推出，根据，得出，求出， 据此求解即可判断． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵和互余， ∴， ∴； （2）解：①或； 当在左侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或； ②是的平分线．理由如下： ∵， ∴在左侧，如图所示： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 是的平分线． 题型七 平行线的性质和判定的综合问题（共5小题） 31．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 32．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段； （2）解：， ， ， 由（1）得，， ， ． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接． (1)若，求的大小； (2)若，试判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）根据平行线的性质即可求解； （）由平行线的性质可得，，，即得，进而由角平分线的定义得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 34．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 35．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 题型八 利用平行线的判定与性质求解拐角问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 37．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 38．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 39．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 40．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 题型九 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（共5小题） 41．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、． (1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________； (2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系； (3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)改变，或 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点作，进而得到，利用平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）同（1）法即可得出结果； （3）分点在线段的延长线上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）会发生改变； ①当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，则：， ∴， ∴； 综上：或． 42．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)数量关系不变，，理由见解析 (3)直角三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案； （2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论； （3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ． 又平分，平分， ． 又， ； 故答案为； （2）解：数量关系不变，，理由如下： ， ，， 平分， ， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： ， ，． ， ∴ ，即． 分别平分和， ，． ． ，， ． ． ，故是直角三角形． 44．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 45．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案； （2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案； （3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分∠DAE， ，， ； （2）与之间的数量关系是：；理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ； （3）与之间的数量关系是：．理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ． 题型十 利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（共5小题） 46．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 47．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 48．（24-25七年级下·江西宜春·期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，若，求的度数； (3)探究：将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点在直线的上方时，；当点在直线与直线之间时，；当点在直线的下方时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据平行线的性质可知，结合∠2＋∠FGE＋∠EGB＝180°，，，可求出的度数； （2）过点作，如图2所示，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可得到答案； （3）分三种情形：①如图3−1中，点在直线的上方时；②当点在直线与直线之间时；③当点在直线的下方时，分别利用平行线的判定与性质解决问题即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，即； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点在直线的上方时，过点作，如图3-1所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在直线与直线之间时，由（2）可得； ③当点在直线的下方时，过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 49．（24-25七年级下·重庆梁平·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③不可能为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的等腰，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，据此可得答案； ②过点作，则，则，再由即可求解； ③过点作，则，那么，，则，由角平分线的定义可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，即； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③不可能为，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． ∴不可能为． 50．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 (3) 【分析】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质结合三角形内角和即可求解； （2）①设与交于点，由，可得，再利用补角和三角形内角和得出即可； ②由（1）可知，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可； （3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用平分，平分，设，再利用平分和列式求出即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知，， 当时，如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示，    ∵， ∴， ∴； 当时，（舍， 综上，或； （3）解：当点在直线下方时，如图，    此时在外部，故不存在平分， 当点在直线上方时，如图，    ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角， ∴旋转时间． $