专题03 相交线与平行线（期末复习知识清单）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题03 相交线与平行线 相交 （一）邻补角与对顶角 邻补角：相邻且互补，和为；对顶角：位置相对，度数相等。 （二）垂线 相交成直角即为垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 （三）三线八角 两直线被第三条直线所截，分清同位角、内错角、同旁内角，是判定平行的基础。 平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 平行线的定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行； 基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （二）平行线的判定 （1）同位角相等. （2）内错角相等. （3）同旁内角互补，均可推出两直线平行. （4）推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的性质 （一）平行线性质 两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。 （二）命题、定理、证明 命题分题设与结论；正确命题为定理，可推理证明真假。 （三）平行线间距离 两条平行线间距离处处相等，指垂线段长度。 对顶角的识别 【例1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在下列的图中，与是对顶角的是（     ） A．B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B．C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各图中，和互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 对顶角相与邻补角的相关计算 【例2】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，直线，相交于点，，，则的度数为______． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，直线，相交于点，，，则________． 作垂线、平行线 【例3】（25-26七年级下·江西九江·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 【变式3-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 【变式3-3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 平行线的判定 【例4】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【变式4-1】（25-26七年级下·北京海淀·期中）按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【变式4-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 【变式4-3】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 利用平行线的性质探究角的数量关系 【例5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 【变式5-1】（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东江门·期中）在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 平行线性质和判定的综合应用 【例6】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式6-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：过内一点作交于点，作交于点 (1)如图1，求证： (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点，在射线上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，求的度数（证明过程中不能直接用三角形内角和） 【变式6-2】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式6-3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 易错点1 对顶角/邻补角 对顶角相等，邻补角和为，区分位置与数量关系。 易错点2 点到直线的距离 特指垂线段的长度，非线段本身。 易错点3 平行公理 仅限直线外一点，才有唯一平行线。 易错点4 判定/性质 判定由角推线平行，性质由线平行推角相等/互补，二者勿颠倒。 易错点5 线段关系 平行、垂直均针对直线，线段平行/垂直指所在直线满足对应关系。 垂线段最短的应用 【例7】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A．3.5 B．4.1 C．5 D．6 【变式7-1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之和大于第三边 【变式7-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示，用表示运动员成绩的理由（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式7-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂直的定义 C．点到直线，垂线段最短 D．两点确定一条直线 点到直线的距离 【例8】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 【变式8-2】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，点在直线外，点，，，在直线上，且，，，则点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点是直线外一点，点，，在直线上，且，，．下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5 C．点到直线的距离等于6 D．点到直线的距离一定不大于4 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例9】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是______． 【变式9-1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，的内错角是__________． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________________    技巧1 角度计算 利用对顶角、邻补角、平行线性质转化角，列式求解。 技巧2 平行证明 找出同位角、内错角、同旁内角，依据角的关系证平行。 技巧3 拐点模型 过拐点作平行线，拆分角度，结合平行线性质计算。 拐点模型 【例10】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【变式10-1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【变式10-3】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相交线与平行线 相交 （一）邻补角与对顶角 邻补角：相邻且互补，和为；对顶角：位置相对，度数相等。 （二）垂线 相交成直角即为垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 （三）三线八角 两直线被第三条直线所截，分清同位角、内错角、同旁内角，是判定平行的基础。 平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 平行线的定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行； 基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （二）平行线的判定 （1）同位角相等. （2）内错角相等. （3）同旁内角互补，均可推出两直线平行. （4）推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的性质 （一）平行线性质 两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。 （二）命题、定理、证明 命题分题设与结论；正确命题为定理，可推理证明真假。 （三）平行线间距离 两条平行线间距离处处相等，指垂线段长度。 对顶角的识别 【例1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在下列的图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线， 选项A，两角没有公共顶点，角的两边也不是反向延长线，与不是对顶角，不符合题意； 选项B，角的两边不是另一个角两边的反向延长线，与不是对顶角，不符合题意； 选项C，与是对顶角，符合题意； 选项D，角的两边不是另一个角两边的反向延长线，与不是对顶角，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可． 【详解】A．与有一条公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角，不是对顶角，故本选项错误； B．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确； C．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； D．与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角定义逐项验证即可． 【详解】解：D选项的图形中，与是对顶角；A、B、C选项的图形中，与不是对顶角． 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各图中，和互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角． 【详解】解：A：和没有公共顶点，不是对顶角，故A不符合题意 B：的两边不是两边的反向延长线，不是对顶角，故B不符合题意 C：的两边不是两边的反向延长线，不是对顶角，故C不符合题意 D：和有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，是对顶角，故D符合题意． 对顶角相等 【例2】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知比例求出 的度数，再利用对顶角相等得出 的度数，最后根据 即可求解． 【详解】解：， 与 的度数之比为 ， ， 直线 、 相交于点 ， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，直线，相交于点，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据对顶角相等得到，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，直线，相交于点，，，则________． 【答案】/30度 【分析】根据对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ∴． 作垂线、平行线 【例3】（25-26七年级下·江西九江·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据格点特点，相同，，则； （2）根据格点特点，四边形是正方形，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． 【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 【答案】见解析 【分析】将三角尺的一条直角边与重合，直尺靠紧三角尺的另一条直角边，平移三角尺使之前和重合的直角边经过点C，沿该直角边过点C画射线即可； 把三角尺的一条直角边与重合，移动三角尺使另一条直角边经过点D，沿该直角边过点D画射线交于点F即可． 【详解】解：如图，射线，即为所求． 【变式3-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的判定定理解题； （2）根据垂线的定义解题即可； （3）根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：线段的长度表示点P到直线的距离， ∴， 依据是垂线段最短． 【变式3-3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的画法和网格的特点作图即可； （2）根据垂线的画法和网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 平行线的判定 【例4】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 【变式4-1】（25-26七年级下·北京海淀·期中）按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知） ∴（依据：垂直的定义） ∵（已知） ∴（依据：同角的余角相等） ∴（依据：内错角相等，两直线平行） 【变式4-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 【答案】；；；角平分线定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据角平分线定义，平行线的判定即可求解． 【详解】解：与的位置关系是， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；；角平分线定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【变式4-3】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】先由角平分线定义及已知条件得到，再等量代换得到同位角相等即可说明． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 利用平行线的性质探究角的数量关系 【例5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)数量关系为： (3)与的数量关系是： 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到； （2）过P作．则，得到； （3）过P作，过作，即可得到，，， 再根据，，，得到，代入 ，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：过P作． ， ， ， ， ， ∴数量关系为：，理由如上； （3）解：与的数量关系是：． 由题意得，， 过P作，过作， ，，，， ，， ∵，， ∴， 整理得， ∴， 整理得． 【变式5-1】（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东江门·期中）在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）过点作，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)和之间存在的数量关系为 或 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，内错角相等，求出，利用内错角相等得到，从而得到最终答案； （2）过点T作，利用平行线与角平分线的性质得到对应角相等，再进行等量代换进行求解； （3）因为点在直线上，所以先对点的位置进行分类，再过点作平行于的辅助线，然后利用平行线和角平分线的性质得到对应角相等，最后通过等量代换进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图③，过点T作，则， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设， . ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，； ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴， ∴． ②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴； ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，和之间存在的数量关系为 或． 平行线性质和判定的综合应用 【例6】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， 又， ， ； （2）解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 【变式6-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：过内一点作交于点，作交于点 (1)如图1，求证： (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点，在射线上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，求的度数（证明过程中不能直接用三角形内角和） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作平分，由角平分线定义得出，，，证出，得出，，即可得出结论； （3）设，则，，得出，，求出，过点作，过点作，由平行线的性质得出，，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）证明：过点作平分，如图2所示： 则， 射线，射线分别平分和， ，， ， ， ，， ； （3）解：平分， ， 设，则，， ∵ ∴ ， ， ， ， 过点作，过点作，如图3所示： ， ，， ，，，， ，， ． 【变式6-2】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合对顶角，得到，证得结论； （2）根据题意，得到，得到，从而得到结果． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 【变式6-3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的补角相等可得到，可证明，得到，求得，即可证明结论成立； （2）由（1）知，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 易错点1 对顶角/邻补角 对顶角相等，邻补角和为，区分位置与数量关系。 易错点2 点到直线的距离 特指垂线段的长度，非线段本身。 易错点3 平行公理 仅限直线外一点，才有唯一平行线。 易错点4 判定/性质 判定由角推线平行，性质由线平行推角相等/互补，二者勿颠倒。 易错点5 线段关系 平行、垂直均针对直线，线段平行/垂直指所在直线满足对应关系。 垂线段最短的应用 【例7】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A．3.5 B．4.1 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点P是边上的动点，， ∴， ∴的长度不可能小于等于4，即 长不可能是3.5． 【变式7-1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】解：由题意，他选择的路线为公路，理由是垂线段最短. 【变式7-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示，用表示运动员成绩的理由（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】跳远成绩的定义是：从运动员落地痕迹中离起跳线最近的点，向起跳线作垂线段的长度即为运动员的成绩．其依据是垂线段最短这一几何公理． 【详解】解：根据跳远比赛的规则，运动员的成绩是由落地时身体接触沙坑的点中，距离起跳线最近的点到起跳线的距离决定的． 起跳线是一条直线，图中点在起跳线上，是从落地痕迹点向起跳线所作的垂线段，根据几何公理“垂线段最短”，点到直线的所有连线中，垂线段的长度是最短的， 因此，用垂线段的长度来表示成绩，能客观反映运动员的有效跳远距离，综上，理由是“垂线段最短”，故选C． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂直的定义 C．点到直线，垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 点到直线的距离 【例8】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴小明最终的跳远成绩是线段的长度． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 【答案】A 【详解】解：A、点到直线的距离为线段的长，即为6，故说法正确； B、点到直线的距离为线段的长，即为8，故说法不正确； C、点到的距离不等于6，不符合点到直线的距离为垂线段的长，故说法不正确； D、点到的距离为线段的长，即为10，故说法不正确． 【变式8-2】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，点在直线外，点，，，在直线上，且，，，则点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，， ∴点到直线的距离为． 【变式8-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点是直线外一点，点，，在直线上，且，，．下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5 C．点到直线的距离等于6 D．点到直线的距离一定不大于4 【答案】D 【详解】解：∵点是直线外一点，点，，在直线上，且，，， ∴点到直线的距离一定不大于4． 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例9】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是______． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截线）的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：的同位角是． 【变式9-1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________． 【答案】 【详解】解：与是同旁内角的角为． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，的内错角是__________． 【答案】 【详解】解：根据内错角的定义可得的内错角是． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________________    【答案】、、 【详解】解：由图可知，与是同旁内角的角为、、． 技巧1 角度计算 利用对顶角、邻补角、平行线性质转化角，列式求解。 技巧2 平行证明 找出同位角、内错角、同旁内角，依据角的关系证平行。 技巧3 拐点模型 过拐点作平行线，拆分角度，结合平行线性质计算。 拐点模型 【例10】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）设的“系数平衡角”是，由“系数平衡角”定义列方程即可得出； （2）过点作直线，利用平行线的内错角相等得出，是的“系数平衡角”，推出，再结合，求解即可； （3）根据，，设，，，， 再根据是的“系数平衡角”，可得，然后分类讨论：①当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线，②当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线，结合平行线的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）∵设的“系数平衡角”为， ∴根据题意，， ∵， ∴； （2）如图，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的“系数平衡角”， ∴根据题意，，即， ∵， ∴，解得：； （3）∵，， ∴设，，，， ∵是的“系数平衡角”， ∴， 分类讨论：①如图，当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ∴综上，为或． 【变式10-1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）本题考查平行线拐点模型（M模型），拐点模型的解题特点是：遇到拐点画平行线．作，然后根据平行线的性质即可求解． （2）①利用第一问的模型可求出，再利用角平分线性质即可求出．②利用模型继续求，…，观察可发现规律． （3）本题主要考查的拐点模型的生活应用，利用模型（1），按照平行线性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， ， ． （2）①由（1）的模型可得， ， 平分，平分， ，， ， 设，， ． ②由①得， ， 同理，， … ． （3）作和，使, 由第（1）问模型可知， ，， 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 【变式10-3】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $