专题01 基本平面图形（期末复习知识清单）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题01 基本平面图形（3知识&14题型&2易错） 【清单01】直线、射线与线段 1．核心概念与特征： 直线：有个端点，可向无限延伸，度量长度； 射线：有个端点，可向无限延伸，度量长度； 线段：有个端点，延伸，度量长度。 2．表示方法： 直线：用（无顺序）或表示； 射线：用的两个大写字母表示（端点在前）； 线段：用（无顺序）或表示。 3．基本事实： 两点确定一条（经过两点有且只有一条直线）； 两点之间最短（两点间所有连线中，线段长度最短）。 4．相关概念： 两点间距离：连接两点的； 线段中点：将一条线段的点（若O是AB中点，则）。 【清单02】角的概念与表示 1．定义： 由组成的图形（公共端点为顶点，两条射线为边）；也可看作一条射线绕旋转形成的图形。 2．特殊角： 平角：终边与始边成一条直线，度数为； 周角：终边与始边重合，度数为； 直角：度数为（平角的一半）。 3．表示方法（共4种）： 三个大写字母（顶点在中间）； 一个大写字母（顶点处只有一个角）； 阿拉伯数字（角内部加弧线标数字）； 小写希腊字母（角内部加弧线标字母）。 4．角度制换算： 度量单位：、、； 换算关系：，（六十进制）。 5．钟表中的角： 12个大格，每个大格对应； 分针转速：1分钟转；时针转速：1小时转，1分钟转。 6．方位角： 以为基准表示方向； 禁忌：不说“东偏北”这类反向表述，正东、正西等无需标角度。 【清单03】角的平分线与互余互补 1．角的平分线： 定义：从角的出发，把这个角分成的射线； 几何语言：若OC是的平分线，则。 2．余角与补角： 余角：两个角的和为，互为余角； 补角：两个角的和为，互为补角； 性质：的余角相等，的补角相等。 【清单04】多边形的相关概念 1．定义： 平面内，由若干条的线段组成的封闭图形。 2．组成要素： （线段）、、（相邻两边组成的角）。 3．对角线： 定义：连接多边形的线段； 数量规律：n边形中，从一个顶点出发可作条对角线，分成个三角形；总对角线数为条。 4．正多边形： 且的多边形。 【清单05】圆的基本概念 1．定义： 平面内，线段OA绕固定端点（圆心）旋转一周，另一个端点A形成的图形。 2．核心元素： 半径：线段OA（圆上任意一点到圆心的距离都等于）； 弦：连接圆上任意两点的线段（是最长的弦）； 直径：经过的弦，直径（r为半径）； 弧：圆上任意两点间的部分（大于半圆，用三个字母表示；小于半圆，用两个字母表示）。 3．表示方法： 以O为圆心的圆记作，读作“圆O”。 【题型一】关于“三线”的作图问题 例1．如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，相交于点O； (3)画射线，并在射线上作线段，使（用尺规作图，保留作图痕迹）； (4)数一数，此时图中共有 条线段． 变式1-1．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．延长线段到C   B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 变式1-2．下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 变式1-3．如图，已知三点A、B、C，请完成作图： (1)画直线、画射线； (2)连接，并在延长线上取点E，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） 【题型二】两点之间线段最短 例2．如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2-1．如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 变式2-2．点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，，则线段的长为 ． 变式2-3．一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，若为线段的中点，，则的长度为 ． 【题型三】点、线规律探究问题 例3．小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 变式3-1．在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点确定一条直线”的是（   ） A．笔尖在纸上运动形成了线 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．人们过马路优先选择直线路径 变式3-2．如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 变式3-3．下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 【题型四】线段和差的计算 例4．通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 变式4-1．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 变式4-2．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 变式4-3．观察图形找出规律，并解答问题． （1）5条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块； （2）n条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块． 【题型五】线段上动点问题的计算 例5．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式5-1．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 变式5-2．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 变式5-3．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【题型六】角的和差倍分计算 例6．如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 变式6-1．如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 变式6-2．定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 变式6-3．新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【题型七】关于方位角的判断 例7．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏东方向上，客轮在它的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，琪琪每天从家A处沿北偏东方向行走至路口点B处，又沿路口点B处沿南偏东方向行走到达学校C处，则等于（   ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，已知点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的正南方向，平分，则E点相对于点O的方位可表示为（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 变式7-3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，则的度数是 ． 【题型八】与角平分线有关的计算 例8．如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 变式8-1．如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，点在直线上，射线平分．若，则的度数为 ． 变式8-3．如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【题型九】余角、补角性质的应用 例9．一个角的余角和这个角的补角也互为补角，这个角的度数等于（    ） A． B． C． D． 变式9-1．下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 变式9-2．如图，一副三角板叠放起来，若的余角为，则的补角为（   ） A． B． C． D． 变式9-3．如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【题型十】旋转中的角度问题 例10．点A，O，B依次在直线上，如图1，现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t秒． (1)在旋转过程中，当时，的度数是______． (2)在旋转过程中，当或是某一个角（小于）的角平分线时，的值为______． 变式10-1．如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 变式10-2．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 变式10-3．如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【题型十一】多边形 例11．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式11-1．从n边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A． B． C． D．n 变式11-2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 变式11-3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【题型十二】扇形面积的计算 例12．如图，已知扇形AOB的半径为10cm，圆心角为，求此扇形的面积（结果保留π）． 变式12-1．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则扇形的面积为 ．（结果保留） 变式12-2．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 变式12-3．如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形； (2)若圆的半径为，请求出这四个扇形的面积． 【题型一】角度六十进制换算（度分秒互化） 注意：换算避免十进制错误 例1．角度的换算： ； 变式1．在横线中填入适当的度数： ．（用度、分、秒表示） 变式2．计算 ． 【题型二】n边形对角线数量计算 注意：牢记对角线公式，区分“一个顶点出发”与“总对角线数” 例2．已知一个多边形从一个顶点只可以引出条对角线，那么这个多边形有（     ）条边． A． B．6 C． D．8 变式1．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式2．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 基本平面图形（3知识&14题型&2易错） 【清单01】直线、射线与线段 1．核心概念与特征： 直线：有个端点，可向无限延伸，度量长度； 射线：有个端点，可向无限延伸，度量长度； 线段：有个端点，延伸，度量长度。 2．表示方法： 直线：用（无顺序）或表示； 射线：用的两个大写字母表示（端点在前）； 线段：用（无顺序）或表示。 3．基本事实： 两点确定一条（经过两点有且只有一条直线）； 两点之间最短（两点间所有连线中，线段长度最短）。 4．相关概念： 两点间距离：连接两点的； 线段中点：将一条线段的点（若O是AB中点，则）。 【清单02】角的概念与表示 1．定义： 由组成的图形（公共端点为顶点，两条射线为边）；也可看作一条射线绕旋转形成的图形。 2．特殊角： 平角：终边与始边成一条直线，度数为； 周角：终边与始边重合，度数为； 直角：度数为（平角的一半）。 3．表示方法（共4种）： 三个大写字母（顶点在中间）； 一个大写字母（顶点处只有一个角）； 阿拉伯数字（角内部加弧线标数字）； 小写希腊字母（角内部加弧线标字母）。 4．角度制换算： 度量单位：、、； 换算关系：，（六十进制）。 5．钟表中的角： 12个大格，每个大格对应； 分针转速：1分钟转；时针转速：1小时转，1分钟转。 6．方位角： 以为基准表示方向； 禁忌：不说“东偏北”这类反向表述，正东、正西等无需标角度。 【清单03】角的平分线与互余互补 1．角的平分线： 定义：从角的出发，把这个角分成的射线； 几何语言：若OC是的平分线，则。 2．余角与补角： 余角：两个角的和为，互为余角； 补角：两个角的和为，互为补角； 性质：的余角相等，的补角相等。 【清单04】多边形的相关概念 1．定义： 平面内，由若干条的线段组成的封闭图形。 2．组成要素： （线段）、、（相邻两边组成的角）。 3．对角线： 定义：连接多边形的线段； 数量规律：n边形中，从一个顶点出发可作条对角线，分成个三角形；总对角线数为条。 4．正多边形： 且的多边形。 【清单05】圆的基本概念 1．定义： 平面内，线段OA绕固定端点（圆心）旋转一周，另一个端点A形成的图形。 2．核心元素： 半径：线段OA（圆上任意一点到圆心的距离都等于）； 弦：连接圆上任意两点的线段（是最长的弦）； 直径：经过的弦，直径（r为半径）； 弧：圆上任意两点间的部分（大于半圆，用三个字母表示；小于半圆，用两个字母表示）。 3．表示方法： 以O为圆心的圆记作，读作“圆O”。 【题型一】关于“三线”的作图问题 例1．如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，相交于点O； (3)画射线，并在射线上作线段，使（用尺规作图，保留作图痕迹）； (4)数一数，此时图中共有 条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10 【分析】 【详解】（1）解：下图直线即为所求： （2）解：下图点即为所求： （3）解：下图射线，线段即为所求： （4）解：图中的线段有：线段，共10条， 故答案为：10． 变式1-1．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．延长线段到C   B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 变式1-2．下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 【答案】D 【详解】解：∵直线无限长，无法度量长度，∴选项C错误； ∵射线无限长，但“延长射线”表述不当，因射线本身无限延伸，∴选项B错误； ∵点通常用大写字母表示，选项A中点n用小写字母，不规范，∴选项A错误； ∵射线有端点，可在其上截取线段，并度量长度，∴选项D正确． 故选：D． 变式1-3．如图，已知三点A、B、C，请完成作图： (1)画直线、画射线； (2)连接，并在延长线上取点E，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，直线、射线即为所求； （2）如图，点E即为所求． 【题型二】两点之间线段最短 例2．如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 【详解】解：，， ， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 故选：C． 变式2-1．如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 变式2-2．点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：情况：点在线段上， ∵点是中点，， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴； 情况：点在线段的延长线上， ∵点是中点，， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴； 故答案为：或． 变式2-3．一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”，已知点是折线的“折中点”，若为线段的中点，，则的长度为 ． 【答案】10或18/18或10 【详解】解：当点在线段上，如图所示： ∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∴； 当点在线段上，如图所示： ∵为线段的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∴； 故答案为：10或18． 【题型三】点、线规律探究问题 例3．小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】A 【分析】 【详解】解：能用来解释这一事实的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 变式3-1．在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点确定一条直线”的是（   ） A．笔尖在纸上运动形成了线 B．把弯路改直可以缩短路程 C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排 D．人们过马路优先选择直线路径 【答案】C 【详解】解：A、笔尖在纸上运动形成了线体现基本事实“点动成线”，故此选项不符合题意； B、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”， 故此选项不符合题意； C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”， 故此选项符合题意； D、人们过马路优先选择直线路径体现基本事实“两点之间，线段最短”， 故此选项不符合题意． 故选：C． 变式3-2．如图，把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】B 【详解】解：把弯曲的河道改成直道，可以缩短航程，是因为两点之间，线段最短 故选：B． 变式3-3．下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】 【详解】解：现象①：建筑工人拉线砌墙，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象②：把弯曲的公路改直，能缩短路程，直接应用两点之间线段最短； 现象③：植树时确定两棵树的位置以确定直线，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象④：从地到地架设电线沿线段，是为了节省材料，应用两点之间线段最短； 故答案为：②④． 【题型四】线段和差的计算 例4．通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 【答案】 【详解】解：由图可知：个点时：， 个点时：， 个点时：， 个点时：， ， 个点时：线段数， 故答案为：． 变式4-1．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 【答案】 【详解】解：3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点． 故答案为：． 变式4-2．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】 【详解】（1）解：根据已知表格中数据变化规律得出：当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为8条； 故答案为：8； （2）根据已知表格中数据变化规律得出：若一条直线上共有20条射线时，则该直线上点的个数为10个． 变式4-3．观察图形找出规律，并解答问题． （1）5条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块； （2）n条直线相交，最多有 个交点，平面最多被分成 块． 【答案】 10； 16； ； [1＋] 【分析】 【详解】（1）如图，任意画2条直线，它们最多有1个交点； 任意画3条直线，它们最多有3个交点； 任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点； 5条直线最多有10个交点； n条直线最多有个交点． （2）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 因为，， ，， ，， ，， … ，， 以上式子相加整理得，． 当时，， 故答案为：10，16，，． 【题型五】线段上动点问题的计算 例5．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 变式5-1．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 变式5-2．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【答案】8 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 变式5-3．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 【题型六】角的和差倍分计算 例6．如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式6-1．如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 变式6-2．定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 变式6-3．新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴图中所有的2倍角有和． （2）解：由题意可得：． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七】关于方位角的判断 例7．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏东方向上，客轮在它的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∴． 故选：D． 变式7-1．如图，琪琪每天从家A处沿北偏东方向行走至路口点B处，又沿路口点B处沿南偏东方向行走到达学校C处，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，分别以A点和B点为中心建立方位图， 由题意，得，， ∵ ， ． 故选D． 变式7-2．如图，已知点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的正南方向，平分，则E点相对于点O的方位可表示为（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】A 【详解】解：∵点A在点O的北偏东方向上， ∴， ∵平分， ∴， ∴E点在点O的南偏东方向上． 故选：A． 变式7-3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【题型八】与角平分线有关的计算 例8．如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 【答案】/62度 【详解】解：∵射线分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式8-1．如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴； 故选B． 变式8-2．如图，点在直线上，射线平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 变式8-3．如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 【题型九】余角、补角性质的应用 例9．一个角的余角和这个角的补角也互为补角，这个角的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：． 变式9-1．下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 变式9-2．如图，一副三角板叠放起来，若的余角为，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得：， ∴的余角为， ∴的补角为． 故选：D 变式9-3．如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 【题型十】旋转中的角度问题 例10．点A，O，B依次在直线上，如图1，现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t秒． (1)在旋转过程中，当时，的度数是______． (2)在旋转过程中，当或是某一个角（小于）的角平分线时，的值为______． 【答案】(1) (2)t的值为或或9或 【分析】 【详解】（1）解：∵现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转， ∴当时，， 所以； 故答案为：； （2）解：∵现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，设旋转时间为t秒， ∴， ①当是的角平分线时， 那么， ∵， ∴， 解得； ②同理，当是的角平分线时，， 解得； ③当是的角平分线时，如图， ，平分， ， ，， ， ∴； ④当是的角平分线时，如图， ，平分， ， ∵， ， ∴； 综上所述，当或是某个角的角平分线时，t的值为或或9或． 变式10-1．如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴t的值为：5或23． 故选：A． 变式10-2．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 变式10-3．如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 【题型十一】多边形 例11．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 变式11-1．从n边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A． B． C． D．n 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵从n边形的一个顶点出发，总共有n个顶点，但不能连接到自身（1个）和相邻的两个顶点（2个）， ∴可连接的对角线条数为． 故选A． 变式11-2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形， ∴多边形的边数为． 故选D． 变式11-3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【题型十二】扇形面积的计算 例12．如图，已知扇形AOB的半径为10cm，圆心角为，求此扇形的面积（结果保留π）． 【答案】 【分析】 【详解】解：此扇形的面积为． 变式12-1．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 变式12-2．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 变式12-3．如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形； (2)若圆的半径为，请求出这四个扇形的面积． 【答案】(1)；；；；画图见解析 (2)；；； 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，这四个扇形的圆心角度数分别为，，，， 画图如下所示： （2）解：∵圆的面积为， 所以四个扇形的面积分别为，，，， 【题型一】角度六十进制换算（度分秒互化） 注意：换算避免十进制错误 例1．角度的换算： ； 【答案】 31 21 36 【分析】 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 因此，． 故答案为：31，21，36． 变式1．在横线中填入适当的度数： ．（用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 变式2．计算 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：；． 【题型二】n边形对角线数量计算 注意：牢记对角线公式，区分“一个顶点出发”与“总对角线数” 例2．已知一个多边形从一个顶点只可以引出条对角线，那么这个多边形有（     ）条边． A． B．6 C． D．8 【答案】A 【详解】解：设多边形有n条边， 从一个顶点引出的对角线数为，且给定引出4条对角线， ， ， 因此多边形有7条边． 故选：A． 变式1．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：设多边形的边数为， 从一个顶点引对角线，分成的三角形个数为， 又分成个三角形， ， ． 故选：B． 变式2．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $