专题03 相交线与平行线（考点清单，6考点11题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

专题03 相交线与平行线 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 相交线形成的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单03 平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】垂线的定义（） 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）下列说法正确的是（　　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．用条形统计图可以准确描述一周的温度变化趋势 C．两条射线组成的图形叫做角 D．从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点确定一条直线” 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，直线代表一条河流，在河边处修建一水闸，再过点修建两条引水渠和，使得，，垂足为，则与重合的理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条 3．（23-24六年级下·山东济宁·期末）下列说法中正确的个数有（    ） ①内错角相等；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③相等的角是对顶角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线互相平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【考点题型二】根据现实情况描述数学依据（） 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22六年级下·山东济南·期末）如图，，，，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．4.5 D．6.5 【考点题型三】三线八角的识别（） 7．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 8．（21-22六年级下·山东青岛·期末）如图，下列说法中正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和相等 D．和相等 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，若，则 度． 11．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图①，点O在直线上，，，将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②），当旋转到第t秒时，平分，则t的值为 ． 12．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，直线，相交于点，．下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 13．（22-23六年级下·山东青岛·期末）如图，直线与相交于点O，平分，．已知，求的度数．    14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的度数． 【考点题型五】根据已知条件判定两直线平行（） 15．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，下列条件中，能判定的条件个数有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24六年级下·山东烟台·期末）将一副三角板如图摆放，发现，根据图中现有的角，说明其理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 17．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，直线，被直线所截，能判断的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【考点题型六】证明两直线平行（） 19．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知，，则吗？请说明理由．    20．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，，． (1)求的度数； (2)若，试判断直线与的位置关系． 21．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 【考点题型七】利用平行线的性质求解（） 22．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 23．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，小红的奶奶家在点的正北方向处，但需要走一条弯的路才能到达，小红先沿北偏东走了一段距离后，转弯沿北偏西再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处的度数为 ． 24．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    25．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【考点题型八】根据平行线的性质探究角的关系（） 26．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 27．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 28．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 29．（20-21九年级下·山东淄博·期中）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】平行线性质在实际生活中的应用（） 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 31．（22-23七年级上·山东临沂·期末）如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东方向上，学校C在图书馆B的北偏西方向上．则的度数是（    ）      A． B． C． D．   32．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．    33．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 34．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【考点题型十】利用平行线间的距离解决问题（） 35．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 36．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 37．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【考点题型十一】画垂线/平行线（） 38．（24-25六年级下·山东淄博·期中）操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点P是直线外的一点，过P作的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)网格画图： ①过点C画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点D；过点C画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F； ②线段______的长度是点C到直线的距离． 39．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）利用网格画图． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到直线 的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 40．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相交线与平行线 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 相交线形成的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单03 平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】垂线的定义（） 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）下列说法正确的是（　　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．用条形统计图可以准确描述一周的温度变化趋势 C．两条射线组成的图形叫做角 D．从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点确定一条直线” 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质，条形统计图的特点，角的定义，两点之间线段最短等知识点，分别根据垂直的性质，条形统计图的特点，角的定义，两点之间线段最短等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．本选项说法正确； B、用条形统计图可以准确描述一周的温度，无法准确描述温度的变化趋势．故本选项说法错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．故本选项说法错误； D、从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点之间线段最短”．故本选项的说法错误． 故选：A 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，直线代表一条河流，在河边处修建一水闸，再过点修建两条引水渠和，使得，，垂足为，则与重合的理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可得出答案，熟练掌握垂线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：与重合的理由是：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东济宁·期末）下列说法中正确的个数有（    ） ①内错角相等；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③相等的角是对顶角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线互相平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线段的定义，对顶角，解题的关键是掌握相关知识．根据平行线的性质，垂线段的定义，对顶角的定义逐一分析即可． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，不是所有的内错角均相等，故①错误； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故②错误； ③对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④正确； ⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线互相平行，故⑤正确； 综上，正确的有④⑤两个． 故选：A． 【考点题型二】根据现实情况描述数学依据（） 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题考查了垂线段最短，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据垂线段最短，直线和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知住在村庄的居民选择路线去超市购物最近． 故选：B． 5．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念，熟练掌握点到直线的距离的概念是解题的关键． 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论． 【详解】解：直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点， ∴线段的长最短等于， 故不可能是． 故选：A． 6．（21-22六年级下·山东济南·期末）如图，，，，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．4.5 D．6.5 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴到的距离为4.5， 点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是4． 故选A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为4.5是解题的关键． 【考点题型三】三线八角的识别（） 7．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义．根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可． 【详解】解：图①③中，∠1与∠2是同位角； 故选：D． 8．（21-22六年级下·山东青岛·期末）如图，下列说法中正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和相等 D．和相等 【答案】B 【分析】根据内错角的定义、同旁内角的定义、两直线平行，同位角相等判断． 【详解】解：A．∠2和∠5不是内错角，故该选项不符合题意； B．∠4和∠5是同旁内角，故该选项符合题意； C．∠3和∠5是同位角，只有两直线平行时才相等，故该选项不符合题意； D．∠3和∠1是同位角，只有两直线平行时才相等，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可． 【详解】解：根据同位角的定义可知，图①，图②，图④中的与是同位角，图③中的与不是同位角， 故选：A． 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，若，则 度． 【答案】127 【分析】本题主要考查邻补角的定义，根据邻补角互补求出结果即可． 【详解】解：是邻补角，且 故答案为：． 11．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图①，点O在直线上，，，将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②），当旋转到第t秒时，平分，则t的值为 ． 【答案】60 【分析】本题考查角平分线的定义、一元一次方程的几何应用，先求得，再根据角平分线的定义得到，然后根据题意列方程求解即可．正确得到关于t的方程是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转t秒时，平分， ∴，则， 解得， 故答案为：60． 12．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，直线，相交于点，．下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角性质，邻补角定义和垂线的定义逐项判断可得． 【详解】与是对顶角， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B正确，不符合题意； 和互为邻补角， ，选项C正确，不符合题意； 由于根据题中的条件，不能得到，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角性质，邻补角定义和垂线的定义，熟练掌握相关定义和性质是解本题的关键． 13．（22-23六年级下·山东青岛·期末）如图，直线与相交于点O，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】根据和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，垂线的定义，对顶角相等，有关角平分线的计算，数形结合是解题的关键． 14．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角和角平分线， 对于（1），先根据平角定义和已知条件，求出，再根据角平分线的定义求出和，最后根据，求出答案即可； 对于（2），先根据已知条件和（1）中的结论，求出和，再根据角平分线的定义求出，从而求出，最后根据，求出答案即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：由（1）可知：∴， 即， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【考点题型五】根据已知条件判定两直线平行（） 15．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，下列条件中，能判定的条件个数有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵，∴，故A不符合题意； ∵，∴，故B符合题意； ∵，∴，故C不符合题意； ∵，∴，故符合题意； 故选：B 16．（23-24六年级下·山东烟台·期末）将一副三角板如图摆放，发现，根据图中现有的角，说明其理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理求解判断即可． 【详解】解：，， ， （内错角相等，两直线平行） 故选：D 17．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，直线，被直线所截，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，不能判断，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不能判断，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不能判断，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 18．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【答案】（2）（4）（5） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：（1），则； （2），则； （3），则； （4），则； （5），则； （6），则， 所以能判断出的条件有（2）（4）（5）． 故答案为：（2）（4）（5） 【考点题型六】证明两直线平行（） 19．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知，，则吗？请说明理由．    【答案】，见解析 【分析】由，判定，再根据平行线的性质得出，等量代换之后即可证明，进而可得出． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法和性质是解题关键． 20．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，，． (1)求的度数； (2)若，试判断直线与的位置关系． 【答案】(1)∠2＝120° (2)，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝120°，再由对顶角的性质可得∠2的度数； （2）首先根据可得∠4＝∠1＝120°，再根据对顶角相等得出∠5＝∠3＝60°，最后根据同旁内角互补，两直线平行，可得答案． 【详解】（1）解：解：∵，∠1＝120°， ∴∠4＝∠1＝120°， ∴∠2＝∠4＝120°． （2）解：，理由如下： ∵，∠1＝120°， ∴∠4＝∠1＝120°， ∵∠5＝∠3＝60°， ∴∠4＋∠5＝180°， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，并能灵活运用． 21．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 【答案】EF∥BD，见解析 【分析】根据EF平分∠AED可求得∠2=20°，即∠2=∠1，再根据内错角相等两直线平行即可求证． 【详解】解：EF∥BD．理由如下： ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF＝∠2． ∵∠AED＝40°， ∴∠2＝20°． 又∵∠1＝20°， ∴∠1＝∠2． ∴EF∥BD． 【点睛】本题考查了平行的判定，掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键． 【考点题型七】利用平行线的性质求解（） 22．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质、基本作图—作一个角等于已知角，由平行线的性质得出，由作法可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可得：， ∴， 故答案为：． 23．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，小红的奶奶家在点的正北方向处，但需要走一条弯的路才能到达，小红先沿北偏东走了一段距离后，转弯沿北偏西再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行线的性质、方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意得，，，然后利用平行线的性质可得，再利用平角的定义，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，，， ， ， 故答案为：． 24．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出，再由三角形内角和定理的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形外角的性质可得，进而得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，并能进行推理和计算． 25．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 【考点题型八】根据平行线的性质探究角的关系（） 26．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，根据两直线平行，同旁内角互补得出规律，即可求解． 【详解】解：如图①，， ； 如图②，过作， ， ， ，， ； 如图③，过作，过作， ， ， ，，， ， 第个图中的， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 作，，可得，，进而求解； 【详解】解：作，，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C 29．（20-21九年级下·山东淄博·期中）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【考点题型九】平行线性质在实际生活中的应用（） 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，据此判断即可． 【详解】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补． 故选：C． 31．（22-23七年级上·山东临沂·期末）如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆B在王老师家A的北偏东方向上，学校C在图书馆B的北偏西方向上．则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方向角的概念和平行线的性质求出，应用平角定义即可计算． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查方向角的概念，平行线的性质，关键是掌握：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角． 32．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．    【答案】100 【分析】由平行线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，    由题意可得：，， ， ． 故答案为：100． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键． 33．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 34．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点题型十】利用平行线间的距离解决问题（） 35．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，地面上有一样长的电线杆分别与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离．他没有梯子，于是就测量了底端之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？ （填“对”或“不对”），依据是 ． 【答案】 对 两条平行线的所有公垂线段都相等 【分析】本题主要考查平行线间的距离，根据“两条平行线的所有公垂线段都相等”解答即可． 【详解】解：B，D之间的距离等于A，C之间的距离，说法正确，依据是：两条平行线的所有公垂线段都相等； 故答案为：对；两条平行线的所有公垂线段都相等． 36．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 37．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【考点题型十一】画垂线/平行线（） 38．（24-25六年级下·山东淄博·期中）操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点P是直线外的一点，过P作的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)网格画图： ①过点C画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点D；过点C画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F； ②线段______的长度是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析； 【分析】本题主要考查了用尺规做一个角等于已知角，利用网格作平行线，作垂线以及点到直线的距离的定义． （1）连接，用尺规依据画圆的方法作即可． （2）根据网格即可过点C画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点D；根据网格即可过C点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点E，垂足点F；根据点到直线的距离定义即可得到线段的长度是点C到直线的距离； 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）①如图所示，即为所求的平行线，即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：． 39．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）利用网格画图． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到直线 的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 40．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$