2026中考数学复习压轴题-几何最值

**基本信息** 聚焦中考几何最值，通过折叠、动点、旋转等情境整合对称、轨迹、函数知识，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠与对称|2题|含翻折性质应用，涉及四边形形状判断、线段长度计算|对称性质→全等转化→几何关系推导，体现空间观念| |动点与轨迹|3题|动点在线段/抛物线上运动，求线段/面积最值|动点坐标表示→函数模型构建→最值求解，培养模型意识| |旋转与构造|2题|含旋转性质证明、四边形面积最小化|旋转不变性→全等/相似构造→动态几何分析，发展推理能力| |平移与动态|1题|结合平移与双动点，探究直角三角形存在性|平移性质→运动参数表示→分类讨论，强化运算能力|

培优超常数学 9年级中考压轴题——几何最值 1. （2025·山东）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 2. （2025·广东广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 3. （2024·广东）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 4. （2025·四川广元）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 5. （2025·江苏连云港）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 6. （2025·山东青岛）如图①，在中，，，，将沿方向平 移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7. （2025·山东济南）在中，，，，点O为的中点．在中，， ，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 8. （2024·青海西宁）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 9. （2025·山东威海）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单 位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 10. （2025·山东烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，， ，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $培优超常数学 9年级中考压轴题——几何最值 1. （2025·山东）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【难度】0.4 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 2. （2025·广东广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 3. （2024·广东）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【难度】0.4 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为 4. （2025·四川广元）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3） 【难度】0.15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解． （1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【详解】（1）解：∵ ∴，即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴，即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3）解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴. 5. （2025·江苏连云港）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【难度】0.4 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 6. （2025·山东青岛）如图①，在中，，，，将沿方向平 移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【难度】0.15 【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； （3）解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 7. （2025·山东济南）在中，，，，点O为的中点．在中，， ，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；② 【难度】0.15 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①中的结论仍然成立，证明 ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴. 8. （2024·青海西宁）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4， 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ∴，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 故答案为：；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ．即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵设长为，则， ∴，解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 9. （2025·山东威海）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单 位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【难度】0.4 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 10. （2025·山东烟台）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，， ，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 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