第三编 题型三 几何综合-【中考复习指南】2026年湖北中考数学模拟冲刺卷

题型三儿何综合 心题型归纳 此类题以几何图形的性质和变换为起点，结合直角三角形、等腰三角形、特殊四边形的相关知 识，综合考查勾股定理的运用、锐角三角函数、三角形全等和相似等核心知识，一般属于压轴题，主 要考查学生的推理能力、运算能力和几何直观等核心素养.解题的关键是掌握几何图形的相关性 质，根据相关性质构造直角三角形、全等三角形、相似三角形或相应的数学模型，运用等量代换、方 程思想、推理能力、运算能力、几何直观等核心素养解决问题， 心对点演练 1.如图1，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是边BC上一点，连接EO并延长，交AD于 点F (1)求证：△DOF≌△BOE; (2)如图2，当AB=BC时，G,H分别是AC,AB上的点，且EG∥AB,GH∥BC,连接FH,BG. ①求证：△AFH≌△HBG; ②若AB=10,BD=12,则当△AFH∽△GCB时，求AH的长， 图1 图2 37 2.如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与C,D两点重合），将射线AE绕点A顺时针旋 转90°与CB的延长线交于点F,连接EF (1)求证：DE=BF; (2)如图2，连接AC交EF于点O,求证：AO2=OG·OF; 数学兴趣小组同学对上面的问题进行改编，内容如下： (3)如图3，在平行四边形ABCD中，E为CB的中点，∠AEF=∠ACD,EF与AC相交于点O, AB=AC.若AC=6,BC=4,求线段OC的长度 图1 图2 图3 -38 3.在正方形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE. 【特例探究】1)如图1，当点F恰好落在对角线BD上时，延长EF交边CD于点G,连接BG,求 ∠EBG的度数； 【一般推广】(2)如图2，延长EF交边CD于点G,连接BG,试说明(1)中的结论是否仍然成立，并 给出证明； 【探究应用】(3)如图3，已知AB=6,连接FC,FD,当FC⊥FD时，求线段FC的长. 图3 39 4.【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，BC=2√3，CD⊥AD,∠ABC=30°，∠ACB=90°.将 △ACD沿AC翻折，点D的对应点E恰好落在边AB上. D D D A E(A 图1 图2 备用图 【操作探究】(1)连接DE,判断△CDE的形状，说明理由； 【探究迁移】(2)将△ACD沿射线AB平移得到△A'C'D'(点A,C,D的对应点分别为点A',C, D),当点A的对应点A'与点E重合时，求四边形AEDD的周长； 【拓展创新】(3)将△ACD继续沿射线AB平移得到△A'C'D'(点A,C,D的对应点分别为点A', C,D),A'C与BC交于点M,且BM=CM.将△A'C'D'绕点M在平面内自由旋转，当CD'∥ CE时，直接写出AA'的长 40 5.【问题背景】(1)如图1，在等腰Rt△ABC中，D是边BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD, 将AD绕点D顺时针旋转90°至点E,连接AE,CE,求证：△ABDc△ACE; 【尝试运用②图2，在I的条件下，过点C作cFLBC,.交AE于点F,若CF-AB,求S 的值； 【拓展创新】(3)如图3，在Rt△ABC中，D是边BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD,过点D 作EDAD,且把是连接AE,过点C作CFDC,交AE于点F,交DE于点G若EF= G求部的值 D 图1 图 图3 41 6.定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我 们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形.已知在△ABC中，点P,D,E分别在边BC, AB,AC上，连接PD,DE,PE. (1)如图1，若P是BC的中点，PD∥AC,PE∥AB.求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形； (②)如图2，若AE=AC,BP=2PC,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE,求B的值； (3)如图3，若∠A=∠DPE=90°，BP=2,PC=3,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB 不平行，求AB的长 图2 -42 7.【课本回顾】连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线， 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 【定理证明】已知：如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE,∥BC,DE=BC (I)如图2，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF…请你根据已经添加的辅助线，写出完整 的证明过程.（不再添加新的辅助线） 【定理应用】(2)如图3，已知四边形ABCD纸片，AB=AD,BC=DC,对角线BD⊥AC.现要将其 剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图3中画出剪痕，并对剪痕作 适当的说明.（不需要说明作图理由） 图1 图2 图3 【类比迁移】(3)在第(1)问的证明过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”.请你用这种 方法来解决以下问题： 如图4，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC是其对角线，M为射线BC(点C右侧)上的一个动点， 将点C绕点M逆时针旋转120°得到点C,连接CM,CB,N是C'B的中点，连接MN,AM. ①求证：AM=2MN; ②连接CN,若AB=4,CN=CM,请直接写出CN的长。 C 图4 备用图1 备用图2 43 8.在△ABC中，AB=BC,∠B=a,D为BC边上一动点（点D不与点B重合），将线段DA绕点D 顺时针旋转得到线段DE,旋转角为a.连接AE,CE. 【操作发现】 (1)如图1，若a=90°，且点D与点C重合，则△ACE的形状为 (2)若点D不与点C重合. ①如图2，当a=60时，求证：∠ACE=∠B; ②如图3，当α为任意角度时，请判断①中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图4，当a=120°，且点D为BC的中点时，过点C作AB的平行线交AE于点F,求证：F为 AE的中点 C(D) 图1 图2 图3 图4 -449.解：13：(4，)： (2)由题意得，抛物线F1的顶点为(2,2)，∴.可设抛物线F的函数解析式为y=a(x一2)2十2，，A(0,3)在 抛物线E上…a1(0-2)2+2=3,解得a1=寻抛物线F的函数解析式为y=}(x-2)2+2,当x=3 时，y=子×(3-2)2+2=是，M(3,号)，故点M到地面的距离为是m 349 解法提示：C(8,3),M到地面的距离提升到3m,∴抛物线F,的顶点横坐标为)(b十8) b十4，：抛物线R:的最低点到地面的距离为cm∴可设抛物线R的函数解析式为)y=(x一一4)'十 c(0<8),∴(8-号b-4)°十c=3,解得c=-6B2+6-1,当=2时，-+b-1=2,解得bi=4, e=12含去)：当c-得时，-+6-1=孕解得6=94=号（含去）4长9 题型三几何综合 1.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.OD=OB,AD∥BC,∴.∠FDO=∠EBO.又'∠DOF= ∠BOE,.△DOF≌△BOE(ASA). (2)①证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,.四边形ABCD是菱形，.AD=AB.由(1)可知 △DOF≌△BOE,∴.DF=BE.,GH∥BC,EG∥AB,∴.四边形BEGH是平行四边形，∠AGH=∠ACB, ∴.GH=BE,∴.DF=GH..AB=BC,∠GAB=∠ACB,∴.∠AGH=∠GAB,∴.AH=GH,.DF=AH, .AF=BH.,GH∥BC,AD∥BC,.GH∥AD,∴.∠FAH=∠GHB.在△AFH和△HBG中， AH=GH, ∠FAH=∠GHB,∴.△AFH≌△HBG(SAS). AF-BH, @解：四边形ABCD是菱形.B0-0-BD-6,A0-0C-AC.ACLBD.A0-VAB-B0 8,∴.AC=16..'△AFH∽△GCB,∴.∠FAH=∠CGB.又∠FAH=2∠GAB,∠CGB=∠GAB+∠GBA, ·∠GAB=∠GBA,.GA=GB.设GO=x,则GB=GA=8-x,在Rt△BGO中，由勾股定理得GB=OG十 O8,即(8-=2+6，解得-子AG8--至.GH/BC,△GH△ACB,是C,即 25 -后aH-爱 2.(1)证明：由题意可得，AD=AB,AE=AF,∠D=∠ABC=∠ABF=90°，∴.Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), .DE=BF. i证明：：∠AEF=∠AFE=∠BAC=∠ACB=45,∠AOF=∠AOG,·△AOF∽△GOA,品-AO1 即AO3=OG·OF (3)解：如图，连接AR“∠AEF=∠ACD,∠A0E=∠P0C.△A0EO△R0C,∴∠EAC=∠CFE,8器 8票：∠A0F=∠E0C,号器-8恶△A0Fn△B0C∠ACE=∠AFE.:点E为CB的点，AC-AB, ∴.AE⊥BC,∴∠AEC=90°，∴.∠EAC+∠ACE=90°，.∠AFE+∠CFE=90°，∴.∠AFC=90°.设CF=x,在 —12 Rt△ADF和Rt△AFC中，由勾股定理得AF=AD一DF2,AF2=AC2一CF2,∴.AD一DF=AC一CF2. :AB=AC-CD=6ADBC-4.CF=x,DF=6--(6-P=6-,解得x-,即CF-4 延长FE交AB的延长线于点M,易证△CFE2 BME..CF=M=号AM=AB+BM=5+号-器 14 CD/ABac0△M0M8c0C号 3 B M 0 D 3.解：(1).四边形ABCD是正方形，△ABE折叠得到△FBE,∴.△ABE≌△FBE,∴.AB=BF,∠A=∠BFE= 90,∠FBE=2∠ABD=22.5,:AB=BC,∠C=90,∴BC-BR,∠C=∠BFG=90,∴.△BCG2△BFG (HL),∠GBD=号∠CBD=22.5,∠FBE+∠GBD=45°，即∠EBG=45 (2)四边形ABCD是正方形，△ABE折叠得到△FBE,.△ABE≌△FBE,∴.AB=BF,∠A=∠BFE= ∠ABC=90,∠FBE-号∠ABF.:AB=BC,∠BCG=90°，∴BC=BF,∠BCG=∠BFG=90, ·△BCG≌△BFG(HL,∠GBF=∠FBC.∠FBE+∠GBF=号∠ABF+号∠FBC ,∠ABC=∠ABF+∠FBC=90°，.∠FBE+∠GBF=45°，即∠EBG=45°，.(1)中的结论仍然成立. (3)延长EF交CD于点G,连接BG,如图.，△ABE折叠得到△FBE, ∴.由(2)可知△BCG≌△BFG(HL),.CG=FG,.∠GFC=∠GCF..FC⊥FD, ∴.∠DFG+∠GFC=90°，∴.∠DFG+∠GCF=90°..∠GCF+∠CDF=90°，∴.∠DFG+ ∠GCF=∠GCF+∠CDF,∠DFG=∠CDE,∴FG=DG.∴OG=DG=2CD=3. ,'△BCG≌△BFG,∴.△BFG也可以看作是△BCG沿BG折叠得到的，∴.BG垂直平分FC. :∠BCG=90°，∠GBC=∠FCG.:∠BCG=∠DFC=90°，∴△BCG△CFD.'CG=2BC, 1 6后mse气 51 4.解：(1)△CDE是等边三角形.理由：如图，连接DE.,△ACD沿AC翻折，点D的对 应点为点E,.CD=CE,∠CAB=∠CAD,∠CDA=∠CEA..'∠ABC=30°，D: ∠ACB=90°，CD⊥AD,∴.∠CAB=60°，∠CDA=∠CEA=90°，∴.∠DAE=120°， ∴.∠DCE=60°，∴.△CDE是等边三角形. (2),△ACD沿射线AB平移得到△A'CD',.AD∥A'D',DD∥AA',.四边形AED'D为平行四边形. ,△ACD沿AC翻折，点D的对应点为点E,∴.AD=AE,∴.四边形AEDD为菱形.，BC=2√3，∠ABC= 30°，∴.AC=2,AB=4.∠CAB=60°，∴.AE=1,.Cm边形EDD=4AE=4. -13- (3)AA'的长为3或7.解法提示：如图1，过点M作MF∥AB交AC于点F,连接DF, 图1 图2 图3 ,△ACD继续沿射线AB平移得到△A'C'D',.四边形AAMF为平行四边形，.∠CFM=∠CAB=60°， =ME,△CPM∽△CAB,?BM=CM,C不--=六点F为AC的中点，DP=EA,得ZDP☒ 60°，∴.D,F,D和M四点在同一条直线上，由(1)知∠ECD=60°，CD=CE,如图2，当CD'逆时针旋转60° 时得到CD∥CE,则点D位于直线AB上.：点F为AC的中点，BM=CM,“AD=FM=)AB=2. DA'=AD=1,.AA'=AD+DA'=3;如图3，当CD'顺时针旋转120时得到CD'∥CE,则点C位于 直线AB上，由旋转得A'D'∥AB,CD'=A'K=CE=√3，AK=FM=2,∴.AA'=√AK+AK=√7. 综上所述，AA'的长为3或7. 元(I)证明：“△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC,∠BAC=45S-反.：AD=DE且∠ADE=90, ∠DAE=45-6=A8∠BAC=∠DAR∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 ∠BAD=∠CAE,'.△ABDP△ACE. (2)解：如图，过点E作EN⊥AB于点N,交F℃于点M,△ABC为等腰直角三角形， B=90,∠ACB=45,T△ABDD△ACE,·∠ACE∠B=90,S5 √2，∴.∠MCE=∠ACB=45°..EN⊥AB,CF⊥BC,.四边形NMCB为矩形， ÷∠NMC-90,CM/NB.NB=CM∠EMC=90,ME=MC,-E. ∴.BD=ME.设AB=BC=a,BD=ME=1,∴.NB=CM=ME=1. CF-AB.:.FM-CF-MC-za-1..CM//NB. 二△EFMo△EAN.兴AN=AB=NB=a-1,NE=MN+ME=a十1，克7=名二，解得 a3a以舍去).凭兴荒8 (3)解：如图，过点E作EN⊥AB于点N,交FC于点M,连接CE,过点E作EH⊥A C的延长线于点H.瓷-品-子小器“∠B=∠ADE=90, ∴△ABCD△ADE,∠BAC=∠DAE,0-e∴∠BAD=∠CAE B D 是是△ABD△AcE/ACE=/B=90心，器能说=提是设AB=3a,=a, 则AC=5a…8架-0-吾设BD-36,则CE-6∠AcE=90,/ACB+∠CH=90 .∠CEH+∠ECH=90°，∴.∠ACB=∠CEH..∠B=∠H=90°，∴.△ABCc∽△CHE,∴.CH:HE:CE= AB BC:AC=3:4:5,..CH=36,HE=46,..NE=NM++ME=BC+CH=4a+36,AN-AB-BN- -14 AB-HE=3a-4b..∠ADE=90°，.∠ADB+∠EDH=90°.，∠BAD+∠ADB=90°，.∠BAD= ∠EDH.NE∥BC,∴.∠NED=∠EDH.,EF=EG,EM⊥FG,∴.∠AEN=∠NED,.∠AEN= ∠BAD,n∠AEN=n∠BAn,即念器韶名整理得G-球-8db-a0, 3-3(2)-8×会=0，解得会-写或台=-合去 品CD%-1-器-1=号×8-1=8部 ·BDBD I证明：PD/AC,PE发AR0-既是-邵P是C的中点BP=PC,AD=D.CF AED.E分别为AB,AC的中点，DE,PD,PE均为△ABC的中位线，∴瓷-器-光=， ∴.△PDE∽△ACB,∴.△PDE是△ABC的镶嵌相似形. (2)解：，AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE,∴.△PDE 也是等膜三角形，∠B=∠C=∠DPE,部-，即瓷-器：∠DPC=∠DPE+∠CPE=∠B+ ∠BDP,∠CPE=∠BDP,∴△BDPACPE,8器-瓷-器：器-误BP=2CP, 宽有…器方0导 (3)解：.△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠DPE=90°，.分两种情况讨论：①当△PDE∽△ABC 时器光 如图，过点P作PH⊥AB于点H,作PI⊥AC于点I,则∠PHD=∠PIE=90°.'∠DPE= 90°，∴.∠DPH+∠HPE=90°.∠HPI=360°-∠A-∠PHA-∠PIA=90°， ÷∠HPE+∠EPI=w∠DPH=∠EPI△DHP△EIP2器职邵 是是-：∠BHP=∠A=9GHP∥AC△BHPn△BAC-既=号∴设HP 2,AC=同理P/AB△CPI0△CBA小器-宽-是设P=AB=贵-装a 3饣， 提-景=是-在R△A以C中，∠A=90,C=5易得A=瓜.③当△PDE△ACB时，此种 情况不成立，舍去。 综上，AB=√/10. 7.(1)证明：，点E是AC的中点，∴.AE=EC.又.∠AED=∠CEF,DE=EF,.△ADE≌△CFE(SAS), ∴.AD=CF,∠DAE=∠FCE,.AD∥CF 点D是AB的中点，.BD=AD,.BD=CF,.四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC,DF=BC, DE//BC,DE-BC. (2)解：作图如图1所示.（答案不唯一） 说明：P,Q,R,S四点分别是边AD,AB,BC,CD的中点. -15 图1 图2 (3)①证明：如图2，延长MN至点G,使GN=MN,连接BG,AG..点N是C'B的中点，∴.BN=CN, 又，∠BNG=∠CNM,∴.△BNG≌△C'NM(SAS),∴.BG=C'M,∠GBN=∠C',∴.BG∥CM.由旋转的 性质可知，MC=MC,∠CMC=120°，∴.BG=CM,∠GBM=180°-∠CMC=60°，∴.∠ABG=∠ABC+ ∠GBM=120°..四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC.又.'∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，∴.AB AC,∠ACB=∠BAC=60°，∴.∠ACM=180°-∠ACB=120°=∠ABG,∴.△ABG≌△ACM(SAS), ∴.∠BAG=∠CAM,AG=AM,∴.∠CAM+∠GAC=∠BAG+∠GAC=∠BAC=60°，.△AMG是等边三 角形，∴.AM=MG=2MN. ②CN的长为2或1. 解法提示：由题意知，CN=CM=号CM.分两种情况讨论。 I.当CN是△BMC的中位线时，如图3，此时CM=CM=BC=AB=4,∴.CN=2. D 图3 图4 Ⅱ.当CN不是△BMC的中位线且CN=CM时，如图4，取BM的中点H,连接HN,“HN=2CM, HN∥CM,.HN=CN,∠NHM=180°-∠BMC=60°，∴.△HNC是等边三角形，∴.CN=HC.设CN= HC=a,则CM=2a,∴.BH=HM=3a,∴.BC=4a=4,解得a=1,∴.CN=1.综上所述，CN的长为2或1. 8.解：(1)等腰直角三角形 (2)①证明：，AB=BC,∠B=60°，∴.△ABC为等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60°.由旋转可知∠ADE= 60°，DA=DE,.△ADE为等边三角形，AD=AE,∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE,.△ABD≌ △ACE(SAS),∴.∠ACE=∠B. @成立.理由：AB=BC,DA=DE,∠B=∠ADE=a,∠BAC=∠DAE=80,a,△ABCO△ADE ∠BD-∠CAE"e即能0△AB△ACE,∠ACE∠B (3)证明：，AB=BC,∠B=120°，∴∠BAC=∠BCA=30°.点D为BC的中点，∴.BD=CD.设BD=m, 则5C=AB=2m,易得AC=2m由(2)②可知△ABD∽△ACR,:把-0∠ACE=∠B=120, 部8S2…CE=mCF/AB∠B=180-120=60∠A-∠AC30∠rCE 120°-30°=90°. —16 如图，过点E作BC的平行线，分别交CF,AB于点G,H,则∠CGE=∠FCB= 60.在R△CEG中，BG=6=2m易得四边形BCGH是平行四边形. HG=BC=2.EG=HG,又CF∥AB∴=品=1F为AE的1店 题型四二次函数综合 1.解：(1在抛物线：=一2-2x十2中，令y=0,则0=一2-日x十2，解得x=-4或x=2,即点 A(一4,0)，点B(2,0),根据题意，设抛物线L2的函数解析式为y=a(x十4)(x一2)，将点(1，一5)代入得 一5=a(1+4)(1一2)，解得a=1,∴.抛物线L2的函数解析式为y=(x十4)(x一2)=x2+2x一8. (2)如图，连接AC交对称轴直线x=二4十2=一1于点P,连接BP,交y轴于点E,连 2 接BC,此时△BPC的周长最小.令x=0,则y=2,∴.C(0,2),设直线AC的解析式为 y=kx+2,将点A(一4,0)代入得0=一4+2，解得及=2“直线AC的解析式为y 2十2，当=-1时，y=号·点P的坐标为(-1,2），将点(-1，号)代入y=a(x+4)(x-2),得 1 a(-1+4)·(一1-2)，解得a=一合∴抛物线L的函数解析式为y=一日(x十)(x一2). (3)假设存在，设点P的坐标为(-1，m),.‘A(一4,0)，C(0,2),.AC=22+42=20,PC=(2-m)2+12= m2-4m+5,AP2=m2+32=m2+9,当点P在x轴上方时，由题意得AC+PC=AP2,即20+m2一4m十5= m+9,解得m=4,即点P的坐标为(-1,4)，将点(-1,4)代入y=a(x+4)(x-2)得4=a(-1+4)(-1-2), 解得a=一音“抛物线L:的函数解析式为y一一号（十4）（一2》：当点P在x轴下方时，由题意得AC十 AP2=PC,即20十m2十9=m2一4m+5,解得m=一6，即点P的坐标为（一1，一6），将点(-1，一6)代入y= (十40(x一2)得-6=a(-1十4)(-1-2).解得a=号∴抛物线L的函数解析式为y=号(x十4)· (x-2). 综上，抛物线12的函数解析式为y一号(+40一2》或)=一音（十0x一2》. 2解：1)把点A3,0).C0,3)代人=-+x+c得9+36+c=0, b=2 解得 c=3, c=3, ∴.抛物线的函数解析式为y=一x2十2x十3. (2)A(3,0),C(0,3),∴yc=-x十3.过点P作PN⊥AB交AC于点M,交x轴于点 N,如图.，点P的横坐标为m,.P(m,一m2+2m十3)，M(m,-m+3),∴.PM=yp w=-m2+2m+3-(-m+3)=-m+3m,S=Sa+5w=PM:0A-是 (一m+3m)=-(m-多)》+得：-是<0,0<m<3当m=号时，S取得最大 2 值m的值为经 (3)①.PH∥x轴交AC于点H,点P的横坐标为m,∴.P(m,-m2十2m十3)，H(m2-2,一m2十2m十3)， -17-