期末专项提优复习八 跨学科与中考新考法 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦跨学科整合与中考新考法突破，通过真实情境与创新题型培养数学抽象、推理及模型意识，构建“情境转化-方法迁移-综合应用”的系统化训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |跨学科|10题（光的反射角度计算、化学规律归纳等）|跨学科情境转化数学模型（反射定律→几何推理、化学式规律→代数归纳）|基础概念（科学记数法、轴对称）→跨学科情境应用→综合推理| |中考新考法|13题（新定义运算、规律探究、阅读理解等）|新定义问题概念迁移、规律探究归纳推理、阅读理解信息转化|新信息理解→方法迁移→复杂问题综合应用|

期末专项提优复习八 跨学科与中考新考法 跨学科 一、选择题 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）. A. C. 2. 人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（ ）. A. C. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点.若，，则的度数为（ ）. A. B. 50° C. 55° D. 60° 5. 如图，B是正八边形的边上一点，一束光线从点出发，经过两次反射后到达边上一点，若，则（ ）. A. 70° B. C. 55° D. 二、填空题 6. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，按此规律，当碳原子的数目为(为正整数)时，氢原子的数目是________. 7. 一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________，士兵有________名. 8. 化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是.若己烷充分燃烧的化学方程式是为常数)，则的值是________. 三、解答题 9. [阅读材料] 实验表明：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角.这就是光的反射定律. 信息快递 法线：过入射点并垂直于镜面的直线. 入射角：入射光线与法线的夹角. 反射角：反射光线与法线的夹角. [数学思考] 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等.例如：在图(1)、图(2)中，设平面镜与平面镜的夹角，从点射出一条光线，分别在点，点发生反射，则有. (1) 如图(1)，光线经过2次反射又回到了点，入射光线与第2次反射光线的夹角为.若，则________； (2) 如图(2)，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与的数量关系，并直接写出当为多少度时，； (3) 如图(3)，有三块平面镜，，，，入射光线与平面镜的夹角.已知人射光线从平面镜开始反射，经过(为正整数，)次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数(可用含有的代数式表示). 10. 我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角. 如图(1)，为一镜面，为入射光线，入射点为，为法线(过入射点且垂直于镜面的直线)，为反射光线，此时反射角等于入射角. (1) 如图(1)，若，则________.若，则________. (2) 两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点. ①如图(2)，当为多少度时，光线？请说明理由. ②如图(3)，若两条光线，相交于点，请探究与之间满足的等量关系，并说明理由. ③如图(4)，若两条光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是________.(直接写出结果) 中考新考法 一、选择题 1. 已知三个实数，，满足，，且，，，则的最小值是（ ）. A. 二、填空题 2. 如图，将绕点按顺时针方向旋转100°，得到，点恰好落在的延长线上，则的度数是________. 3. 规定两数之间的一种运算，记作()：如果，那么.例如：因为，所以.根据上述规定，填空：若，则的值为________. 三、解答题 4. 是否存在正整数和，使得？若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由. 5. 观察下列各式： . 请根据你发现的规律完成下列各题： (1) 根据规律，可得________.(其中为正整数) (2) 计算：(3－1). (3) ①计算：； ②计算：. 6. 阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式. 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式的方法进行运算. 例如：. 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数的乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： (1) 先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； (2) 用多项式中的常数项3去乘多项式中的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； (3) 再用多项式中的一次项去乘多项式中的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； (4) 最后把两次乘得的结果与相加，得. (5) 写出结果：. 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是________； A. 数形结合思想 B. 类比思想 C. 分类讨论思想 D. 转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则______. 7. 自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：等，那么如何求出它们的解集呢? 根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： (1) 若，，则，若，，则； (2) 若，，则，若，，则. 反之：①若，则或 ②若，则________或________. 根据上述规律，求不等式的解集. 8. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”. 观察： ； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除. 验证： (1) 若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； (2) 设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的. 9. 图形在方格(小正方形的边长为1个单位长度)上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位长度)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位长度)，则把有序数对叫作这一平移的“平移量”.如图(1)，已知，点按“平移量”(2，－3)可平移到点. (1) 点可看作点按“平移量”________平移得到； (2) 若将按“平移量”(－1，1)平移得到，请在图(1) 中画出； (3) 将点按“平移量”(x，y)平移得到点，使的面积与的面积相等，在图(2) 中画出(一种情况即可)，并写出对应的，. 10. 在课后服务课上，老师准备了若干张如图(1) 的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图(2) 的大正方形. [发现] (1) 根据图(2) ，写出一个我们熟悉的数学公式________. [应用] (2) 根据(1)中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积. 11. 现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图(1)的图形，用四个这样的小长方形拼成图(2) 的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1) 根据图中条件，请写出图(1)和图(2)所验证的关于，的关系式：(用含，的代数式表示出来) 图(1)表示________； 图(2)表示________. (2) 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值. ②请直接写出下列问题的答案： 若，则________； 若，则________. (3) 如图(3)，在长方形中，，长方形的面积是210，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形.延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积.(结果为具体的数值) 12. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”， (1) 方程组的解与是否具有“邻好关系”?说明你的理由. (2) 若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. (3) 未知数为，的方程其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“好关系”?如果具有，求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由. 13. 如图(1)，将一副直角三角板摆放在直线上(直角三角板和直角三角板)，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转. (1) 如图(2)，当为的平分线时，求此时的值； (2) 当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3) 在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时的值为________(直接写出答案即可). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提优复习八 跨学科与中考新考法 跨学科 一、选择题 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）. A. C. 答案：C 2. 人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（ ）. A. C. 答案：D 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）. 答案：C 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点.若，，则的度数为（ ）. A. B. 50° C. 55° D. 60° 答案：C 解析：如图，，. . .故选C. 5. 如图，B是正八边形的边上一点，一束光线从点出发，经过两次反射后到达边上一点，若，则（ ）. A. 70° B. C. 55° D. 答案：A 解析：如图，设上方的正八边形的顶点依次为与的交点为. 由正八边形的性质，得. 设. 由光的反射定律可知， 多边形是五边形. ，即，解得， ， . 多边形是四边形， 故选A. 二、填空题 6. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，按此规律，当碳原子的数目为(为正整数)时，氢原子的数目是________. 答案： 解析：因为甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，所以碳原子每增加1个，氢原子增加2个，所以当碳原子的数目为为正整数)时，氢原子的数目是. 7. 一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________，士兵有________名. 答案：200 800 8. 化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是.若己烷充分燃烧的化学方程式是为常数)，则的值是________. 答案：12 解析：由题意知，将代入，得，解得. 三、解答题 9. [阅读材料] 实验表明：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角.这就是光的反射定律. 信息快递 法线：过入射点并垂直于镜面的直线. 入射角：入射光线与法线的夹角. 反射角：反射光线与法线的夹角. [数学思考] 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等.例如：在图(1)、图(2)中，设平面镜与平面镜的夹角，从点射出一条光线，分别在点，点发生反射，则有. (1) 如图(1)，光线经过2次反射又回到了点，入射光线与第2次反射光线的夹角为.若，则________； (2) 如图(2)，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与的数量关系，并直接写出当为多少度时，； (3) 如图(3)，有三块平面镜，，，，入射光线与平面镜的夹角.已知人射光线从平面镜开始反射，经过(为正整数，)次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数(可用含有的代数式表示). 答案： (1) ， . ， . ， . (2) .证明如下： ， . ， . 若，则，即. (3) 的度数为或.理由如下： ①当时，若在边上反射后与平行，由(2) 知，，与已知不符，则只能在边上反射后与平行. 如图(1) ，延长，交于点，由，且由(2) 的结论可得， ， . ②当时，如图(2) . ， . ， ， . 综上，的度数为或. 10. 我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角. 如图(1)，为一镜面，为入射光线，入射点为，为法线(过入射点且垂直于镜面的直线)，为反射光线，此时反射角等于入射角. (1) 如图(1)，若，则________.若，则________. (2) 两平面镜，相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点. ①如图(2)，当为多少度时，光线？请说明理由. ②如图(3)，若两条光线，相交于点，请探究与之间满足的等量关系，并说明理由. ③如图(4)，若两条光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是________.(直接写出结果) 答案： (1) 65 50 (2) ①当∠POQ为90°时，光线.理由如下： 设. 当时，， 即， 在中，当为时，光线. ②.理由如下： 设. 在中，， . ， 在中， 即. ③解析：设， . 是的外角， 是的外角，. 中考新考法 一、选择题 1. 已知三个实数，，满足，，且，，，则的最小值是（ ）. A. 答案：B 解析：由得 由题意知，均是非负数， 则解得. 令，当时，有最小值，此时.故选B. 二、填空题 2. 如图，将绕点按顺时针方向旋转100°，得到，点恰好落在的延长线上，则的度数是________°. 答案：80 解析：绕点按顺时针方向旋转，得到. 点恰好落在的延长线上， . 3. 规定两数之间的一种运算，记作()：如果，那么.例如：因为，所以.根据上述规定，填空：若，则的值为________. 答案：50 解析：， . . 三、解答题 4. 是否存在正整数和，使得？若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由. 答案：不存在.理由如下：由，得. 是正整数， 或1013， 解得或 不存在正整数和，使得. 5. 观察下列各式： . 请根据你发现的规律完成下列各题： (1) 根据规律，可得________.(其中为正整数) (2) 计算：(3－1). (3) ①计算：； ②计算：. 答案： (1) (2) 根据(1) 可知，(3－1). (3) ①由，可得 ， . ②由，可得 ， 6. 阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式. 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式的方法进行运算. 例如：. 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数的乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： (1) 先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； (2) 用多项式中的常数项3去乘多项式中的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； (3) 再用多项式中的一次项去乘多项式中的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； (4) 最后把两次乘得的结果与相加，得. (5) 写出结果：. 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是________； A. 数形结合思想 B. 类比思想 C. 分类讨论思想 D. 转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则______. 答案： 任务一： 解析：根据题意可知，这种算法是类比整数的乘法运算，用的数学思想是类比. 任务二： . 任务三：－3 解析：8). 相乘的结果中不含的一次项，，解得. 7. 自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：等，那么如何求出它们的解集呢? 根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： (1) 若，，则，若，，则； (2) 若，，则，若，，则. 反之：①若，则或 ②若，则________或________. 根据上述规律，求不等式的解集. 答案： 不等式转化为或 解得. 8. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”. 观察： ； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除. 验证： (1) 若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； (2) 设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的. 答案： 猜想：9 (1) ，故将“对称数”979满足猜想. (2) .为整数，能被9整除， ”对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除. 9. 图形在方格(小正方形的边长为1个单位长度)上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位长度)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位长度)，则把有序数对叫作这一平移的“平移量”.如图(1)，已知，点按“平移量”(2，－3)可平移到点. (1) 点可看作点按“平移量”________平移得到； (2) 若将按“平移量”(－1，1)平移得到，请在图(1) 中画出； (3) 将点按“平移量”(x，y)平移得到点，使的面积与的面积相等，在图(2) 中画出(一种情况即可)，并写出对应的，. 答案： (1) (2，4) (2) 如图(1) 所示，即为所求. (3) 要使，则点到的距离等于点到的距离，如图(2) (答案不唯一)，点由点按“平移量”(1，2)平移得到，. 10. 在课后服务课上，老师准备了若干张如图(1) 的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图(2) 的大正方形. [发现] (1) 根据图(2) ，写出一个我们熟悉的数学公式________. [应用] (2) 根据(1)中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积. 答案： (1) (2) ①， . ②令， 则， ， 即.故这个长方形的面积为. 11. 现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图(1)的图形，用四个这样的小长方形拼成图(2) 的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1) 根据图中条件，请写出图(1)和图(2)所验证的关于，的关系式：(用含，的代数式表示出来) 图(1)表示________； 图(2)表示________. (2) 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值. ②请直接写出下列问题的答案： 若，则________； 若，则________. (3) 如图(3)，在长方形中，，长方形的面积是210，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形.延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积.(结果为具体的数值) 答案： (1) (2) ①， . . ② ， . ， . . (3) ， ， . 长方形EFGD的面积是210， . 令， ， ， ， 四边形的面积 12. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”， (1) 方程组的解与是否具有“邻好关系”?说明你的理由. (2) 若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. (3) 未知数为，的方程其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“好关系”?如果具有，求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由. 答案： (1) 与具有“邻好关系”.理由如下： 将②代入①，得， 解得， 将代入②，得， 方程组的解为 ， 方程组的解与具有“邻好关系”. (2) ①＋②，得， ， 将代入①，得， 方程组的解为 方程组的解与具有“邻好关系”， ，解得或. (3) 方程组的解与具有“邻好关系”.理由如下： 解得， 将代入②，得 都是正整数， 是12的约数. 都是正整数， 又， 是24的约数， 或或或， 的值为1或2或4或10. ， 的值只能是1或2， 当时，方程组的解为 当时，方程组的解为(舍去). 13. 如图(1)，将一副直角三角板摆放在直线上(直角三角板和直角三角板)，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转. (1) 如图(2)，当为的平分线时，求此时的值； (2) 当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3) 在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时的值为________(直接写出答案即可). 答案： (1) ， 平分， . (2) 当旋转至的内部时，与的数量关系是.理由如下： 由旋转，得， ， . (3) 15或24或27或33解析：分四种情况： ①当时，如图(1) ，，； ②当时，如图(2) ，则， ； ③当时，如图(3) ，则， ， ； ④当时，如图(4) ，则，. 综上，的值是15或24或27或33. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $