期末专项提优复习六 新情境 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 以新情境为载体，融合代数几何知识，通过实际问题考查模型构建与逻辑推理，体现数学眼光、思维与语言的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|4题|结合公园小路、旋转路径等情境，考查几何计算与方程抽象|从图形直观到数量关系，体现空间观念与模型意识| |填空|2题|以罐头盒制作、航天数据为背景，涉及方程组与科学记数法|实际问题符号化，强化抽象能力与数感| |解答|10题|含对数材料、面积法、命题证明、购物方案等，覆盖方程、几何、推理|从材料理解到问题解决，构建“情境-模型-应用”逻辑链，发展推理能力与应用意识|

期末专项提优复习六 新情境 一、选择题 1. 如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线(图中虚线)长为（ ）. A. 108米 B. 106米 C. 104米 D. 102米 2. 如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为（ ）. A. D. 60° 3. 从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为.已知他从地到地需用，从地返回地需用.问从地到地全程是多少千米?我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，且列出一个方程为，则另一个方程是（ ）. A. C. 4. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）. A. C. 二、填空题 5. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制10个盒身或16个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有18张白铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程组为________. 6. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞.返回器在接近大气层时，飞行大约需要0.0000893s.数据0.0000893用科学记数法表示为________. 三、解答题 7. 材料：一般地，若(且)，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式.根据以上材料，解决下列问题： (1) 计算：________，________，________； (2) 猜想________(且，，)； (3) 已知，求和的值. 8. [情境重现]如图(1)，课本第37页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： [直接应用] (1) 若，直接写出________； [类比应用] (2) 填空：①若，则________； ②若，则_______； [知识迁移] (3) 如图(2)，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置(点，，在一条直线上)，连接，，.若，阴影部分的面积为36，求的面积. 9. 大课间结束后，某学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行. 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直. 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题······ 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知，求证，并证明(注明理由)；如果是假命题，请举反例画图说明. 下面请你一起完成数学老师所说的任务. 10. 某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元. (1) 求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元； (2) 经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案. 11. 如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为(5x＋4y)克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态. (1) 若，求天平处于平衡状态时的值； (2) 若一个二元一次方程的解都是正整数，则把称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为求天平处于平衡状态下的的正整数值； (3) 期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数.若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用. 12. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点，已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票.若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票. (1) 问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ (2) 已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过10000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 13. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种. 活动一：所购商品按原价打8折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元) (1) 购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由. (2) 购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价. (3) 购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为元，请直接写出的取值范围. 14. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功.某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型.已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元. (1) 求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格. (2) 该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案? (3) 该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70元，每个“天宫”模型的售价为55元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？最大利润是多少元？ 15. 根据以下信息，探索完成任务： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提优复习六 新情境 一、选择题 1. 如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线(图中虚线)长为（ ）. A. 108米 B. 106米 C. 104米 D. 102米 答案：C 解析：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于. 长米，宽米，小明从出口到出口所走的路线长为(米).故选C. 2. 如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为（ ）. A. D. 60° 答案：B 解析：. 每次旋转的角度.故选B. 3. 从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为.已知他从地到地需用，从地返回地需用.问从地到地全程是多少千米?我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，且列出一个方程为，则另一个方程是（ ）. A. C. 答案：D 4. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）. A. C. 答案：A 解析：碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为， 碳水化合物含量是.根据题意，得30，.故选A. 二、填空题 5. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制10个盒身或16个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有18张白铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程组为________. 答案： 6. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞.返回器在接近大气层时，飞行大约需要0.0000893s.数据0.0000893用科学记数法表示为________. 答案： 三、解答题 7. 材料：一般地，若(且)，那么叫作以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式.根据以上材料，解决下列问题： (1) 计算：________，________，________； (2) 猜想________(且，，)； (3) 已知，求和的值. 答案： (1) 2 4 6 解析：， . (2) 解析：设，，则，，即. (3) 由(2) 知，， . 8. [情境重现]如图(1)，课本第37页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： [直接应用] (1) 若，直接写出________； [类比应用] (2) 填空：①若，则________； ②若，则_______； [知识迁移] (3) 如图(2)，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置(点，，在一条直线上)，连接，，.若，阴影部分的面积为36，求的面积. 答案： (1) 13 解析：， . (2) ①10 解析：已知，且， . ②22 解析：已知， 且， 2024). (3) 设大正方形的边长为，小正方形的边长为. ，阴影部分的面积为36， ，即. ， 即. 9. 大课间结束后，某学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行. 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直. 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题······ 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知，求证，并证明(注明理由)；如果是假命题，请举反例画图说明. 下面请你一起完成数学老师所说的任务. 答案：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题. 已知：. 求证：. 证明：作直线分别与直线相交，如图(1) ， (已知)， (两直线平行，同位角相等). (已知)， (两直线平行，同位角相等)， (等量代换)， (同位角相等，两直线平行). 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图(2) ，上，上，而. 10. 某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元. (1) 求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元； (2) 经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案. 答案： (1) 设每顶帽子的价格是元，每双手套的价格是元.根据题意，得解得 故每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元. (2) 设购买顶帽子，则购买(50－)双手套. 根据题意，得， 解得.又为正整数，可以为27，28，29，共有3种购买方案： 方案1：购买27顶帽子，23双手套； 方案2：购买28顶帽子，22双手套； 方案3：购买29顶帽子，21双手套. 11. 如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为(5x＋4y)克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态. (1) 若，求天平处于平衡状态时的值； (2) 若一个二元一次方程的解都是正整数，则把称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为求天平处于平衡状态下的的正整数值； (3) 期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数.若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用. 答案： (1) 由题意，得， ，解得， 即若，天平处于平衡状态时的值为3.6. (2) 由题意，得，即， 整理，得. 为正整数， (3) 设笔记本的单价为元，圆珠笔的单价为元， 由题意，得，整理，得. 为正整数，或 当时，； 当时，. 故购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元. 12. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点，已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票.若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票. (1) 问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ (2) 已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过10000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 答案： (1) 设在需要购票的师生中，学生的人数为，老师的人数为， 由题意，得解得故在需要购票的师生中，学生的人数为414，老师的人数为6. (2) 由(1) 可知，所有参观滕王阁的老师中有6人不能背出《滕王阁序》，设还需名学生背出《滕王阁序》， 由题意，得(520－100－6－m)25≤10000，解得14.故至少还需14名学生背出《滕王阁序》. 13. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种. 活动一：所购商品按原价打8折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元) (1) 购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由. (2) 购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价. (3) 购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为元，请直接写出的取值范围. 答案： (1) 活动一更合算.理由如下： (元)，(元)， 选择活动一更合算. (2) 设一件这种健身器材的原价为元， 若，则活动一按原价打8折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等， ，则，解得， 一件这种健身器材的原价是400元. (3) 当时，，解得， ；当时，，解得. 综上所述，当或时，选择活动二比选择活动一更合算. 14. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功.某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型.已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元. (1) 求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格. (2) 该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案? (3) 该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70元，每个“天宫”模型的售价为55元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？最大利润是多少元？ 答案： (1) 设每个“神舟”模型的进货价为元，每个“天宫”模型的进货价为元. 根据题意，得解得故每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元. (2) 根据题意，得 解得取整数，， 该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型53个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型52个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个. (3) 方案①的利润为1335(元)； 方案②的利润为(元)； 方案③的利润为(元). 方案③的利润最大，为1345元. 故进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元. 15. 根据以下信息，探索完成任务： 答案： 任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产件工艺品、件工艺品， 则解得故每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品、4件工艺品. 任务二：设使用熟练工人，招聘新工人人， 则，即， ，且为正整数， 共有三种方案，①抽调熟练工10人，招聘新工人3人；②抽调熟练工9人，招聘新工人5人；③抽调熟练工8人，招聘新工人7人. 任务三：①当时，每天应发总工资为(元)； ②当5时，每天应发总工资为3500(元)； ③当时，每天应发总工资为(元). 故为了节省成本，应该招聘新工人3名. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $