期末专项提优复习五 定义 命题 证明 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦定义、命题、证明的逻辑链条，通过反例构造、多条件推理、代数几何综合证明，系统培养推理意识与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择5/填空9|新定义应用（关联数、圆满分割点）|从具体实例抽象数学概念，建立定义与应用的联系| |命题判断|选择1-4/填空10-12|真假命题判断与反例构造|通过具体命题辨析，理解命题结构及逆命题关系| |推理证明|解答19-21/23|条件组合与逻辑推理|结合几何图形，训练“已知-依据-结论”的推理规范| |综合应用|解答24-26/选择8|定理证明与实际应用（内角和、选举问题）|从定理推导到实际情境，体现数学思维的严谨性与应用性|

期末专项提优复习五 定义 命题 证明 一、选择题 1.下列命题中，属于真命题的是（ ）. A. 如果，那么 B. 平移前后的两图形中，两组对应点的连线平行 C. 相等的角是对顶角 D. 三角形的一个外角等于两个内角之和 答案：A 解析：A.如果，那么，是真命题；B.平移前后的两图形中，两组对应点的连线平行或在同一条直线上，原命题是假命题；.相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题.故选A. 2. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）. A. C. 答案：D 解析：A、B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合题意；D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是反例.故选D. 3. 命题“若，则”与其逆命题的真假性为（ ）. A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题 C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题 答案：D 解析：命题“若，则”是真命题，其逆命题为：若，则，是假命题.故选D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）. A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 若，则与是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D. 如果，那么 答案：C 解析：A.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；B.若，则∠1与∠2不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；C.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，原命题为真命题，符合题意；D.如果，那么，故原命题是假命题，不符合题意.故选C. 5. 定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数.若与是关于3的关联数，则的值是（ ）. A. －2 B. －1 C. 3 D. 6 答案：A 解析：，解得.故选A. 6. 四边形的内角和等于，五边形的外角和等于，则下列关系成立的是（ ）. A. C. 答案：A 解析：四边形的内角和等于， . 五边形的外角和等于.故选A. 7. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，元素，否则(为正整数).例如：当关键词出现在书中时，，否则=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，则下列相关表述错误的是（ ）. A. 当时，选择这本书 B. 当时，不选择这本书 C. 当全是1时，选择这本书 D. 只有当时，才不能选择这本书 答案：D 解析：根据题意，可得的值要么为1，要么为0. A.，说明，故关键词“”同时出现在书中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“”的书，故A正确；B.当时，必有值为0，即关键词“”不同时具有，从而不选择这本书，故正确；C.当全是1时，则，故关键词“，，”同时出现在书中，则选择这本书，故C正确；D.根据前述分析可知，只有当时，才能选择这本书，而的值为0，1，2时，不选择这本书，故D错误，符合题意.故选D. 8. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某中学初二(8)班举办了“乐知杯古诗词”大赛.现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐.决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(不并列)，对应名次的得分分别为，且均为正整数；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军.三位选手在每轮比赛中的部分得分情况如表，根据题中所给信息，下列说法正确的是（ ）. A. 小璟可能有一轮比赛获得第二名 B. 小桦有三轮比赛获得第三名 C. 小花可能有一轮比赛获得第一名 D. 每轮比赛第一名得分为5 答案：D 解析：由题意可知，，其中且均为正整数，.若每轮比赛第一名得分为4，则最后得分最高为.又最小取每轮比赛第一名得分为5，小璟五轮得第一，一轮得第三；小桦四轮得第三，一轮得第一，一轮得第二；小花五轮得第二，一轮得第三.故选D. 二、填空题 9. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为________. 答案：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 解析：“同角的补角相等”的条件是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”，则将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”. 10. 已知三条不同的直线在同一平面内，下列四个命题： ①如果，那么；②如果，那么； ③如果，那么；④如果，那么. 其中为真命题的是________(填序号). 答案：①②④ 解析：在同一个平面内，如果，那么，故①为真命题；如果，，那么，故②为真命题；如果，，那么，故③为假命题，④为真命题. 11. 为说明“对于任何实数，”是假命题，“举一个反例，的值可以是________. 答案：(答案不唯一) 解析：当时，，即.故“对于任何实数”是假命题. 12. 下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则.其中真命题有________个. 答案：1 解析：对于①，两直线平行，同位角相等，所以①是假命题；对于②，如果，那么或，所以②是假命题；对于③，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，所以③是真命题；对于④，例如，而，所以④是假命题.综上分析可知，真命题有1个. 13. 如图是某零件的平面图，其中，，则的大小为________. 答案：40° 解析：如图，延长交于， . ， . 14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，________. 答案：75° 解析：设与交于点，如图所示. 在中，， . ， . 在中，， ， . 15. 已知在中，，和分别是的高和角平分线，，则________. 答案：100或140 解析：分两种情况讨论：①当在左侧时，如图(1) 所示. 是的高，_，. ， ， ， . 平分. ②当在右侧时，如图(2) 所示. 是的高，，. ， . ， . 平分. 综上可知，或. 16.今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内.全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示(单位：票)： 三名候选人中，________有机会当选村长(填“甲”“乙”或“丙”)，并写出你的推断理由________. 答案：甲或丙 理由见解析 解析：第一、第二、第三投票点甲的得票数为；乙的得票数为211＋；丙的得票数为. ，即丙目前领先甲13票.第四投票点甲赢丙14票及以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票点甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选.而596－337=259>250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选. 17. 编号为的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表： 则收割最快的一台收割机编号是________. 答案： 所需时间为23小时，所需时间为19小时，比快4小时.所需时间为19小时，所需时间为20小时，比快1小时.所需时间为20小时，所需时间为22小时，比快2小时.所需时间为22小时，所需时间为18小时，比快4小时.收割速度如图所示： 收割最快的一台收割机编号是. 18. 定义：是线段上的一点，若点将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点是线段的“圆满分割点”.已知分别是线段的“圆满分割点”，则的长是________. 答案：2或4 解析：是线段的“圆满分割点”，或. 是线段的“圆满分割点”，， 或. 综上所述，的长是2或4. 三、解答题 19. 已知与互为相反数，，互为倒数，，求的值. 解：与互为相反数，________. 互为倒数，________. ________. ________. (1) 数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2) 请用推理的方式解决下面的问题：已知是三个有理数，若，且，试判断的符号并且说明理由. 答案：(1) 0 1 ±2 ± 解析：∵a与互为相反数，互为倒数，. (2) 的符号为负.理由如下： 与互为相反数，且， 为负数，为正数，. 又的符号为负. 20. (1) 已知：如图，在中，点在上，点在上，点，在上，，，求证：. (2) 你在(1)的证明过程中应用了哪两个真命题？ 答案： (1) . ， . (2) 在(1) 的证明过程中应用的两个真命题是： ①两直线平行，同位角相等； ②内错角相等，两直线平行. 21. 如图，从①；②；③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题. (1) 这三个命题中，真命题的个数为________； (2) 选择一个真命题，并且证明.(要求写出每一步的依据) 答案：(1) 3 (2) 选择①②→③.(答案不唯一) 如图，已知，，求证. 证明：如图，(已知)，(对顶角相等)， (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等). (已知)， (等量代换)， (内错角相等，两直线平行)， (两直线平行，内错角相等). 22. 如图，，分别是的高和角平分线，，点在的延长线上，，垂足为与相交于点. (1) 求的大小； (2) 求的大小. 答案： (1) ， . 是的角平分线， . ， . (2) 是的高，. ， ， . 23. 如图，有下列三个条件：①；②；③. (1) 若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2) 选择你写的一个真命题写出证明过程. 答案： (1) 一共能组成三个命题， ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么. (2) “如果，那么”是真命题. 理由如下：. . “如果，那么”是真命题.理由如下：. . “如果，那么”是真命题.理由如下：， ， . . 24. 请用两种方法证明：四边形的外角和为.(要求：结合图形，写出已知、求证，并证明) 答案：如图所示，已知四边形中，，，，是四边形的四个外角. 求证：. 证法一：如图(1) 所示， . 四边形的内角和为， ， . 证法二：连接，如图(2) 所示. ， ， 同理，， . 四边形的内角和为， ， . 25. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的真假性. 例如：证明命题“如果，那么”是真命题. 证明：，(已知) 在不等式两边都加上，得.(不等式的基本性质) ，(已知) 在不等式两边都加上，得.(不等式的基本性质) ，(已证) .(不等式的传递性) (1) 已知有理数满足，证明：(补全下列推理过程). 证明：且均为正数，(已知) 不等式的两边都乘同一个正数，得________，(不等式的基本性质) 不等式的两边都乘同一个正数，得________，(不等式的基本性质) .(不等式的传递性) (2) 请你尝试证明：若，则. (3) 命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明. 答案： (1) 解析：证明：且均为正数， 不等式的两边都乘同一个正数，得， 不等式的两边都乘同一个正数，得， . (2) 证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得. (3) 真命题.证明：设这三个连续自然数分别是，，其中能被3整除，这三个连续自然数的和能被3整除. 26. 三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°.如何证明这个定理呢? 我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理. [定理证明]已知：(如图(1)). 求证：. [定理推论]如图(2)，在中，有，是延长线上一点，由平角的定义可得，所以________.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. [初步运用]如图(3)，，分别是的边，延长线上一点. (1) 若，则________. (2) 若，则________. [拓展延伸]如图(4)，，分别是四边形的边，延长线上一点. (1) 若，，则________. (2) 分别作和的平分线，交于点，如图(5)，若，则和的数量关系为________； (3) 分别作和的平分线，，如图(6)，若，求证：. 答案： [定理证明]如图(1) ，过点作直线， 所以. 因为， 所以. [定理推论] [初步运用](1) 70 (2) 260 [拓展延伸](1) 230 (2) (3) 如图(2) ，延长交于点. 因为平分平分， 所以. 因为， 所以， 所以. 因为， 所以，所以. 一题多解 [定理证明]证明三角形三个内角的和等于，还有如下证法： 如图(3) ，延长到点，过点作， 所以. 因为， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提优复习五 定义 命题 证明 一、选择题 1.下列命题中，属于真命题的是（ ）. A. 如果，那么 B. 平移前后的两图形中，两组对应点的连线平行 C. 相等的角是对顶角 D. 三角形的一个外角等于两个内角之和 2. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）. A. C. 3. 命题“若，则”与其逆命题的真假性为（ ）. A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题 C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）. A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 若，则与是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D. 如果，那么 5. 定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数.若与是关于3的关联数，则的值是（ ）. A. －2 B. －1 C. 3 D. 6 6. 四边形的内角和等于，五边形的外角和等于，则下列关系成立的是（ ）. A. C. 7. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，元素，否则(为正整数).例如：当关键词出现在书中时，，否则=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，则下列相关表述错误的是（ ）. A. 当时，选择这本书 B. 当时，不选择这本书 C. 当全是1时，选择这本书 D. 只有当时，才不能选择这本书 8. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某中学初二(8)班举办了“乐知杯古诗词”大赛.现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐.决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(不并列)，对应名次的得分分别为，且均为正整数；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军.三位选手在每轮比赛中的部分得分情况如表，根据题中所给信息，下列说法正确的是（ ）. A. 小璟可能有一轮比赛获得第二名 B. 小桦有三轮比赛获得第三名 C. 小花可能有一轮比赛获得第一名 D. 每轮比赛第一名得分为5 二、填空题 9. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为________. 10. 已知三条不同的直线在同一平面内，下列四个命题： ①如果，那么；②如果，那么； ③如果，那么；④如果，那么. 其中为真命题的是________(填序号). 11. 为说明“对于任何实数，”是假命题，“举一个反例，的值可以是________. 12. 下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则.其中真命题有________个. 13. 如图是某零件的平面图，其中，，则的大小为________. 14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，________. 15. 已知在中，，和分别是的高和角平分线，，则________. 16.今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内.全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示(单位：票)： 三名候选人中，________有机会当选村长(填“甲”“乙”或“丙”)，并写出你的推断理由________. 17. 编号为的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表： 则收割最快的一台收割机编号是________. 18. 定义：是线段上的一点，若点将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点是线段的“圆满分割点”.已知分别是线段的“圆满分割点”，则的长是________. 三、解答题 19. 已知与互为相反数，，互为倒数，，求的值. 解：与互为相反数，________. 互为倒数，________. ________. ________. (1) 数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2) 请用推理的方式解决下面的问题：已知是三个有理数，若，且，试判断的符号并且说明理由. 20. (1) 已知：如图，在中，点在上，点在上，点，在上，，，求证：. (2) 你在(1)的证明过程中应用了哪两个真命题？ 21. 如图，从①；②；③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题. (1) 这三个命题中，真命题的个数为________； (2) 选择一个真命题，并且证明.(要求写出每一步的依据) 22. 如图，，分别是的高和角平分线，，点在的延长线上，，垂足为与相交于点. (1) 求的大小； (2) 求的大小. 23. 如图，有下列三个条件：①；②；③. (1) 若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2) 选择你写的一个真命题写出证明过程. 24. 请用两种方法证明：四边形的外角和为.(要求：结合图形，写出已知、求证，并证明) 25. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的真假性. 例如：证明命题“如果，那么”是真命题. 证明：，(已知) 在不等式两边都加上，得.(不等式的基本性质) ，(已知) 在不等式两边都加上，得.(不等式的基本性质) ，(已证) .(不等式的传递性) (1) 已知有理数满足，证明：(补全下列推理过程). 证明：且均为正数，(已知) 不等式的两边都乘同一个正数，得________，(不等式的基本性质) 不等式的两边都乘同一个正数，得________，(不等式的基本性质) .(不等式的传递性) (2) 请你尝试证明：若，则. (3) 命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明. 26. 三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°.如何证明这个定理呢? 我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理. [定理证明]已知：(如图(1)). 求证：. [定理推论]如图(2)，在中，有，是延长线上一点，由平角的定义可得，所以________.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. [初步运用]如图(3)，，分别是的边，延长线上一点. (1) 若，则________. (2) 若，则________. [拓展延伸]如图(4)，，分别是四边形的边，延长线上一点. (1) 若，，则________. (2) 分别作和的平分线，交于点，如图(5)，若，则和的数量关系为________； (3) 分别作和的平分线，，如图(6)，若，求证：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $