精品解析：2026年河南南阳市唐河县中考第三次阶段测试数学试题

2026年中考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 3. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 4. 燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若，，三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由等边三角形的判定与性质、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，三个村庄之间的直线距离两两相等， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴管道从村铺设到村时，铺设方向应为北偏东． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 6. 下列说法一定正确的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理判定，理解相关知识是解答关键． 根据平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理来进行判定求解． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分，故原说法错误，此项不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意； C．矩形的对角线相等，故原说法正确，此项符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意． 故选：C． 7. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，均为格点，为与网格线的交点，为与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在网格中利用勾股定理算出的长度为，再依据网格的平行关系与线段相等关系，证明是的中点、是的中点，从而确定是的中位线，最后根据三角形中位线定理，得到，即可解答． 【详解】解：如图，取格点，连接，则 ∵， ∴是的中点. ∵四边形是矩形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，代入系数计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点F的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得,进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形，边在x轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点F的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴, ∴直线的解析式为， 由折叠得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：, ∴, ∴． 10. 某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（ ） A. 当，y随x的增大而增大 B. 当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C. 消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D. 当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 【答案】C 【解析】 【分析】从函数图象获取信息，求出反比例函数的解析式，再逐一进行判断即可． 【详解】观察函数图象可知，当，y随x的增大而增大，∴A选项正确，不符合题意； 对于，当时，解得， ∴点B的坐标为， ∴，解得， ∴ 当时，解得， ∴当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力，∴B选项正确，不符合题意； 当时，，解得，当时，， ∴持续时长为（分钟），∴C选项错误，符合题意； 将代入，解得，∴D选项正确，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小林家距离学校a 千米，平时骑自行车上学需要12 分钟．若某一天小林从家出发比平时晚了b 分钟，他为了按平时的时间准时到校，则速度应为________千米/分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式，首先表示出上学需要的时间，再利用路程即可求出速度． 【详解】解：由题意知，小林这天从家到学校所用时间为分钟， 为了按平时的时间准时到校，速度应为千米/分． 12. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 方差 【答案】甲 【解析】 【分析】方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定.根据甲乙的平均成绩与方差，即可判断出新手． 【详解】解：由表格可知，甲的平均成绩为环，低于乙的平均成绩环，甲的方差，大于乙的方差 方差越大，成绩的波动越大，成绩越不稳定，符合新手成绩不稳定的特点， 新手是甲 ． 13. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据画树状图法，求概率解答即可． 【详解】解：设A表示火药，B表示印刷术，C表示造纸术，D表示指南针，根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中这两张卡片中有“指南针”的有6种等可能性． 故这两张卡片中有“指南针”的概率是． 14. 如图，为的切线，为切点，交于点．点在上，连接，若，则的长是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，求弧长，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由切线的性质可得，解直角三角形可得，则可得到，则，再求出的度数，即可根据弧长计算公式求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故答案为：． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形，叫做“差直角三角形”．如图，已知中，，，，点在边上．若是“差直角三角形”，则的长为________． 【答案】5或3.5 【解析】 【分析】分两种求解：或，对于第一种情况，导角发现，过点E作于点F，根据全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解；对于第二种情况，导角发现，则证明，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E在边上，且， ∴是一个钝角， ∵是差直角三角形， ∴或 当时， 此时， ∵， ∴， 过点E作于点F， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，此时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，BE的长为5或3.5． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）化简为：，值为： 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 当，时， 原式 ． 17. 新学期开学后体育组老师为检测同学们在家锻炼情况，在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测，并对数据进行了整理、分析．下面给出了部分信息： 甲班：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 乙班成绩在中的数据是，，，，，， 整理数据： 成绩班级 甲 乙 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ， （2）根据以上数据，你认为哪个班级在家体育锻炼的效果比较好，请说明理由（条理由即可）： （3）已知九年级共有名学生，请估计全年级体育成绩大于等于45分的学生有多少人？ 【答案】（1）5；49；43.5 （2）甲班好一些， 理由∵甲班平均数大于乙班平均数；且甲班中位数，众数都大于乙班； ∴甲班体育水平高一些 （3）全年级体育成绩大于等于分的有380人 【解析】 【分析】（1）根据样本数据，和中位数，众数的概念可得出答案； （2）从平均成绩，中位数和众数的角度分析可得出答案； （3）利用样本估计总体的方法可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意， ∵甲班的数据中49出现的次数最多， 故众数是49，即， ∵在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测， ∴中位数是第10和11名之间， 分析表格数据，得乙班的数据中第10和11名都分布在这组， 将乙班成绩在中的数据重新排列得到， ∵， 故第10和11名的成绩为：， ∴知中位数， 故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(人)， 答：全年级体育成绩大于等于分的有380人． 18. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标求得，再根据正方形的性质及图形位置确定点的坐标为，将点代入反比例函数解析式即可求得的值． （2）利用待定系数法求出经过点、的一次函数解析式，联立一次函数与反比例函数解析式求得交点坐标，结合函数图象观察可得，当时一次函数图象在反比例函数图象上方的区间即为所求解集． （3）由正方形边长求得面积为25，以为底边、点横坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式列方程求解，得到点的横坐标后代入反比例函数解析式求出纵坐标，注意点可能在第二象限或第四象限，需分类讨论． 【小问1详解】 解：正方形，，， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，函数图象可得，的解集是：； 【小问3详解】 解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺及圆规在边上求作一点，使与边，都相切并画出；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中所画的半径． 【答案】（1）如图，则即为所求． （2）3 【解析】 【分析】（1）由于与，都相切，圆心到两边的距离相等且都等于半径，故在的角平分线上，又在边上，因此作的平分线交于点，再以为圆心、为半径画圆即为所求； （2）方法一：利用全等三角形与勾股定理：由得，从而，设半径为，在中由勾股定理列方程，由此即可得解； 方法二：利用面积法：将分割为和，由面积关系建立等式，即可求解． 【小问1详解】 解：作的平分线，交于点，以为圆心、为半径作，则即为所求． 由于点O在的平分线上，则点O到两边的距离相等，故点O到的距离等于半径，则与边，都相切； 【小问2详解】 解：方法一： ，，， ， 设与相切于点，连接，则， 在和中， ，， ∴， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 的半径为． 方法二： ， 又， ， 解得， 的半径为． 20. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，，再利用三角函数列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得． 答：塔的高度为． 21. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 （2）当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 22. 综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … （1）【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； （2）【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】（1）任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 （2） 【解析】 【分析】（1）任务1：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出函数表达式； 任务2：解方程求出的值，再根据求出水火箭飞行的水平距离； （2）任务3：由可知，设发射台的高度为米，则抛物线的解析式为，求出点、的坐标，分别求出当抛物线经过点、时的值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； 【小问2详解】 解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 23. 综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点，，的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点，．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形；（2）①，理由见详解；②线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，则，又，得四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是菱形，由此即可求解； （2）①根据平移得到，，即，根据翻折得到，则，所以，即，由此即可求解； ②根据题意得到，分类讨论：如图所示，点在线段上时，，是直角三角形；如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点；根据锐角三角函数的计算，数形结合分析求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）①，理由如下， ∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，）， ∴， ∴，即， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，点在线段上时，，是直角三角形， ∵， ∴， 设，， ∴， 根据平移折叠，及（1）证明可得，，， ∴是等腰三角形，， 由①可知，，， ∴，即点是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点， 同理，， ∴，设， ∴，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，图形平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握矩形的性质，图形变换的性质，锐角三角函数的计算方法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 3. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若，，三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 北偏西 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法一定正确的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，均为格点，为与网格线的交点，为与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（ ） A. 当，y随x的增大而增大 B. 当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C. 消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D. 当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小林家距离学校a 千米，平时骑自行车上学需要12 分钟．若某一天小林从家出发比平时晚了b 分钟，他为了按平时的时间准时到校，则速度应为________千米/分． 12. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 方差 13. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是________． 14. 如图，为的切线，为切点，交于点．点在上，连接，若，则的长是______ 15. 定义：有两个内角的差为的三角形，叫做“差直角三角形”．如图，已知中，，，，点在边上．若是“差直角三角形”，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 新学期开学后体育组老师为检测同学们在家锻炼情况，在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测，并对数据进行了整理、分析．下面给出了部分信息： 甲班：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 乙班成绩在中的数据是，，，，，， 整理数据： 成绩班级 甲 乙 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ， （2）根据以上数据，你认为哪个班级在家体育锻炼的效果比较好，请说明理由（条理由即可）： （3）已知九年级共有名学生，请估计全年级体育成绩大于等于45分的学生有多少人？ 18. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺及圆规在边上求作一点，使与边，都相切并画出；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中所画的半径． 20. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）． 21. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 22. 综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … （1）【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； （2）【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 23. 综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点，，的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点，．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $