精品解析：2026年河南省三门峡市卢氏县第五教研区中考第三次阶段自测数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在，，，四个数中，负数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统已进入稳定运行和持续优化的阶段，其中“圆地球轨道卫星”运行在约公里高度的圆形轨道上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则，则的度数为（）． A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某团队对，，，四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 平均回传速率 回传速率方差 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到，延长与交于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有实数根，请写一个符合题意的的值______． 12. 不等式组的解集是__________ ． 13. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个的概率是______． 14. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在中，，，，平分，且，若将沿边向右平移得到，点，，的对应点分别为点，，，过点作于点，的延长线交于点，在平移的过程中，当点将分成的两部分时，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 18. 如图，点，在以为直径的上，平分， （1）请用无刻度直尺和圆规过点作出的切线交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 19. 数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求电阻的值． （2）电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 20. 济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． （1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ （2）文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 21. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 22. 抛物线经过和两点． （1）求的值及，满足的关系式； （2）若抛物线同时经过两个不同的点和，求的值； （3）若抛物线在和两点间，随的增大而减小，求的取值范围． 23. 综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． （1）【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， （2）【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在，，，四个数中，负数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据负号加上一个正数是负数进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，四个数中，负数有，，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负数的定义是解题的关键． 2. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．俯视图是指从上往下看得到的图形．注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 【详解】解：从上往下看得到的图形如图所示： 故选∶D． 3. 我国的北斗卫星导航系统已进入稳定运行和持续优化的阶段，其中“圆地球轨道卫星”运行在约公里高度的圆形轨道上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法的标准形式为 ，其中 ，为整数， ∴． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则，则的度数为（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出平行光线与主光轴的内角度数，再结合三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻两个内角之和，推导度数，平行于主光轴的入射光线和主光轴虚线互相平行． 【详解】解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， ． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴该选项正确； B、∵， ∴该选项错误； C、∵， ∴该选项错误； D、∵， ∴该选项错误． 6. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 8. 某团队对，，，四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 平均回传速率 回传速率方差 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先筛选平均回传速率较大的卫星，再比较方差即可得到结果． 【详解】解：根据题意得卫星信号回传速率要求快且稳定，比较平均回传速率，速率越快越好，和的平均回传速率最大； 再比较方差，方差越小越稳定，在和中，的方差更小，故的性能最优． 9. 如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到，延长与交于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，推出，得到，设，则，在中，利用勾股定理进行求解后，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 根据折叠的性质得，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， ∴． 10. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛出时，求出，得到抛物线解析式，再结合二次函数最值，解方程逐个判断4个结论正误． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，①正确； 抛物线的关系式为， 当时，， 铅球运动的高度可以是，②正确； 当时，， 解得（舍），， 铅球掷出的水平距离为，③正确； 当时，， 解得，， 它离初始位置的水平距离是或，④错误， 所以正确的有①②③共3个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有实数根，请写一个符合题意的的值______． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】先根据根的判别式，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根，，，， ∴， 解得， ∴的值可以为（答案不唯一，即可） 12. 不等式组的解集是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为． 13. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件分别用表示，画树状图，根据图可知一共有种等可能的结果，他们选择同一个的结果数有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】解：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件分别用表示，画树状图如下： 一共有种等可能的结果，他们选择同一个的结果数有种， ∴他们选择同一个的概率是． 14. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 15. 如图，在中，，，，平分，且，若将沿边向右平移得到，点，，的对应点分别为点，，，过点作于点，的延长线交于点，在平移的过程中，当点将分成的两部分时，则的长为________． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，分两种情况分类讨论，第一种情况当时，以及当时，结合解直角三角形的计算求解即可． 【详解】解：∵将沿边向右平移得到， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∵在平移的过程中，当点将分成的两部分时， ①当时， 设，则， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 即，解得， ∴； ②当时， 设，则，同理可得，， ∴， 即，解得 ∴； 综上所述，的长为6或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 【答案】（1）8， （2） （3）七年级；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：观察扇形统计图得：得8分的人数最多， ∴； 根据题意得：位于第10位，11位的分别为7分，8分， ∴； 故答案为：8；7.5 【小问2详解】 解：七年级学生成绩的平均数； 【小问3详解】 解：七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好． 18. 如图，点，在以为直径的上，平分， （1）请用无刻度直尺和圆规过点作出的切线交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）是直径，过的圆的切线垂直于直径，即；以为顶点、适当半径画弧交直线于点、，在作的垂直平分线，此时垂直平分线过点，则垂直平分线交的延长线于点即为所求． （2）连接，根据角平分线性质及圆周角定理证明，再利用勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 由勾股定理得． 19. 数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求电阻的值． （2）电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】（1）待定系数法先求出函数解析式，然后将，代入求值即可； （2）根据公式，代入求值即可； （3）根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图3可知，可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系，设， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 当时，； 【小问2详解】 解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知，， 代入解析式，可得：， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）知电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最大值为； 当时，取得最小值，最小值为， 此时取得最小值为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小值2时，取得最大值， 把代入得：， 解得：， 所以该电子秤所称物品质量的最大值为． 20. 济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． （1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ （2）文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 【答案】（1）每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元 （2）生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元 【解析】 【分析】（1）设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设生产A礼盒m件，列不等式求出自变量的取值范围，再设生产总成本为w元，列一次函数解析式并根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元． 【小问2详解】 解：设生产A礼盒m件，则生产B礼盒件， 由题意得：， 解得：， 设生产总成本为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w有最小值，此时， 答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元． 21. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】（1）拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得 的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 22. 抛物线经过和两点． （1）求的值及，满足的关系式； （2）若抛物线同时经过两个不同的点和，求的值； （3）若抛物线在和两点间，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据抛物线的对称轴建立等式，结合（1）的结论计算即可； （3）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况：和，利用二次函数的增减性建立不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵这个抛物线同时经过两个不同的点和， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， ∵抛物线在和两点间，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴经过点或在点的右侧， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时， ∵抛物线在和两点间，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴经过点或在点的左侧， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或． 23. 综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． （1）【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， （2）【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 【答案】（1） ①；②，理由如下： 解：如图2，作于，作于， ， 由①知，，四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ③ （2）75；50 【解析】 【分析】（1）①作于，作于，证明，因此； ②作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； ③作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； （2）结合②以及已知条件写出关于的表达式，根据位置关系判断最值． 【小问1详解】 ①证明：如图1， 作于，作于， ， ，， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， ； ②略； ③如图2，作于，作于， 由②知，，， ， ， ． 【小问2详解】 解：存在最大值或最小值，理由如下： 且， ， 由②知，， ， 当时，最小， 此时，， ， 当最大时，即， 即时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $