1.1正数和负数-导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦《有理数》中正数、负数与0的概念及意义，通过温度、盈利亏损、增长率等生活实例导入，衔接小学数的知识，以问题链引导学生从具体到抽象，构建概念学习支架。 融入《九章算术》负数记载等数学史内容增强文化认同，结合橘子质量、体重变化等实例训练，培养数学抽象与应用意识，达标检测覆盖多情境，强化符号意识，助力学生用数学语言表达现实世界。

姓名: 学科: 日期: 第1章《有理数》 1.1 正数与负数 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月11日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解正数、负数与0的概念.（数学抽象·重点） 2. 经历溯源与实例分析，理解与掌握正数、负数与0的意义和作用，并能灵活运用正数与负数表示实际问题中具有相反意义的量.（数学抽象·重难点） 【学习过程】 一、问题探究 （一）问题 在小学,我们从日常生活中的实例出发,学习了自然数、小数、分数及其运算.在日常生活、生产和科研中,还会遇到另外一些数的表示问题,例如: 1.北京冬季某一天的最高气温为“零上”,最低气温为“零下”.如何用数区分“零上”和“零下”? 2.某公司今年7月份盈利50万元,8月份亏损10万元.该公司在记账时如何用数分别表示"盈利50万元"和"亏损10万元"? 3.某年,我国棉花产量比上年增长7.8%,玉米产量比上减少0.7%.统计这两种农作物产量的变化情况时,如何用数分别表示"增长7.8%"和"减少0.7%"? （2） 探究 1. 在问题1中,温度比高,称为 温度;温度比低,称为 温度.零上温度和零下温度是以为分界点的具有 意义的量. 从图1.1-2的天气预报中可以看出,零上3摄氏度用“ ”表示,零下3摄氏度则用“ ”表示,这里出现了“ ”. 2.在问题2中,盈利额和亏损额是具有 意义的量,如果用“50万元”表示盈利50万元,就可以用“ ”表示亏损10万元; 3.增长的百分率和减少的百分率是具有 意义的量,如果用“”表示增长7.8%,就可以用“”表示 . 2、 正数、负数与0的概念 1.正数 在数学中,像3,50,7.8%这样， 0的数叫作正数. 2.负数 像这样，在正数前加上符号“ ”的数叫作负数,其中符号“ ”是负号,读作“ ”，且负号 省略不写. 3.零 0既 正数,也 负数. 注①：为了明确表达与负数的相反意义,在正数的前面也加上符号“ ”（读作“ ”）.例如,就是，故正号“+”可 也可 . 注②：一个数前面的号叫作这个数的 . 注③： 0的数叫作正数，故 0的数叫做负数. 3、 正数、负数与0的意义与作用 （1） 溯源 我国是历史上 认识和使用负数的国家.最迟成书于东汉早期(1世纪)的我国古代数学著作《九章算术》,在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则. 例如，关于家畜买卖的第八题,使用“正与负”来表示“卖出与买入”,将卖出家畜获得的钱数记为 ,买入家畜付出的钱数记为 . 魏晋时期的数学家刘微在为《九章算术》作注时,用不同颜色的算筹分别表示正数和负数,红色为 ,黑色为 . （二）正数、负数与0的意义与作用 在实际问题中，正数与负数通常用来表示具有 意义的量，0作为正数与负数的 . 例如，如果“收入5元”记作“+5元”，那么“支出3元”记作“ ”，而“既不收入也不支出”记作“ ”. 再如，在表示某地的高度时,通常以海平面为基准,用表示 的海拔,用正数表示 海平面的海拔,用负数表示 海平面的海拔.我国水准零点位于山东省青岛市(图1.1-3是"中华人民共和国水准零点"标志);世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为;我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾丁湖,其海拔为. 再如，如果“向东走10米”记作“+10米”，那么“向西走8米”记作“ ”，而“原地不动”记作“ ”. 注①：0是正数与负数的 .是一个确定的温度（标准大气压下，水结冰的温度规定为）；海拔是一个确定的海拔,0已不只是表示" ". 注②：用正数与负数来表示实际问题中意义 的量时，通常需要带“ ”. 4、 实例运用 例1某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准质量的克数,那么 (1)比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示? (2)50g,一27g各表示什么意思? 解: (1) 比标准质量多65g用 表示, 比标准质量少30g用 表示; (2)50g表示这箱橘子的质量比 50g, -27g表示这箱橘子的质量比 27g. 例2 (1)一个月内,李明体重增加1.2kg,张华体重减少05kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值. (2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下: A品牌减少2%, B品牌增长4%, C品牌增长1%, D品牌减少3%. 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 解: （1）这个月李明体重增长 ,张华体重增长 ,刘伟体重增长 . （2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是: A品牌 , B品牌 , C品牌 , D品牌 . 5、 变式训练 变式1．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 变式2．（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 6、 达标检测 1．如果体重增加记为，那么体重减少可记为（     ） A． B． C． D． 2．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若在粮谷计算中，增加斗记作斗，那么减少斗应记作（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 4．某型号汽油每升的价格上涨0.8元记作“元”，则“元”表示这种汽油每升的价格（） A．下降0.5元 B．上涨0.5元 C．下降0.3元 D．上涨0.3元 5．水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行，在阅兵仪式中，徒步方队的官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒，精准铿锵地经过检阅区，如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作（     ） A．步 B．步 C．步 D．步 7．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负”．某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为（     ） A． B． C． D． 8．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 9．某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第1章《有理数》 1.1 正数与负数 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年6月11日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解正数、负数与0的概念.（数学抽象·重点） 2. 经历溯源与实例分析，理解与掌握正数、负数与0的意义和作用，并能灵活运用正数与负数表示实际问题中具有相反意义的量.（数学抽象·重难点） 【学习过程】 一、问题探究 （一）问题 在小学,我们从日常生活中的实例出发,学习了自然数、小数、分数及其运算.在日常生活、生产和科研中,还会遇到另外一些数的表示问题,例如: 1.北京冬季某一天的最高气温为“零上”,最低气温为“零下”.如何用数区分“零上”和“零下”? 2.某公司今年7月份盈利50万元,8月份亏损10万元.该公司在记账时如何用数分别表示"盈利50万元"和"亏损10万元"? 3.某年,我国棉花产量比上年增长7.8%,玉米产量比上减少0.7%.统计这两种农作物产量的变化情况时,如何用数分别表示"增长7.8%"和"减少0.7%"? （2） 探究 1. 在问题1中,温度比高,称为零上温度;温度比低,称为零下温度.零上温度和零下温度是以为分界点的具有相反意义的量. 从图1.1-2的天气预报中可以看出,零上3摄氏度用“”表示,零下3摄氏度则用“”表示,这里出现了“”. 2.在问题2中,盈利额和亏损额是具有相反意义的量,如果用“50万元”表示盈利50万元,就可以用“-10万元”表示亏损10万元; 3.增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量,如果用“”表示增长7.8%,就可以用“”表示减少0.7%. 2、 正数、负数与0的概念 1.正数 在数学中,像3,50,7.8%这样，大于0的数叫作正数. 2.负数 像这样，在正数前加上符号“”的数叫作负数,其中符号“”是负号,读作“负”，且负号不可以省略不写. 3.零 0既不是正数,也不是负数. 注①：为了明确表达与负数的相反意义,在正数的前面也加上符号“”（读作“正”）.例如,就是，故正号“+”可写也可不写. 注②：一个数前面的号叫作这个数的符号. 注③：大于0的数叫作正数，故小于0的数叫做负数. 3、 正数、负数与0的意义与作用 （1） 溯源 我国是历史上最早认识和使用负数的国家.最迟成书于东汉早期(1世纪)的我国古代数学著作《九章算术》,在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则. 例如，关于家畜买卖的第八题,使用“正与负”来表示“卖出与买入”,将卖出家畜获得的钱数记为正,买入家畜付出的钱数记为负. 魏晋时期的数学家刘微在为《九章算术》作注时,用不同颜色的算筹分别表示正数和负数,红色为正,黑色为负. （二）正数、负数与0的意义与作用 在实际问题中，正数与负数通常用来表示具有相反意义的量，0作为正数与负数的分界. 例如，如果“收入5元”记作“+5元”，那么“支出3元”记作“-3元”，而“既不收入也不支出”记作“0元”. 再如，在表示某地的高度时,通常以海平面为基准,用表示海平面的海拔,用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔.我国水准零点位于山东省青岛市(图1.1-3是"中华人民共和国水准零点"标志);世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为;我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾丁湖,其海拔为. 再如，如果“向东走10米”记作“+10米”，那么“向西走8米”记作“-8米”，而“原地不动”记作“0米”. 注①：0是正数与负数的分界.是一个确定的温度（标准大气压下，水结冰的温度规定为）；海拔是一个确定的海拔,0已不只是表示"没有". 注②：用正数与负数来表示实际问题中意义相反的量时，通常需要带“单位”. 4、 实例运用 例1某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准质量的克数,那么 (1)比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示? (2)50g,一27g各表示什么意思? 解: (1) 比标准质量多65g用+65g表示, 比标准质量少30g用-30g表示; (2)50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g, -27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g. 例2 (1)一个月内,李明体重增加1.2kg,张华体重减少05kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值. (2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下: A品牌减少2%, B品牌增长4%, C品牌增长1%, D品牌减少3%. 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 解: （1）这个月李明体重增长1.2kg,张华体重增长-0.5kg,刘伟体重增长0kg. （2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是: A品牌 -2%, B品牌 4%, C品牌 1%, D品牌-3%. 5、 变式训练 变式1．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正负数的定义、正负数的实际应用 【分析】先根据红色算筹的表示规则确定横线、竖线代表的数字，再结合黑色算筹代表负数的规则求解． 【详解】 解：已知红色算筹表示， 可得：3条横线代表十位数字3，2条竖线代表个位数字2， 因此黑色算筹：4条横线是十位4，3条竖线是个位3， 又因为黑色算筹表示负数，所以该数为． 变式2．（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 【答案】（1）；（2）在银行取出3000元；（3） 【难度】0.94 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． （1）根据上升与下降的意义相反解答即可得； （2）根据存入与取出的意义相反解答即可得； （3）根据超过与低于的意义相反解答即可得． 【详解】解：（1）因为上升与下降的意义相反， 所以如果升降机下降记作，那么上升记作． （2）因为存入与取出的意义相反， 所以如果元表示在银行存入40000元，那么元表示在银行取出3000元． （3）因为超过与低于的意义相反， 所以如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作． 6、 达标检测 1．如果体重增加记为，那么体重减少可记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】相反意义的量 【分析】根据题干给出的正方向规定，即可推出相反意义的量的表示方法. 【详解】解：∵体重增加记为， ∴体重减少记为. 2．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】相反意义的量 【详解】解：∵题目规定收入元记作元， ∴收入用正数表示， 又∵收入与支出是一对相反意义的量， ∴支出应当用负数表示， ∴支出元记作元． 3．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若在粮谷计算中，增加斗记作斗，那么减少斗应记作（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】相反意义的量 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，已知增加记为正，根据相反意义即可推出减少的记法． 【详解】解：∵题目规定增加斗记作斗，即增加用正数表示， ∴与增加意义相反的减少，应用负数表示， ∴减少斗应记作斗． 4．某型号汽油每升的价格上涨0.8元记作“元”，则“元”表示这种汽油每升的价格（） A．下降0.5元 B．上涨0.5元 C．下降0.3元 D．上涨0.3元 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】相反意义的量 【详解】解：∵价格上涨0.8元记作“元”，说明上涨用正数表示， ∴负数表示与上涨相反的意义，即价格下降， 因此“元”表示这种汽油每升的价格下降0.5元． 5．水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】相反意义的量 【详解】解：∵超过正常水位米记作米， ∴低于正常水位米记作米． 6．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行，在阅兵仪式中，徒步方队的官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒，精准铿锵地经过检阅区，如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作（     ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】相反意义的量 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进120步，记作步． 7．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负”．某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.84 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】根据题干给出的正负规定即可直接判断求解． 【详解】解：由题意，得买东西付钱需要用负数表示，可记为． 8．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：把各数分别填入相应的圈内如下： ． 9．某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【答案】这袋面粉的质量合格，理由见详解 【难度】0.85 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，先理解题意，算出，，结合，故这袋面粉的质量合格． 【详解】解：这袋面粉的质量合格，理由如下： ∵只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的． 即，， ∵， ∴这袋面粉的质量合格． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $