专题03 图形与坐标（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 以坐标系为核心，覆盖从基础坐标概念到综合变换应用的8类题型，构建“概念理解-技能应用-规律探究”的递进训练体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求点到坐标轴的距离|5题|含基础计算与新定义“长距”|坐标本质（绝对值）→概念辨析| |已知象限求参数|5题|象限符号规则与参数范围|坐标符号属性→代数推理| |实际问题表示位置|4题|结合地图等现实情境|坐标工具性→应用意识| |平移确定坐标|5题|含常规平移与变换定义|图形变换→坐标变化规律| |坐标系动点问题|4题|含最短距离与旋转综合|动态几何→数形结合| |坐标与图形综合|5题|四边形、三角形面积探究|几何图形→坐标量化表达| |轴对称变换|5题|平移与轴对称结合|对称性质→坐标对称规律| |点坐标规律探索|5题|循环与递推规律|归纳推理→数学思维|

专题03 图形与坐标 题型1 求点到坐标轴的距离（常考点） 题型5 坐标系中的动点问题（难点） 题型2 已知点所在的象限求参数（常考点） 题型6 坐标与图形综合（难点） 题型3 实际问题中用坐标表示位置 题型7 坐标与图形变化-轴对称（常考点） 题型4 由平移方式确定点的坐标（常考点） 题型8 点坐标规律探索（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求点到坐标轴的距离（共5小题） 1．在平面直角坐标系中，已知点P在第三象限，且点P到y轴的距离为3，写出一个符合条件的点P的坐标：______． 2．若点在第四象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则点的坐标为_____． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P坐标． (2)当点P到y轴的距离与到x轴的距离相等时，求m的值． 题型二 已知点所在的象限求参数（共5小题） 6．已知点在y轴的负半轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是____． 9．在轴上，则点的坐标为____________． 10．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 题型三 实际问题中用坐标表示位置（共4小题） 11．小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 12．从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（    ） A． B． C． D． 13．如图，若以图书馆为坐标原点建立平面直角坐标系，则科技馆的坐标为（     ） A． B． C． D． 14．国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（    ） A． B． C． D． 题型四 由平移方式确定点的坐标（共5小题） 15．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 18．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是______． 19．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0，则该点向下平移1个单位；若余数为1，则向右平移1个单位；若余数为2，则向上平移1个单位；若余数为3，则向左平移1个单位；若余数为4，则不动．已知整点满足，连续平移4次后恰好落在直线上，则点平移前的横坐标为__________． 题型六 坐标系中的动点问题（共4小题） 20．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． 已知点，，． (1)在点、、中，线段的内垂点为________； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为________； (3)点在轴上且为线段的内垂点，则点的纵坐标的取值范围是________； (4)已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求的取值范围． 23．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 题型七 坐标与图形综合（共5小题） 24．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 25．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 26．探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 27．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 28．在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．平移线段，得到它的对应线段，点的坐标为． (1)点D的坐标为_____； (2)如图1，点是线段上的一动点，连接，利用，，的面积关系，求出m与n满足的数量关系式； (3)如图2，是线段上一点，连接，平分．是线段上一动点，连接交于点．当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出其值． 题型七 坐标与图形变化-轴对称（共5小题） 29．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 30．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 31．在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 32．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点D在x轴上． (1) ，点C的坐标为 ； (2)如图2，过点B作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点Q，连接，当t为何值时 ； (3)如图3，点S是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点M在点N左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 题型八 点坐标规律探索（共5小题） 34．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 36．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 37．如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． $专题03 图形与坐标 题型1 求点到坐标轴的距离（常考点） 题型5 坐标系中的动点问题（难点） 题型2 已知点所在的象限求参数（常考点） 题型6 坐标与图形综合（难点） 题型3 实际问题中用坐标表示位置 题型7 坐标与图形变化-轴对称（常考点） 题型4 由平移方式确定点的坐标（常考点） 题型8 点坐标规律探索（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求点到坐标轴的距离（共5小题） 1．在平面直角坐标系中，已知点P在第三象限，且点P到y轴的距离为3，写出一个符合条件的点P的坐标：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据第三象限点的横纵坐标均为负数，点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，可得点的横坐标，即可写出符合条件的点坐标． 【详解】解：点在第三象限，且点到轴的距离为， 点的横坐标为，纵坐标为负数， 取纵坐标为，得到符合条件的点的坐标为． 2．若点在第四象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据题中所给的点的位置，可以确定点的纵横坐标的符号，结合其到坐标轴的距离得到它的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 即点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 【答案】 【分析】先求出点的“长距”，根据“等距点”定义得到点的“长距”，结合点在第三象限的限制条件求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“长距”为， ，为“等距点”， 点的“长距”为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ，解得或， 点在第三象限， 点的横坐标，即， ． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0列出方程，求出x的值，即可求解； （2）根据点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等得到点M的横纵坐标互为相反数，据此列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ， ， 点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等， ∴． 解得． 当时，， 点的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)当点P在x轴上时，求点P坐标． (2)当点P到y轴的距离与到x轴的距离相等时，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)或 【分析】（1）根据点P在x轴上，纵坐标为零，求出，再根据的取值，求出横坐标，得到点P的坐标； （2）由题意得点P，横纵坐标绝对值相等，列出关于的方程，解方程即可求出． 【详解】（1）解：点在x轴上， ，得， ， 即点P的坐标为． （2）解：由题意得， 则或， 解得或． 题型二 已知点所在的象限求参数（共5小题） 6．已知点在y轴的负半轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据y轴负半轴上点的坐标特征判断a的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点M的位置． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 7．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到和的符号，再判断点横纵坐标的符号，最后根据象限坐标特征确定点所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∴，， ∴点在第三象限. 8．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的纵坐标小于列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：点在第三象限， ， ∴， 的取值范围是. 9．在轴上，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据轴上的点的纵坐标为0，求出的值，再代入计算横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点在轴上 解得 将代入横坐标得 点的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，列出方程解出的值，即可得出答案； （2）根据与x轴平行的直线上的点纵坐标相同，列出方程解出的值，进而得到点M的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ． 点M的坐标为． （2）解：点N的坐标为，且轴， ， 解得， ， 点M的坐标为 题型三 实际问题中用坐标表示位置（共4小题） 11．小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 【答案】B 【分析】根据已知点永定门的坐标为和西直门的坐标为，确定平面直角坐标系的原点及单位长度，结合图形中各点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵永定门的坐标为，西直门的坐标为， ∴ 图中网格小正方形的边长为1个单位长度，且轴为中轴线，轴为过永定门的水平线． 观察图象，结合平面直角坐标系的原点及单位长度，则： 健德门的大致坐标，A选项错误； 东直门的大致坐标，B选项正确； 会城门的大致坐标，C选项错误； 宣武门的大致坐标，D选项错误． 12．从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立网格如图： ∴“文昌阁”的坐标可以表示为． 13．如图，若以图书馆为坐标原点建立平面直角坐标系，则科技馆的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，科技馆的坐标为． 14．国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，离他家最近的投放点位于行第列，即投放点的位置为． 题型四 由平移方式确定点的坐标（共5小题） 15．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ． 16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 17．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A．将向右平移个单位可得，能使四个“中国结”关于轴对称，符合题意， B．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， C．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， D．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， 18．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：将点向下平移个单位长度，平移后点的横坐标不变，仍为，纵坐标为； 因此得到的点的坐标为． 19．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0，则该点向下平移1个单位；若余数为1，则向右平移1个单位；若余数为2，则向上平移1个单位；若余数为3，则向左平移1个单位；若余数为4，则不动．已知整点满足，连续平移4次后恰好落在直线上，则点平移前的横坐标为__________． 【答案】 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立二元一次方程组求解即可得到平移前的横坐标. 【详解】解：记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，，， 余数为，因此第次向右平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向上平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向左平移个单位， 得，； ，余数为，因此第次向上平移个单位， 得，， 因为平移次后点落在直线上，所以满足， 代入得：，整理得， 联立方程组， 得，解得． 题型六 坐标系中的动点问题（共4小题） 20．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中给出的坐标，计算相应的边长和圆的周长，进而求出点在圆上运动一周使用的时间，分析秒运动的周数，确定点位置，就能求出点的坐标． 【详解】解：已知点，，以点为圆心，半径作圆， ∴,， ∴圆的周长， 根据题意，点运动一周耗时， 当点运动到第秒时，刚好运动了周半，此时点位置在，如图， ， ∵，， ∴, ∴， ∵顺时针旋转得到， ∴,轴， ∴． 22．在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． 已知点，，． (1)在点、、中，线段的内垂点为________； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为________； (3)点在轴上且为线段的内垂点，则点的纵坐标的取值范围是________； (4)已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) (4)或 【分析】（1）根据新定义解决问题即可； （2）满足条件的点在线段的垂直平分线上； （3）画出图象即可解决问题； （4）分两种情况讨论，构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴轴， ∵， ∴在点、、中，线段的内垂点； （2）解：∵垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． ∴当P在的垂直平分线上时，P为最佳内垂点， ∴点Q在的垂直平分线上， 又∵M到线段的距离是2， ∴或； （3）解：如图，作交y轴于E，作交y轴于F，      ∵N为线段的内垂点， ∴N在线段上， ∴， （4）解：当点F在点C左侧时， ∵，， ∴的中点为， ∵线段上存在线段的最佳内垂点， ∴， ∴， 当点F在点C右侧时， 同理可得：， ∴， 综上可知：或． 23．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，点P的坐标为_______________； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为 4 个单位长度时，点P移动的时间为________； (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P的坐标． 【答案】(1)4， 6， (2) (3)2秒或6秒 (4)或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为4个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度， ∴； （3）解：在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）解：∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为，，此时，点在上或上， ∴或． 题型七 坐标与图形综合（共5小题） 24．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点， (2) (3) 【分析】（1）利用平方数与绝对值的非负性，若两个非负数的和为 0，则各自为 0，求出 、 的值，即可得到坐标； （2）利用三角形面积公式，根据建立等式，求出长度，结合在轴负半轴确定坐标； （3）用割补法：过点作轴于，利用梯形、三角形面积和差求解． 【详解】（1）解：， 且 ，， ，， 解得 ，， 点 ，点 ． （2）解：由题意：，，， ，，， ， 设，， ， ， ， 解得， ． （3）解：过点作轴于， 则，，，，， ． 25．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)8；； (2) (3)的值不发生变化，理由见解析 【分析】（1）利用非负数的性质求解，，再进一步求解即可； （2）表示点D的坐标为，点E的坐标为，可得，，，设点F的坐标为，，，再进一步求解即可； （3）过点C作，过点P作．证明，证明．证明，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴． ∵平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴ ∴． （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ， 解得， ； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 如图，过点C作，过点P作． 线段是由线段平移得到的， ， ， ， ， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， 当点N在线段上运动时，的值不变，其值为3． 26．探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 【答案】(1)的重心坐标是 (2) 如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． (3)四边形重心坐标为 (4)四边形重心的坐标为 【分析】（1）依据公式进行计算即可； （2）连接，在上取点，使； （3）设四边形重心的坐标为，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可； （4）连接对角线，分四边形为和，记它们的重心和面积分别是、和、．可得、的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求． 【详解】（1）解： 三个顶点分别是，，， 根据公式得，． 的重心坐标是． （2）解：如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． 因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以、分别是小矩形和大矩形的几何中心． 以组合体重心G为支点，根据力的杠杆平衡原理 (其中、分别为两个物体的重力，、分别为两个物体重心到支点的距离)． 由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2倍，即． 连接，在上取点使． 则点G即为组合体重心． （3）解：四边形重心的坐标为，由（2）杠杆平衡原理得： 同理可得 四边形重心坐标为 （4）解：如图，连接对角线，分四边形为和， 记它们的重心和面积分别是、和、． 四边形的顶点分别是，，，， 的重心坐标是， 面积， 的重心坐标是， 面积． 根据（3）中四边形重心坐标公式： ，， 四边形重心的坐标为． 27．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用算术平方根的非负数性质得出，进而求出，可得，，利用三角形面积公式即可得出答案； （2）连接，过点作轴于，根据平移的性质得出，根据与的面积相等得出，根据各点坐标求出，设，根据可求出，即可求出点坐标； （3）根据的面积为，得出点在外，分两种情况，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行，设运动时间为，，由两点速度可得，利用三角形面积公式可得，利用割补法，结合的面积为可列出方程，解方程求出的值即可得出点坐标；当点在第一象限时，同理可求出点坐标，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接，过点作轴于， ∵将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵点在轴上且位于点左侧，， ∴设 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：∵的面积为，， ∴点在外， 如图，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行， 设运动时间为，，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，即， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在第一象限时，过点分别作轴于、轴于， 设，同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 28．在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．平移线段，得到它的对应线段，点的坐标为． (1)点D的坐标为_____； (2)如图1，点是线段上的一动点，连接，利用，，的面积关系，求出m与n满足的数量关系式； (3)如图2，是线段上一点，连接，平分．是线段上一动点，连接交于点．当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变；值为2 【分析】（1）根据点的坐标为经过平移得到点的坐标为，可知向右平移5个单位，再向上平移1个单位，求出点D的坐标； （2）连接，作，，根据的面积的面积的面积，得到m、n满足的数量关系式； （3）由平行线的性质得，．再由角平分线定义得．根据三角形内角和定理和三角形的外角性质计算，得出结论． 【详解】（1）解：∵B点的坐标为，点的坐标为， ∴向右平移5个单位，再向上平移1个单位， ∵点的坐标为， ∴得D的坐标为； （2）解：连接，作，． ∵，， ∴， ∵， ∴，． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：不变；延长交于点，由已知可得． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴． ． ∴的值为2． 题型七 坐标与图形变化-轴对称（共5小题） 29．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 30．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 31．在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 32．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点D在x轴上． (1) ，点C的坐标为 ； (2)如图2，过点B作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点Q，连接，当t为何值时 ； (3)如图3，点S是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点M在点N左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)-2； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出△的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求△面积，当时，可得△面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1）解：且点在轴上， ， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ，即. （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ∵点，， ∴点坐标为，点坐标为 ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，△的面积也是最大， 设点到距离为，则△的面积等于， ∵， ∴当时，点到距离最大，最大值为， 此时的面积最大，最大值为， 四边形面积最大值为． 题型八 点坐标规律探索（共5小题） 34．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 35．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得：，，，， ∴点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化， ∵ ∴点的纵坐标为0 ∴点的坐标是． 36．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：根据题意得，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0， ∵， ∴点的纵坐标是0． 37．如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形中各点的坐标变化规律，发现点的下标 与 的余数决定了点所在的象限及坐标数值规律，根据 的余数确定 的坐标特征即可求解． 【详解】解：，，，， ，，，， ，…… 观察各个点的坐标，发现每4个点一组呈现规律性变化． ∵， ∴观察点，，，……的坐标规律发现： 当下标时， ，坐标， 又， ． 38．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】通过观察前几个点的坐标，归纳出点的坐标随跳动次数变化的规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． $