第6-11章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版

**基本信息** 以六大核心题型为框架，通过典例系统提炼解题方法，构建“概念-方法-应用”知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据与概率|4题|样本估计总体、频率估计概率|数据收集-整理-描述-推断的完整流程| |四边形|4题|平行四边形/菱形判定、旋转性质|从性质到判定的逻辑推理，结合几何直观| |因式分解|4题|整体思想、公式法、图形面积法|整式变形到代数应用的递进| |分式|4题|拆分法、化简求值、应用题建模|分式运算与实际问题转化，培养应用意识| |二次根式|4题|运算技巧、规律探究|根式性质到混合运算迁移，发展符号意识|

第6-11章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 题型导航 题型一：数据的收集、整理、描述 题型二：认识概率 题型三：四边形 题型四：因式分解 题型五：分式 题型六：二次根式 题型特训 题型一：数据的收集、整理、描述 1．某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出A：邵伯湖，B：仙女公园，C：瘦西湖，D：大明寺，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去仙女公园的学生人数． 2．为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： (1)求出频数分布表中的________，________； (2)该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 题型二：认识概率 3．某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 4．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 题型三：四边形 5．如图，在中，，是的中线，分别过点，作，的平行线，相交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 6．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 7．在正方形中，将边绕点A 逆时针旋转得到线段（点P不与点D重合），连接．过点B作直线的垂线，垂足为点Q，连接，． (1)如图，当时． ①依题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (2)当时，直接用等式表示，，的数量关系． 8．如图，在等边中，为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)点为延长线上一点，且，连接，与相交于点，连接，，若． ①如图2，当时，求的长： ②如图3，当四边形的面积为时，直接写出的面积． 题型四：因式分解 9．因式分解： (1)； (2)． 10．先因式分解，再计算求值：，其中，． 11．阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 12．【初步感知】        (1)如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的阴影部分再剪拼成一个如图②所示的长方形，根据阴影部分的面积关系，可以得到______；（结果写成因式分解的形式） (2)如图③，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体，把余下的部分再切割拼成一个如图④所示的几何体，根据它们的体积关系，可以得到_______；（结果写成因式分解的形式） 【类比推理】 (3)因式分解：； 【拓展提升】 (4)如图⑤，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，令，，且，若该直角三角形的两条直角边长分别为和，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 题型五：分式 13．化简求值：，其中． 14．解分式方程： 15．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 16．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 题型六：二次根式 17．计算题： (1)； (2)． 18．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 19．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 20．观察下列各式，再解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第4个等式是 ． (2)第（是正整数）个等式是 ． (3)计算：． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第6-11章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 1．(1) (2)图见详解 (3)该校最喜欢去仙女公园的学生人数为1000人 【分析】（1）由统计图可知去目的地A的人数有人，占比为，然后问题可求解； （2）根据（1）可得去目的地C的人数，然后问题可求解； （3）由题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这次被调查的学生共有人； （2）解：由（1）可知：去目的地C的人数为， 补全条形统计图如下： （3）解：由题意得：（人）； 答：该校最喜欢去仙女公园的学生人数为1000人． 2．(1)25， (2)2，见解析 (3)1080人 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； （2）解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充如下： （3）解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 3．(1)0.051 (2)0.05 (3)次品数量为5000只 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）用总数乘样本中次品的数量所占百分比即可． 【详解】（1）解：； （2）解：从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是0.05； （3）解：（只）， 答：该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量为5000只． 4．(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 5．(1)证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，是的中线， ， 四边形是菱形； (2)30 【分析】（1）根据题意由，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接， ，， ， 在中，， 四边形是菱形， ， 菱形的面积． 6．(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 7．(1)①依题意补全图形如图所示；； ②， 证明：在上截取，连接，令、交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴即 ∴； (2) 【分析】（1）①根据题意补全图形，分别求出，，即可得解；②在上截取，连接，令、交点为，证明，再结合勾股定理即可得证； （2）当时，在上截取，连接，令，交点为，证明，再结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：①图略； 由旋转可得：，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②略 （2）解：当时，在射线上截取，连接，令，交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴∴即， ∴． 8．(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，即可得出，从而得证； （2）①由（1）可得，则，，证明四边形为平行四边形，得出，由直角三角形的性质可得，求出，，由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果；②过点作于点，则，由勾股定理可得，由①可得四边形为平行四边形，则，，，过点作，交的延长线于点，由直角三角形的性质并结合勾股定理可得 ，则，连接，则，，求出，作于，于，由角平分线的性质定理可得，设点到的距离为，结合三角形的面积公式得出，则，从而可得，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点，如图： 则， ∴， 由①可得：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 作于，于， ∵， ∴， 设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）根据提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 10． ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 11．(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 12．(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图③的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图④的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式． （3）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （4）根据直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出．将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为、图②阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式； （2）解：如图③中的几何体的体积为； 图④的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：． （3）解： ． （4）解：∵直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， ∴大正方形的边长为，面积；小正方形的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 13．， 【详解】解：原式 将代入得，原式． 14．是原分式方程的解 【详解】解：， 去分母，得：， 解整式方程，得：， 经检验，是原分式方程的解． 15．(1)30天 (2)180000元 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合作15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符号题意． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）． 答：该工程的费用为180000元． 16．(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解： ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 19．(1) (2)李老师的预算够，理由见解析 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）， ， 李老师的预算够． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中3个等式的规律求解即可； （2）根据题干中3个等式的规律求解即可； （3）利用（2）中的等式规律求解． 【详解】（1）解：根据题意得，第4个等式是； （2）解：根据题意得，第（是正整数）个等式是； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $