专题04 图形的性质（7大考点）（湖北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 湖北各地二模几何专题汇编，覆盖三角形全等与相似、特殊四边形、解直角三角形、圆7大考点，含综合实践题（如“落边折痕”定义探究），适配中考二模分层复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|三角形全等（第4题）、菱形坐标（第20题）、圆切线（第67题）|结合网格作图（第8题）、折叠变换（第36题矩形折叠）| |解答题|约15题|解直角三角形（第51题无人机测高）、圆证明（第77题切线证明）|综合实践（第16题“落边折痕”定义探究）、跨考点综合（第38题矩形折叠与相似）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与 专题04图形的性质 ☆7大考点概览 考点01三角形的全等与相似的应用及证明 考点02形的性质应用及相关证明 考点03平行四边形的性质及相关证明 考点04矩形的性质应用及相关证明 考点05正方形的性质应用及相关证明 考点06解直角三角形 考点07圆的性质及相关证明 考点01 三角形的全等与相似的应用及证明 1.B 2.20 3.青 四丙 4.证明：：AE=CF, ·AE十EF=CF+EF,即AF=CE; AD BC, :∠A=∠C: ∠D=∠B 在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C; AF=CE ·△ADF≌△CBE(AAS); BE=DF 5.①或② 6.(1)证明：FCIAB, ∴∠A=∠ACF, 在△ADE和△CFE中， ∠A=∠ECF ∠AED=∠CEF DE-FE 27/28 学更高效 命学科网 .△ADE≌△CFE(AAS); (2)添加条件AD=BC, 如图所示： D △ADE≌△CFE(AAS), AD=CF, AD=BC, ∴.CF=BC ∴∠CBF=∠CFB, FC AB ∴∠ABF=∠CFB, ∴∠ABF=∠CBF, ∴BF平分∠ABC 7.(1)54° a (3)0见解析：②11国 13 8.(1)解：如图，BD即为所求， B (2)解：如图，点E、∠BDE即为所求， www.zxxk com 让 28/28 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com B 理由：建立如图所示的直角坐标系，连接BE, G HE M A 则M(0,0),N(3,1),B(2,3), ~CH=GK,∠CHE=∠GKE=90°，∠CEH=∠GEK, △CEH≌△GEK(ASA), HE=KE= E(,2), ~四边形AMCN是矩形， ∴MD=ND, D(3,吉)， DE=3)+(3-2-四，8B=2-)+(3 8D=V(2-)”+(3-)7- DE=BE.DE2+BE=BD2. ∴∠BED=90o, ∴∠BDE=∠EBD=45°，即∠BDE=45°； (3)解：如图，点F即为所求， 27/28 让教与学更高效 2)2、 2 动学科网 www.zxxk.com B (4)解：如图，点H即为所求， B G P 理由：如上图， 根据网格特征知，AB=EB,BO⊥AE,BE⊥AC, LAB0=∠EBO, 又BO=BO,∠BOM=∠BOQ, ·△BOM兰△BOQ(ASA), 0M=0Q, 又OR=ON, ..MR=NQ, NQIBS, .△ENQM△ESB, 器=器，即=， MR=NQ=专， .CQ=CN+NQ=号，QM=CR-CN-NQ-MR=号， ….CQ=QM, NE=GR=1,∠ENQ=∠GRM=90°，NQ=RM, ·△ENQ≌△GRM(SAS), ∠NQE=∠RMG=∠CMO, 28/28 教与学更高效 的学科网 www.zxxk.com 让教与 ..EQIC M, 器-器-1， ∴CF=CF, 又BE⊥AC, C、C关于BF对称， CH=CH, PH+CH=PH+CH≥PC, 当P、H、C三点共线时，PH+CH最小，则△PHC的周长最小， 故点H即为所求， 9.(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴LA=∠ABC=∠ACB=60·, .D GIBC, ∠GDC=∠EDF=120o, ∴∠GDE+∠CDE=∠CDF+∠CDE=120°， ∠GDE=∠CDF, D GIBC, ∴LAGD=∠ABC=60°， ·.△AGD是等边三角形，∠DGE=∠DCF=120°， n=1, AD=DC=DG, △DGE≌△DCF(ASA), ∴DE=DF; (2)CD-BE=号CF; (3器=器. 10.证明：：∠1=∠2 ·∠1十∠ACE=∠2+∠ACE, ·ACB=∠DCE, 在△ACB和△DCE中， 27/28 学更高效 命学科网 www.zxxk.com ∠A=∠D ∠ACB=∠DCE BC=EC ·△ACB≌△DCE(AAS), :AB=DE (AD=BC 11.证明： BD=AC AB-BA ·△ABD≌△BAC(SSS), LABD=∠BAC, ∴即LABE=∠BAE, ∴AE=BE, ·△EAB是等腰三角形， 12.(1)证明：~四边形ABCD是正方形， :A=∠ADG=90°， ·∠AFE+∠AEF=90o, :EF⊥FG, :∠AFE+∠GFD=90°， ·∠AEF=∠GFD, ·△AEF△DFG; (25 (3谓 13.证明：：AC‖BD, ∴∠A=∠B,∠C=∠D, 在△A0C和△BOD中， I∠A=∠B AC-BD N∠C=∠D ∴△A0C≌△BOD(ASA), A0=B0. 14.证明：LBAE=∠DAC ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC十∠EAC,即∠BAC=∠DAE 28/28 命学科网 www.zxxk.com 又~AB=AD,∠C=∠E .△BAC≌△DAE(AAS) BC=DE 15.证明：AB=AC,BD=CE, AB-BD=AC-CE,即AD=AE, 在△ACD和△ABE中， AD=AE ∠A=∠A AC=AB △ACD≌△ABE(SAS), ∴LB=∠C 16.探究1： 29,探究2：5，探究3 23 24或号， 17.证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， (BD=CA BC=CB Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴.∠OBC=∠OCB, ..BO=CO. 18.(1)解：取CF=AB=3,连接AF与BC的交点为D, :CF‖AB, ·∠FCD=∠B,∠F=∠DAB, ∠FCD=∠B,CF=AB,∠F=∠DAB, ·△FCD≌△ABD(ASA), :CD =BD, ·AD是△ABC的中线， ·射线AD平分△ABC的面积； 27/28 让教与学更高效 则射线AD即为所求； 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：取CG=AC,且满足CG⊥AC,连接AG与BC的交点为E,则∠CAE=45o,点E即为所求； E B :CG=AC=32+1F=V0,AG=V42+22=25,(0)2+(V10)2=20=(25)2, ·CG2+AC2=AG2, ·△ACG是等腰直角三角形， ·∠CAE=45o; (3)解：取GN=AC,点M是GN与横网格线的交点，连接PM与BC的交点为Q,点Q即为所求； B 观察可知，CP=GM,CP‖GM, ·四边形CPMG是平行四边形， 由(2)可知，∠ACG=90°， ·四边形CPMG是矩形， :∠CPM=90°，即PQ⊥AC: (4)解：取格点R,使得RB=2,点S是GN与横网格线的交点，连接SR并延长与横网格线的交点为T, 连接AT与BC的交点为H,点H即为所求； G B N V :RB=0B=2,AB=C0=3, 28/28 命学科网 www.zxxk.com tanRAB=器=月，tam∠BC0=器=号， :tanRAB=tan∠BCO, ·∠RAB=∠BCO, :SW‖WV, .△GSW∽△GNV, …将=册=青， SW=青NV=青， :1S=IW-SW=1-青=号， :∠TJR=∠RIS=90°，JR=RI=1,∠TRJ=∠SRI, ·△TJR≌△SIR(ASA), .TJ=IS=, :TR2=(号)+12=号，AR2=22+32=13,Ar2=[2+(1 ·TR2+AR2=AT2 :△ATR是直角三角形， CaRCTAR=器=震=， :tanAC0=器=青， :tanT AR=tan∠ACO, ·∠TAR=∠AC0, :∠TAR+∠RAB=∠BCO+∠ACO,即LHAB=∠ACB, :∠HBA=∠CBA, :△ABH△CBA: 19.(1)证明：如图，连接AP, 27/28 让教与学更高效 )]+32=0,号+13=， 命学科网 www.zxxk.com 由旋转的性质可得：AC=AE,∠ACB=∠E=90°， ∴LACP=∠E=90°， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， (AC=AE LAP-AP Rt△ACP≌Rt△AEP(HL), ..CP=PE; (2)M是线段BD的中点，理由见解析 e2耍 考点02 菱形的性质应用及相关证明 20.D 21.D 22. (1)证明：BE=FD, ..BE+EF-FD+EF, 即BF=DE, ABIICD, ∠ABF=∠CDE, 又∠BAF=∠DCE-90°， ∴.△ABF≌△CDE(AAS): (2)解：若选择条件①： 四边形AECF是菱形， 由(1)得，△ABF≌△CDE, AF=CE,∠AFB=∠CED, ..AFIICE, 四边形AECF是平行四边形， 28/28 致与学更高效 命学科网 E ● ∠BAF=90°，BE=EF, AE-BF, ∠BAF=90°，∠ABD=30°， AF=专BF, ..AE=AF, 平行四边形AECF是菱形. 若选择条件②： 四边形AECF是菱形， 连接AC交BD于点O, A D F 由(I)得，△ABF=△CDE, AF=CE,∠AFB=∠CED, ∴AFICE, “四边形AECF是平行四边形， ∴AO=C0, .AB=BC, BO⊥AC, 即EF⊥AC, 平行四边形AECF是菱形 www.zxxk.com 让 27/28 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 23.(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, LAF0=∠CEO,∠FA0=∠ECO, ~点O是AC的中点， A0=C0, ·△A0F≌△C0EAAS, AF=CE. AFI‖CE, 四边形AECF是平行四边形. AE=AF, ∴四边形AECF是菱形； (2)8 24.证明：：DE‖AC,DF‖AB, :四边形AEDF是平行四边形， :AD平分∠BAC .∠1=∠2 :DE‖AC, :2=∠3 ∠1=∠3. :AE=DE, :平行四边形AEDF是菱形， 25.A 考点03 平行四边形的性质及相关证明 26.D 27.6 2W6-251-25+2W6 28.C 29.D 30.证明：四边形ABCD是平行四边形， 28/28 致与学更高效 命学科网 ..ADIIBC,AD=BC, ∠ADB=∠DBC. ∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180° .∠ADF=∠CBE 在△ADF和△CBE中， AD=BC ∠ADF=∠CBE BE=DF ∴.△ADF≌△CBE(SAS), ∠E=∠F 31.B 32.选择①∠ADE=∠CBF, 理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB,AD‖CB, ∴LDAE=∠BCF 在△ADE和△CBF中， I∠ADE=∠CBF AD=CB N∠DAE=∠BCF △ADE≌△CBF(ASA), ∴AE=CF 选择③DE‖BF, 理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， AD=CB,AD‖CB, ∴∠DAE=∠BCF, DE BF, ∠DEO=∠BFO, LAED=∠CFB, 在△ADE和△CBF中， ww zxxk.com 让 27/28 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教 '∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD-CB △ADE≌△CBF(AAS), AE=CF. (任选一种即可) 选择②无法得出AE=CF 33.【详解】证明如下：选择②③ ADBC, ·∠DAO=∠BCO, 且满足0A=OC,∠A0D=∠C0B, 在△AOD和△COB中 ∠DAO=∠BCO ∠AOD=∠COB 0A=0C ·△AOD≌△COB(ASA), ·AD=BC, AD BC, ·四边形ABCD是平行四边形. 34.证明：~四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB‖CD, ∴∠BAC=∠ACD, AB=CD 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF AE-CF ·△BAE≌△DCF(SAS, BE=DF. 考点04 矩形的性质应用及相关证明 35.A 36.(1)证明：四边形ABCD为矩形， ∠ABC=90o, 28/28 与学更高效 命学科网 点C关于BE的对称点为F, ∴BC=BF, ∴∠BCF=∠BFC, AH⊥CG, ∠H=90o, LBCF+∠BAH=360°-∠ABC-∠H= ∠BFC+∠BFH=180°， ∴∠BAH=∠BFH; ②0：@3或号 37.(1)证明：四边形ABCD是矩形， LADC=∠C=90°. DF⊥AE, ∠DPE=90o. ∴LADP+∠CDF=∠DAE+∠ADP, LDAE=∠CDF 在△ADE与△DCF中， ∫∠ADC=∠C=90· U∠DAE=∠CDF △ADE∽△DCF; (22V5 629 38.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :BC=CD、∠BCE=∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， BC=CD ∠BCE=∠DCF=90· CE-CF ·△BCE≌△DCF(SAS), ·LCBE=∠CDF、BE=DF, :∠BEC=∠DEH, www.zxxk.com 让 180°， 27/28 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教 ·∠BCE=∠DHE=90o, 即BE⊥DF; (2)CF=星 (8rG=5 39.(1)证明：DF⊥AC, ∴∠EFC=90°， ∴LFEC+∠FCE=90。, ~∠FEC+∠EDC=90°， ∴LFCE=∠EDC, LB=∠DCE=90°， ∴△ABCM△ECD: (2器-2 (3)CE=1 40.(1)①证明：连接EG, 图1 ~四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, LA=∠EDG=∠C=90°，CD=AB=6,AD=BC=8, ~点E为AD的中点， AE=ED=AD=4, ~将△ABE沿BE翻折后得到△BEF. EA=EF=ED,∠A=∠EFB=90°， ∴LEFG=LEDG=90°， EG=EG,EF=ED, Rt△EGD≌Rt△EGF(HL), ∴GD=GF; 28/28 与学更高效 的学科网 www.zxxk.com ②FG=胃 (2)证明：点E是AD的中点， AE=DE, 折叠， ∴AE=EF,∠AEB=∠FEB, ∴DE=EF, ·∠EFD=∠EDF, '∠AEB+∠FEB+∠DEF=∠EFD+∠EDF+∠DEF= ∴LAEB=∠EDF, BE‖DG, .四边形BEDG是平行四边形； ∴DE=BG, AD=BC AE=DE, ∴BG=CG (3端=反 41.(1)证明：AE⊥EF, ∴LAEF=90°， ∴LBEA十∠FEC=90°， ~四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90o, ∴∠BEA十∠BAE=90°， ∴∠FEC=∠BAE, ∠B=∠C=90°， .△ABE△ECF, 提=器 (2娟 (311或9 42.解：四边形EBFD是菱形. 27/28 让教与学更高效 180°， 命学科网 www.zxxk.com 证明：~四边形ABCD是矩形， ·AD IBC, ·∠EDO=∠FBO, ~点O是BD的中点， ·D0=BO, 又：∠E0D=∠FOB, ·△BOF≌△DOE(ASA), :0E=0F, ∴四边形EBFD是平行四边形， :EF⊥BD￥ ∴平行四边形EBFD是菱形. 43. (1)0男 ②见解析 (2)见解析 (3月 考点05 正方形的性质应用及相关证明 44.B 45.D 46. (①)AE=-2+22 (2)45· (3)①△ADG是等腰直角三角形；理由如下： 过点C作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N. C B CG=CB, 28/28 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BM=GM. AE-AE,AB-AB, ÷BE⊥AA,AG=AG, :CN II AA, “器=器。 :BN=AN=AB :∠ABE=90o-∠CBE=∠BCN,AB=BC,∠EAB=∠NBC=90°， ·△ABE≌△BCN(ASA), ·AE=BN, AD AB, :AE=专AD=DE, :EGI‖AD, ·∠AAD=∠AGE=90°； :∠DAA=90°-∠BAG=∠ABG,AB=AD,∠AAD=∠AGB=90°， ·△AAD≌△BGA(AAS), ·AD=GA=AG: :△ADG是等腰直角三角形. ②△ADG的面积为号 47.(1)证明：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=∠C=90°， AP⊥BQ, ∴∠A0B=90°， ∴LBAP+∠AB0=90°，∠AB0+∠CBQ=90°， ∴LBAP=∠CBQ, .△BAP≌△CBQ(ASA), ..AP=BQ; (2)证明：过C作CE⊥BQ于E, 27/28 命学科网 N AP⊥BQ,CN⊥AP, 四边形CNOE是矩形， ∴CE=ON, CE⊥BQ,∠ABC=90°， ∠BCE=∠ABO=90o-∠CBE, 又∠A0B=∠BEC=90°，AB=BC, △A0B≌△BEC(AAS), ∴OB=EC, ∴OB=ON; (3)LAND=45,DN=32 48.(1)45 (2)见解析 (3)45 (4)①45； ②GE=9 49.(1)见解析 (2①星；②CE的长为号或号 50. (1)证明见解析 (2W3 a9: 理由见解析 考点06 解直角三角形 51.17 www zxx k .com 让 28/28 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 52.17 53.该雕塑的高度CD约为8.2米 54.黄鹤楼的高度约为51m 55.塔AB的高度约为11m 56.(1)BC段的长度约为140米(2)小汽车在BC段行驶时没有超速， 57.2.2米 58.5.6m 59.最 60.河宽约为151m 61.91.2米 62.(1)青：(2)B,C两点之间的距离约为51m. 63.摩天轮MN的高度约为131米 考点07 圆的性质及相关证明 64.C 65.C 66.C 67.B 68.C 69.D 70.A 71.A 72.D 73.D 74.5 75.B 76.D 77.(1)证明：如图，连接0C,则∠C0B=2LA, 27/28 让教与学更高效 理由见解析 动学科网 C B D :∠ABD=2∠A, :∠COB=∠ABD, ÷OC‖DB, :∠0CE+∠CED=180°， :CE⊥DB, ·∠CED=90o, .∠0CE=90°， ·OC⊥CE, :0C为半径， ·CE是⊙O的切线； (2)5 78.(1)证明：连接OD, AB=AC, ·∠ABC=∠C: 0B=0D, :∠ABC=∠ODB; ·∠C=∠ODB, :ODI‖AC: :FE⊥AC, B A E C ÷FE⊥OD, ·EF是⊙O的切线： (2)DE=4.8 www.zxxk.com 让 28/28 教与学更高效 命学科网 79.(1)证明：连接0D,如图所示： D o ~BD是∠ABC的平分线， ∴∠OBD=∠CBD, OD=0B, ∠ODB=∠OBD, ∴∠ODB=∠CBD, .ODBC, ∴∠AD0=∠C=90°， ∴OD⊥AC, …直线AC是⊙O的切线： (2)5x 2 80.(1)证明：连接0F, D B F C EF=EC, ·∠CFE=∠C, 0B=OF, ·∠B=∠BFO, :CD⊥AB, ∠B十∠C=90°， ·∠BF0十∠CFE=90°， ·OF⊥EF, :EF是⊙O的切线： www.zxxk.com 让 27/28 致与学更高效 动学科网 www.zxxk.com (2号 81.(1)证明：连接0E B D 分 DE=DC, ∴∠DCB=∠DEB OB=OE,∠DBC=∠OBE, ∠DBC=∠OBE=∠OEB ~CD是△ABC的高， ∠CDB=90°. ∠DCB+∠DBC=90°. ∴LDCB+∠OEB=90o. ∴∠DE0=∠DEB+∠OEB=90°，即DE⊥OE, 又0E是⊙0的半径， ∴DE是⊙O的切线： (2)12 82.(1)证明：如图，作DH⊥BC于点H, C :∠BAC=90°， ∴DA⊥BA, ~BD平分∠ABC,DH⊥BC ∴DH=DA, ~DH为⊙D的半径， ∴BC是⊙D的切线， (2 tanLDBC=号 28/28 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让 83. (1)证明见解析 (2)AB=4V3 84.(1)证明：如图，连接0D, :AB是⊙0的直径， ·∠ADB=90°， OD =0A, :∠0AD=∠ODA, :∠CDB=∠CAD, ·∠CDB=∠ODA, ·∠CDB+∠ODB=∠ODA十∠ODB=90°， 即∠0DC=90°， :OD是⊙0的半径， :CD是⊙O的切线. (2)tanA=克 85.(1)证明：如图，连接0D, 0A=0D, ∴∠OAD=∠ODA, AD平分∠BAC, ∠CAD=∠OAD, ∴∠CAD=∠ODA, AC‖OD, 27/28 致与学更高效 命学科网 ∴∠0DB=∠C=90°， OD是⊙0的半径， BC是⊙O的切线； (22W5-号π 86.(1)证明：如图，连接0D, 0A=0D, ∴∠OAD=∠ODA, “AD平分∠BAC, ∴LCAD=∠OAD, LCAD=∠ODA, ∴ACII OD, ∴L0DB=∠C=90°， OD是⊙0的半径， ∴BC是⊙O的切线； a9元 87.(1)90°，= (2W5 (3)5或2T 88.(1)证明：连接0D,OC, www.zxxk.com 达 28/28 教与学更高效 扇学科网 www.zxxk.com 让 D C B :D是BC的中点，即CD=BD, :∠C0D=∠BOD=LCOB, BC=BC. LA=专LC0B, ∴∠A=∠BOD, ·ODAE, ·∠E十∠0DE=180°， :DE⊥AE, ·∠E=90°， ∠0DE=90°， ·OD⊥ED, 又OD是⊙O的半径， :DE为⊙O的切线. a9.等 89.(1)证明：连接0C, 0 B :AB是⊙0的直径， ·∠BOC=2∠BDC, :ABD=2∠BDC, :∠BOC=∠ABD, ÷OC‖DP, :CP⊥DB, 27/28 致与学更高效 命学科网 ÷OC⊥CP, :CP是⊙O的切线. 25-2m 90.(1)证明：连接0C, ~∠BAC=45°， ∴∠B0C=2LBAC=90o, OC LBD, CEBD, ∴0C⊥CE,又0C是⊙0的半径， CE是⊙0的切线： (2)13+233x 3 www.zxxk.com 28/28 教与学更高效动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的性质 ☆7大考点概览 考点01三角形的全等与相似的应用及证明 考点02形的性质应用及相关证明 考点03平行四边形的性质及相关证明 考点04形的性质应用及相关证明 考点05正方形的性质应用及相关证明 考点06解直角三角形 考点07圆的性质及相关证明 考点01 三角形的全等与相似的应用及证明 1.(2026湖北十堰二模)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0，AB=V73,BC=3V2,将 △BCD沿BD翻折，点C落在AC上的点E处，若BE⊥BC,∠ADE=∠BDE,则AD的长为() D B A.8V2 B.10 c.65 D.45 2.(2026湖北随州二模)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA:AD=2:3, △ABC的周长为8，则△DEF的周长为 B D 3.(2026湖北襄阳·二模)如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，连接BE交AC于点F,点G是DF的 中点，连接AG并延长交CD于点H.(1)器=；(2)若∠B=60°，AB=6,则AH的长为 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 4.(2026湖北荆州二模)如图，已知AE=CF,AD‖BC,∠D=∠B,求证：BE=DF. D 5.(2026湖北荆州·二模)如图，点A、B、CD在一条直线上，AC=DB,AE=DF.若 则∠E=∠F.请从①AE‖DF;②BE=CF;③BE‖CF这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成 立，并说明理由. 74 6.(2026湖北武汉·二模)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC‖AB· E D (1I)求证：△ADE≌△CFE: (2)连接BF,添加一个与线段AD相关的条件，使BF平分∠ABC· 7.(2026湖北恩施二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,将△ABC绕点A 顺时针旋转(0°<&<180°)得到Rt△AED,其中点B,点C的对应点分别为点E和点D,连接 CD,BE. 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D D 图1 图2 图3 (1)当a=72°时，求∠ABE的度数. (2)如图2，当点D落在边AB上时，求CD的长. (3)如图3，延长CD交BE于点F. ①求证：点F为BE的中点： ②连接BD,当BD⊥CF时，直接写出EF的长 8.(2026湖北武汉·二模)如图是由小正方形组成的3×3网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三 个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条. (1 (2) (I)在图(1)中，画射线BD交AC于点D,使BD平分△ABC的面积； (2)在(1)的基础上，在BC上画点E,使∠BDE=45°； (3)在图(2)中，画射线BF交AC于点F,使得BF⊥AC,垂足是F: (4)点P是BC上一点，在(3)的基础上，在BF上画一点H,使得△PHC的周长最小 9.(2026湖北武汉·二模)如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，点F在边BC的延长线 上，连接DE,DF,CD=nAD,∠EDF=120° G (1) (2) (3) (I)如图(1)，若n=1,点G在AB上，连接DG,∠GDC=∠EDF,求证：DE=DF; (2)如图(2)，若n=2,探究BE,CD,CF之间的数量关系： 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (③)如图(3)，连接EF交CD于点H,若FB平分∠DFB,求的值（用含的式子表示）. 10.(2026湖北十堰二模)如图，己知∠A=∠D,∠1=∠2，BC=EC,求证：AB=DE. 11.(2026湖北襄阳二模)如图，AD=BC,AC=BD,求证：△EAB是等腰三角形. D E B 12.(2026湖北襄阳·二模)在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边AB,AD,CD上，EF⊥FG· M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△AEF△DFG; (2)如图2，延长EF,CD交于点M,若EF=FG,AB=6,DM=1,求FM的长； (③)如图3，延长EF,CD交于点M,延长FG,BC交于点N,若BN=EM,AF=DF,求的值. 13.(2026湖北随州二模)如图，AB与CD相交于点O,AC=BD,AC‖BD,求证：A0=BO. 14.(2026湖北襄阳·二模)如图，AB=AD,∠C=∠E,∠BAE=∠DAC.求证：BC=DE. 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 15.(2026湖北黄石·二模)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,BD=CE.求证：∠B=∠C, 16.(2026湖北黄石二模)综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时， 此时折痕被称为“落边折痕” 特例感知：已知△ABC,D为AC边上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C), 此时折痕BD称为“落边折痕”. 、D B 图① 图② 图③ 探究1：如图①，若△ABC是直角三角形，其中∠A=90°，∠ABC=60°，AB=1,若点D为AC边 上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，求“落边折痕”BD的长； 探究2：如图②，若△ABC是等腰三角形，其中∠A=120·,请求出“落边折痕BD”将其分割后的 △ABD与△BCD的面积比； 探究3：如图③，若△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=5,BC=6,请求出其“落边折痕”的长度. 17.(2026湖北二模)如图，∠A=∠D=90°，AC=DB,AC、DB相交于点O.求证：OB-OC. D B 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026湖北二模)如图是由小正方形组成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A、B、C三 点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下4个问题.（每个问题的画线不得超过3条) B A B 图1 图2 (1)在图1中，画射线AD平分△ABC的面积； (2)在图1中，在BC上画点E,使得∠CAE=45°； (3)在图2中，点P是AC与横网格线的交点，作PQ⊥AC交BC于点Q,画出点Q: (4)在图2中，在BC上找一点H,使△ABH~△CBA. 19.(2026湖北二模)综合探究：在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点A逆时针旋转 B(0°<B<180°)得到△ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E B 图1 图2 图3 (I)如图1，若BC交AD于点O,延长线交DE于点P.求证：PC=PE (2)如图2，延长EC交BD于点M,判断M是否为线段BD的中点，并说明理由. (③)如图3，EC与BD,AD分别交于点M,N.当DA1AC,能=时，若BD=2√10，直接写出CN的 长 考点02 菱形的性质应用及相关证明 20.(2026湖北襄阳·二模)如图，菱形0ABC在平面直角坐标系中，∠B=60°，OC=2,则点B的坐标 为() 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(5,2)B.(1,V5) c.(2,5) D.(3,V5) 21.(2026湖北十堰二模)如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上，若点B的坐 标为(-1,0)，∠BCD=120°，则点D的坐标为() 0 A.(2,2) B.(V5,2) c.(3,5) D.（2,V5) 22.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，在四边形ABCD中，ABCD,点E,F在对角线BD上，BE=EF=FD ,∠BAF=∠DCE=90°. y D C (1)求证：△ABF≌△CDE: (2)连接AE,CF,己知 (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论. 条件①：∠ABD=30°： 条件2：AB=BC. (注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 23.(2026湖北二模)如图，在☐ABCD中，O为AC的中点，点E,F分别在BC,AD上，EF经过点O, 且AE=AF. 21/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：四边形AECF为菱形； (2)若E为BC的中点，AE=5,AC=6.求AB的长 24.(2026湖北襄阳·二模)己知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE‖AC,DF‖AB.求 证：四边形AEDF是菱形. B 25.(2026湖北·二模)如图，在菱形ABCD框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①~③），其中① 号螺母的两条边恰好在边AB,AD上，③号螺母的两条边恰好在边CB,CD上.嘉嘉和淇淇仔细观察后， 得出如下结论 结论I:菱形ABCD框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形ABCD框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是() A.I和Ⅱ都对 B.I和Ⅱ都不对 C.I对Ⅱ不对 D.I不对Ⅱ对 考点03 平行四边形的性质及相关证明 26.(2026湖北荆州二模)如图，在平面直角坐标系中，☐MNEF的两条对角线ME,NF相交于原点O, MFx轴，点M的坐标是(-2，m),点N的坐标是(n,-3),则点E的坐标是() 20/133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(3,-2)B.(-3,2) C.（-2,3) D.(2,-3) 27.(2026湖北随州二模)已知四边形ABCD是平行四边形，AB=6,BC=8,SinD=誓，点E是AD边 上一个动点，连接BE,沿BE将△BAE翻折至△BFE(如图1)，EF所在的直线与BC交于点H. D F(H)C 图1 图2 (1)当点F落在BC上时（如图2），则EF的长为 (2)当CH取最大值时，则此时EF的长为 28.(2026湖北荆州二模)如图，在平面直角坐标系中，☐A0BC的顶点B在x轴上，点A坐标为(1,2) ,以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E,再分别以点D、点E为圆心，以大于 竞DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F,作射线OF交AC于点P,则点P的坐标是() A.(3,2) B.(5,2) C.(1+5,2)D.(2+5,1) 29.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,以C为圆心任意 长为半径画弧分别交BC、CD于M、N,再分别以M、N为圆心，大于专MN为半径画弧，两弧交于P, 射线CP与∠ADC的平分线交于E,连接0E,若AB=4V3,BC=83,则0E的长为() 21/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.2V万 B.万 c.47 D.25 30.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，四边形ABCD为平行四边形，E,F是直线BD上两点，且BE=DF, 连接AF,CE.求证：∠E=∠F. 31.(2026湖北襄阳·二模)如图，在☐ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交边AB于点M,N,分 别以点M,N为圆心，大于专MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,连接CE,若 ∠BCE=∠DCE,DE=4,则边AD的长为() E F A.6 B.5 C.4 D.3 32.(2026湖北武汉：二模)如图，☐ABCD的对角线AC与BD相交于点0，点E,F在对角线AC上，连接 BF,DE.若，则AE=CF.请从①∠ADE=∠CBF;②DE=BF;③DE‖BF这三个选项中选 择一个合适的条件，使结论成立，并说明理由. B 33.(2026湖北二模)如图，己知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0.下列三个条件：①AB=CD ,②ADIBC,③OA=OC,请从中选择两个，证明四边形ABCD是平行四边形. 20/133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 34.(2026湖北武汉·二模)如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF,求 证：BE=DF D B 考点04 矩形的性质应用及相关证明 35.（2026湖北省直辖县级单位二模)如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=3.①以点A为圆心，以 不大于AB长为半径作弧，分别交边AD,AB于点E,F,再分别以点E,F为圆心，以大于号EF长为半径 作弧，两弧交于点P,作射线AP分别交BD,BC于点0，Q;②分别以点C,Q为圆心，以大于专CQ长为 半径作弧，两弧交于点M,N,作直线MN交AP于点G,则OG长为() E 米M o Q C G A.9 B.2 c.9 D.9 36.(2026湖北襄阳·二模)如图1，在矩形ABCD中(AB>AD),点E是线段CD上的一动点，连接BE.作 点C关于BE的对称点F.连接CF并延长，射线CF交矩形的边于点G,过点A作AH⊥CG,交CG的延长 线于点H. 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (I)若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH=∠BAH: (2)连接BD交CH于点I,且AB=4,AD=3 ①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE=寺CD,求CI的长： ②在E点的运动过程中，当GH:CG=1:8时，请直接写出△HCD的面积. 37.(2026湖北襄阳·二模)在矩形ABCD中，点E是边CD上一动点，过点D作DF⊥AE于点P,与边 BC交于点F. D F 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADE△DCF (2)如图1，若PF=PD,AD=2DE,CE=3,求PF的长； (③)如图2，延长BC至点O,使FQ=BF,连接PQ,若AB=AP,tan∠Q=V2,求提的值. 38.(2026湖北黄冈二模)解决下列问题 【问题初探】 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,延长BE交于 DF于点H.求证：BE=DF,BE⊥DF 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边的中点，F为BC延长线上一点，BE⊥DF ,垂足为H,求CF的长. 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到 △BEG,延长DG和BC相交于点F.当CE=2DE时，求FG的长. 20/133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 39.(2026湖北随州二模)如图1，AC是矩形ABCD的对角线，作DFLAC交AC于点F,交BC于点E. A C B E 图1 图2 图3 (I)求证：△ABC∽△ECD: (2)如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接AG,过点D作DF⊥AG交BC于点E,CG=EG,若 器=告，探究船的值： (③)【拓展探究】如图3，将上述“矩形改为“平行四边形”，作DF⊥AC交BC于点E,器=，AB=万， tam∠ACB=9,求CB的长。 40.(2026湖北荆州二模)在综合与实践课上，老师请同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.已 知矩形ABCD,点E为边AD的中点，同学们将△ABE沿BE翻折后得到△BEF. 图1 图2 图3 (1)如图1，延长BF交CD于点G,若AB=6,BC=8. ①求证：DG=FG; ②求FG的长度， (2)如图2，连接DF并延长，交BC于点G.求证：BG=CG. (3)如图3，延长BF交CD于点G,同学们再将纸片沿过点G的直线折叠，点C的对应点刚好落在BG上的F点， 折痕与BC交于点M,请你帮他们求出器的值. 41.(2026湖北武汉二模)如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F. 21/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D B 图1 图2 图3 (①)求证：是=： (2)如图2，连接AC交EF于点G,若AG=3CG,∠ACD=2∠EAC,求是的值； (3)如图3，AB=6,tan∠EAF=,连接BD分别交AE、AF于点M、N,若MN=号BM,则AD的长 是 42.(2026湖北恩施二模)如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC 于点E,F.判断四边形EBFD的形状，并说明理由， A E D 43.（2026湖北十堰二模)四边形的探究与实践 A D D D 图1 图2 图3 (I)问题背景：如图1，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,BC的中点，连 接EF,OE, ①若BC=4,CD=3,则0C= ②求证：四边形OEFC为平行四边形； (2)间题探究：如图2，在四边形ABCD中，ADIBC,∠BCD=90·,点E是AB的中点，点F在边BC上， CF=AD,EF与BD交于点G,求证：BG=FG; (3)问题拓展：如图3，在(2)的条件下，连接AG,AG=FG,若铝=寻，直接写出器的值. 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 正方形的性质应用及相关证明 44.(2026湖北武汉·二模)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，七块板之间不重叠，无 缝隙.如图(1)是一幅由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成的面积为2的正方形 ABCD七巧板，如图(2)是由图(1)的七巧板拼成的图案放入矩形EFGH内，则矩形EFGH的面积是() (1) (2) A.22 B.2W2+1 C.3V2 D.3V2+1 45.(2026湖北二模)如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的 四等分点(CG<DG),连结BD·则DH:BH为() D B A.2:3 B.V2:2 c.22:17 D.15:17 46.(2026湖北荆州二模)已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AD上一点，连接BE,将△ABE沿 BE折叠，点A的对应点A落在正方形ABCD内，连接AA· 图1 图2 图3 (1)如图1，若BA的延长线经过点D,求AE的长； (2)如图2，AA的延长线与CD相交于点F,连接CA·求∠CAF的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，设BE,AA相交于点G,连接CG,DG,AD,若CG=CB 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①判断△ADG的形状，并说明理由； ②直接写出△ADG的面积. 47.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图1，正方形ABCD中点P,Q分别在边BC,CD上，AP⊥BQ 于点0. D D 图1 图2 图3 (1)求证：AP=BQ; (2)如图2，过C作CN⊥AP,交AP延长线于N,求证：OB=ON; (3)在(2)的条件下，连接BN,DN,AO=3,求∠AND及DN的长， 48.(2026湖北二模)【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片ABCD（AB=10, AD=10W2)和一张正方形纸片GHMN(GH=10),要求同学们通过折叠，折出一些特殊角. 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片ABCD翻折，使点A的对应点A1落在边BC上，折痕为BO,此时折出的 ∠A1B0= D - A 图1 图2 图3 (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段，如图2，在矩形纸片ABCD中， 请你用尺规作图在边AB.上取点T,使得BT=5√2，保留作图痕迹，不要求写作法： (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，可得到 ∠ABC1= (4)【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片GHMN的∠G沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方 形GHMN内部的点P处，折痕为HE,再将∠M沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折 痕为HF 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H M 图4 ①此时可得到∠EHF=°；②若MF=2,求GE的长度。 49.(2026湖北随州二模)在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,过点E分别作AC, BE的垂线，分别交直线BC,CD于点F,G D G B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：BF=CG; (2)若四边形ABCD是矩形，且AB=3,BC=4, ①如图2，当点F在CB的延长线上时，求器的值： ②当CG=1时，请直接写出CE的长度， 50.(2026湖北襄阳二模)在△ABC中，延长AC到D,使CD=AB,E是AD上方一点，且 ∠A=∠BCE=∠D,连接BE B M E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC=CE; (2)如图2，若∠ACB=90°，∠ABC=30°，如果AD=3,求BE的长； (③)如图3，若∠ACB=90°，AC=BC,将DE沿直线CD翻折得到DF,连接BF交CD于点M,探究瑞 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的值，并说明理由。 考点06 解直角三角形 51.(2026湖北武汉二模)如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P 处，测得教学楼底端点A的俯角为37·，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼 顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1m,参考数据：sin37o≈0.60， cos37o≈0.80，tan37o≈0.75) 451 B 52.(2026湖北武汉·二模)某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在 花坛前方的点D处，用测角仪测得教学楼顶部B的仰角为22·，再到花坛后方的点C处，用测角仪测得教学 楼顶部B的仰角为30°，已知花坛的宽CD=13.1m,则教学楼AB的高度约为m(点A,C,D在同 一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1m,参考数据 sin22°≈0.37，cos22°0.93，tan22°≈0.40，V3≈1.73). B 教学楼 22309 D花坛C A 53.(2026湖北荆州·二模)在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度， 用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进6米至B处，测得点C的仰角为45°， 该雕塑的高度CD为多少米？（结果保留小数点后一位，参考数据：√5心1.73）. 130 人45 B D 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54.(2026湖北荆州·二模)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼的美誉.在一次综合 实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水 平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，求黄鹤楼的高度（参考数据： tan63o≈2). 102m 地面 55.(2026湖北省直辖县级单位·二模)在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前 有一座高为DE的观景台，己知CD=6m,∠DCE=30°，点E、C、A在同一水平线上.某学习小组在 观景台C处测得塔顶部B的仰角为45·，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27·，求塔AB的高度（精 确到1m).(参考数据：tan27°≈0.5，V2≈1.4，V5心1.7) 27° h3045 E C A 56.(2026湖北省直辖县级单位·二模)“珍爱生命，远离超速”.如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速 为120千米时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离A0=60米.当一辆小汽车行 驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得 小汽车在监测点A的东南方向.（参考数据：sin53·≈号，cos53·≈寻，tan53·≈等） 5345 (I)求BC段的长度（结果保留整数）： (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由. 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 57.(2026湖北十堰二模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙 外安装避阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16· ,且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到 0.1米；参考数据：sin16°0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29) B 16 45o 58.（2026湖北二模)某公园计划改造一座儿童滑梯，滑梯结构如图。滑梯的顶端A离地面的高度为3米， 滑梯的底部B在地面上，且B距离滑梯正下方点C的水平距离为4米.为了增加安全性，计划在滑梯AB的 中点D处加装一个水平平台DE,DE的长度为1米，然后从点E再建一段新的滑梯EF接到地面点F,使得 EF与地面的夹角为30·.滑梯AB,EF均为线段，且AB,DE,EF在同一竖直平面内.求CF的长度 (V5≈1.732，结果保留一位小数). D E C 、B 77777777777777777 59.(2026湖北二模)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形（如 图1).小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩形ABCD上得到如图2所示 的图形，其中点E、F、N、H分别在矩形的边上，若tanEFB=号，则器的值是 H G B 图1 图2 60.(2026湖北襄阳·二模)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分 别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到1m). (sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77，tan40o≈0.84) 20/133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 北 →东 ∠2--------------- 61.(2026湖北襄阳·二模)小明想测扬州大运塔的高度.他在点C处测得此时塔尖A的仰角是37。，向前 走了30米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，己知小明的眼晴离地面高度是1,2米，请聪明的你帮他 求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈青，tan37°≈寻） y37 G B 62.(2026湖北黄石·二模)随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机 来测量广场B,C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞 行高度是41.6m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身 高BE=1.6m,EA=50m(点AE,B,C在同一平面内). 630 (1)求仰角的正弦值； (2)求B,C两点之间的距离（结果精确到1m) (sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27o≈0.45，cos27°≈0.89，tan27o≈0.51) 63.（2026湖北随州二模)如图1是位于西安市的具有“西北第一高称号的摩天轮，它的“成像效果”全球 第一，图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知 识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为36·，接着沿水平方向向左行走140 米到达点B,再沿着坡度i=0,75的斜坡走了20米到达点C,最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天 轮最低点N处(4，B,C,M,N均在同一平面内)，求摩天轮MN的高度.（结果精确到1米）（参考数据： 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin36°≈0.59，c0s36°≈0.81，tan36°≈0.73) M 0 C B 图1 图2 考点07 圆的性质及相关证明 64.(2026湖北孝感二模)如图，0A是⊙0的半径，分别以点A和点0为圆心，大于专0A的长为半径作 弧，两弧交于M,N两点，作直线MN交⊙O于点C,连接CO并延长交⊙O于点B,连接BA,则∠ABC 的度数是() B A.40 B.35° C.30° D.25o 65.(2026湖北荆州二模)如图，AB为⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，以点0为圆心，以AB的长 为半径画孤弧；再以点P为圆心，以PO的长为半径画弧，两弧交于点D,连接OD与⊙O相交于点C,连接 CP,PD,BC.若∠CP0=36°，则∠B的度数为() A A.36° B.54o C.27o D.18° 66.(2026湖北荆州二模)如图，点AB,C在⊙0上，BC‖OA,连接B0并延长，交⊙0于点D,连 接AC,DC.若∠A=25°，则∠D的大小为() 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.25 B.30° C.40° D.50° 67.(2026湖北省直辖县级单位二模)如图，AB是⊙0的切线，B为切点，连接A0并延长交⊙0于点C, 连接BC.若∠A=50°，则∠C的度数为() B A.15 B.20 C.25o D.30 68.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，在⊙0中，0C1AB于点C,若⊙0的半径为10， AB=10V3,则劣弧AB的长为() B A. B.9 C.29 D.琴 69.(2026湖北武汉二模)如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙0的半 径为2，则图中阴影部分的面积为() A.青π B.寺元 C.T D.号π 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 70.(2026湖北恩施二模)如图，0A是⊙0的半径，分别以点O和点A为圆心，大于0A的长为半径作 弧，两弧交于M,N两点，直线MN交⊙O于B,C两点，连接AB,则∠ABC的度数是() M A A.30 B.45° C.60° D.90o 71.(2026湖北武汉·二模)如图，AB是⊙0的直径，AB=10,C是上半圆上的一点，D是下半圆上AB的 中点，过点A作CD的垂线，垂足为E(DE>CE),连接OE.若CD=7√2，则0E的长是() C B D A.1 B.2 C.v3 D.2 72.(2026湖北十堰二模)如图，AB为半圆O的直径，点C为⊙0上一点，连接AC,BC,按以下步骤 操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M,交BC于点N;②分别以点M,N为圆心， 大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;③作射线BP交⊙O于点D,交AC于点E,若 ∠CAB=34°，则∠ACD的度数是() D A.34° B.17o C.56o D.28o 73.(2026湖北二模)如图，点D在⊙O上，以点0为圆心，适当长为半径作弧交弦AB于M,N两点，再 分别以点M和点N为圆心，大于专MN的长为半径作弧，两弧在⊙O外相交于点P,射线OP交⊙0于点C ，若∠BDC=25°，则∠A0C的度数是() 20/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M A.25 B.30° C.45 D.50° 74.(2026湖北恩施二模)如图，矩形ABCD是长方体玻璃片的截面，已知AB=2,BC=6.现将长方体 玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E,F,G,H, 若点E,F,G在以点O为圆心的圆上，则⊙O的半径为 G D B H 75.(2026湖北二模)如图，含30°角的三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角 器的半圆上，点D在量角器上的读数是50·，则∠CAD的度数是(). A.30° B.35 C.25o D.50° 76.(2026湖北襄阳·二模)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=54°.①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交BABC于D,E;②分别以DE为圆心，大于专DE为半径作弧，两弧交于 点P;③作射线BP,与AC交于点F,则∠BFC的度数为( A.60 B.640 C.68 D.72° 77.(2026湖北孝感·二模)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上两点，∠ABD=2∠A,过C作 CE⊥DB交DB的延长线于E 21/133 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 o B D (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若DB=6,CE=4,求⊙0的半径长， 78.(2026湖北荆州二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作 EF⊥AC,垂足为E,交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙0的切线； (2)若⊙0的半径为5，tanC=3,求DE的长. 79.(2026湖北荆州二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O是 边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D,交AB于点E. (1)求证：直线AC是⊙0的切线； (2②)若点E为AO的中点，BC=V3,求阴影部分的面积. 80.(2026湖北省直辖县级单位二模)如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上，CD⊥AB, CD=AB,连接CB,与⊙O相交于点F,过点F作EF=EC,交CD于点E. 20/133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 0 ()求证：EF是⊙0的切线： (2)若点D是OA的中点，AB=4,求BF的长. 81.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于 点E,连接DE,DE=CD·. E (I)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CD=4,BD=2,求△ABC的面积 82.(2026湖北武汉·二模)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以D为圆心，DA为 半径的⊙D交ACE. (I)求证：BC是⊙D的切线； 5 (2)若sinC=最，求tan∠DBC的值. B ∠BAC=90o, 83.(2026湖北恩施·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0是△ABC的角平分线.以O为 圆心，0C为半径作⊙0. 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：AB是⊙0的切线， (2)已知A0交⊙0于点E,延长A0交⊙0于点D.若CD川AB,OC=2,求AB的长. 84.(2026湖北武汉·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB延长线上，点D在圆上，连接AD,BD, CD,∠CDB=∠CAD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若器=青，求tanA的值. 85.(2026湖北十堰二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,点O在AB上， 以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E,F, B (1)求证：直线BC与⊙0相切； (2)若BD=2V3,AB=6,求阴影部分的面积. 86.(2026湖北二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E分别在AC,AB上，EDIBC,以 BE为直径的⊙O经过AC上的点F,且DE=DF. 20/133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：CB=CF; (2)若ED+BC=8,BE=4V,求BF的长. 87.(2026湖北二模)己知半圆O的直径AB=6,MN为半圆O的弦，且MN‖AB,点C在射线BA上， 以BC为直径作半圆D. M G (C)O D B A C OD B A 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点C与点O重合时，连接BM交半圆D于点P,连接0P ∠0PB的度数为；比较大小：BPPM(填“><”或“=”)： (2)如图2，若MN与半圆D相切于点G,当MN=4时，求半圆D的半径长 (3)射线BM交半圆D于点Q,若MN=3,当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧CQ的长. 88.(2026湖北襄阳二模)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D为BC中点，过D作AC的垂线，垂足 为E (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AC=2CE=2,求图中阴影部分的面积， 89.(2026湖北随州二模)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上位于AB两侧的两点， ∠ABD=2∠BDC,CP⊥DB交DB的延长线于点P,连接AC,BC. 21/133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：CP是⊙0的切线： (2)若PC=3,PD=3V3,求图中阴影部分（线段PB,PC及BC围成的图形）的面积. 90.(2026湖北襄阳·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BD是⊙0的直径，∠BAC=45°，过点C 作CE引BD交AB的延长线于点E. 0 D (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若BD=4,AB=2,求线段BE,CE和BC围成的阴影部分面积. 20/133 专题04 图形的性质 7大考点概览 考点01三角形的全等与相似的应用及证明 考点02菱形的性质应用及相关证明 考点03平行四边形的性质及相关证明 考点04矩形的性质应用及相关证明 考点05正方形的性质应用及相关证明 考点06解直角三角形 考点07 圆的性质及相关证明 三角形的全等与相似的应用及证明 考点01 1．（2026·湖北十堰·二模）如图，四边形的对角线，交于点，，，将沿翻折，点落在上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由翻折可得，由得，根据勾股定理可得，进而得，根据题意由证明，得，，由勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理得，列关于的方程求解，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由翻折可得，，垂直平分， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ，， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ． 2．（2026·湖北随州·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为________． 【答案】20 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解： 和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得：， ， ， 故答案为：20． 3．（2026·湖北襄阳·二模）如图，在菱形中，点E是的中点，连接交于点F，点G是的中点，连接并延长交于点H．（1）______；（2）若，，则的长为______． 【答案】 / 【分析】由菱形性质得且，利用求出，从而得． 先由菱形与等边三角形性质求出，，再过点作构造相似三角形求出，最后解直角三角形求． 【详解】（1）解：∵ 四边形为菱形， ∴ ，， ∵ 点为中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）∵ 四边形为菱形，，， ∴ ，， ∵ ，， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 由（1）知， 过点作交于点， ∵ 点为中点，， ∴， ∴为中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过点作于点， 在中，，， ∴ ， ， ∴ ， 在中， ， ∴ ． 4．（2026·湖北荆州·二模）如图，已知，求证：． 【答案】证明：， ，即； ， ； 在和中， ； ． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略 5．（2026·湖北荆州·二模）如图，点、、、在一条直线上，，．若___________，则．请从①；②；③这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或②，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．选择①，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择②，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 【详解】解： ， ，即， 选择①， ， ， 在和中， ， ， ； 选择②， 在和中， ， ， ； 选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 故答案为：①或②． 6．（2026·湖北武汉·二模）如图，D是上一点，交于点E，，． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段相关的条件，使平分． 【答案】(1)见解析 (2)添加条件，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）添加条件，根据全等三角形的性质得出，确定，得出，再由平行线的性质得出，确定，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）添加条件， 如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 7．（2026·湖北恩施·二模）如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，其中点 B，点C的对应点分别为点E 和点D，连接． (1)当时，求的度数． (2)如图2，当点 D落在边 上时，求 的长． (3)如图3，延长交 于点F． ①求证：点 F为 的中点； ②连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①见解析：② 【分析】（1）首先根据旋转性质，等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可计算的度数． （2）先由勾股定理计算的长度，过点C作于点F，由，求出，得，得，即得． （3）①连接，由，得点F在的外接圆上，得，得，即得F是的中点，②解：过点A作于点H，过点E作交延长线于点I，证明，得，得，由勾股定理求出，得，得，证明，得，证明，得，即得． 【详解】（1）解：由旋转知，，， ． （2）解：∵中，，，， ∴． 过点C作于点F， 则， ∴， ∴， 由旋转性质得：， 当在上，， ∴​． （3）解：①证明：连接， 由旋转性质得，， ∴， ∵的延长线交于点F， ∴点F在的外接圆上， ∴， ， ， ∴， 是的中点； ②解：过点A作于点H，过点E作，交延长线于点I，由已知得， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得（）， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·湖北武汉·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图（1）中，画射线交于点，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在上画点，使； (3)在图（2）中，画射线交于点，使得，垂足是； (4)点是上一点，在（3）的基础上，在上画一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）取格点M、N，连接交于D，连接即可； （2）取格点G，连接与点C上方一格的水平线相交于，连接交于即可； （3）取格点E，连接交于点F即可； （4）取格点G，设与过格点C的水平线相交于M，连接并延长，交于，连接交于H即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，点E、即为所求， 理由：建立如图所示的直角坐标系，连接， 则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即； （3）解：如图，点F即为所求， （4）解：如图，点H即为所求， 理由：如上图， 根据网格特征知，，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴C、关于对称， ∴， ∴， 当P、H、三点共线时，最小，则的周长最小， 故点H即为所求． 9．（2026·湖北武汉·二模）如图，在等边中，点，分别在边，上，点在边的延长线上，连接，，，． (1)如图（），若，点在上，连接，，求证：； (2)如图（），若，探究，，之间的数量关系； (3)如图（），连接交于点，若平分，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由是等边三角形，则，则有，再证明是等边三角形，由，，可证，然后通过全等三角形的性质即可求证； （）过点作交于点，则为等边三角形，由（）得，，，所以，则，由，故有，然后通过线段的和与差可得； （）在上截取一点，使得，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，先证明，所以，，然后得出为等边三角形，，，同理得为等边三角形，所以，，设，，证明，所以，则，所以，则，在中，，即，解得，即，所以，再求出，，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如解图，过点作交于点，则为等边三角形， 由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如解图，在上截取一点，使得，连接，过点作交于点，过点作，垂足为， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理得为等边三角形， ∴，， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10．（2026·湖北十堰·二模）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 11．（2026·湖北襄阳·二模）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 12．（2026·湖北襄阳·二模）在正方形中，点分别在边，，上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长，交于点，若，，，求的长； (3)如图3，延长，交于点，延长，交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得，进而得，由得，进而得，从而根据两个角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）先利用证明，得，设，则，由，得，从而得即，解得得值，进而根据勾股定理求的长； （3）过点作交延长线于，证明得，由题意得四边形是矩形、，进而得，进而得，由得，进而得，从而，设，，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，根据勾股定理得，进而计算的长，最后计算的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知：，， 又 ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍去）， ； （3）解：如图3，过点作交延长线于，得， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 设，，则，， 在中，，即， 解得，，（舍去）， ，，， 由勾股定理得，， ， ． 13．（2026·湖北随州·二模）如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质；先由平行线的性质可得，，再结合，即可判定，进而得出． 【详解】证明：， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 14．（2026·湖北襄阳·二模）如图，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴． 【分析】首先由得到，然后证明出，即可得到． 【详解】略 15．（2026·湖北黄石·二模）如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 先由线段和差得出，然后根据“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 16．（2026·湖北黄石·二模）综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”． 特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”． 探究1：如图①，若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，求“落边折痕”的长； 探究2：如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比； 探究3：如图③，若是等腰三角形，其中，，请求出其“落边折痕”的长度． 【答案】探究1：；探究2：；探究3：或． 【分析】探究1：根据叠的性质可知，，则，即可求解； 探究2：分别过点作、的垂线，垂足分别为，．根据折叠的性质可知，，，推出，得到，即可求解； 探究3：分情况讨论：当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，结合相关知识求解即可． 【详解】解：探究1：根据叠的性质可知，， 又，， ； 探究2：如解图①，分别过点作、的垂线，垂足分别为，． 根据折叠的性质可知，，， ， ，（将面积比转化为线段比） 在等腰中，， ， ， 即； 探究3：根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． 在等腰中， ，，， 只能是点向下折叠，则分情况讨论．（若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义） ①如解图②，当沿折叠，点落在边上的点处时， 由探究2可得， ， ， 过点作于点，过点作于点，（通过面积比，可以推导出对应线段比值，构造等量关系，求解所需线段） ，为中点，， ，， 由勾股定理得:， ， ，， ， ， ∴在中，； ②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时，同①，则；（此种情况与情况①属于对称状态，折痕相等） ③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时， 为的垂直平分线，即， 由①可知， ， ； ④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线，则同情况③，则．（此种情况与情况③属于对称状态，折痕亦相等） 综上所述，“落边折痕”的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 17．（2026·湖北·二模）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 18．（2026·湖北·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，、、三点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下个问题．（每个问题的画线不得超过条） (1)在图中，画射线平分的面积； (2)在图中，在上画点，使得； (3)在图中，点是与横网格线的交点，作交于点，画出点； (4)在图中，在上找一点，使∽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形面积可知，作中线即可，通过构造全等三角形，得到即可； （2）通过构造等腰直角三角形即可，根据勾股定理逆定理判定即可； （3）通过构造矩形，结合（2）可知，则作即可； （4）要使，已有公共角，则构造即可，相当于构造，，利用正切值将角度问题转换为线段问题实现等量关系的构造，即可得解． 【详解】（1）解：取，连接与的交点为，则射线即为所求； ， ，， ，，， ， ， 是的中线， 射线平分的面积； （2）解：取，且满足，连接与的交点为，则，点即为所求； ，，， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：取，点是与横网格线的交点，连接与的交点为，点即为所求； 观察可知，，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知，， 四边形是矩形， ，即； （4）解：取格点，使得，点是与横网格线的交点，连接并延长与横网格线的交点为，连接与的交点为，点即为所求； ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ，即， ， ． 19．（2026·湖北·二模）综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)如图1，若交于点，延长线交于点．求证： (2)如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． (3)如图3，与，分别交于点，．当，时，若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)是线段的中点，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，由旋转的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作交的延长线于，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，即可得解； （3）设，则，，令交于，作于，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，，证明，得出，由勾股定理可得，作交的延长线于，得出四边形为矩形，推出，，，由勾股定理可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 由旋转的性质可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是线段的中点，理由如下： 如图，作交的延长线于， ， 则， 由旋转的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的中点； （3）解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，令交于，作于， ， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 菱形的性质应用及相关证明 考点02 20．（2026·湖北襄阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，根据菱形的性质得出，，进而求出，在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求出，的长，从而得出的长，即可确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 21．（2026·湖北十堰·二模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，， ∴，， 在中， ，， ∴，， ∴菱形ABCD边长为2，， ∴， 点D坐标为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质． 22．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°． (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD=30°； 条件2：AB=BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE； （2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形． 【详解】（1）证明：∵BE=FD， ∴BE+EF=FD+EF， 即BF=DE， ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠CDE， 又∵∠BAF=∠DCE=90°， ∴△ABF≌△CDE(AAS)； （2）解：若选择条件①： 四边形AECF是菱形，　 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAF=90°，BE=EF， ∴AE=BF， ∵∠BAF=90°，∠ABD=30°， ∴AF=BF， ∴AE=AF， ∴平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②： 四边形AECF是菱形， 连接AC交BD于点O， 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AO=CO， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 即EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．（2026·湖北·二模）如图，在中，O为的中点，点E，F分别在，上，经过点O，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）根据菱形的性质得，，再根据勾股定理求出，然后说明是的中位线，最后根据中位线的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，即． 在中，． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 24．（2026·湖北襄阳·二模）已知：如图，在△中，是的平分线，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形． 25．（2026·湖北·二模）如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】先求出是等边三角形， 得，再分别证四边形、是平行四边形，得，即可得Ⅰ正确；通过作图可得Ⅱ正确． 【详解】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 平行四边形的性质及相关证明 考点03 26．（2026·湖北荆州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点 轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，可求出点的横坐标是，结合点的坐标是，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的横坐标是， ∵平行轴，， ∴平行轴， ∵点的坐标是， ∴点的纵坐标是． ∴点的坐标是． 27．（2026·湖北随州·二模）已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点F落在上时（如图2），则的长为______； （2）当取最大值时，则此时的长为______． 【答案】 6 / 【分析】（1）结合平行四边形的性质以及折叠的性质证明四边形是菱形，即可求解； （2）依据，可知，当最短时，最大，进而得出当时，有最大值．依据中，，列方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； （2）解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 过点作于点， ∵平行四边形中，， ∴， ∴与之间的距离为， ∴当时，， 设，则， 由折叠可得， 在中，，即， 解得：（舍去）， ． 28．（2026·湖北荆州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线交于点P．则点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，等腰三角形的判定，理解题意，证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解 再证明 从而可得答案． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴ ∵， 由作图可得：平分 ∴， 故选：C 29．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，平行四边形中，与交于点O，以C为圆心任意长为半径画弧分别交、于M、N ，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于P，射线与的平分线交于E，连接，若 ，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于F，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质和角平分线定义可得出，根据等角对等边求出，由作图知：平分，根据三线合一得出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：延长交于F， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 由作图知：平分， ∴， 又， ∴． 30．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 【答案】证明见解析 【分析】证明△ADF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180° ∴∠ADF=∠CBE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠E=∠F． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 31．（2026·湖北襄阳·二模）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交边于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接，若，则边的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】证明，利用勾股定理求得的长，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图得， ， ，，， ，， ， ， ， ， 如图，作于点， ， ， ，即， ， ． 32．（2026·湖北武汉·二模）如图，的对角线与相交于点，点，在对角线上，连接，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个合适的条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】选择①，由四边形是平行四边形，可得，，则，再由，可得，即可得； 选择②无法得出； 选择③，由四边形是平行四边形，可得，，则，再由，可得，可得，即可得； 【详解】解：选择①， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 选择③， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （任选一种即可） 选择②无法得出． 33．（2026·湖北·二模）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 34．（2026·湖北武汉·二模）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 矩形的性质应用及相关证明 考点04 35．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，，以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图步骤可知是的角平分线，是的垂直平分线，则，利用勾股定理可得，因为，所以，则，即，解得，所以． 【详解】由题意可知：是的角平分线，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形， ∴，，， ， ，， 则， AD∥BQ， ，即，解得， ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法、矩形的性质、相似三角形判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算． 36．（2026·湖北襄阳·二模）如图1，在矩形中，点E是线段上的一动点，连接．作点C关于的对称点F．连接并延长，射线交矩形的边于点G，过点A作，交的延长线于点H． (1)若的延长线交于点G时，求证：； (2)连接交于点I，且，． ①若的延长线交于点G时，如图2，若，求的长； ②在E点的运动过程中，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①；②3或 【分析】（）根据轴对称可得，根据矩形的性质和四边形的内角和定理即可解答； （）如图，设，交于点，证明，，列比例式即可解答； 分点在线段上和点在线段上两种情况求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，设，交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，，， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②若点在线段上，如图， ∵， ∴设． 设，则．． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中， ∴， ∴， 把代入整理，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵和同高， ∴； 若点在线段上，如图， ∵， ∴点G到的距离恒等于3， ∴， ∵， ∴， ∵和同高， ∴． 综上可知，的面积为3或． 37．（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，点E是边上一动点，过点D作于点P，与边交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，，，求的长； (3)如图2，延长至点Q，使，连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合角度的关系可得，由此可证明相似； （2） 根据三角形相似可得，可得，再设，结合勾股定理可求解m的值，由此可解的长度，结合可求解； （3）先证明与全等，由此可得，，利用边相等可得，再证明与全等，可得．设，结合勾股定理可求解k的值，由此求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴．     ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ，     ∴； （2）解：如图2，连接． ∵， ∴． ∵， ∴．     ∵，， ∴． 设，则，．     在中，， 在中，． ∴． 解得，（不合题意，舍去）． ∴． ∴． （3）解：如图3，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， 在与中， ∴． ∴，．     ∵， ∴． ∴． ∵， ∴．     ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴． 设，则，． 在中，， ∴． ∴，即．     解得，（舍去）． ∴，． ∴． 38．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题 【问题初探】 (1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，． 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再证明，进而得到，利用三角形内角和定理求出，即； （2）根据矩形和垂线的性质证明，进而得到，据此求解即可； （3）延长交于点H，利用勾股定理求出长，由折叠的性质证明，则，据此求出长，根据求出长，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， 、， 在和中， ， ， 、， ， ， 即； （2）解：四边形是矩形， 、 ， ， ， ， ， ， 点E是边的中点， ， ， ； （3）解：延长交于点H， 四边形是矩形， 、、， ， 、， 在中，由勾股定理得：， 沿折叠得到， 、，即， ， ， ， 、， 即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 39．（2026·湖北随州·二模）如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； (3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，，，根据得出，即可求解； （3）过点B作交于点G，设，，得；先证出得；再证得出，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，， 由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴； （3）解：过点B作交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质、平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 40．（2026·湖北荆州·二模）在综合与实践课上，老师请同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形，点为边的中点，同学们将沿翻折后得到． (1)如图1，延长交于点，若，． ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，连接并延长，交于点．求证：． (3)如图3，延长交于点，同学们再将纸片沿过点的直线折叠，点的对应点刚好落在上的点，折痕与交于点，请你帮他们求出的值． 【答案】(1)①证明：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵将沿翻折后得到． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② (2)证明：∵点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）①连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出； ②设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． （2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明． （3）连接，设，，则，，由（1）可知，根据折叠可得，，则，证明 ，求出 ，则，根据折叠可得，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）①略 ②解：设，则，， 在中，， ∴， 解得：． ∴． （2）略 （3）解：连接，由题可知、、三点在一直线上， 设，， ∴，， 由（1）可知， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·湖北武汉·二模）如图，矩形中，E为上一点，过点E作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，，求的值； (3)如图3，，，连接分别交、于点M、N，若，则的长是______． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)11或 【分析】（1）证明即可得结论； （2）由，四边形是矩形，可得，由（1）可知，，可得，则，可得，由，可得，设，则，，，再可得，设，则，，在中，，可得，则，即可得结论； （3）由，可得，过点作于点，过点作于点，设，则，由（1）可知，，可得，则，证明，可得，再证明，可得，再证明，可得，则，再有，可得，最后由，可得，最后证明，即可求得的值，则可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴，即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴在中，， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 设，则， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴，， ∴或3， ∴或， ∴的长为11或． 42．（2026·湖北恩施·二模）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．判断四边形的形状，并说明理由．    【答案】菱形，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形等知识．根据已知条件证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵点是的中点， ， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形． 43．（2026·湖北十堰·二模）四边形的探究与实践 (1)问题背景：如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，， ①若，，则________； ②求证：四边形为平行四边形； (2)问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； (3)问题拓展：如图，在（2）的条件下，连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)① ②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】  （1）①利用矩形对角线相等且互相平分的性质，先通过勾股定理计算矩形对角线的长度，再取长度的一半即可得到的数值． （1）②利用三角形中位线的性质，得到平行且等于的一半，结合是中点的条件，推导出和平行且相等，直接用一组对边平行且相等的平行四边形判定定理完成证明． （2）通过构造边上的中位线，利用中位线性质得到和平行且相等，先证得是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等角关系，最终通过等角对等边证明． （3）采用坐标法建立平面直角坐标系，将点放在原点简化计算，依次写出各点坐标，求出直线和的交点的坐标，结合的条件列方程求解出的长度，最后直接计算和的长度比值，得到最终结果． 【详解】（1）①在矩形中，，，， 由勾股定理得， ； ②证明：点是的中点， 点是的中点， 是的中位线，可得 ， 又点是的中点， ， ，且， 四边形为平行四边形． （2）证明：取的中点，连接． 点是的中点， 是的中位线， ， 已知， ， 又， ，即， 四边形是平行四边形， ， 在中，是中点， ， 可得， 由，得， ， 由等角对等边得． （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系,如图：设，由，得， ， 由，得 ，即， 设，是中点，故． 设直线的解析式为：, 将点和代入解析式， 得， 解得： 方程为． 同理得，直线的解析式为：． 联立方程求交点：， 解得，， 代入解析式： ， 故． 由得： ， 解得，， ∵点B在点E的左侧，则取， 代入，得各点坐标： ，， ， ， ． 正方形的性质应用及相关证明 考点05 44．（2026·湖北武汉·二模）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，七块板之间不重叠，无缝隙．如图（1）是一幅由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成的面积为的正方形七巧板，如图（2）是由图（1）的七巧板拼成的图案放入矩形内，则矩形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如解图②，连接， 将解图①中正方形中的各部分图形编号对应标到矩形中， 正方形的面积为， ，即等腰直角三角形①和②的斜边长是，直角边长为，等腰直角三角形③和⑥的斜边长为，直角边长为，正方形④的边长为，平行四边形⑦中长为， ，， 矩形的面积为． 45．（2026·湖北·二模）如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先连接，求得，再根据，即可求得和，即可得到答案； 【详解】解：连接，如图： ， 设， ∵恰在边的四等分点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，°，， ∴在中根据勾股定理得，， 在中根据勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 46．（2026·湖北荆州·二模）已知正方形的边长为2，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点落在正方形内，连接． (1)如图1，若的延长线经过点，求的长； (2)如图2，的延长线与相交于点，连接．求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，设，相交于点，连接，，，若． ①判断的形状，并说明理由； ②直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)①是等腰直角三角形；理由如下： 过点C作交于点，交于点． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ； 是等腰直角三角形． ②的面积为 【分析】（1）由勾股定理求出，由折叠得，求出，证明出，故可得出； （2）由，得，，从而求出，故可得出结论； （3）①过点C作交于点，交于点．分别证明和，可得 进而可得结论； ②设，得，在中，由勾股定理得，从而可求． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①略； ②由①知，是等腰直角三角形，且， ∴， 设， 由折叠得， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 47．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图1，正方形中点P，Q分别在边，上，于点O． (1)求证：； (2)如图2，过C作，交延长线于N，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，，，求及的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴； (3)， 【分析】（1）利用正方形的性质与垂直的性质证明，从而可得结论； （2）过作于，利用矩形的判定与性质可得出，利用正方形的性质与垂直的性质证明，从而可得，即可得出结论； （3）连接，根据勾股定理求出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据正方形的性质得出，，，根据勾股定理求出，从而得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴. 48．（2026·湖北·二模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片（，）和一张正方形纸片（），要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点A的对应点落在边上，折痕为，此时折出的______°； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点T，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到______°； (4)【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片的沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方形内部的点P处，折痕为，再将沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折痕为． ①此时可得到______°；②若，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由矩形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得：． 49．（2026·湖北随州·二模）在四边形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作，的垂线，分别交直线，于点F，G． (1)如图1，若四边形是正方形，求证：； (2)若四边形是矩形，且，． ①如图2，当点F在的延长线上时，求的值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或 【分析】（1）证明即可得出； （2）①证明，先利用相似比，再利用同一个角值可用不同边表示即可； ②分情况讨论在线段上和线段外，再利用相似比即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：①、四边形是矩形, , , , , ， 又， ， ， ， ， 在直角中， ， 在直角中， ， ， ． ②在直角中， ， 设，， ， ， ， 当在线段上时： 此时， ； 当在的延长线上时： 此时， ． 50．（2026·湖北襄阳·二模）在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】（1）证明，可得结论； （2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长； （3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，． ． 【详解】（1）证明：，，， ． 在与中， ， ． ． （2）解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． （3）解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 解直角三角形 考点06 51．（2026·湖北武汉·二模）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】17 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 52．（2026·湖北武汉·二模）某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为，再到花坛后方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为已知花坛的宽，则教学楼的高度约为______（点，，在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到，参考数据）． 【答案】 【分析】在中，得出，在中，得出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学楼的高度约为． 53．（2026·湖北荆州·二模）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度，用测角仪在处测得雕塑顶端点的仰角为，再往雕塑方向前进米至处，测得点的仰角为，该雕塑的高度为多少米？（结果保留小数点后一位，参考数据：． 【答案】该雕塑的高度约为米 【分析】设米，在中，，利用求解即可. 【详解】解：设米， ， ∴， ∴， 米， ∵在中，米， ， 即， 解得， ， 答：该雕塑的高度约为米． 54．（2026·湖北荆州·二模）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 【答案】黄鹤楼的高度约为． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴黄鹤楼的高度约为． 55．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】塔的高度约为 【分析】过点D作于点F，则可得四边形是矩形，；设塔，由正切函数关系得，解直角三角形得的长，从而求得的长，再由正切函数关系建立方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， 由题意得， ∴四边形是矩形， ∴； 设塔， 在中，，， ∴， 在中，，， 则， ∴，， 在中，，则， 即， ∵ ∴， 解得：； 答：塔的高度约为． 56．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】(1)BC段的长度约为140米 (2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； （2）解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 57．（2026·湖北十堰·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      【答案】米 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 58．（2026·湖北·二模）某公园计划改造一座儿童滑梯，滑梯结构如图。滑梯的顶端离地面的高度为3米，滑梯的底部在地面上，且距离滑梯正下方点的水平距离为4米．为了增加安全性，计划在滑梯的中点处加装一个水平平台的长度为1米，然后从点再建一段新的滑梯接到地面点，使得与地面的夹角为．滑梯均为线段，且在同一竖直平面内．求的长度（，结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】过点，分别作，，垂足为，，依次求出，，根据即可求出答案． 【详解】解：过点，分别作，，垂足为，， ∴四边形为矩形． ， ． ， ，． ，． 在中，， ， ． 59．（2026·湖北·二模）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形（如图1）．小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩形上得到如图2所示的图形，其中点、、、分别在矩形的边上，若，则的值是_________． 【答案】 【分析】延长交于点，延长交于点，延长、交于点，交于点，设，得出，根据得出，进而证明，得出，，解直角三角形得出求得，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，延长、交于点，交于点， ∴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．（2026·湖北襄阳·二模）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距的和两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正南方向，在的南偏西的方向，求河宽（结果精确到）．（，，） 【答案】河宽约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，∵， ∴， 答：河宽约为． 61．（2026·湖北襄阳·二模）小明想测扬州大运塔的高度．他在点处测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请聪明的你帮他求出塔的高度．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形， 所以米，米， 在中，，则．设米， 在中，， 则，即， 解得：， 所以米， 则（米）． 答：这座高塔的高度为米． 62．（2026·湖北黄石·二模）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）B，C两点之间的距离约为51m． 【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可． 【详解】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F， ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， ∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m）， 在Rt△AEF中，sin∠AEF=，即sin=． 答：仰角的正弦值为； （2）在Rt△AEF中，EF＝m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m， ∵tan∠ACD=， ∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m， ∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m． 答：B，C两点之间的距离约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 63．（2026·湖北随州·二模）如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：） 【答案】摩天轮的高度约为131 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角，坡度的问题，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 延长至E，作于D，解求出，再解即可． 【详解】解：延长至E，作于D， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴米． 答：摩天轮MN的高度约为131 米． 圆的性质及相关证明 考点07 64．（2026·湖北孝感·二模）如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，垂直平分，则，进而得到是等边三角形，则，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据作图可知，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 65．（2026·湖北荆州·二模）如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等腰三角形，再证明，即，利用直角三角形的性质求出，最后由圆周角定理即可解答． 【详解】解：由作图知，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 66．（2026·湖北荆州·二模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据平行线的性质，得到，，圆周角定理得到的度数，，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵连接并延长，交于点， ∴为直径， ∴， ∴； 故选C． 67．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，与⊙相切于点，得到，根据三角形内角和求出，再根据三角形外角的性质，求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 与⊙相切于点， ， ， ， ， ， ． 68．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 69．（2026·湖北武汉·二模）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 70．（2026·湖北恩施·二模）如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合半径相等证明为等边三角形，求出的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， . 71．（2026·湖北武汉·二模）如图，是的直径，，是上半圆上的一点，是下半圆上的中点，过点作的垂线，垂足为，连接．若，则的长是（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，构造等腰直角三角形，在中，利用勾股定理求解、，可证得，，，求得，利用得出答案． 【详解】解：如解图，连接，，，过点作交于点， 是下半圆上的中点， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设， ， 在中，， 解得，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 72．（2026·湖北十堰·二模）如图，为半圆O的直径，点C为上一点，连接，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D，交于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，由作法得：平分，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∵， ∴． 73．（2026·湖北·二模）如图，点在上，以点为圆心，适当长为半径作弧交弦于两点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在外相交于点，射线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得知是线段的垂直平分线，得到，利用在同一个圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 74．（2026·湖北恩施·二模）如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质和中点的定义可得，，，由圆的对称性可知圆心在直线上，设半径为，在中利用勾股定理构建关于的方程求解. 【详解】解：连接交于点， 四边形是矩形，分别是的中点， 则：互相垂直平分， ， ∵点在上， 圆心在弦的垂直平分线上， 且平分， 圆心在直线上， 设的半径为，则， 由图可知点在的延长线上， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得. 75．（2026·湖北·二模）如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴． 76．（2026·湖北襄阳·二模）如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 77．（2026·湖北孝感·二模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 78．（2026·湖北荆州·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明：连接OD， ， ； ， ； ， ； ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，推导得，结合平行线的性质，得，根据切线的判定定理，即可完成求解； （2）连接AD，由，可设，在中，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接AD， 的半径为5， ． 为的直径， ， ， 设， 在中，根据勾股定理，，即， 解得或（舍）， ． ， ， ， 79．（2026·湖北荆州·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，，则可求出，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：设的半径为R， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 80．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作，交 于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点D是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由已知条件推出，由垂直得，同圆半径相等推出，等量代换得的角从而证出是的切线； （2）连接，由是的直径，得，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长. 【详解】（1）略 （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ． 81．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接．证明，由题意知，推出，即，即可证明； （2）由题意知：，，设，则，由（1）知，利用勾股定理半径，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由题意知：，， 设，则， 由（1）知， ∴在中，， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 82．（2026·湖北武汉·二模）如图， 中，，是角平分线，以为圆心，为半径的交 ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，作于点H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）作于点H，由平分，得，可知点D到的距离等于的半径长，即可证明是的切线； （2）设，根据勾股定理得到，求得根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查圆的切线的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据面积等式求线段长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 83．（2026·湖北恩施·二模）如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作． (1)求证：是的切线． (2)已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于F，由题意可知，再根据角平分线的性质可得，即可得证； （2）先根据平行线的性质和角的等量代换求得，再根据三线合一求得，再由角平分线的性质和角度计算可得，进而根据解直角三角形可得的长，即可求得的长． 【详解】（1）证明：过点O作于F， ∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∴在中，，即， ∴， ∴． 84．（2026·湖北武汉·二模）如图，是的直径，点在延长线上，点在圆上，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等边对等角和，等量代换推出，从而证明是切线； （2）设，，先用勾股定理求出，再证，最后利用相似比结合三角函数定义求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线． （2）解：， 设，，则， ， ， 由（1）得，， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， ． 85．（2026·湖北十堰·二模）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点，． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得到，所以，从而得出与⊙O相切； （2）利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇形面积之差，从而计算出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r， 则， 由（1）可知， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 在中，， ∴， 故阴影部分的面积为：． 86．（2026·湖北·二模）如图，在中，，点分别在上，，以为直径的经过上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．证明，则，得到与相切于点．根据切线长定理即可得到结论； （2）过点作于点．，根据弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，． ，， ． 为直径， ，为的切线． ，，， ， ， 与相切于点． ． （2）解：过点作于点． ，， ， 设为， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ∴的长为 87．（2026·湖北·二模）已知半圆O的直径，为半圆O的弦，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． (1)如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为______；比较大小：______（填“”“ ”或“”）； (2)如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； (3)射线交半圆D于点，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理求解即可； （2）过点O作于点H，连接，，证明四边形是矩形，利用垂径定理，勾股定理求解即可； （3）分动圆的半径是定圆半径的2倍和一半这两种情况求解即可． 【详解】（1）解：以为直径作半圆D，且点C与点O重合， 所以为半圆D直径， 故， 故， 故； （2）解：过点O作于点H，连接，， 因为与半圆D相切于点G， 所以， 所以， 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为， 所以四边形是矩形， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故； （3）解：当点C与点O重合时，符合要求，过点O作于点S， 则， 所以， 所以， 因为，， 所以 所以， 连接， 因为为半圆D直径， 故， 故， 故； 因为， 所以， 所以是的中位线， 故， 所以， 所以， 所以长； 当点D与点A重合时，，符合要求，过点于点S， 则， 所以， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 连接， 因为为半圆O直径， 故， 故， 故； 因为， 所以， 所以是的中位线， 故， 所以， 所以长． 88．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，是弦，点为中点，过作的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据是的中点，得，则，结合，得出，证出，则，结合，得出，即可证明． （2）过点作于点，则，，结合，得出，，证明四边形是矩形，得出，，在中，，，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，， 是的中点，即， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 为的切线． （2）解：过点作于点， 则，， 又， ∴，， 又，， ∴四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ． 89．（2026·湖北随州·二模）如图，是的直径，C，D是上位于两侧的两点，，交的延长线于点P，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分（线段及围成的图形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理证明，那么，即可证明； （2）先解，求出，然后证明为等边三角形，再得到，解，求出，则，，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：在中，， ， 由（1）知， 又， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，， ，， ． 90．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段，和围成的阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质证得，即可得到是的切线； （2）连接，作于点，证得四边形是正方形，得到，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，再根据阴影部分面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴阴影部分面积． 20/133 21/133 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $