25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026--2027学 年人教九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入从求根公式出发，通过提问“这种关系还有其他表现形式吗”，连接已学的方程解法知识，搭建从具体求根到抽象系数关系的学习支架。 其亮点在于采用求根公式推导与因式分解推导双重路径，培养学生推理能力，例题练习强调将方程化为一般形式提升运算能力，随堂练习中已知根求系数等逆向应用体现模型意识。帮助学生发展代数推理与运算能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 九上数学人教 1.了解一元二次方程根与系数的关系，能直接运用该关系快速求出方程两根的和与积； 2.经历推导根与系数关系的过程，能将方程化为一般形式后灵活应用根与系数的关系解决问题，提升代数推理能力与运算能力. 学习目标 2 由一元二次方程的解法可知，当Δ ≥0 时，方程 +bx +c=0 (a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式可知，通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 课堂导入 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 新知讲解 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(1)方程变形为 - 3x - 15 = 0， 根据根与系数的关系，得 = -(-3) = 3, = -15. (2)方程变形为 3+ 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . 随堂练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x²-3x=15； (2) 3x²+2=1-4x; (3) 5x²-1=4x²-x; (4) 2x²-x+2=3x+1. 解：(3)方程变形为 + x - 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . (4)方程变形为 2- 4x + 1 = 0， 根据根与系数的关系，得 . 随堂练习 2. 关于x的方程x2+px+q=0的根为 x1=1+，x2=1- ， 则p= ，q= . -2 -1 解析：根据根与系数的关系 = 2， ∴ -p = 2，即 p = -2. = 1 - 2 = -1， ∴ q = -1. 随堂练习 3.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -7 解析：设方程的两根为= 2，另一根为 . 根据根与系数的关系， 即 ，∴ . 又 ， 即 ， ∴ k = -7. ∴另一根是 ，k = -7. 随堂练习 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 课堂小结 $