2026年广东深圳宝安区中考数学学情自测卷1-

**基本信息** 以AI大模型、APEC峰会等真实情境为载体，融合几何直观、数据分析与实际应用，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称图形、实数、几何概率等|结合AI图标考轴对称，用小球落点估计面积（几何直观）| |填空题|5/15|分式、三角函数、反比例函数等|档案盒厚度用含θ式子表示（抽象能力），太阳高度角计算（空间观念）| |解答题|7/61|统计分析、购票方案、新定义等|机器人测试统计（数据意识），半随四边形探究（创新意识），三重亲密点（推理能力）|

2026宝安区初中数学学情自测卷1 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．人工智能迅猛发展，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　） A． B． C． D． 3.下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图1所示，地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为24的长方形卡纸上绘制的广东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） 图1 A．15.6 B．37.8 C．36.8 D．16.8 5．小明是一名密码翻译爱好者，他在密码手册里发现了这样一条代数式与文字的破解信息：分别对应“深，爱，我，圳，最，美”六个字，现有代数式，将其因式分解可破解信息，得到的密码是（　　） A． 我最爱深 B．最爱深圳 C．我爱深圳 D．最美深圳 6.甲、乙两位同学各自从自己家里出发步行前往学校，L甲、L乙分别表示他们的路程；路线如图所示，甲同学：A-C-D-E-B(A、B两点的距离为km，∠A=∠B=45°，∠C=∠E=90°），乙同学：M-G-H-N(M、N两点的距离为2km，∠M=∠N=60°)，假设两人的步行速度一样，请问谁先到校？（　　） A．甲 B．乙 C．两人同时到达 D．无法确定 （第6题图） 7.2026年11月APEC峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．原计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了20%，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程（　　） 8．如图1，面积为90的菱形纸片ABCD中，AB＝10，要在菱形纸片内折出一个矩形．小明和小华两位同学提出了两种不同的折纸方法： 小明：如图2，取菱形四边的中点E、F、G、H，再分别沿EF、FG、GH、EH折叠，得到的四边形EFGH即是矩形． 小华：如图3，分别沿AE、CF折叠，使得点B、点D的对应点分别落在边BC、AD上的点G、点H处，由此得到的四边形AECF即是矩形． 下列说法正确的是（　　） A．小明、小华折出的矩形面积一样大 B．小华折出的四边形不是矩形 C．小明折出的矩形面积大 D．小华折出的矩形面积大 （第8题图） 图1 图2 图3 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若分式，则的值是 ▲ ． 10．如图，桌面上放置了若干档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边CD与竖直放置的档案盒的边AB夹角为，DF＝70cm，档案盒长CD＝35cm．则每个档案盒的厚度为 ▲ cm（用含的式子表示）． 11．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD表示深圳所在的纬线，EF表示南半球与CD对应的纬线，∠DOB＝∠FOB＝22.5°．太阳直射日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F所在处的太阳高度角∠MFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FM所成的锐角）的大小为 ▲ °． （第10题图） （第11题图） 12．已知，点A（2，0)在x轴上，点C在y轴上，点B在反比例上，AB与y轴交于点D，且点D为AB的中点，把绕点A顺时针旋转90°得到，此时，点刚好落在反比例上，则k ▲ ． 13．如图，在中，，点D是AC的中点，BC = BD，点E在BD上，且，连接AE，若的面积为12，则线段AB的长为 ▲ ． （第13题图） （第12题图） 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．（本题5分）计算：. 15．（本题6分）小张同学在课堂上化简时，是这样写在黑板上的： 解：原式＝ ……………………………………… 第一步 ＝ …………………………………… 第二步 ＝ ……………………………………… 第三步 （1）小张的做法从第 ▲ 步开始出现错误，错误原因为 ▲ ； （2）请写出正确的计算过程. 16．（本题8分）2026年央视总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，使用大量智能机器人助力表演．宝安区某学校数学学科开展“每周半天活动计划”时，组织学生前往某科技公司开展“春晚机器人•科技向未来”研学活动，获悉了以下信息：科技公司研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C，团队对它们进行了全面测试来评估其在电池续航能力和运动能力方面的综合表现．在电池续航能力测试中，A、B、C三款机器人的成绩分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为最终运动能力测试成绩．研学小组在获取数据后，对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，现请你帮忙一起完成以下调研任务． A、 B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A 9 n 85 1.85 B m 8 87 0.61 C 8 8 p 2.01 任务1：m＝　 　 ，n＝　 　 ，p＝　 　； 任务2：通过比较方差，判断测试员对　 　 （填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务3：综合以上情况，如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？并说明理由． 17．（本题8分）在中，，点在边上，以为圆心，为半径作⊙O，与边交于两点，与边交于点，连接BE、BF，已知. （1）请在下面三个条件中选择一个合适的条件，证明； . （2）求的值. 18．（本题12分）根据以下阅读素材，思考并完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 海上世界作为深圳市的地标性文化空间，不仅承载着城市记忆与时代精神，更以创新形式诠释着多元融合的文化价值．“五一”假期间，A、B、C三个场馆内有艺术作品展出．已知购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元．C场馆门票为每张15元． 素材2 某校50名同学要去参观艺术展，由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 A场馆门票价格为 ▲ 元/张，B场馆的门票价格为 ▲ 元/张． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买a张A场馆门票，参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买c张门票，最终购买三种门票共花费了1375元. 请你求出所有可能的购票方案. 19．（本题12分）定义：在平行四边形中，若有一边长是一条对角线长的一半，则称这个平行四边形为半随四边形，其中这条边叫做半随边，这条对角线叫做半随对角线. 【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是半随四边形，对角线AC与BD交于点O，AD是半随边，BD是半随对角线. ①△AOD的形状是 ▲ 三角形；②若AD=5，则BD= ▲ . 【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，AD=6，AB=k. ①当k = 3时，请利用尺规作图，在射线CD上作出点E，使四边形ABDE为半随四边形，并请说明理由；（保留作图痕迹，不写作法） ②若四边形ABCD是半随四边形，则k= ▲ . 【应用拓展】 （3）如图3，四边形ABCD与四边形ACDE均为半随四边形，其中AD与AC分别是半随边，BD和CE分别是半随对角线，AB=6，AD=k，请求出k的值. 20．（本题10分）新定义：若点P(x,y)满足，则称P为三重亲密点. （1）下列函数中，图象上存在唯一的三重亲密点的是（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. （2）若二次函数与直线 有且仅有一个交点，且该交点是三重亲密点，求此二次函数解析式. （3）抛物线 (p >0) 上有且仅有一个三重亲密点，记；是否存在常数t，使得当t1≤≤t时，s的最小值为t？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026宝安区初中数学学情自测卷1 参考答案与评分标准 一、选择题（每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C B B D 第6题答案详解： 甲同学： 如图，延长AC、BE交于点F， 在 是矩形 甲同学的路程 乙同学： 如图，延长MG、NH交于点P， 在 乙同学的路程 甲同学的路程乙同学的路程 甲乙同学速度相同 乙同学先到达 第8题答案详解： 小明的方案： 四边形EFGH是菱形ABCD的中点四边形 四边形EFGH是矩形， 矩形EFGH的面积 小华的方案： 由折叠可得，AB = AG，BE = BG 同理可得， 四边形AECF是矩形 在 ； ， ， ； 所以对比可知小华折出的矩形面积更大，故选 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 题号 9 10 11 12 13 答案 -1 45° +6 第12题答案详解： 分别过点B、作x轴的垂线，垂足分别为点E、F. ∵点D为AB的中点，A（2，0） ∴AE=4 ∵点B在反比例 上， E F O ∴B(-2,2) ∴中，AB=2 ∴CD= ∴OC=+1 ∵绕点A顺时针旋转90°得到， ∴ ∴ 易证得 ∴AF=OC=+1，F=OA=2 ∴OF=OA+AF=+3 ∴（+3, 2） ∴k=+6 第13题答案详解： 解法1： 设AD=2a ∵D是AC的中点，∴AD=DC=2a ∴S△ADE=S△DEC=12 过点B作BH⊥AC于点H ∵∠CAB=45°∴∠HBA=∠CAB ∴BH=HA=3a 在Rt△AHB中，勾股定理得 ∴AB=a 在Rt△CHB中，勾股定理得 ∴CB=a ∵∠DCE=∠CBD，∠CDE=∠CDB ∴△CDE∽△BDC ∴ = ()2 = ∴S△DCB = 30 ∴S△ACB=60=.AC·BH=×4a·3a 解得a= ∴AB= 解法2： 设AD=2a ∵D是AC的中点，∴AD=DC=2a ∴S△ADE=S△DEC=12 过点B作BH⊥AC于点H ，过点D作DG⊥AB于点G ∵∠CAB=45°∴∠HBA=∠CAB ∴BH=HA=3a AD=2a,∴DG=AG=a 在Rt△AHB中，勾股定理得 ∴AB=a 在Rt△CHB中，勾股定理得 ∴CB=a 在Rt△GDB中，勾股定理得 ∴GB=a ∵∠DCE=∠CBD，∠CDE=∠CDB ∴△CDE∽△BDC ∴CD2=DE·BD ∴DE=a ∴BE=BD-DE=a ∴ = ∴S△DAB = 30=DG·AB=×a×a 解得a= ∴AB= 三、解答题（14题5分，15题6分，16题8分，17题8分，18题12分，19题12分，20题10分） 14. 原式= ………………………………………………（4分） = ………………………………………………………………（5分） 1. （1）一； ………………………………………………………………（1分） 把分式化简当作分式方程运算，在原式基础上乘以了最简公分母，应根据分式的基本性质将异分母分式转化为同分母分式. …………………………（2分） （说明：言之有理即可得分） （2）解：原式＝ …………………………………………（3分） ＝ ……………………………………………………（4分） ＝ ……………………………………………………………（5分） ＝ ………………………………………………………………………（6分） 1. (1)任务1：m＝　 8.5 　 ，n＝　 9和10 　 ，p＝　 83 　；…（3分） (2)任务2：通过比较方差，判断测试员对　 B 　 （填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ………………（2分） (3)任务3：综合以上情况，如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，选择B款机器人，理由如下：因为在三款机器人中，B款机器人的方差最小，测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；B款机器人的运动能力测试成绩也更高所以选择B款机器人． ……………………………（3分） （说明：言之有理即可得分） 17.（1）选择 证明：连接OE ∵ ∴=2E ∵=2E ∴ ∵ ∴△EAD∽ △EAD …………………………………………（2分） ∴ ∵ AF=AE+EF ∴ ………………………………………………………………（3分） ∴ ∴AD=2OD ∴AD=DB ………………………………………………………………（4分） 选 则=E(证明同上） 选不能证明 （2）连接OE ∵2r， ∴ AO=AD+OD=3r, AB=AO+OB=4r ∴ 又∵ ∴△EAD∽ △EAD ……………………………………（5分） ∴ 设OB=OD=r ∴BF= r ………………………………………………………………（6分） 连接DF ∵BD是直径； ∴∠DFB=90° ∴+B=90° ∵∠CBA=90° ∴+=90° ∴B ………………………………………………………（7分） 在Rt△中， = = = …………………………（8分） （用相似或者其他方法，合理即可按步骤给分） 18. （1）设A场馆门票价格为元/张，B场馆的门票价格为元/张． 由题意得： …………………………………………………（2分） 解得： …………………………………………………………（3分） 答：A场馆门票价格为50元/张，B场馆的门票价格为40元/张．………（4分） （2） 设购买了张A场馆门票，此次购买门票所需总金额为元，则B场馆门票购买了张. 由题意得：………………………（6分） …………………………………………………………………（7分） ∴随的增大而减小 ∴当时， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1520元. …………………（8分） （3） ∵购买a张A场馆门票，参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买c张门票 ∴B场馆门票购买了张 由题意得： ……………………（9分） ∴ ∴ …………………………………………………………（10分） ∵ ∴ ∵为正整数、为正整数 ∴=5或10 ……………………………………………………………（11分） ∴共有两种购买方案：①购买5张A场馆门票，21张B场馆门票，19张C场馆门票；②购买10张A场馆门票，17张B场馆门票，13张C场馆门票. …（12分） 19. （1）①等腰 ……………………………………………………（1分） ②10 ……………………………………………………（2分） （2）①方法一：以点D为圆心，AB长为半径画弧，交射线CD于点E，点E即为所求 .………………………………………………………………（3分）E D C O B A 证明：由尺规作图可知，AB=DE………………………（4分） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD， ∴AB//DE， ∴四边形ABDE是平行四边形，………………（5分） ∵AB=CD=3， ∴四边形ABDE是半随四边形.……………（6分） 方法二：以点A为圆心，BD长为半径画弧，交射线CD于点E，点E即为所求. …（3分） 证明：由尺规作图可知，AE=BD， ………………………（4分） ∵四边形ABCD是矩形，O E D C B A ∴，AB//CD， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形ABDE是平行四边形，………………（5分） ∵AB=CD=3， ∴四边形ABDE是半随四边形.………………（6分） 方法三：作线段AD的中垂线交AD于点G，连接BG并延长，交射线CD于点E，点E即为所求 .…………………………………（3分） 证明：由尺规作图可知，，……………………（4分）A B C D E G O N M ∵四边形ABCD是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形ABDE是平行四边形，…………（5分） ∵AB=CD=3， ∴四边形ABDE是半随四边形 .…………（6分） （用其他方法，合理即可给分） （2）②.……………………………………（9分） （本小问共3分，写对一个得2分，写对两个得3分） （3） 方法一： 解：过点D作DH⊥AC于点H. ∵四边形ABCD与四边形ACDE均为半随四边形，O G D C B A F E H 其中AD与AC分别是半随边，BD和CE分别是半随对角线， AD=k， ∴由题意可知，， ，，， ∴，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ，，即， ∴， …………………………………………………（10分） ∵DH⊥AC，， ∴， …………………………………………………（11分） 在Rt△AHD和Rt△CHD中，根据勾股定理可得 ，， 即，， ∴ .…………………………………………………（12分） 方法二： 解：分别过点E、C作AD的垂线，垂足分别为点M、N. ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AF=DF=， ∴CN=EM ， ∵四边形ACDE为半随四边形，AC是半随边，CE是半随对角线， ∴AC=CF= ， ∵CN⊥AD ， ∴AN=FN= ，…………………（10分）M N H 又∵四边形BCNH为矩形， ∴BH=CN=EM， ∴易证得 ∴AN=FM ∴AM=AH= ，DH=， ……………（11分） ∵四边形ABCD为半随四边形，AD是半随边， BD是半随对角线， ∴BD=2AD=2k , 在Rt△AHB和Rt△DHB中，根据勾股定理可得 ，， ∴，， 即 ∴ .…………………………………………………（12分） （用其他方法，合理即可给分） 20.（1）答案选D………………………………………………………………………（2分） A . 3x+2=3x, 此方程无解 B. , 3x2=1 解得x=± 两个解 C. 化简得 解得x=两个解 D. 化简得 解得x=3 一个解（符合题意） （2）∵三重亲密点满足y=3x，且在上 ∴3x=x-2，得x=-1，y=-3 ∴唯一三重亲密点为（-1，-3） 将点（-1，-3）代入二次函数，得 -3=-（-1）2+m（-1）-n，得到-1-m-n=-3 即：m+n=2 ① …………………………………………………………………（3分） 又∵二次函数与直线有唯一交点， 由 整理得： -x2+mx-n=x-2，即：x2+（1-m）x+n-2=0 ∴Δ=-4（n-2）=0 ②…………………………………………………………（4分） 联立①②可得： 解得：m=-1，n=3 ∴二次函数关系式为：……………………………………………………（5分） (3).∵ y=px2+qx+1上有且仅有一个三重亲密点， ∴y=px2+qx+1与y=3x 只有唯一交点 即px2+（q-3）x+1=0 有唯一解 Δ=（q-3）2 -4p= 0 ③∴4p=（q-3）2 ………………………………………………（6分） ∵S=q2-2q+4p ∴S=q2-2q+（q-3）2 整理得：S=2q2-8q+9……………………………………………………………………（7分） 因为t-1≤q≤t存在s的最小值为t ∵对称轴为直线q=2 ∴①当 t ≤2时， a=2>0，抛物线开口向上，t-1≤q≤t在对称轴左边，s随着q的增大而减小， ∴q=t时s取最小值t 即2t2-8t+9=t 解得t1=3（不合题意舍去），t2=…………………………………………………（8分） ②当t-1≥2时，即t≥3时， t-1≤q≤t在对称轴右边，s随着q的增大而增大， ∴q=t-1时取最小值t 即：2（t-1）2-8（t-1）+9=t 2t2-13t+19=0 解得t3= ， t4=（不合题意舍去）…………………………（9分） ③当t-1 < 2 < t 时，即2 < t < 3 在对称轴q=2时取最小值： =2×22-8×2+9=1=t 与2 < t < 3范围不符，故舍去 综上所述：t的值为，………………………………………………（10分） （结论完整，第三种情况漏掉扣一分，每一种情况的结论正确得一分） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $