专题三：综合与实践-2026年中考数学复习

**基本信息** 以实际情境为载体，通过问题链驱动数学建模与综合应用，突出几何直观、模型意识与推理能力的融合培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何实践|3题（尺规作图、折叠、勾股四边形）|情境探究+证明推理|从具体操作到抽象几何关系，体现空间观念与推理意识| |函数应用|8题（抛物线、一次函数、反比例函数）|实际问题建模+最值/范围求解|从实际数据到函数表达式，培养模型观念与运算能力| |综合建模|4题（机器人路径、通信保障、荔枝种植）|多条件约束+方案优化|整合多知识点解决复杂问题，发展应用意识与创新意识|

专题三：综合与实践 参考答案 1．解：（1）∵以点M为圆心，MC为半径绘制圆交AC于点E， ∴BC是圆M的直径 ………………1分 ∴∠BEC=90° ∴BE⊥AC. ………………2分 （2）如图1所示，线段CD即为所求．………………6分（图3分，结论1分） （3）如图2或图3所示，线段EM，FN即为所求．…………10分（图3分，结论1分） 图1 方法一图2 方法二图3 2.解：（1）根据题意可得E（5，0），F（20﹣5，0）， 即E（5，0），F（15，0），﹣（25.5﹣20.5）＝﹣5， 抛物线L1的顶点坐标为（10，﹣5）， ∴可设抛物线L1的解析式为y＝a1（x﹣5）（x﹣15）， 将点（10，﹣5）代入可得﹣5＝a1（10﹣5）（10﹣15）， 解得， ∴抛物线L1的解析式为y＝5（x﹣5）（x﹣15）； ... ... ... 3分 （2）将y＝21.5﹣25.5＝﹣4代入， 可得， 解得：， 故小明到立柱AB的距离是或； ... ... ... 6分 （3）根据题意设抛物线Ln的解析式为， ∴当x＝10时，， ∴绳子的最低点与单杠AD的距离为； ... ... ...9分 （4）根据题意可得直线y＝m与L1，L2，L3三条抛物线组成的图形只有三个交点， ∵， ， ， ∴L2的顶点为， ∴直线与L1，L2，L3只有三个交点， ∴． ... ... ...12分 3（1）解：∵矩形、正方形是存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形， ∴矩形、正方形是“勾股四边形”，而平行四边形、菱形不一定存在， 故答案为：矩形、正方形； ... ... ... 2分 （2）①证明：∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝2θ，∠BDO＝θ． ∴， ∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝90°． 在Rt△DCB中，由勾股定理得：DC2+BD2＝BC2， 即四边形OBDC一定为“勾股四边形”； ... ... ... 5分 ②解：∵∠AOB＝∠COD＝2θ， ∴∠AOD＝∠BOC． 在△AOD与△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴AD＝BC． 又∵DC2+BD2＝BC2， ∴DC2+BD2＝AD2． ∵四边形ABDO为“勾股四边形”，且OD2+BD2＝AD2， ∴CD＝OD． 又∵OC＝OD， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠COD＝2θ＝60°， ∴θ＝30°； ... ... ... 9分 （3） CF的长为或或； ... ... ..13分（对一个得1分，对两个得2分，全对为4分） 4.解：（1） (i) 2……………………………………………3分 （2）x＝a（y﹣k）2+h………………………………………………………5分 （3）∵ 顶点 A 坐标为 (0, 4) ∴ 设抛物线表达式为 x = a(y - 4)2………………………………6分 把 B(2, 6) 代入表达式得 2 = a(6 - 4)2 解得 a = ​ ……………………………7分 ∴该抛物线表达式为 x = ​ (y - 4)2 ………………………………8分 （3）∵ A(x1, y₁) 在直线 x = y + 1 上 ∴ 设A 点坐标为 (k+1, k) ∵ A 是抛物线顶点 ∴ 设抛物线表达式为 x = a(y - k)² + k + 1 ………………………10分 ∵ B 点坐标为 (2x1 -1, 2y₁) ∴ B(2k+1, 2k) …………………………………………11分 把 B 点代入抛物线表达式：2k + 1 = a(2k - k)² + k + 1 解得 a = ​ ∴ x =​ (y - k)² + k + 1 把 C(5, 0) 代入上式：得 k = 2 ∴ 此时抛物线表达式为 x =  (y - 2)² +3 ………………………12分 5.. ..............................................2分 .................................................3分 ..........................................................................................................5分 . ..................................................................................6分 ..................................................7分 ................................................................9分 ................10分 6.答案：第（1）问详解： 四边形是矩形，， 点.......................1分 将代入中，得k=24 ..............................3分 反比例函数解析式：...................4分 第（2）问详解： 由题意得：，，轴 为中点 ...................6分 ................................8分 第（3）问详解： 设 由矩形各点坐标：，， 得各调节点坐标：， 设直线解析式为y=kx (k≠0) 将代入，求得 ................9分 设直线解析式为y=mx(m≠0) 将，代入，求得 ..................10分 联立两直线解析式得，交点P的坐标为（）..........11分 以竖直线段为底： 点到直线的水平距离即为高，则 代入化简整理，得 因式分解，得 解得： 结合实际范围，舍去 ∴ ..................................................12分 7.（1）,………………2分（每空1分） （2）根据题意，当抛物线达到最高点时，店内用餐人数在高峰期时达到最大值. 在抛物线上，对称轴为…………3分 当时，; 答：在高峰期第80分钟时达到最大值，最多用餐人数为350人.…………4分 （2） ①当用餐人数达到 270 人时,令, 得,解得…………5分 ∴（分钟） ∴客户流失时间为80分钟.…………6分 ②方法1：（分），利用二次函数的对称性， 当时，解得…………7分 ∴（个）…………8分 答：需要添置35个座位. 方法2：当时，解得…………7分 ∴（个）…………8分 答：需要添置35个座位. （4）当调整翻台率后，，…………9分 方法1： 即， 解得 …………10分 ∵k取最小值， ∴ …………11分 方法2： 解得…………10分 ∵k取最小值， ∴ …………11分 8.任务1：解：∵抛物线经过顶点C（0，5），B（10，0）， ∴设y=a(x-0)2+5，将B（10，0）代入得：0=a(10-0)2+5 ∴a= ∴y= x2+5 ………………………………………………….3分 任务2：由题可知，设E(a,a 2+5) ∵四边形DEFG为矩形 ∴DE=2a, EF=a 2+5 ∴2a=2(a 2+5) 整理得：a 2+20 a-100=0 解得：a1=-10 ， a2=-10（舍去） ∴DE=2-10） ………………………………………………….4分 答：矩形的长度为2-10）米. 任务3：∵OT=6, ∴直线TM经过（0，6） ∴设lTM: y=kx+6 ∵斜拉钢材与大棚表面用螺丝紧密连接 ∴直线TM与抛物线相切，仅有一个交点 联立方程 整理得：x 2+20 kx+20=0, ∵直线TM与抛物线仅有一个交点 ∴△= (20k) 2 -4×20=0 解得或 ∴lTM: y=x+6 令y=0，得x= ∴M() ∴MB=-10 ∵-10<4 ∴施工队的方案可行. ………………………………………………….4分 9．解：（1）①由条件可得， 解得， ……………………………………………………………2分 ∴y与x的函数解析式为，……………………………3分 ②顶点横坐标，最大高度, ∴抛物线的顶点坐标为（4，1.44）， ∵， ∴匹克球球本次飞行的最大高度为1.44m．…………………………………4分 （2）①当x＝7.5时，， ∴.………………………………………………………………………5分 ②匹克球能安全越过球网 理由如下：当x＝6.705时（球网位置）， ， …………………………………6分 又∵， ∴匹克球能安全越过球网．…………………………………………………7分 ③当x＝6.705+2.13=8.835时（非截击边界），,高度较低，对手很容易就在网前凌空截击，不符合“减少被抢攻风险”的战术要求.…………8分 （1） 将代入得,………………………………9分 ∴乙选择快速平抽，则y与x的函数关系式为, 令y＝0，即，解得，数学上落点为原点；按照实战合理延伸，该直线斜率较小，过网后落点较早，取有效落点，估测.………10分 将代入得解得,………………………………………………………………………11分 ∴乙选择防守下落,则y与x的函数关系式为， 令y＝0，即，解得，（舍去）， 即匹克球的落地点到原点的距离为11.535， ∵11.535＞10， ∴要使匹克球的落地点到原点的距离更远，球员乙选择防守下落更合适． …………………………………………………………………………………12分 10.解：任务1： ， 代入点（0，20），得：， 解得：， .…………………………………2分 根据定义1： .…………………………4分 任务2： 根据任务1，得：， 令， 解得：，， 故在时会触发系统强制停机。…………………………6分 ， 又， 的抛物线图象开口向下， 在时，， 故不会切换至高速巡检模式。…………………………8分 任务3： ， ，…………………………9分 根据二次函数的顶点坐标公式，其对称轴，. 要使常规区间（）存在，同时需满足全程不进入高速模式 ，即， 解得：.…………………………10分 设即时，较小的根为， 可得：临界区间水平长度低速区间水平长度， 常规区间水平长度. 临界区间水平长度低速区间水平长度常规区间水平长度， =， 解得：=. 将（，12）代入中，得： ，………………………11分 整理得：， ， 解得：. ， 存在满足上述所有条件的实数，的值为.…………………………12分 11. （1） 对称性；增减性，非负性（言之有理即可）…………… 4分 （2） ①函数C的图像如下： …………… 7分 ② 0或…………… 9分 （3） 1或 ……………11分 12. 解析： （1）由题意知，函数最高点C的坐标为（8，5）， 设二次函数解析式为，………………………………………1分 点B的坐标为（18，0），把B的坐标代进去可得 解得a = -0.05……………………………………………………………2分 答：二次函数解析式为……………………………………3分 （2）不会，理由如下 如图，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过M作CH的垂线交CH于点N 0-0.5 = -0.5 ∴ …………………………………………………4分 ∴…………………………………………………………5分 ∵0.27＜0.4＜0.58………………………………………………………………6分 ∴仰视的角度不会让小刘同学不舒服 （3）把x=0带入解析式得 ∴点A的纵坐标为1.8 ∴ ∴AF∥x轴 以A为原点，AF所在直线为x轴，原来的y轴为y轴建立直角坐标系 由于新的二次函数经过A（0，0） 设新的函数解析式为，则顶点式为……………7分 5-1.8=3.2 ∴………………………………………………………………………………………………………8分 ∵炮弹落在16到20之间，方程的两个根为0和，则16＜＜20 ∴，即……………………………………………………………………9分 解得…………………………………………………………………………………11分 ∴综上所述二次项系数范围为 13.解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， 理由：∵＝1， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE， 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BAE， ∵＝m， ∴△ADC∽△BEC， ∴＝m，∠CBE＝∠A， ∴BE＝mAD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O， 由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴AB＝6， ∴BD＝6﹣x， ∴DE＝AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2＝（6﹣x）2+x2， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴y＝DE2＝[（6﹣x）2+x2]， ∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣6+36（0＜x≤6）， ∵y＝x2﹣6+36＝（x﹣3）2+18， ∴y的最小值为18； ②过D作DH⊥AC于H， 则△ADH是等腰直角三角形， ∴AH＝DH＝AD＝x， ∴CH＝6﹣x， 连接OB， ∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴OB＝， ∴∠CBF＝90°， ∵BC＝6，BF＝2， ∴CF＝＝2 ∴CD＝CF＝2， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴（6﹣x）2+（x）2＝（2）2， 解得x＝4或x＝2， ∴AD＝4或2． 14.（1）① 1 ....................................1分 ② ................................3分 s与t的关系式是 s = t2 . ………………………4分 （2） 选择t=1， ∵t=1， ∴设自变量x从左到右依次取x0，x0+1，x0+2， ∴ ………………………5分 ∴ ………………………6分 ………………………7分 ………………………8分 选择t=2， ∵t=2， ∴设自变量x从左到右依次取x0，x0+2，x0+4， ∴ ………………………5分 ∴ ………………………6分 ………………………7分 ………………………8分 （3） ① 0 ....................................9分 ② ....................................11分 15．（11分） （1）-x²+800x；……………………（2分） （2）①m＝＝ x²+50x…………（3分） ∴对称轴为x＝400， ∵果园的长和宽都不能超过500米 ∴0≤x≤500，0≤800-x≤500 ∴300≤x≤500…………………………（4分） ∵<0 ∴m在x＝400处取得最大值，为10000 在x=300或x=500处取得最小值，为9375 ∴9375≤m≤10000。……………………（7分） x²+51x+1; 408…………………（9分） （3）由题可知，甲基地的P甲=；乙基地的P甲= 令y=P甲-P乙=＝。…………（10分） ∵对称轴为， ∴当0是，y随的增大而增大， ∵当时，y取得最大值为-0.8<0。 ∴P甲＜P乙 ∴甲地的单株营养面积不可能比乙地的大。…………（11分） 16.（1）由题，总设备数为：， 媒体设备数为：0.2y，普通设备数为：0.8y…………………………………1分 ∴总带宽需求 ………………2分 （2）设部署n个基站，则基站总容量 600n， 由题，需满足：对恒成立， 即 ，………………………………………………3分 记 ，………………4分 ∵， ∴抛物线开口向下，即当x=40时，取最大值， 有，，……………………………………………………5分 又∵n取正整数， ∴n最小值取4．…………………………………………………………………6分 答：至少需要4个基站． （3）① 采用弹性保障时，对p采取分段计算： 情形一：当时，采用全额保障． ∵不降速时的总带宽需求， ∵， ∴抛物线开口向下，即当x=40时，取最大值2160， ∴不降速时的最大带宽需求为2160；…………………………………………7分 情形二：当时，采用弹性保障，即普通设备带宽按0．5计算： 此时按最大带宽需求配置，有，即． 设此时总带宽需求为，有， 降速后有， ∵， ∴抛物线开口向下，即当x=40时，取最大值1440， ∴降速后的最大带宽需求为1440，……………………………………………8分 由题，需满足现场总带宽需求不超过基站总容量，则，即， ∴， 又∵n是正整数， ∴n=3 此时基站总容量为， 阈值为， ，触发降速， 满足容量， 综上所述，可减少1个基站．…………………………………………………9分 ② 策略优劣分析（言之有理即可）…………………………………………10分 优点： 1．节约成本：减少1个基站部署，可节省相当大的成本； 2．符合深圳智慧城市理念：体现了"精准保障、按需分配"的智慧化管理思想； 3．节能环保：减少设备能耗，符合深圳绿色低碳发展方向． 缺点： 1．用户体验波动：普通用户在高峰时段网速下降，可能影响使用体验； 2．切换风险：带宽策略切换时可能导致短暂连接不稳定； 3．管理复杂：需要实时监控和动态调整，增加系统复杂度． 17.（1）解：令，代入抛物线解析式得： ………1分 解得：，（舍去）………2分 所以点的坐标为。………3分 （2）解：由题意，救球抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为： 将点代入解析式得： 解得：………5分 救球抛物线的最大高度约为4尺。………6分 （3） 解：不存在，理由如下 若存在落点在我方界内，则最远可落到 设此时直线为 将代入得： 解得： 直线解析式为：，………7分 反弹球解析式为 联立直线与反弹抛物线方程得：………8分 =0………9分 原方程无实数解 直线与反弹球抛物线没有交点 不存在落点在我方界内………10分 18.解：（1）x2+x 2 ....................4分 （2）m或n ....................6分 （3）二次函数y=x2+tx的对称轴为直线x=t，落地点x0=2t 由x0≤18，得2t≤18，t≤9 当0≤t≤6，在5≤x≤7范围内，当x=7时取得最小值， 则2+t＞2，解得t＞ 当6≤t≤9，在5≤x≤7范围内，当x=5时取得最小值， 则2+t＞2，解得t＞ 综上，＜t≤9 ....................10分 19.（本小题满分12分） （1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或 【详解】（1）解：添加条件 …………………1分 四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵ ∴，…………………2分 ∴， ∴，…………………3分 ∴， ∴四边形是菱形；…………………4分 （2）证明：①，理由如下：…………………5分 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， ∴， ∴∠1=∠2…………………6分 ∵ ∴， ∴ ∠1+∠4=90 ∴∠3=∠4…………………7分 ∴B’A’=B’E B’A’=B’D ∴…………………8分 ②5或…………………12分 ②∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或 20． 【特例感知】 解：设矩形菜园的长为x米，则宽为0.6x米…………………………………1分 0.6x2=60，解得x=10 即菜园的长为10米，宽为6米………………………………………2分 共需要篱笆10+6×2-1=21米 答：共需要21米长的篱笆。………………………………………3分 【操作实践】 法一：解：延长交延长线于点H．设正方形的边长为2a， 则，， ，………………………………………4分 ∵折叠 ， ， ．………………………………………5分 又， △△， ，………………………………………6分 ， ， ， 点是的黄金分割点．………………………………………7分 【尺规作图】 点P即为所求………………………………………9分 点P即为所求………………………………………9分 备用图1 ∵点E是线段AD上靠近点D的黄金分割点 ∴， 1 当点P在线段AD上时，如备用图1 延长BG交DC于点Q，过点C作CM⊥BQ于点M ∵折叠 ∴BG=AB=10 在Rt△BFG中， ∵∠CMB=∠BMG=90°，∠FCG=∠BCM ∴△BCM△BGF………………………………………10分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ …………11分 2 当点P在AD延长线上时，如备用图2 延长BG交DC于点Q，过点C作CM⊥BQ于点M ∵折叠 ∴BG=AB=10 在Rt△BFG中， ∵∠CMB=∠BFG=90°，∠CBM=∠FBG ∴△BCM△BGF ∴ ∴ ∴ ∴ 备用图2 ∴ ∵∠BGH+∠MGC=180° ∴∠BGH的补角的正切值为………………………………12分 （其他解法酌情给分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三：综合与实践 1．综合实践：在尺规作图的复习课上，师生就如何利用尺规绘制等腰三角形腰上的高产生了激烈讨论. 已知：如图1是等腰三角形ABC，AB=AC，于点D 求作：在AC上找一点E，使得. 下面是小颖的做法，如图2 1.分别以B、C为圆心，大于AC为半径画弧，相交于点P 2.连接AP相交BC于点M 3.以点M为圆心，MC为半径绘制圆交AC于点E，则E点即为所求 图1 图2 （1）请证明小颖作法的合理性； （2）小华尝试利用手中的数学工具一一量角器作出△ABC中AB边上的高，他发现量角器的一边刚好与△ABC的AB边重合，如图3，AB是半圆的直径，点C在半圆外，连接BE，请你用无刻度的直尺帮小华画出△ABC中AB边上的高． 图3 （3）踏春时节，小明动手做了一个风筝，将实物抽象为如图4所示的数学图形，已知DE=DF，HE=HF，连接DH和EF相交于点O，现需要加固风筝骨架，分别在EH和FH上找点N、M，使得，，请仅用圆规找出点M和点N. 图4 2.综合与实践:【问题情境】某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化．如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2是一个单杠的示意图，AB⊥BC，DC⊥BC，单杠的高度AB＝DC＝25.5dm，单杠AD的长为20dm，将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点E，F处，AE＝DF＝5dm，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面BC的距离为20.5dm，抛物线记为L1．兴趣小组以A点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系． （1） 求抛物线L1的函数表达式． （2） 小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为21.5dm，此时刚好接触到绳子，求小明到立柱AB的距离． 【拓展探究】兴趣小组将绳子两端E，F分别向A，D滑动，每次滑动距离均为1dm，直至绳子两端分别到达点A，D处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物线L1，L2，L3…… （3）当滑动第n次时，绳子的最低点与单杠AD的距离是多少？用含n的代数式表示． （4）兴趣小组探究L1，L2，L3之间的特殊位置关系时，发现直线y＝m与L1，L2，L3三条抛物线组成的图形只有三个交点，m的值为_________． 3.综合与实践:在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对“勾股四边形”进行研究．定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 【特例感知】：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“勾股四边形”的是　 　 ． 【性质探究】：（2）如图1，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝2θ，∠BDO＝θ． ①求证：无论θ取何值，四边形OBDC一定为“勾股四边形”． ②若四边形ABDO也为“勾股四边形”，且BD，OD为勾股边，求θ的值． 【拓展应用】：（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，D是边AB的三等分点（BD＜AD），E是边BC的中点，在边AC上取一点F，使得四边形ADEF是“勾股四边形”，当DE和EF是勾股边时，CF的长为________________． 4.综合与实践 【问题背景】 在仓库屋顶设计工程中，要满足受力要求保证屋顶的稳定性。学习小组发现仓库屋顶的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，是一个开口向右和向左抛物线合并，具有对称性，如图1所示。现在我们只研究开口向右的曲线．学习小组考虑到屋顶的对称性，将屋顶轮廓曲线的一半抽象成如图2所示图形（实线部分）. 【初步探究】 如图3，已知抛物线 C1:，其顶点为 A(2,1)。将抛物线 C1绕顶点 A顺时针旋转 90∘得到新的抛物线 C2. （1） 探究坐标变换规律 （2） 在抛物线 C1上任取一点 P(x,y)，其中 x≠2。将点 P 绕点 A顺时针旋转 90∘得到对应点 P′(y+1，3−x). （3）  设 P′(x′,y′)=(y+1, 3−x)，则 x=3−y′，y=x′−1. 请将P(3−y′,x′−1)的坐标代入C1，并化简，从而求出抛物线 C2的方程________________________. 【建立模型】 （2）观察 C1的方程 与 C2的方程，如果将开口向上的抛物线绕其顶点顺时针旋转 90∘，得到的开口向右的抛物线方程应该是___________________. （3）如图1所示，建立坐标系，若抛物线顶点A坐标为（0，4），房屋最高点B也在该抛物线上，坐标为（2，6），求该抛物线表达式. 【应用模型】 （4）现在因为建设问题，需要重新绘制图纸，仓库位置需要调整，同时也需要调整仓库高度，所以房顶也需要变化，如图4所示，变化如下： 一、抛物线顶点A（x1，y1）在直线：x=y+1 上运动； 二、房屋最高点 B（x2，y2）因为受力要求也需要跟随点A的变化而调整，B点坐标（x2，y2）满足：（2 x1 - 1，2y1）. 当点C（5，0）在此抛物线上时，求该抛物线表达式. 图1 图2 图3 图4 5．综合与实践 素材1 太阳能灶是一种利用太阳光加热食物或水的环保设备，它的核心部件是一个反光碗，其形状是一条抛物线绕其对称轴旋转一周形成的曲面（如图1）. 图1 太阳能灶示意图 素材2 当太阳光（近似平行光）照射到反光碗上时，光线会被反射并汇聚到一个点上，我们称这个点为焦点.如果把锅放在焦点处，就能获得最大热能，此时锅的位置与反光碗底部中心的距离刚好等于抛物线的焦距（‌顶点到焦点的距离‌），而抛物线的焦距只与其表达式的二次项系数相关，其关系式为： 问题解决 任务1 现将一个太阳能灶的反光碗开口向下放置.其中心截面尺寸如图2所示，写出该抛物线的表达式：_______________________；该太阳能灶的锅的位置与反光碗底部中心的距离为______________. 图2 任务2 使用过程中发现，锅的位置与反光碗底部中心的距离太大，热能损耗较大，若在任务1基础上，保持反光碗的直径不变，将锅的位置缩短到原来的四分之一，重新设计反光碗，那么新反光碗的深度（抛物线顶点到x轴的距离）是多少？ 任务3 深入研究，由任务2可知锅的位置与热能损耗相关，而反光碗深度越大，制作所用材料越多，要保证两者平衡，现定义设计值S与反光碗的深度h和焦距相关： 保证反光碗直径不变的前提下，求设计值S的最小值，以及此时反光碗对应抛物线的表达式. 6．综合与实践 深圳大鹏半岛某滨海旅游带新建生态观光灯塔，灯塔运维团队利用平面直角坐标系研究灯塔光束照射范围。以灯塔底部中心为坐标原点O，水平海岸线为轴，竖直塔身方向为轴建立平面直角坐标系． 光束有效覆盖区域为矩形，其中在轴正半轴，在轴正半轴，海面远处光线边界点恰好落在反比例函数的图象上． 如图，为精准管控灯光亮度与照射范围，工作人员在矩形边上设置两个光线调节控制点、，连接、、形成灯光调控区域，对角线交于点． 已知：，． （1）直接写出点的坐标 ▲ ，并求反比例函数的解析式； （2）若点为线段的中点，求的面积； （3）文旅升级优化灯光范围：保持反比例函数图象不变，调节控制点位置，使得，若的面积为，求线段的长． 7.综合与实践 【问题背景】为科学应对用餐高峰期、优化餐厅运营管理，某餐厅邀请数学实践小组开展专项调研，以高峰期18：00 - 20：40为研究时段，探究高峰期内在店用餐人数与高峰期时长的变化关系. 【研究条件】 条件1：高峰期内任意时刻的累计离店人数该时刻的离店人数×高峰期已持续时间； 条件2：高峰期内任何时刻均满足：在店用餐人数=累计到店人数-累计离店人数+初始在店人数（18：00时店内已有30人正在用餐）. 【模型构建】记为用餐高峰期已持续的时间（单位：分钟），； 经调研发现，高峰期内累计到店人数与之间满足关系式：,高峰期内某一时刻离店人数与之间满足的关系式：.（顾客入店、离店及桌面清洁时间忽略不计） 综合上述信息，请完成下述问题： （1）当用餐高峰期已持续分钟时，累计离店人数与的函数关系式为 ▲ ，此刻在店用餐人数与的函数关系式为 ▲ .（无需写出自变量的取值范围） 【模型运用】 （2）在（1）的条件下，店内用餐人数在高峰期第几分钟时达到最大值，最多用餐人数为多少？ （3）已知该餐厅的最大容纳量为270人： ①当用餐人数达到 270 人时，餐厅将暂停新顾客入店，直到有顾客离开腾出空位，由此会导致顾客流失.请问高峰期内餐厅流失顾客的总时长为多少？ ②为减少流失客户的时间，餐厅计划增设排队等待座位.若要使高峰期内餐厅流失顾客时间减少20分钟，餐厅应增加多少个座位？ 【模型拓展】 （4）为了提高餐厅的运营效率，餐厅决定调整翻台率，调整后高峰期内单位时间离店人数满足（）.当至少为多少时，餐厅在整个高峰期内不会出现顾客流失？ 8.（本题11分）【原创】项目化学习：蔬菜大棚的加固． 项目背景 蔬菜大棚能让人们在寒冬也能吃上新鲜蔬菜，是我国劳动人民智慧的结晶。村里的王大爷经营了一个超级大棚，最近却遇上了麻烦——天气预报说，一场罕见的大雪即将来袭。他家的老式大棚难以承受这样的考验，一家人的心血面临威胁，现急需紧急加固大棚，以应对这场大雪。请你运用所学的数学知识，帮王大爷解燃眉之急。 项目示意图 王大爷家的大棚横截面可近似看作抛物线形状，其横截面如图所示： 抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m）， 图2 图1 图3 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的横截面？ 2、如何搭建加固钢材，保证蔬菜大棚的安全性？ 3、请你判断施工队给出的新方案是否可行？ 任务1 建立模型 （1）在图1中建立的直角坐标系中，求出抛物线的解析式：　 　 任务2 利用模型 （2）为加固大棚，王大爷计划在大棚内部搭建矩形支架（如图2），经查询资料，支架的长宽比2：1时，加固效果最好，请你计算矩形支架的长为多少时，加固效果最好。 任务3 分析计算 （3）王大爷找到施工队准备施工。施工队考虑到大棚内空间有限、蔬菜需保护，难以组织大面积作业，无法短期内完成原定加固方案。为此，施工队提出新方案：在大棚中间架设一根6m高的竖直钢材，再从顶部向两侧斜拉钢材，用螺丝紧密连接，实现快速加固。由于地块面积有限，斜拉钢材只能落在大棚底角B点右侧4米范围内。请你通过计算，判断施工队的方案是否可行？ 9．综合与实践 主题：“健”行未来，迎深圳APEC盛会 · 匹克球运动中的抛物线 阅读材料：匹克球（Pickleball）是深圳APEC青年周推广的新兴混合运动。匹克球场地尺寸与网球类似，场地尺寸如图1：单打全场长13.41m，宽6.10m，球网位于中点处，球网高0.86m（两端网柱高0.91m）；“非截击区”（又称‘厨房’Kitchen）指网前2.13m内区域，球员不得在此区内凌空截击（必须等球落地反弹一次后才能击打）。比赛中，高质量的发球通常贴近网口上方掠过，而防守反击常采用“第三拍下落球（Drop Shot）”拉大对手跑动距离. 问题情境：为推广新兴运动，深圳某学校新建匹克球场，并开展项目式学习。如图1，某次发球后，球在空中飞行的路线可近似看作抛物线的一部分。以发球点正下方地面为原点建立平面直角坐标系，竖直高度（单位：）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 .数学实践小组测得的部分对应值如下表： 水平距离x/m 0 2.5 5.0 7.5 … 竖直高度y/m 0.8 1.35 1.40 k … 数学思考： （1） ①求y与x的函数解析式.(3分) ②求出匹克球本次发球的最大高度（精确到0.01m）(1分)． 问题解决： （2） ①求出表格中k的值.（1分） ②判断该发球能否安全过网？(球在网顶高度)并说明理由．(2分) ③简述该发球是否符合匹克球“避免被截击”的战术要求.（1分） （3）（4分）若球员甲发球过网后，球员乙在匹克球飞行的水平距离为10m的点Q处（乙方偏底线）回击低位球，球在处（如图2），此时如果球员乙选择快速平抽（Drive），匹克球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数（速度压制）；如果球员乙选择防守下落（Drop Shot），匹克球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使匹克球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 10.【项目背景】为保障生产安全稳定运行，深圳市某智慧化工园区启用智能巡检机器人，实现地下管网区域自动飞行巡检，实时采集画面监测管网是否出现膨胀、裂缝等异常情况。数学兴趣小组协助园区工程师，共同开展机器人飞行轨迹优化项目. 【数据收集】信息1：以地下管网区域的点为原点，水平地面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系。该区域的防护边坡为一条直线，其函数表达式为，直线下方为危险区域. 信息2：机器人从防护边坡的坡顶监测点（0，20）出发，沿开口向下的抛物线飞行，途经轨迹最高点（12，26），全程均在边坡上方安全区域飞行。 【相关定义】定义1：在同一处，机器人飞行高度与防护边坡高度的差值为安全余量，即，机器人控制系统根据安全余量自动切换工作模式： 高速巡检模式 常规巡检模式 低速避险模式 临界运行模式 系统立即强制停机 定义2：各工作模式对应的区间水平长度，指机器人在该模式下飞行时，自变量的取值区间两端点的水平距离，即对应模式区间在轴上的线段长度.（如时，区间水平长度为） 【问题解决】 任务1：求出机器人飞行巡检轨迹的抛物线表达式与安全余量的表达式； 任务2：请分析机器人在整个飞行过程中是否会触发系统强制停机，以及是否会切换至高速巡检模式； 【方案优化】 任务3：为保障整体巡检过程更加稳定、智能、高效，要求机器人全程不得切换至高速巡检模式，且机器人飞行至轨迹最高点前，满足【临界区间水平长度+低速区间水平长度=常规区间水平长度】.现工程师优化调整机器人飞行程序，使其飞行巡检轨迹的抛物线表达式变为，试判断是否存在满足上述所有条件的实数。若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。图10 11.综合实践：绝对值是我们初中数学最常用的一个概念。我们给出一个定义：如果一个函数的表达式为，那么它的绝对值函数函数表达式为。例如的绝对值函数 为。 （1） 概念应用： 的绝对值函数为____________; 请写出该绝对值函数的一条性质：_________________ （2） 拓展应用： 如图10，是的图像，设的绝对值函数为C ① 在同一个坐标系内直接画出函数C的图像 ② 的解集为_____________ （3） 知识迁移： 已知关于x的方程有三个实数解，则m的值为___________ 12．综合与实践：小刘同学是海天中学初三年级的学生，寒假随家人回到老家。过春节时，村民燃放的烟花五颜六色非常漂亮给小刘同学留下了深刻印象。在学习过二次函数以后小刘同学了解到烟花棒（如图1）斜着发射出去的烟花弹的轨迹是二次函数。得知学校与凌霄烟花工厂开设有研学的信息，小刘果断报名了研学。小刘同学在烟花厂的实验基地，对烟花棒发射出的烟花弹进行了详细观察并且记录了一些数据。 材料一 小刘同学回去以后以发射架底端的地面为原点，建立了如图2所示的平面直角坐标系。实验基地的烟花弹发射出去以后在距离发射架8米的地方达到最高点C，最高点离地的高度为5米。炮弹发射以后落地点B距离发射点的水平距离为18米。 图1 图2 材料二 小刘同学在观察烟花弹发射的时候，发现仰角太大的时候会觉得不舒服。通过上网查资料得知，当仰角为15°到30°之间的时候是人类的舒适观察角度。已知tan15°≈0.27，tan30°≈0.58. 材料三 为了缓解烟花弹射出以后对地面的损坏，凌霄烟花厂在距离发射架16米的地方点D放置了长方体回收箱，回收箱的长度为4米，用于专门回收发射的烟花弹，回收箱的高度为DF为1.8米。 图3 问题1 求烟花弹发射以后运动轨迹的解析式。 问题2 已知小刘同学眼睛离地高度为1.6米，忽略抬头中眼睛离地误差。小刘同学站在烟花架后方0.5米的M处。那么小刘同学在仰头看烟花最高点的时候，仰视的角度会让小刘同学不舒服吗？ 问题3 发射架的高度不变，烟花弹最高点也不变。通过调整发射的速度和角度，使烟花弹落在回收箱内（不与边缘接触，箱体厚度不计），求此时二次函数二次项系数的取值范围。 13.综合与实践 机器人手臂路径规划问题 在智能工厂中，一台机械臂需要从固定点 A 出发，沿直线轨道 AB 移动到不同位置 D 进行作业。每次作业时，机械臂会绕点 C（固定基座）旋转一个直角连杆 CD，并在其末端 E 安装工具头。工程师发现，无论 D 在 AB 上如何移动，只要保持 ∠DCE = 90°且 = m，则工具头 E 的轨迹与起点 A 到 D 的位移之间存在某种恒定关系。 为了优化路径效率和避免碰撞，工程师需要研究 BE 与 AD 之间的几何关系，并进一步分析当对称结构引入后（如镜像臂 EF），整个系统覆盖面积的变化规律。 以上问题情境，抽象为如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE ＝90°，连接BE，＝m．请你帮助工程师完成以下探究任务…… 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 14. 综合与实践 研究小组要研究任意的一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x从左到右依次取相同间隔t（t>0）的三个数，因变量的取值分别为m、n、p，为了研究的取值问题，研究小组进行了如下的研究： 【特例探究】 （1）先研究y＝ax2（a≠0）情况，取a=1： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … ①对于a=1，研究小组发现：当自变量x从左到右依次取间隔t=1的三个数，无论x的起点是哪个数，始终为定值，这个定值为______. t … 0 1 2 3 4 … s … 0 4 9 16 … ②对于a=1，研究小组进一步发现：对于不同的间隔t，s始终为定值，求得t与s的部分数据如表： 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图1的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：s与t的关系式是____________. 【发现规律】 （2）研究小组发现对于y＝ax2（a≠0），只要确定了间隔t的值，那么始终为定值，且该定值与a有关。 取t=1或t=2，请你选择一个说明始终为定值，写出证明的过程. 【联系应用】 （3）①研究小组对该问题进行一般化研究，分析对于y=bx+c，自变量x从左到右依次取相同间隔t（t>0）的三个数，因变量的取值分别为m、n、p，无论间隔t为何值，必定为_______. ②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2023，2026，2029时的函数值分别为m、n、p，且，则a＝　 ． 15.综合实践 【背景】深圳南山荔枝闻名遐迵，荔枝的种植密度直接影响光照、通风和养分吸收，若种植过于密集，则荔枝品质和单株产量将会降低，若种植稀疏，则总产量降低从而也会影响经济效益，所以合理密植是保证果实品质和总产量的关键。如图一，现有一果农计划用总长为1600米的篱笆围成一个矩形荔枝种植园,矩形园地的长为x米,园内种植荔枝树m棵。 【数学建模】 （1） 荔枝园的面积S为 平方米（用x表示） ，每棵树的单株营养面积P（即平均每棵树占用的土地面积）为  平方米（用x，m表示） 【应用】 （2）该果农计划采用密集精细种植法，单株营养面积为16平方米，因种植场地限时，果园的长和宽都不能超过500米， ①请求出该果园可种植的荔枝树数量m的取值范围。 ②果农计划利用果园南部边缘的土地线段AB上进行育苗，每1米种植一棵荔枝树幼苗，整个果园的荔枝树数量为 （用x表示，x为整数），当荔枝树总数最多时，x的值为 。 （3）如图2，果场一厂房外有一块空地，外墙长度为20米，果农计划沿外墙设立两块正方形培育基地（两块基地相邻，缝隙忽略不计），甲基地面积较小，边长为a（0＜a≤8），种植树苗数量为10颗，乙基地种植数量为20颗，甲果园的单株营养面积是否可能比乙果园的大？请用函数思想说明理由。 16．综合与实践 【问题背景】 为落实2026年深圳APEC峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的20%，每台需带宽2单位）和普通设备（占80%，每台需1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．通信中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】 在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数 y（台）与保障时间 x（分钟）满足：． 【模型应用】 （1） 请求出第 x 分钟时的现场总带宽需求 p的表达式． （2）为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． （3）通信中心考虑优化方案：媒体区必须保证100%带宽供应，普通区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）． 若普通区降速策略生效的阈值为：当 p>0.9×(总带宽容量) 时启动， ① 请计算采用此策略后，所需基站数能否减少？ ② 从深圳智慧城市建设的“精准保障”角度，谈谈此策略的优劣． 17.（10分）深圳某网球场采用市制规格，如图一，场地长78尺，宽36尺，球网高度为3尺.以场地底线中点O为坐标原点，球场中轴线为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系.其中球网位于直线处，我方场地范围为，对方场地范围为. (1)如图二，我方运动员在原点O正上方发球，网球的运动轨迹为抛物线，其解析式为（单位：尺，为网球距地面高度），求网球落地时的点M的坐标。 (2)如图三，网球在点M落地后反弹，反弹后球的运动轨迹仍为抛物线，在距O点水平距离55尺时，球距离地面3尺，即过N(55,3)；距O点水平距离60尺时，球反弹到最高点，设此时球高为h，求此抛物线的最大高度h. (3)如图四，在球反弹后，对方球员试图在高于网高的位置击球，将球轨迹改变成沿着擦过球网点P(39,3)的直线，请判断在此情况下，是否存在一个击球点，使得对方球员击球后球沿着直线运动并落在我方场地线内（压线球也为界内球），若存在请求出落点，若不存在请说明理由。 图一 图二 图三 图四 18．项目化学习：喷泉景观中水柱路径的数学研究 某公园设计了一处喷泉景观。以喷水口为原点，水柱在空中某一条竖直平面内的路径近似为抛物线。经测量，水柱上某点的高度y（单位：米）与该点到喷水口的水平距离x（单位：米）满足二次函数关系：y=x2+tx,其中参数t与喷水压力、喷口角度等有关。数学兴趣小组围绕该函数给在定区间范围内的最小值问题展开研究，为喷泉设计提供理论依据。 【举例分析】 （1）当t=6时，函数为y=_______________,若2≤x≤6，当x=____时，y取最小值？ 【数据列举】 兴趣小组改变参数t（t≥3）的值，研究在2≤x≤6范围内，水柱的最低点出现在哪个位置。记录如下： t 3 3.5 4 4.5 5 最低点横坐标 x=6 x=6 x=6或x=2 x=2 x=2 【规律猜想】 （2）由表格数据，小组发现：以区间中点t=4为分界： ①当t<4时，对称轴距离区间右端较远，最小值在x=6处取得； ②当t=4时，对称轴距离区间左右段距离相同，最小值在x=6或x=2处取得； ③当t>4时，对称轴距离区间左端较远，最小值在x=2处取得。 猜想：关于x的二次函数y=x2+tx，其中0≤m≤x≤n≤2t，当x＝　 　 时，y取最小值． 【实际应用】 （3）在喷泉设计中发现，当水柱经过某观赏区域时，要求水柱高度始终高于2米。该观赏区域位于距喷水口5米处，宽度为2米，即水平范围5≤x≤7。此外，为了不使水柱飞得太远，要求落地点x0满足x0≤18。求参数t的取值范围。 19.综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片， ，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 添加条件证明：（1）在不增加现有的点和线的情况下，在画横线处添加一个条件使四边为菱形，并说明理由. 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①在（1）的条件下若，判断AD与BD的数量关系关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 20. （12分）【阅读材料】 材料一：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，经计算黄金分割比为． 材料二：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形. 【特例感知】 小明家准备利用篱笆围出一个矩形菜园，如图，菜园的一边利用足够长的墙，靠墙的一边为菜园的长，墙对面空有1米宽的门，菜园的面积为60m2，如图所示，小明为了增加视觉美感，想把菜园的形状设计为黄金矩形（黄金分割数比取0.6计算），请你帮小明计算他需要多长的篱笆？ 【操作实践】 （1）小丽通过折纸得到了黄金分割点，第一步将正方形纸片ABCD对折，使AB和CD重合，再展开，折痕为EF，如图1；第二步沿DF对折后展平，如图2；第三步再折叠纸片，使得DA与DF重合，再展开，折痕为DQ，如图3. 求证：点Q是AB的黄金分割点． 图1 图2 图3 （2）小勇受到小丽的启发，想通过尺规作图找到正方形ABCD中AB的黄金分割点，如图4，第一步作了AD的中垂线，分别交AD和BC于点E和F，….. 请你完善小勇的步骤（不需要写作图步骤，保留作图痕迹） 图4 【拓展延伸】 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=，点E是线段AD上靠近点D的黄金分割点，过点E作AD的垂线交BC于点F，点P是直线AD上一动点，将△ABP沿直线BP折叠，使得点A对应点G刚好落在直线EF上，直线CG交直线AD于点Q，求∠BGH或∠BGH的补角的正切值. 图5 备用图 学科网（北京）股份有限公司 $