第三编 题型四 二次函数综合-【中考复习指南】2026年湖北中考数学模拟冲刺卷

如图，过点E作BC的平行线，分别交CF,AB于点G,H,则∠CGE=∠FCB= 60.在R△CEG中，BG=6=2m易得四边形BCGH是平行四边形. HG=BC=2.EG=HG,又CF∥AB∴=品=1F为AE的1店 题型四二次函数综合 1.解：(1在抛物线：=一2-2x十2中，令y=0,则0=一2-日x十2，解得x=-4或x=2,即点 A(一4,0)，点B(2,0),根据题意，设抛物线L2的函数解析式为y=a(x十4)(x一2)，将点(1，一5)代入得 一5=a(1+4)(1一2)，解得a=1,∴.抛物线L2的函数解析式为y=(x十4)(x一2)=x2+2x一8. (2)如图，连接AC交对称轴直线x=二4十2=一1于点P,连接BP,交y轴于点E,连 2 接BC,此时△BPC的周长最小.令x=0,则y=2,∴.C(0,2),设直线AC的解析式为 y=kx+2,将点A(一4,0)代入得0=一4+2，解得及=2“直线AC的解析式为y 2十2，当=-1时，y=号·点P的坐标为(-1,2），将点(-1，号)代入y=a(x+4)(x-2),得 1 a(-1+4)·(一1-2)，解得a=一合∴抛物线L的函数解析式为y=一日(x十)(x一2). (3)假设存在，设点P的坐标为(-1，m),.‘A(一4,0)，C(0,2),.AC=22+42=20,PC=(2-m)2+12= m2-4m+5,AP2=m2+32=m2+9,当点P在x轴上方时，由题意得AC+PC=AP2,即20+m2一4m十5= m+9,解得m=4,即点P的坐标为(-1,4)，将点(-1,4)代入y=a(x+4)(x-2)得4=a(-1+4)(-1-2), 解得a=一音“抛物线L:的函数解析式为y一一号（十4）（一2》：当点P在x轴下方时，由题意得AC十 AP2=PC,即20十m2十9=m2一4m+5,解得m=一6，即点P的坐标为（一1，一6），将点(-1，一6)代入y= (十40(x一2)得-6=a(-1十4)(-1-2).解得a=号∴抛物线L的函数解析式为y=号(x十4)· (x-2). 综上，抛物线12的函数解析式为y一号(+40一2》或)=一音（十0x一2》. 2解：1)把点A3,0).C0,3)代人=-+x+c得9+36+c=0, b=2 解得 c=3, c=3, ∴.抛物线的函数解析式为y=一x2十2x十3. (2)A(3,0),C(0,3),∴yc=-x十3.过点P作PN⊥AB交AC于点M,交x轴于点 N,如图.，点P的横坐标为m,.P(m,一m2+2m十3)，M(m,-m+3),∴.PM=yp w=-m2+2m+3-(-m+3)=-m+3m,S=Sa+5w=PM:0A-是 (一m+3m)=-(m-多)》+得：-是<0,0<m<3当m=号时，S取得最大 2 值m的值为经 (3)①.PH∥x轴交AC于点H,点P的横坐标为m,∴.P(m,-m2十2m十3)，H(m2-2,一m2十2m十3)， -17- .PH=|xp-xH=m-(7-2m)|=|-m2+3m.当0<m<3时，xp>H,.PH=xp-H=m-(m2 2m)=-m2+3m.当-1<m<0时，xp<xH,.PH=xH-xp=(m2-2m)-m=m2-3m. (-m2+3m(0<m<3), ∴.l= m2-3m(-1<m<0). ②0<t1. 36a-6b-6=0 3.解：(1)把点A(-6,0)和点B(2,0)代入抛物线y=ax2+bx-6中，得 解得/a 2’:抛物 4a+2b-6=0, b=2, 线的函数解析式为)厂合十2江一6 (2)①存在.理由：抛物线y=2x2+2x-6交y轴于点C,…C(0,-6).A(-6,0),直线AC的函数解 析式为y=一x一6，设点D的坐标为(m,一m一6)，其中一6<<0，.B(2,0),C(0,一6)，∴.BD=(m一2)2十 (m十6)2，BC=40,DC=m2+(-m-6+6)2=2m.,DE∥BC,∴.当DE=BC时，以点D,C,B,E为顶点的 四边形为平行四边形，分两种情况：如图1，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形， ∴.BD=BC,∴.(m-2)2+(m十6)2=40，解得m1=一4,2=0（舍去），∴.点D的坐标为(-4，-2). .点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E,∴点E的坐标为（一6，一8）. 图1 图2 如图2，当CD=CB时，四边形CBED为菱形，∴.CD=CB,∴.2m2=40,解得m1=一25，m2=2√5（舍 去)，∴点D的坐标为（一25,25一6）..点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E, ∴.点E的坐标为(2一2√5,2√5).综上，存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标 为(-6，-8)或(2-25,2√5). ②DM的长为3√10.解法提示：设点D的坐标为(m,一m一6)，其中一6<m< 0,.A(一6,0)，B(2,0),∴.抛物线的对称轴为直线x=一2，直线BC的函数解析 式为y=3x-6,直线L∥BC,.设直线l的解析式为y=3x+d.,点D的坐标为 (m,一m一6)，∴.d=一4一6，.M(-2,一4m一12)..抛物线的对称轴与直线 AC交于点N,∴.N(-2,-4),∴.MN=-4m-12+4=-4m-8.,'S△wN= Se…号(-4m-8)(-2-m）=号×6×6，整理得m+4m-5=0,解得m=-5, 2=1(舍去)，.点D的坐标为(-5，一1)，∴.点M的坐标为（一2,8），∴.DM=√(-2十5)+(8十1)=3/10. -1-b+c=0, 4.解：(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=-x2+bx十c中，得 -16+4b+c=0 =3该抛物线的函数 解得c= 解析式为y=一x2十3.x十4，点C的坐标为(0,4)： —18 (2)①3.解法提示：当F是线段DE的中点时，点F在抛物线y=一x2十3.x十4的对称轴上，故x= 2×乙D多由B(4,0,C0,,可知直线BC的函数解析式为y=一x十4，当x=多时y-.由对称 3 可知，CC=2CP=2×(4-号)=3. ②.D是抛物线y=一x2十3.x十4上的一个动点，横坐标为m,.点D的坐标为(m,一m2十3m十4)，且 一1<m<0.DE⊥y轴交y轴于点P,交第一象限的抛物线于点E,∴.点P的纵坐标为一m2+3m十4. ,点C(0,4),.CP=4-(-m2+3m十4)=m-3m.点C关于直线DE的对称点为点C', CC=2CP=2-6m.:点D和点E是抛物线上的一对对称点，即关于直线x=一乡= 33 2a 2×(-1)-2 对称，∴DE=2(号-m)=3-2m.CC=DE.∴.2m2-6m=3-2m,解得m=2+,四（舍去），m= 2 2二四，m的值为2二而 2 ③存在.CC的长为3+√2或5-√2. 解法提示：在Rt△OBC中，∠BOC=90°，OB=OC=4,.BC=42. 在线段AB的延长线上截取BM=BC,连接CM,如图，则∠CMO= 含Ac易群mCM0-器十2E-1当C0-专∠A8C 时，tan∠C'AO=√2-1，∴.OC=OA·tan∠CAO=√2-1.当点C在x轴下 方时，CC=OC+OC=3+√2；当点C在x轴上方时，CC=OC-OC=5-√2. A O 综上，CC的长为3+2或5一√2. 5.解：(1)抛物线经过点A(一2,0)，C(0,一6)，则 解得一1， (4-2b+c=0, 故抛物线的函数解析式为y= c=-6, c=-6. x2-x一6.令x2-x-6=0,解得x1=一2，x2=3,∴.B(3,0).直线BC的函数解析式为y=2x-6. (2)如图1，由题意可知点E在直线y=2x-6上，设点E(m,2m-6),则EH=6-2,∴号EH=3-m, ∴.yc=m一3.当点G在HE左侧时，xc=m一(3一m)=2m一3，.∴.G(2m一3，m一3).将点G的坐标代入抛物 线的函数解析式，得m-3=(2m-3P-(2m一3)-6，解得m=是，m=3.:0<m<3.m=是.此时 G-昌，-是).当点G在HE右侧时，=m+(3-m)=3,不合题意，舍去∴G(-多，-星)： 图1 图2 图3 (3)CE的长为2W5或2√10. -19 解法提示：AO=2,OC=6,抛物线L沿射线CA平移，可设抛物线L向左平移了个单位长度，向上平移了 3个单位长度，故n2+(3n)2=(2√10)2，解得n=2(负值已舍去)，故抛物线L,的函数解析式为y=(x+ 2)2一(x十2)一6十6，即y=x2+3x十2.令x2+3x+2=x2-x一6，解得x=一2，故抛物线L,L的交点为点 A(一2,0).当CE=CA时，如图2，CE=AC=2√10；当EA=EC时，如图3，设AC的中点为K,则K(一1， 一3)，连接KE.由A(一2,0)，C(0,一6)可得直线AC的函数解析式为y=一3.x一6.设直线EK的函数解析 式为y=方十人：将点K的坐标代人，得A=一景直线K的函数解析武为)厂一令令行一号=2x 6,解得x=2,.E(2,一2)，.CE=2√5.易知AE<AC,∴.不存在AE=AC的情况.故CE的长为25或 2√10. 6解：1)抛物线y=a+2x+c经过点(2.3)和(-1,0，如+4+6=3，解 a=-1, 解得 .此抛物线的函 a-2+c=0, c=3, 数解析式为y=-x2十2x十3. (2)令y=0,即-x2十2x十3=0，解得x1=一1，x2=3,∴.B(3,0),即OB=3.令x=0,则 (∠ACO=∠OBQ, y=3,∴.C(0,3),即OC=3,∴.OB=OC.在△COA和△BOQ中，OC=OB, ∠COA=∠BOQ, .△COA≌△BOQ(ASA),∴.OQ=OA=1,.Q(0,一1).设直线BQ的函数解析式 为y=kx十b, 3k十b=0, 把B(3,0),Q(0,-1)代入，得 解得 k3’ b=-1, 直线BQ的函数解析式为y=-1联立直线 b=-1, BQ与抛物线的函数解析式得 y=32-1, 解得=3=一亭“点P在第三象限x=一 3,此 y=-x2+2x十3 时y-3×(-)-1号P(-青8》. (3)①设直线BC的函数解析式为y=kx十b, 3k+b=0, k=一1， 将B(3,0),C(0,3)代入y=k.x+b,得 解得 ∴.直线BC的函数解析式为y=一x十3.设 b=3, b=3, P(m,-m2+2m+3),则N(m,一m十3)，如图1，当m<-1时，PD=0-m=一m,PN=一m+3-(-m2+ 2m+3)=m2-3m,..L=2(PD+PN)=2(-m+m2-3m)=2m2-8m. 图1 图2 20 如图2，当m>3时，PD=m,PN=-m+3-(-m2+2m+3)=m2-3m,.L=2(PD+PN)=2(m十m2 2m2-8m(m<-1), 3m)=2m2-4m..∴.L= (2m2-4m(m>3). ②当L=2m2一8m(m<-1)时，对称轴为直线m=一 8-2,放当m<-1时，L随m的指大而减小不符 合题意，舍去； 当L=2m一4mm>3)时，对称轴为直线m=一2灵号-1，故当m>3时，L随m的增大而增大 综上，m的取值范围为m>3. b =2 b=-4, 7.解：(1)由题意得 解得 ∴.y=x2-4x-3=(x-2)2-7,∴.顶点C(2,-7). c=-3, C=一3， (2)由题意设M(t,一4t一3)，且t>2,如图1，过点H作直线x=t的对称点H',则H(2t一2,0)，当点C, M,H三点共线时，MC+MI最短.此时直线CH的函数解析式为)-7二》-7，把点M1,-4-3》 代人得-4一3=-号，解得=2+6-？-（舍去），MC+MH最短时1的值为2+ 图1 图2 (3)①由题意设M(t,-4t-3).如图2，过点M作MG⊥CH于点G.,'MN⊥MC,∴.△MCG∽△NCM, .MC=CG·CN..MC=(t-2)2+(t2-4t-3+7)2=(t-2)2+(t-2),CG=2-41-3+7=(t-2)2, ∴.CN=1十(t一2)2=一4t+5,∴.N(2,t一4t一2)，∴.当点N在点H处或其下方，即2一√6≤1≤2+√6时， d=NH=CH-CN=7-(t-4t+5)=-t+4t+2;当点N在点H上方，即t>2+√6或t<2-√6时，d= NH=CN-CH=t2-4t+5-7=t2-4t-2. -+4t+2(2-√6≤≤2+√6)， ∴.d关于t的函数解析式为d= t-4t-2(t>2+√6或t<2-√6). ②一+4t+2=一(t-2)2+6,当d>6或d=0时，点M有两个；当d=6时，点M有三个；当0<d<6时， 点M有四个. 8.解：(1)y=x2一2x十3不是“双星函数”，y=2x2十x一5是“双星函数”，理由：“双星函数"”图象上存在横坐 标与纵坐标相同的两个点，.令y=x,则x=x2一2.x十3，整理，得x2-3.x十3=0，.b一4ac=9-12= 一3<0，方程无实数根，即不存在横纵坐标相同的点，∴.y=x2一2x十3不是“双星函数”.同理，令y=x,则 x=2x2+x一5，整理，得2.x2一5=0，∴.b2一4ac=40>0,方程有两个不相等的实数根，即存在横纵坐标相同 的两个点，.y=2x2十x-5是“双星函数” —21— y=一x2-x+6, (2)存在.联立 解得x1=一1-√7,2=一1十√7，，点A在点B的左侧，.A(一1一√7，一1 (v=x, √7)，B(一1十√7，一1十√7)，.xB一xA=2√7.设点C(x,一x2-x十6)，如图1，过点C作x轴的垂线交AB 于点MMx,x.CM=-2-2x+6,∴Sx-号×(-2-2x+6)X2万=-万(z+10+77. ,一√7<0，-1-√7<x<-1十√7，.当x=一1时，S△c取得最大值，△ABC的最大面积为7√7. 图1 图2 a+b+c=2, (3)能构成.函数y=ax2+bx十c的图象过点(1,2)，(0，一4)，. 则b=6-a,∴.y=ax2十 c=-4, a22=-4 (6-a)x-4.设EM),F(x2,),令y=0,即az2+(6-a)x-4=0,十=a二6， a 5=+-4-√。+亚√侣+5》十8o6>0a≥6-a心0.可得3a< 6则合<日≤台1<登≤2当吕=2时，F取得放大值，此时a=3y=3x+3证-4 ∫y=x, 解得=一士区，“点A在点B的左侧， y=3.x2+3x-4. 3 双星”坐标分别为A(1,压，-1国)，B(-1片压，-1片国）.如图2，设点Gm,0,H, 3 3十3n一4).，AB为平行四边形AGBH的对角线，∴.线段AB的中点即为线段GH的中点， 安”-×(1) 4 3 1= 3 「m2=1, 解得 或 7n2= 、5 m+”二4=含×(1压+1+ 2 3 n3 3 ∴点G的坐标为(-号0)或1,0). 第四编湖北中考新趋势 题型一文化类试题 1.D2.C3B4.A5.C6.D7.日8219.x(x+7)=30010.号 11.202612.1752 题型二跨学科试题 1.C2.A3.A4.D5.D6.C7.D8.B9.A10.411.2212.1013.6 -22-题型四 二次函数综合 少题型归纳 此类题以二次函数的图象和性质为起，点，结合直角三角形、等腰三角形、特殊四边形、新定义等 相关知识，综合考查勾股定理的运用、锐角三角函数、三角形全等和相似等核心知识，一般属于压轴 题，主要考查学生的推理能力、运算能力和几何直观的核心素养.解题的关键是掌握二次函数的相 关性质，根据相关性质构造直角三角形、全等三角形、相似三角形或相应的数学模型，运用等量代 换、方程思想、推理能力、运算能力、几何直观等核心素养解决问题. 心对点演练 1.在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线L1: y=-- x十2交x轴于点A,B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共 根抛物线”，其顶点为P (1)若抛物线L2经过点(1，一5)，求抛物线L2的函数解析式； (2)当△BPC的周长最小时，求抛物线L2的函数解析式； (3)是否存在以点A,C,P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 L2的函数解析式；若不存在，请说明理由 45 2.抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点C(0,3),P为抛物线上的动点，设 点P的横坐标为m. (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，若P为直线上方抛物线上的动点，连接PA,PC,设△PAC的面积为S,当S取得最大 值时，求m的值， (3)如图2，若P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），过点P作PH∥x轴交直线AC于 点H设线段PH的长为 ①求1与m的函数解析式： ②若直线y=m十t与函数1的图象有3个交点，直接写出t的取值范围. 图1 图2 46 3.如图，抛物线y=ax2十bx一6与x轴交于点A(一6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,连接 AC,BC. (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D. ①试探究：在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形？若存在，求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M,与直线AC交于点N.当SADMN=S△4oc时，请直接写出 DM的长 47 4.如图，已知抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于A(一1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C,作直 线BC (1)求抛物线的函数解析式，并直接写出点C的坐标； (2)D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点E,与 直线BC交于点F,与y轴交于点P,点C关于直线DE的对称点为y轴上的点C.设点D的横 坐标为m,请探究如下问题： ①当F是线段DE的中点时，则线段CC的长为 ②当CC=DE时，求m的值； ③试探究：点D在运动过程中，是否存在某一位置，使得∠CA0-2∠ABC?若存在，请直接写 出CC的长；若不存在，请说明理由. 备用图 -48 5.如图，已知抛物线L:y=x2十bx十c与x轴交于点A(一2,0)，B,与y轴交于点C(0,一6)，D为抛 物线在第四象限内的一点，连接BC,直线AD交BC于点E, (1)求抛物线的函数解析式和点B的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式； (2)过点E作EHLx轴于点H,以EH为对角线作正方形EGHI,当顶点G恰好落在抛物线上 时，请求出点G的坐标； (3)连接CA,令抛物线L沿射线CA平移2√I0个单位长度，得到新抛物线L1.若抛物线L,L1的 交点与点C,E构成的三角形是等腰三角形，直接写出CE的长 49 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x十c经过点(2,3)，与x轴交于A(一1,0)，B两点，与 y轴交于点C,点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m. (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若∠PBA=∠OCA,求点P的坐标； (3)过点P作PD⊥y轴，垂足为点D,过点P作y轴的平行线与x轴交于点M,与直线BC相交 于点N,过点N作y轴的垂线，交y轴于点E,设矩形PNED的周长为L. ①求L关于m的函数解析式； ②当L随m的增大而增大时，求m的取值范围. 备用图 -50 7.已知抛物线y=x2十bx十c的对称轴为直线x=2,且经过点(0，一3)，对称轴与x轴交于点H,M 是抛物线上不与点C重合的动点，点M的横坐标为t. (1)求b,c及顶点C的坐标； (2)若点M在对称轴右侧，求MC十MH最短时t的值； (3)过点M作MN⊥MC交抛物线的对称轴于点N,设d=NH. ①求d关于t的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点M的个数情况， O H 51 8.我们把二次函数图象上有横坐标与纵坐标相同的两点的函数称为“双星函数”.例如在二次函数 y=x的图象上，存在(0,0)和(1,1)两点的横纵坐标相同，所以二次函数y=x2是双星函数，这两 点叫作这个二次函数的“双星”. (1)分别判断y=x2一2x十3和y=2x2十x一5是否为“双星函数”，并说明理由； (2)若“双星函数”y=一x2一x十6图象上的“双星”分别为A,B(点A在点B的左侧)，“双星”上方 的函数图象上是否存在一点C,使得以点A,B,C为顶点的三角形面积最大？如果存在，求出最大 面积；如果不存在，请说明理由； (3)已知“双星函数”y=ax2十bx十c(a≥b>0)的图象经过点(1,2)，(0，一4)，与x轴的交点分别 为E,F,点G是x轴上一动点，点H为该“双星函数”图象上一动点，当EF取得最大值时，能否 构成以该函数的“双星”A,B所在线段为对角线（点A在点B的左侧），A,B,G,H为顶点的平行 四边形？若能，求出点G的坐标；若不能，请说明理由. -52